材料力学第五章梁弯曲时的位移演示文稿
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材料力学课件第5章
M
zM
x
等截面梁
y
注意 当梁为变截面梁时, max 并不一定
发生在|M|max 所在面上.
22
5.3 横力弯曲时梁横截面上的正应力 弯曲正应力强度条件
h
常用图y形Wz
c b
Wz =Iz /ymax
z
Wz
Iz h
bh3 2 12 h
bh2 6
2
h2
h1
y
c
z
Wz
Iz h1
1 ( b1h13 h1 6
z
于是
M
E
Iz
M
得
1 M
EIz
y
x
代入
E
y得
My
Iz
15
5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
常用图形y、Iz
h
y
1.矩形
dy
c
y z
Iz
Ay2 d A
h 2
y2b d y bh3
h 2
12
b
y
同理：
Iy
hb3 12
z
Iz
b1h13 12
b2h23 12
c
b2 b1
同理： I y
h1b13 12
y
12 rp
mn
x2
x
x1
12
dx
'=
x2 FN1
FN2
'=
38
5.4 横力弯曲时梁横截面上的切应力 弯曲切应力强度条件
F
Fx 0
FN 2 FN1 dx b
x1
y
12 rp mn
x2
x
12
dx
材料力学第五章+弯曲变形
材料力学
第5章 弯曲变形
连续条件：分段处挠曲线应满足的连续、光滑条件
F
A
C
B
$ 挠曲线在C点连续且光滑
连续: w左 w右
光滑: 左 右
河南理工大学土木工程学院
材料力学
第5章 弯曲变形
例题5-1 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，
并确定其最大挠度wmax和最大转角max。
F
A B x
Fx2l Fx3 挠曲线方程 w 2 EI 6 EI
根据该梁边界条件和全梁横截面上弯矩均为负值，
以及挠曲线应光滑连续描出了挠曲线的示意图。
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材料力学
第5章 弯曲变形
可见该梁的max和wmax均在x=l的自由端处。于是有
max
wmax
Fl 2 Fl 2 Fl 2 | x l EI 2 EI 2 EI Fl 3 Fl 3 Fl 3 w | x l 2 EI 6 EI 3EI
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材料力学
第5章 弯曲变形
由另一支座约束条件 w2|x=l=0 有
b l F l a EIw2 | x l F C2 l 0 l b 6
3 3
即
Fb 2 C2 l b2 6l
从而也有
C1
Fb 2 l b2 6l
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求等直梁的挠曲线方程时可将上式改写为
EIw M x
后进行积分，再利用边界条件(boundary condition)确定积分
常数。
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材料力学
第5章 弯曲变形
材料力学第5章弯曲变形ppt课件
qL
4.22kNm
4.22kNm
M
max
32 M
max
76.4MPa
WZ
d 3
例题
20kN m
A
4m
FA
20kN m
A
MA
4m
试求图示梁的支反力
40kN
B
D
2m
2m
B
B1 FB
FB 40kN
B
D
B2
2m
2m
在小变形条件下,B点轴向力较小可忽略不
计,所以为一次超静定.
C
B1 B2
FBBBMF12AA2383qFEqELBqqLI84LI2LLZZ32F35BFF4FEFB83PBPLIEL7Z3L12IZ.218352.k75N5kFkN2PNmEL2IZ2
x
边界条件
A
L2
B
L2
C
y
连续条件
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
全梁仅一个挠曲线方程
C
q
EA
共有两个积分常数 边界条件
L1
A
x
B
EI Z
L
y
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问在列各梁 的挠曲线近似微分方程时应分几段;将分别出现几个 积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
q
a
B C LBC
B
2a
FN
B
q2a4
8EIZ
FN 2a3
3EIZ
C
FN
a
D
3第5章-梁弯曲时的位移03
σ max
而：
62.4 ×103 = = 175MPa −6 2 ×178 ×10
σ max − [σ ] 5 = ≈ 3% < 5% [σ ] 170
这是允许的。 这是允许的。 其次校核梁的切应力强度： 其次校核梁的切应力强度：
由槽钢的简化尺寸（ ），截面的最大静矩为 由槽钢的简化尺寸（图d），截面的最大静矩为： ），截面的最大静矩为：
西南交通大学应用力学与工程系材料力学教研室
§5-4 梁的刚度校核•提高梁的刚度的措施
1、梁的刚度校核 、 保证梁的正常工作除要满足强度条件外， 保证梁的正常工作除要满足强度条件外，产生的 变形也不能太大，应满足刚度条件，即有： 变形也不能太大，应满足刚度条件，即有：
wmax w ≤ l l
wmax
Fi bi 2 2 ≈ wC = ∑ wi = ∑ 3l − 4bi i =1 i =1 48 EI = 4.66 ×10 −3 m
−3
4
4
(
)
所以： 所以：
wmax 4.66 ×10 = l 2.4
1 w = 1.942 ×10 < = l 400
−3
刚度满足。 刚度满足。
2、提高刚度措施 、 除外加载荷外，梁的位移w、 除外加载荷外，梁的位移 、θ还与梁的弯曲刚 成反比， 次方成正比， 度EI成反比，与跨长 的n次方成正比，因此，提高 成反比 与跨长l的 次方成正比 因此， 刚度的措施有： 刚度的措施有： 1）升高 。 ）升高EI。 相差不大， 各种钢材E相差不大 主要提高I， 各种钢材E相差不大，主要提高I，在截面面积 A不变时，尽可能使面积分布远离中性轴。 不变时， 不变时 尽可能使面积分布远离中性轴。 如工字形、箱形等截面。 如工字形、箱形等截面。 2）减少梁的跨度或增加支承。 ）减少梁的跨度或增加支承。 如下图所示结构： 如下图所示结构：
材料力学上册第五章梁弯曲时的位移
6EIl
Mechanics of Materials
wmax 在AC段
wmax
=
Fb( l 2 − b2 )3 2 9 3EIl
Mechanics of Materials
例题：已知梁的刚度EI，用奇异函数法求梁的位移
θA、θD、wB、wD。
qa
q
A
B
C Dx
FA a
y
aa
FC
解：建立图示坐标系
1、求约束反力
( ) M(x) = − EI
w′′ 1+ w′2
32
Mechanics of Materials
若挠曲线是较平坦的光滑连续曲线， w′ << 1，
可忽略不计。
则
M (x) = −w′′
EI
即
EIw′′ = − M (x)
——挠曲线近似微分方程
适用条件： 线弹性小变形； 对称弯曲的细长梁。
2、积分法确定梁的位移
一、挠曲线近似微分方程
材力 数学
1 = M(x)
ρ EI
( ) 1 = w′′
ρ 1 + w′2 3 2
x y M > 0 w′′ < 0
( ) M(x) = ± EI
w′′ 1+ w′2
32
x
( ) M(x) = − EI
w′′ 1+ w′2
32
y M < 0 w′′ > 0
☻挠曲线微分方程的正负号与选取的坐标系有关
2
Mechanics of Materials
弯矩的通用方程
∑ ∑ ∑ ∑ ( ) M x =
i
Mi < x −ai >0 +
Mechanics of Materials
wmax 在AC段
wmax
=
Fb( l 2 − b2 )3 2 9 3EIl
Mechanics of Materials
例题：已知梁的刚度EI，用奇异函数法求梁的位移
θA、θD、wB、wD。
qa
q
A
B
C Dx
FA a
y
aa
FC
解：建立图示坐标系
1、求约束反力
( ) M(x) = − EI
w′′ 1+ w′2
32
Mechanics of Materials
若挠曲线是较平坦的光滑连续曲线， w′ << 1，
可忽略不计。
则
M (x) = −w′′
EI
即
EIw′′ = − M (x)
——挠曲线近似微分方程
适用条件： 线弹性小变形； 对称弯曲的细长梁。
2、积分法确定梁的位移
一、挠曲线近似微分方程
材力 数学
1 = M(x)
ρ EI
( ) 1 = w′′
ρ 1 + w′2 3 2
x y M > 0 w′′ < 0
( ) M(x) = ± EI
w′′ 1+ w′2
32
x
( ) M(x) = − EI
w′′ 1+ w′2
32
y M < 0 w′′ > 0
☻挠曲线微分方程的正负号与选取的坐标系有关
2
Mechanics of Materials
弯矩的通用方程
∑ ∑ ∑ ∑ ( ) M x =
i
Mi < x −ai >0 +
材料力学课件5第五章梁弯曲时的位移5-1
F A
x
θmax
l
wmax
y
B o
F A
o
B
l
y
x
请大家将坐标原点取在固定端，练习完 整解题过程。
例题5-2 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方 程，并确定其最大挠度wmax和最大转角max。
解：该梁的弯矩方程为
ql 1 2 q M x x qx lx x 2 2 2 2
Fb x2 =EI w1 +C1 (1) l 2 Fb x3 EI w1 = +C1 x D1 (2) l 6
Fb x2 F(x-a) 2 EI w + +C 2 (3) 2 = l 2 2 Fb x3 F(x-a) 3 EI w 2 = + +C 2 x D2 (4) l 6 6
截面x的位移—挠度、转角 转角 θ C 1 θ w C
1
挠度
A
x y
B
x
挠曲线
梁变形前后横截面形心位置的变化称 为位移，位移包括线位移和角位移。在小 变形和忽略剪力影响（l >> h）的条件下， 略去x 方向的线位移，y 方向的线位移是截 面形心沿垂直于梁轴线方向的位移，称为 挠度，用 w 表示，单位m、mm；角位移 是横截面变形前后的夹角，称为转角，用 θ 表示，单位弧度。而变形后的轴线是一 条光滑连续平坦的曲线称为挠曲线（弹性 曲线） 。
w'(l )=0 代入（1）: Fl 2 / 2+C1 = 0 得：C1=－ Fl 2 / 2
w(l ) =0 代入（2）： Fl 3/ 6+C1l+C2 = 0
C2= -Fl 3/ 6 -C1l = -Fl 3/ 6 + Fl 3 / 2 = Fl 3/ 3
材料力学土木类第五章 梁弯曲时的位移.ppt
M x F b x
则：
EIw1
M
x
F
b l
x
l
积分可得：
EIw1
F
b l
x2 2
C1
EIw1
F
b l
x3 6
C1x
D1
DB段： a x l M x F b x Fx a
l
F x
A
D
B
x
a
b
l
y
则：
EIw2
M
x
由此可得：1 6
Fa3
C1a
D1
1 6
Fa3
1 2
Fa3
2 3
Fa3
1 2
Fa2
C1
1 2
Fa2
Fa2
即：
C1 Fa2；
D1
7 6
Fa3
最后可得：
wA
w1
x0
D1
7 Fa 3 6EI
（向下）
A
w1 '
x0
C1
Fa 2 EI
（逆时针）
小结： (1) 两段：四个常数，每增加一段，就增加 两个积分常数；
则： D1 D2
C1 C2
（2）约束条件：a) x 0 时， w1 0 由此可得：D1 0 D2
b) x l 处， w2 0
由此可得：
C2
Fb 6l
l2
b2
C1
则梁的挠曲线和转角方程为：
材料力学第五章梁弯曲时的位移课件
qw q0 (l39lx 28x3)
4E 8I
w(0)0 q (0) q0l3
48EI
固定铰支座 活动铰支座
w(l)0 q(l) 0
固定端 活动铰支座
材料力学第五章梁弯曲时的位移
22
M (x)Ew Iq0(3lx 4x2) 抛物线 8
FS(x)ddM xq 80(3l8x)
直线
q(x)dFS dx
材料力学第五章梁弯曲时的位移
12
x
FA
x
FA
Fb l
FB
FB
Fa l
AD段（ 0≤ x ≤ a ）：
M1(x)
Fbx l
DB段（ a ≤ x ≤ l ）：
M2(x)F l b xF(xa)
材料力学第五章梁弯曲时的位移
13
x a AD段（ 0≤ ≤ ）：
M1(x)
Fbx l
EIw1
Fbx l
Ew I1 EqI1F l bx22C1
q0
M(0)0
FS(0)
3 8
q0l
M(l) 81q0l2
FS(l) 85q0l
材料力学第五章梁弯曲时的位移
23
q0
1 8
q0l
材料力学第五章梁弯曲时的位移
7
挠曲线上某些点的已知位移（挠度和 转角）条件 —— 边界条件
wA ＝ 0 wB ＝ 0
wA ＝ 0 qA ＝ 0
边界条件 —— 支座处的约束条件
材料力学第五章梁弯曲时的位移
8
挠曲线的任意点上，有唯一确定的挠 度和转角 —— 连续条件
错！
错！
当弯矩方程需要分段建立时，在相邻梁 段的交接处，应具有相同的挠度和转角。
4E 8I
w(0)0 q (0) q0l3
48EI
固定铰支座 活动铰支座
w(l)0 q(l) 0
固定端 活动铰支座
材料力学第五章梁弯曲时的位移
22
M (x)Ew Iq0(3lx 4x2) 抛物线 8
FS(x)ddM xq 80(3l8x)
直线
q(x)dFS dx
材料力学第五章梁弯曲时的位移
12
x
FA
x
FA
Fb l
FB
FB
Fa l
AD段（ 0≤ x ≤ a ）：
M1(x)
Fbx l
DB段（ a ≤ x ≤ l ）：
M2(x)F l b xF(xa)
材料力学第五章梁弯曲时的位移
13
x a AD段（ 0≤ ≤ ）：
M1(x)
Fbx l
EIw1
Fbx l
Ew I1 EqI1F l bx22C1
q0
M(0)0
FS(0)
3 8
q0l
M(l) 81q0l2
FS(l) 85q0l
材料力学第五章梁弯曲时的位移
23
q0
1 8
q0l
材料力学第五章梁弯曲时的位移
7
挠曲线上某些点的已知位移（挠度和 转角）条件 —— 边界条件
wA ＝ 0 wB ＝ 0
wA ＝ 0 qA ＝ 0
边界条件 —— 支座处的约束条件
材料力学第五章梁弯曲时的位移
8
挠曲线的任意点上，有唯一确定的挠 度和转角 —— 连续条件
错！
错！
当弯矩方程需要分段建立时，在相邻梁 段的交接处，应具有相同的挠度和转角。
材料力学 第五章 梁弯曲时的位移 A
材料力学
第五章梁弯曲时的位移
主讲：韩玉林教授
东南大学工程力学系
§5-1 梁的位移
一.工程实例
在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正常工作，如摇臂钻床。
约束对位移的影响
没有约束无法确定位移
连续光滑曲线；铰支座对位移的限制。
边界条件：
A B w w ==约束对位移的影响
连续光滑曲线；固定端对位移的限制。
边界条件：
0,0
B B w θ==约束对位移的影响
注意：
1.分段连续弯矩方程必须从原点沿x 的正向依次写出；
2.对含（x-a）项可不展开，把它视为新变量积分，更为方便；
试绘制图示梁挠曲轴的大致形状
绘制原则
•挠曲轴是一条连续而光滑的曲线（中间铰链除外
，该处只连续而不光滑）,为此必须满足连续光滑
条件。
•挠曲轴必须符合梁的边界条件
•弯矩为正的梁段是一条凹曲线；弯矩为负的梁段是一条凸曲线；弯矩为零的梁段不变形，为一条直线
•弯矩图由正变负或由负变正处，弯矩为零处，
挠曲轴出现拐点
下列图示梁的Q、M图和挠曲轴大致形状先用虚线标出，请读者自行检查是否正确，如有错，请在原图上改正
图示梁有一中间铰链，试勾画出挠曲轴大致形状,并求C处的挠度。
图示梁，左右端各作用一力偶矩m 1和m 2，要使挠曲轴的拐点位于距左端为L/3处，问m 1和m 2应保持何种比例？
作业
•5-8，5-11，5-13，5-17，5-25
谢谢大家!。
材料力学I-第5章%20梁弯曲时的位移[1]
![材料力学I-第5章%20梁弯曲时的位移[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/a77b562e915f804d2b16c1ba.png)
T$
T%
$
Z'
Z&
'
D
)$ )%
TD[ T[ d [ d D TD [ D T[ 0 [ TD[ D d [ d D , Z c (,Zc 0 [ TD[ T[ d [ d D c (,Z TD[ T[ & (,Z TD[ T[ & [ ' Z c (,Zc 0 [ TD[ TD [ D T[ D d [ d D c (,Z TD[ TD [ D T[ & (,Z TD[ TD [ D T[ & [ ' 0 [
0H
O
0H
G Z )O )[ G[ (, GZ )O[ )[ & G[ (, Z )O[ )[ &[ ' (, T & Z '
0
)O )[
T$ T%
T O
ZPD[
)$
[ TO 0 [ )$ [ T [ [ T O[ [ O [ T O[ O
(,Zcc (,Zc (,Z
& '
O T O O
)$
$ O
%
T O
Z
[
(,Z
&
[ D
&
TD ' T Z
材料力学梁弯曲时的位移演示文稿
例题5-2 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其
最大挠度wmax和最大转角qmax。
22
第二十二页，共55页。
第五章 梁弯曲时的位移
解：该梁的弯矩方程为
M x ql x 1 qx2 q lx x2
22
2
挠曲线近似微分方程为
EIw M x q lx x2 2
以x为自变量进行积分得：
材料力学梁弯曲时的位移演示 文稿
第一页，共55页。
优选材料力学梁弯曲时的位移 Ppt
2
第二页，共55页。
第五章 梁弯曲时的位移
§5-1 梁的位移——挠度和转角
直梁在对称平面xy内弯曲时其原来的轴线AB将弯曲成平面曲 线AC1B。梁的横截面形心(即轴线AB上的点)在垂直于x轴方向的 线位移w称为挠度(deflection)，横截面对其原来位置的角位移q 称为横截面的转角(angle of rotation)。
3
第三页，共55页。
第五章 梁弯曲时的位移
弯曲后梁的轴线——挠曲线(deflection curve)为一平坦而 光滑的曲线，它可以表达为w=f(x)，此式称为挠曲线方程。由 于梁变形后的横截面仍与挠曲线保持垂直，故横截面的转 角q 也就是挠曲线在该相应点的切线与x轴之间的夹角，从而 有转角方程：
当集中荷载F作用于简支梁的跨中时(b=l/2)，最大转角qmax
和最大挠度wmax为
36
q max
qA qB
Fl 2 16EI
Fl 3 wmax wC 48EI
第三十六页，共55页。
第五章 梁弯曲时的位移
思考: 试绘出图示两根简支梁的弯矩图，并描出它们的挠曲线。并
25
第二十五页，共55页。
最大挠度wmax和最大转角qmax。
22
第二十二页，共55页。
第五章 梁弯曲时的位移
解：该梁的弯矩方程为
M x ql x 1 qx2 q lx x2
22
2
挠曲线近似微分方程为
EIw M x q lx x2 2
以x为自变量进行积分得：
材料力学梁弯曲时的位移演示 文稿
第一页，共55页。
优选材料力学梁弯曲时的位移 Ppt
2
第二页，共55页。
第五章 梁弯曲时的位移
§5-1 梁的位移——挠度和转角
直梁在对称平面xy内弯曲时其原来的轴线AB将弯曲成平面曲 线AC1B。梁的横截面形心(即轴线AB上的点)在垂直于x轴方向的 线位移w称为挠度(deflection)，横截面对其原来位置的角位移q 称为横截面的转角(angle of rotation)。
3
第三页，共55页。
第五章 梁弯曲时的位移
弯曲后梁的轴线——挠曲线(deflection curve)为一平坦而 光滑的曲线，它可以表达为w=f(x)，此式称为挠曲线方程。由 于梁变形后的横截面仍与挠曲线保持垂直，故横截面的转 角q 也就是挠曲线在该相应点的切线与x轴之间的夹角，从而 有转角方程：
当集中荷载F作用于简支梁的跨中时(b=l/2)，最大转角qmax
和最大挠度wmax为
36
q max
qA qB
Fl 2 16EI
Fl 3 wmax wC 48EI
第三十六页，共55页。
第五章 梁弯曲时的位移
思考: 试绘出图示两根简支梁的弯矩图，并描出它们的挠曲线。并
25
第二十五页，共55页。
材料力学I第五章 ppt课件
材料力学(Ⅰ)电子教案
梁弯曲时的位移
14
例题 5-1
试求图示悬臂梁的挠曲线方程和转角方程，
并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。梁的EI
为常量。
材料力学(Ⅰ)电子教案
梁弯曲时的位移
15
例题 5-1
解: 1. 列挠曲线近似微分方程，并积分。该梁的弯矩方 程为
M x F l x ( 1 )
挠曲线近似微分方程为
(b)
E w M I x F l x ( 2 )
通过两次积分得 Ew IFlx x 22C 1 (3) EI F w l2 x 2x 6 3 C 1xC 2 (4)
材料力学(Ⅰ)电子教案
梁弯曲时的位移
16
例题 5-1
2. 确定积分常数，并求转角方程和挠曲线方程
相比可略去，于是得挠曲线近似微分方程
w Mx
EI
材料力学(Ⅰ)电子教案
梁弯曲时的位移
10
II. 挠曲线近似微分方程的积分及边界条件
w Mx
EI 求等直梁的挠曲线方程时可将上式改写为
E w I M x
后进行积分，再利用边界条件(boundary condition) 确定积分常数。
材料力学(Ⅰ)电子教案
该梁的边界条件为：在 x =0 处 w'=0 ，w =0
由(3)、(4)两式得 C 10 ， C 20
将C1和C2代入(3)、(4)两式，得
转角方程
qwFxF l 2x(5)
EI2EI
挠曲线方程
F2lx F3x w
(6)
2EI6EI
材料力学(Ⅰ)电子教案
梁弯曲时的位移
17
例题 5-1
转角方程
材料力学：梁弯曲时的位移
Flx 2 Fx3 EIw C1 x C2 2 6
C1=0 C2=0
(3)
(4)
梁的转角方程和挠曲线方程分别为
Flx Fx 2 w' EI 2 EI
Flx 2 Fx3 w 2 EI 6 EI
24
F
A B x
w
max
l
θ max
y
max 及 wmax都发生在自由端截面处
M ( x) EI
12
(1 w' )
2
3
2
M
M
在规定的坐标系中，x 轴水平向右 为正，y 轴竖直向下为正。 曲线向下凸 时 ： w’’< 0 , M > 0 曲线向上凸 时 : w’’ > 0 , M < 0
y
M>0
w" 0
o
M
x
M
M<0
因此, M 与 w’’ 的正负号相反 y
w" 0
挠曲线方程为
w w( x)
式中 ，x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标 ，w 为该点的挠度。
A
C
B
x
w挠度
挠曲线
y
C'
转角
5
三、挠度与转角的关系：
A
C
B
x
w挠度
挠曲线
y
C'
转角
tg w' w' ( x)
6
四、挠度和转角符号的规定
挠度：向下为正，向上为负。
转角：自 x 转至 切线方向，顺时针转为正，逆时针转为负。
A
C
B
x
w 挠度
C1=0 C2=0
(3)
(4)
梁的转角方程和挠曲线方程分别为
Flx Fx 2 w' EI 2 EI
Flx 2 Fx3 w 2 EI 6 EI
24
F
A B x
w
max
l
θ max
y
max 及 wmax都发生在自由端截面处
M ( x) EI
12
(1 w' )
2
3
2
M
M
在规定的坐标系中，x 轴水平向右 为正，y 轴竖直向下为正。 曲线向下凸 时 ： w’’< 0 , M > 0 曲线向上凸 时 : w’’ > 0 , M < 0
y
M>0
w" 0
o
M
x
M
M<0
因此, M 与 w’’ 的正负号相反 y
w" 0
挠曲线方程为
w w( x)
式中 ，x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标 ，w 为该点的挠度。
A
C
B
x
w挠度
挠曲线
y
C'
转角
5
三、挠度与转角的关系：
A
C
B
x
w挠度
挠曲线
y
C'
转角
tg w' w' ( x)
6
四、挠度和转角符号的规定
挠度：向下为正，向上为负。
转角：自 x 转至 切线方向，顺时针转为正，逆时针转为负。
A
C
B
x
w 挠度
材料力学课件第5章 弯曲位移
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程（differential equation of the deflection curve） 近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 w2项; （3） tan w w( x )
§5-3 用积分法求弯曲变形 （Beam deflection by integration )
一、微分方程的积分 （Integrating the differential equation )
d 2ω M(x) 2 dx EI Z
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成
EIw M(x)
1.积分一次得转角方程 （The first integration gives the equation for the slope）
A C B x
C'
挠曲线
w挠度（
B
转角
4.挠度与转角的关系 （Relationship between deflection and slope）：
tan w ' w '( x )
A
C C'
挠曲线
B
x
w挠度
转角
B
5.弯曲位移计算的小变形假定
a.梁轴线在变形前后不产生伸缩，即长度不变
Fab( l b ) A 1 | x 0 6lEI Fab( l a ) B 2 | x l 6lEI
转角方程
b x F ( x a) C2 EIw 2 F l 2 2
2
2
挠度方程
b x3 F ( x a) C 2x D 2 EIw 2 F l 6 6
§5-3 用积分法求弯曲变形 （Beam deflection by integration )
一、微分方程的积分 （Integrating the differential equation )
d 2ω M(x) 2 dx EI Z
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成
EIw M(x)
1.积分一次得转角方程 （The first integration gives the equation for the slope）
A C B x
C'
挠曲线
w挠度（
B
转角
4.挠度与转角的关系 （Relationship between deflection and slope）：
tan w ' w '( x )
A
C C'
挠曲线
B
x
w挠度
转角
B
5.弯曲位移计算的小变形假定
a.梁轴线在变形前后不产生伸缩，即长度不变
Fab( l b ) A 1 | x 0 6lEI Fab( l a ) B 2 | x l 6lEI
转角方程
b x F ( x a) C2 EIw 2 F l 2 2
2
2
挠度方程
b x3 F ( x a) C 2x D 2 EIw 2 F l 6 6
材料力学第五章 梁弯曲时的位移 PPT
M(x) E Iz
高等数学：
1
r (x)
=±（1＋ww2）3/2
± w w （1＋ 2）3/2
=
M(x) E Iz
M ＜ 0，w ＞ 0
M ＞ 0，w ＜ 0
取负号!
－ w w （1＋ 2）3/2
=
M(x) E Iz
w w （1＋ 2）3/2
=－
M(x) E Iz
挠曲线微分方程
小 变 形
w
=－
DB段（a≤x≤l）： M2(x)F l b xF(xa) Ew I2 Fl b xF(xa)
q E w 2 IE2I F l b x 2 2 F (x 2 a )2 C 2
E2 I w F l b x 6 3F(x 6 a )3 C 2xD 2
确定积分常数 连续条件
x = a 时：
w1 w2 w1 w2
边界条件
x = 0 时： w1 0 x = l 时： w2 0
D1D20 C1C2F 6lb(l2b2)
AD段（ 0≤ x ≤ a ）：
w 1 q1F(6 b lE 2b I2)l2F Eb Ix2l
w1F(6 b lE 2b I2l)x6F EbIx3 l
DB段（ a ≤ x ≤ l ）：
q w 2 2 F ( 6 lE 2 b b 2 I ) l2 F Ex b 2 I l 2 F E (x I a )2
对于受任意荷载的简支梁，若挠曲线上无拐点， 则可用梁中点的挠度代替最大挠度。
例3：悬臂梁如图，已知F、a，M＝0.5 Fa，
梁的弯曲刚度 EI 为常数，试画出挠曲线的大致形 状。
FM
A
B
C
D
a
a
材料力学第五章梁弯曲时的位移分析
a)2
C2 x2 D2
C2
B B x
FBy
目录
5.2 积分法求梁的挠度和转角
4）由边界条件确定积分常数
位移边界条件
x1 0, w1(0) 0 x2 l, w2 (l) 0
光滑连续条件
x1 x2 a, 1(a) 2 (a)
x1 x2 a, w1(a) y2 (a) 代入求解，得
x1 ,0
x1
a
y
CB 段：
M x2
FAy
x2
F ( x2
a)
Fb l
x2
F ( x2
a),
a x2 l
目录
5.2 积分法求梁的挠度和转角
3）列挠曲线近似微分方程并积分
F
AC 段： 0 x1 a
EI
d 2w1 dx12
M (x1)
Fb l
x1
EI
dw1 dx1
EI (x1)
Fb 2l
x2 1
EI dw EI 1 F (l x)2 C
dx
2
EIw 1 F (l x)3 Cx D 6
代入求解
C 1 Fl2, D 1 Fl3
2
6
5）确定转角方程和挠度方程
EI 1 F (l x)2 1 Fl2
2
2
Ax
y
yB
l
F Bx
B
EIw 1 F (l x)3 1 Fl2x 1 Fl3
目录
5.2 积分法求梁的挠度和转角
例2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，
梁的EI已知，l=a+b，a>b。
F
解 1）由梁整体平衡分析得：
材料力学-第五章 梁弯曲时的位移
物体在外力作用下发生变形，物体的变形 能在数值上等于外力在加载过程中在相应位 移上所做的功，即
V W
H
46
★ 杆件应变能计算
1、轴向拉伸和压缩
V
W
1 2
P
l
P2l FN2l 2EA 2EA
一般地
V
l
FN 2dx 2 EA
H
P P
l
l
47
2、扭转
V W
1 m
2
1m ml 2 G Ip
应用卡氏第二定理
M(x) M(x)
Δi
l
.
dx
EI H Fi
59
对于梁,有莫尔积分
Δi
l
M(x)Mi (x) dx EI
Mi ( x) 对应于去掉原结构中外力,只在i
处加相应单位力后的弯矩方程 ●计算梁截面转角时,加单位力偶矩1 ●计算梁截面挠度时,加单位集中力1
M ( x) 对应于原结构的弯矩方程。
maxB
Pl2 2EI
wmaxwB
Pl3 3EI
H
y
P
B
θB
27
例3已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁 在集中力F作用下的转角方程、挠曲线方程， 并确定θmax和 wmax。
y
F
A
B
C
x
l
l
2
2
H
28
解：AC 段：M(x)Fx
2 EIw F x
y
2
A
EIw Fx2 C
x
4
l
F
C l
B
x
EIw Fx3CxD 12
得： CD 0
H
P
V W
H
46
★ 杆件应变能计算
1、轴向拉伸和压缩
V
W
1 2
P
l
P2l FN2l 2EA 2EA
一般地
V
l
FN 2dx 2 EA
H
P P
l
l
47
2、扭转
V W
1 m
2
1m ml 2 G Ip
应用卡氏第二定理
M(x) M(x)
Δi
l
.
dx
EI H Fi
59
对于梁,有莫尔积分
Δi
l
M(x)Mi (x) dx EI
Mi ( x) 对应于去掉原结构中外力,只在i
处加相应单位力后的弯矩方程 ●计算梁截面转角时,加单位力偶矩1 ●计算梁截面挠度时,加单位集中力1
M ( x) 对应于原结构的弯矩方程。
maxB
Pl2 2EI
wmaxwB
Pl3 3EI
H
y
P
B
θB
27
例3已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁 在集中力F作用下的转角方程、挠曲线方程， 并确定θmax和 wmax。
y
F
A
B
C
x
l
l
2
2
H
28
解：AC 段：M(x)Fx
2 EIw F x
y
2
A
EIw Fx2 C
x
4
l
F
C l
B
x
EIw Fx3CxD 12
得： CD 0
H
P
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转角：横截面绕中性轴转过的角度。
w
x
挠曲线
y
挠曲线(deflection curve):变形后的轴线。
★工程实例 控制截面的挠度、控制桥墩的水平位移
★工程中测量挠度的方法、仪器
精密水准仪、全站仪、GPS、机电百分表、 光电方法等
三.挠曲线近似微分方程
1.挠曲线方程(deflection equation)
材料力学第五章梁弯曲时的位移演示文稿
第五章 梁弯曲时的位移
一.概 述 二.梁的位移─挠度及转角 三.挠曲线近似微分方程 四.叠加法计算梁的位移 能量法I-静定结构变形计算
五.梁的刚度计算
一.概 述 1.工程实践中的弯曲变形问题
在工程中，对某些受弯构件，要求变形不能 过大，即要求构件有足够的刚度，以保证正常 工作。
2 EIw F x
y
2
A
EIw Fx2 C
x
4
l
F
C l
B
x
EIw Fx3CxD 12
2
2
思考：c 0 ?
由边界条件： x0时 ， w0 由对称条件： xl 时， w0
2
得： D0 得： C Fl 2
16
AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
y
F (4x2l2)
16EI
A
F
C
w Fx (4x23l2) 48EI
问题的关键：考虑上式中的取正还是取负？
y M0 Mw0 M
y M0 M w0M
x
x
Ew IM
思考:与小挠度微分方程 Ezw I相M 对(x应) 的坐标系 为？ （ ）
xx
y
x
y
y
(a)
(b)
(c)
教材中采用（a)图坐标系
2. 积分法求弯曲变形 ●弯矩方程不分段时 Ew IM(x)
Ew IM (x)dxC
5ql4 384EI
（↓）
★转角为正时，表示其转向和由x轴转向y轴的时针相
同；挠度为正时，表示其方向和y轴正向相同。
例2.已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁 在集中力P作用下的转角方程、挠曲线方程， 并确定θmax和wmax。
y
P
A l
Bx
解：M (x)P (lx) y
Ew I PxPl
ALeabharlann wmaxwBPl3 3EI
wB
Pl 3 3EI
P
θBB x
另解： M(x)Px Ew IM(x)
Ew IPx
xA
EIwPx2 C 2
EIw Px3CxD 6
边界条件：x l时 ， w 0 ,w 0
Pl 2 C
2 EI
D Pl 3 3EI
y
P
x
B
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
Px2 Pl2
当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引 起的变形是各自独立的，互不影响。 若计算几个载荷共同作用下在某截面上引 起的变形，则可分别计算各载荷单独作用 下的变形，然后叠加。
如图示，要计算三种载荷作用下在某截面如C 截面挠度，则可直接查表：各载荷单独作用下 的挠度，然后叠加（代数和）。
★变形的有利方面（工程实例） ●车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以 缓解车辆受到的冲击和振动作用。
P
P
2
2
P
●求解超静定问题。
二.梁的位移─挠度及转角 梁对称弯曲时用什么参数表示轴线的变形?
1
(x)
M(x) EIz
?
w
挠度w：横截面形心处的铅垂位移。
转角：横截面绕中性轴转过的角度。
挠度w：横截面形心处的铅垂位移。
连续光滑曲线(A、B处转角、挠度唯一）
边界条件
固定端约束对位移的影响：B处转角、挠 度?
连续光滑曲线
例1.已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简 支梁在均布载荷q作用下的转角方程、挠 曲线方程，并确定θmax和wmax。
y
q
x
l
解：M(x)qlxqx2 y
22
q
Ew Iqlxqx2 22
A
B
x
Ew Iqlx2qx3C
w
x
挠曲线
y
挠曲线方程：wf(x)
转角方程： ta n w f(x )
曲线 w = f (x) 的曲率为
w
(1w2)3/2
梁纯弯曲时曲率由几何关系得
1 M(x)
(x) EIz
考虑小变形条件：
(1x)(1w w 2)3/2w
1 M(x)
(x) EIz
Ezw IM (x)
问题的关键：考虑上式中的取正还是取负？
E Iw M (x )d x d x C D x
式中积分常数C、D由边界条件确定 ●弯矩方程分n段时，积分常数个数为 2n
由边界条件确定的方程需要2n个 方法的局限性：外力复杂或多跨静定梁时计算量过大
边界条件
光滑连续条件：
F
√
wc wc c c
C
×
× 约束条件:两端铰处挠度为零。
边界条件
铰支座对位移的限制(A、B处挠度为零）
在另外一些情况下，却要求构件具有较大的 弹性变形，以满足特定的工作需要。
★变形过大的不利影响（工程实例）
●摇臂钻床的摇臂等变形过大，就会影响 零件的加工精度，甚至会出现废品。
摇臂钻床
(自重、钻头等约束力影响）
●桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行 走困难，出现爬坡现象。
●传动轴的支座处转角过大，轴承发生磨损。
x
Ew IPx2PlxC
l
2
EIw Px3Plx2C xD 62
由边界条件：x 0 时 w ， 0 ,w 0
得： CD 0
P
Bx
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
Px (x2l)
y
2EI
A
w Px2 ( x3l ) 6EI
x l
最大转角和最大挠度分别为：
maxB
Pl2 2EI
B
Pl 2 2EI
x
l
46
EIw qx l3qx4C xD 12 24
由边界条件：x 0时 ，w0
x l时 ，w 0
得：
ql3 C , D0
24
q (6lx24x3l3)
24EI
y
w qx(2lx2x3l3)
q
2E 4 I
A
最大转角和最大挠度：
x θA
θB
B x
maxAB2q4lE 3I （
l
）
wmax wxl 2
2EI 2EI
xA
Px3 Pl2x Pl3
x
w
6EI 2EI 3EI
最大转角和最大挠度分别为：
maxB
Pl2 2EI
wmaxwB
Pl3 3EI
y
P
B
θB
例3已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁 在集中力F作用下的转角方程、挠曲线方程， 并确定θmax和 wmax。
y
F
A
B
C
x
l
l
2
2
解：AC 段：M(x)Fx
x l
l
2
2
最大转角和最大挠度分别为：
B
x
max AB1P 6lE2I
wmaxwxl 2
Pl3 48EI
例4.已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支 梁的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和 wmax。(请同学课后思考）
y
q
A
B
C
D
E
x
a
a
a
a
四.用叠加法计算梁的变形
在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下, 载荷与它所引起的变形成线性关系。
w
x
挠曲线
y
挠曲线(deflection curve):变形后的轴线。
★工程实例 控制截面的挠度、控制桥墩的水平位移
★工程中测量挠度的方法、仪器
精密水准仪、全站仪、GPS、机电百分表、 光电方法等
三.挠曲线近似微分方程
1.挠曲线方程(deflection equation)
材料力学第五章梁弯曲时的位移演示文稿
第五章 梁弯曲时的位移
一.概 述 二.梁的位移─挠度及转角 三.挠曲线近似微分方程 四.叠加法计算梁的位移 能量法I-静定结构变形计算
五.梁的刚度计算
一.概 述 1.工程实践中的弯曲变形问题
在工程中，对某些受弯构件，要求变形不能 过大，即要求构件有足够的刚度，以保证正常 工作。
2 EIw F x
y
2
A
EIw Fx2 C
x
4
l
F
C l
B
x
EIw Fx3CxD 12
2
2
思考：c 0 ?
由边界条件： x0时 ， w0 由对称条件： xl 时， w0
2
得： D0 得： C Fl 2
16
AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
y
F (4x2l2)
16EI
A
F
C
w Fx (4x23l2) 48EI
问题的关键：考虑上式中的取正还是取负？
y M0 Mw0 M
y M0 M w0M
x
x
Ew IM
思考:与小挠度微分方程 Ezw I相M 对(x应) 的坐标系 为？ （ ）
xx
y
x
y
y
(a)
(b)
(c)
教材中采用（a)图坐标系
2. 积分法求弯曲变形 ●弯矩方程不分段时 Ew IM(x)
Ew IM (x)dxC
5ql4 384EI
（↓）
★转角为正时，表示其转向和由x轴转向y轴的时针相
同；挠度为正时，表示其方向和y轴正向相同。
例2.已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁 在集中力P作用下的转角方程、挠曲线方程， 并确定θmax和wmax。
y
P
A l
Bx
解：M (x)P (lx) y
Ew I PxPl
ALeabharlann wmaxwBPl3 3EI
wB
Pl 3 3EI
P
θBB x
另解： M(x)Px Ew IM(x)
Ew IPx
xA
EIwPx2 C 2
EIw Px3CxD 6
边界条件：x l时 ， w 0 ,w 0
Pl 2 C
2 EI
D Pl 3 3EI
y
P
x
B
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
Px2 Pl2
当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引 起的变形是各自独立的，互不影响。 若计算几个载荷共同作用下在某截面上引 起的变形，则可分别计算各载荷单独作用 下的变形，然后叠加。
如图示，要计算三种载荷作用下在某截面如C 截面挠度，则可直接查表：各载荷单独作用下 的挠度，然后叠加（代数和）。
★变形的有利方面（工程实例） ●车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以 缓解车辆受到的冲击和振动作用。
P
P
2
2
P
●求解超静定问题。
二.梁的位移─挠度及转角 梁对称弯曲时用什么参数表示轴线的变形?
1
(x)
M(x) EIz
?
w
挠度w：横截面形心处的铅垂位移。
转角：横截面绕中性轴转过的角度。
挠度w：横截面形心处的铅垂位移。
连续光滑曲线(A、B处转角、挠度唯一）
边界条件
固定端约束对位移的影响：B处转角、挠 度?
连续光滑曲线
例1.已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简 支梁在均布载荷q作用下的转角方程、挠 曲线方程，并确定θmax和wmax。
y
q
x
l
解：M(x)qlxqx2 y
22
q
Ew Iqlxqx2 22
A
B
x
Ew Iqlx2qx3C
w
x
挠曲线
y
挠曲线方程：wf(x)
转角方程： ta n w f(x )
曲线 w = f (x) 的曲率为
w
(1w2)3/2
梁纯弯曲时曲率由几何关系得
1 M(x)
(x) EIz
考虑小变形条件：
(1x)(1w w 2)3/2w
1 M(x)
(x) EIz
Ezw IM (x)
问题的关键：考虑上式中的取正还是取负？
E Iw M (x )d x d x C D x
式中积分常数C、D由边界条件确定 ●弯矩方程分n段时，积分常数个数为 2n
由边界条件确定的方程需要2n个 方法的局限性：外力复杂或多跨静定梁时计算量过大
边界条件
光滑连续条件：
F
√
wc wc c c
C
×
× 约束条件:两端铰处挠度为零。
边界条件
铰支座对位移的限制(A、B处挠度为零）
在另外一些情况下，却要求构件具有较大的 弹性变形，以满足特定的工作需要。
★变形过大的不利影响（工程实例）
●摇臂钻床的摇臂等变形过大，就会影响 零件的加工精度，甚至会出现废品。
摇臂钻床
(自重、钻头等约束力影响）
●桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行 走困难，出现爬坡现象。
●传动轴的支座处转角过大，轴承发生磨损。
x
Ew IPx2PlxC
l
2
EIw Px3Plx2C xD 62
由边界条件：x 0 时 w ， 0 ,w 0
得： CD 0
P
Bx
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
Px (x2l)
y
2EI
A
w Px2 ( x3l ) 6EI
x l
最大转角和最大挠度分别为：
maxB
Pl2 2EI
B
Pl 2 2EI
x
l
46
EIw qx l3qx4C xD 12 24
由边界条件：x 0时 ，w0
x l时 ，w 0
得：
ql3 C , D0
24
q (6lx24x3l3)
24EI
y
w qx(2lx2x3l3)
q
2E 4 I
A
最大转角和最大挠度：
x θA
θB
B x
maxAB2q4lE 3I （
l
）
wmax wxl 2
2EI 2EI
xA
Px3 Pl2x Pl3
x
w
6EI 2EI 3EI
最大转角和最大挠度分别为：
maxB
Pl2 2EI
wmaxwB
Pl3 3EI
y
P
B
θB
例3已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁 在集中力F作用下的转角方程、挠曲线方程， 并确定θmax和 wmax。
y
F
A
B
C
x
l
l
2
2
解：AC 段：M(x)Fx
x l
l
2
2
最大转角和最大挠度分别为：
B
x
max AB1P 6lE2I
wmaxwxl 2
Pl3 48EI
例4.已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支 梁的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和 wmax。(请同学课后思考）
y
q
A
B
C
D
E
x
a
a
a
a
四.用叠加法计算梁的变形
在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下, 载荷与它所引起的变形成线性关系。