八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球
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J3，则其外接球的表面积是
解：(1)Va2h
16
a
2
h
24，选C；
(2
3 9
(3)在正三棱锥S
ABC中，M、N分别是棱
SC
MN
正三棱锥S ABC外接球的表面积是
36
解：引理：正三棱锥的对棱互垂直 。证明如下:
如图(3)-1，取AB, BC的中点D,E，连接AE,CD,AE,CD交于H，连接SH，则H是底面正三角
C
(4)
在四面体
平面
BAC
AC 2,AB 1,
(6)
解析:
BC
球的表面积为（D）A.11
如果三棱锥的三个侧面两两垂直,
已知某几何体的三视图如图所示, 何体外接球的体积为
B.7
它们的面积分别为
三视图是腰长为
(4
AB
J7，ABC的外接球直径为
2r
_BC sin
BAC
(
40
y
（5）三条侧棱两两生直,
设三条侧棱长分别为
第二步:
先算出小圆0,的半径A0,
r，再算出棱锥的高POjh（也是圆锥的高）；
第三步:
勾股定理：0A2
0
R
(h R)
4.如图
9-3，平面PAC平面ABC,
且
BC（即AC为小圆的直径），且PA AC，则
利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①
2
(2R)
PA
②
R
例3（1）正四棱锥的顶点都在同一球面上,
若该棱锥的高为1,底面边长为2J3,则该球的表面积为
形
AC
BC,AD
BD,
AB
SC,同理：
BC S
本题图如图(3)-2,
AM
AM
SB,AC SB,
SB
SA,SB
SC,；
SA
平面SBC,
SA
CD AB
,AC SB,即正三棱锥的对棱互垂直,
MNSBSFra bibliotek SAC
故三棱锥S ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，
(2R)
正三棱锥S ABC外接球的表面积是36
(3)题-1
C.旦D
3
()C
A.
B.
.以上都不对
解:
选C,
（巧
R)
R
R
O
Bun
R
16
类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）
P
图9-4
图9-1
图9-2
图9-3
1.题设：如图9-1，平面 第一步：易知球心0必是
PAC
PAC的外心，即PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC
b c
第二步：在PAC中，可根据正弦定理
sin A
八个有趣模型一一搞定空间几何体的外接球与内切球
(三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径)
类型一、墙角模型
图1
图2
2a
方法:
找三条两两垂直的线段，
直接用公式(2R)2
b
2
c，即卩2R
V
例1
A.
(1)已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为
16B.20C
24
体积为16，则这个球的表面积是(
.
(2)若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为
2R
2.如图
9-2，平面PAC
平面
BC（即AC为小圆的直径）
2r
0C
0
R
AC 2jR
3.如图 心
锥的顶点 解题步骤:
平面
三棱
9-3，平面PAC
三棱锥P ABC的三条侧棱相等
BC（即AC为小圆的直径），且P的射影是P ABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点
ABC的外
P点也是圆
第一步:
确定球心0的位置，取ABC的外心Oi，则P,O,Oi三点共线;
②
三棱锥P ABC的三条侧棱相等
P点也是圆锥的顶点
解题步骤:
第一步:
确定球心0的位置,
ABC的外心Oi，则P,O,Oi三点共线;
第二步:
先算出小圆01的半径A01r，再算出棱锥的高P01h（也是圆锥的高）；
第三步:
勾股定理
，解出R
方法二:
小圆直径参与构造大圆。
例2一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为
ab
12
bc
abc
24
ac
(6
b
c
4
R
垂面模型
（一条直线垂直于一个平面）
10
c.——
3
6、4、
40
D.——
3
3，那么它的外接球的表面积是
1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几
BC cos120 7
2
石，
3，选
a,b,c
R），则
c 2
a
2
29
C
类型二、
1.题设：如图5,PA平面ABC
解题步骤：
第一步：将ABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直 径AD，连接PD，贝y PD必过球心O;
第二步：01为
ABC的外心，所以001平面ABC，算出小圆O的半
径
r（三角形的外接圆直径算法:
利用正弦定理，得
a
sin A
b
sin B
眾2r)，OO1
1
2pa；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①
2 2 2
(2R)2pa2(2r)2
2R
R
2.题设：如图6,7, 8,P的射影是ABC的外心
三棱锥P ABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点
接球的体积为（
（2）正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为<2，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为
解：（1）由正弦定理或找球心都可得2R
7
（2）方法一：找球心的位置，易知r1,h
方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是
4
2R
3
4
1
3
SAC的外接圆，此处特殊，Rt SAC的斜边是球半径，
J3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60,则该三棱锥外
解：(1)Va2h
16
a
2
h
24，选C；
(2
3 9
(3)在正三棱锥S
ABC中，M、N分别是棱
SC
MN
正三棱锥S ABC外接球的表面积是
36
解：引理：正三棱锥的对棱互垂直 。证明如下:
如图(3)-1，取AB, BC的中点D,E，连接AE,CD,AE,CD交于H，连接SH，则H是底面正三角
C
(4)
在四面体
平面
BAC
AC 2,AB 1,
(6)
解析:
BC
球的表面积为（D）A.11
如果三棱锥的三个侧面两两垂直,
已知某几何体的三视图如图所示, 何体外接球的体积为
B.7
它们的面积分别为
三视图是腰长为
(4
AB
J7，ABC的外接球直径为
2r
_BC sin
BAC
(
40
y
（5）三条侧棱两两生直,
设三条侧棱长分别为
第二步:
先算出小圆0,的半径A0,
r，再算出棱锥的高POjh（也是圆锥的高）；
第三步:
勾股定理：0A2
0
R
(h R)
4.如图
9-3，平面PAC平面ABC,
且
BC（即AC为小圆的直径），且PA AC，则
利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①
2
(2R)
PA
②
R
例3（1）正四棱锥的顶点都在同一球面上,
若该棱锥的高为1,底面边长为2J3,则该球的表面积为
形
AC
BC,AD
BD,
AB
SC,同理：
BC S
本题图如图(3)-2,
AM
AM
SB,AC SB,
SB
SA,SB
SC,；
SA
平面SBC,
SA
CD AB
,AC SB,即正三棱锥的对棱互垂直,
MNSBSFra bibliotek SAC
故三棱锥S ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，
(2R)
正三棱锥S ABC外接球的表面积是36
(3)题-1
C.旦D
3
()C
A.
B.
.以上都不对
解:
选C,
（巧
R)
R
R
O
Bun
R
16
类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）
P
图9-4
图9-1
图9-2
图9-3
1.题设：如图9-1，平面 第一步：易知球心0必是
PAC
PAC的外心，即PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC
b c
第二步：在PAC中，可根据正弦定理
sin A
八个有趣模型一一搞定空间几何体的外接球与内切球
(三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径)
类型一、墙角模型
图1
图2
2a
方法:
找三条两两垂直的线段，
直接用公式(2R)2
b
2
c，即卩2R
V
例1
A.
(1)已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为
16B.20C
24
体积为16，则这个球的表面积是(
.
(2)若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为
2R
2.如图
9-2，平面PAC
平面
BC（即AC为小圆的直径）
2r
0C
0
R
AC 2jR
3.如图 心
锥的顶点 解题步骤:
平面
三棱
9-3，平面PAC
三棱锥P ABC的三条侧棱相等
BC（即AC为小圆的直径），且P的射影是P ABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点
ABC的外
P点也是圆
第一步:
确定球心0的位置，取ABC的外心Oi，则P,O,Oi三点共线;
②
三棱锥P ABC的三条侧棱相等
P点也是圆锥的顶点
解题步骤:
第一步:
确定球心0的位置,
ABC的外心Oi，则P,O,Oi三点共线;
第二步:
先算出小圆01的半径A01r，再算出棱锥的高P01h（也是圆锥的高）；
第三步:
勾股定理
，解出R
方法二:
小圆直径参与构造大圆。
例2一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为
ab
12
bc
abc
24
ac
(6
b
c
4
R
垂面模型
（一条直线垂直于一个平面）
10
c.——
3
6、4、
40
D.——
3
3，那么它的外接球的表面积是
1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几
BC cos120 7
2
石，
3，选
a,b,c
R），则
c 2
a
2
29
C
类型二、
1.题设：如图5,PA平面ABC
解题步骤：
第一步：将ABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直 径AD，连接PD，贝y PD必过球心O;
第二步：01为
ABC的外心，所以001平面ABC，算出小圆O的半
径
r（三角形的外接圆直径算法:
利用正弦定理，得
a
sin A
b
sin B
眾2r)，OO1
1
2pa；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①
2 2 2
(2R)2pa2(2r)2
2R
R
2.题设：如图6,7, 8,P的射影是ABC的外心
三棱锥P ABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点
接球的体积为（
（2）正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为<2，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为
解：（1）由正弦定理或找球心都可得2R
7
（2）方法一：找球心的位置，易知r1,h
方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是
4
2R
3
4
1
3
SAC的外接圆，此处特殊，Rt SAC的斜边是球半径，
J3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60,则该三棱锥外