分裂四元数矩阵的实表示与特征值

第48卷第2期2019年3月

内蒙古师范大学学报(自然科学汉文版)

J o u r n a l o f I n n e rM o n g o l i aN o r m a lU n i v e r s i t y (

N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n )V o l .48N o .2

M a r .2019

收稿日期:2018-03-09

基金项目:山东省自然科学基金资助项目(Z R 2017MA 029);山东省高等教育科技计划项目(J 16L I 15);山东省教育科学 十二五”规划 高等教育数学教学专项”重点资助课题(Z B S 15004);菏泽学院科研基金科技计划项目(2017001

)作者简介:孔祥强(1983-)

,男,山东菏泽人,菏泽学院讲师,主要从事计算数学研究.分裂四元数矩阵的实表示与特征值

孔祥强

(菏泽学院数学与统计学院,山东菏泽274015

)摘 要:在分裂四元数概念的基础上,首先给出了分裂四元数的实表示;其次,依托实矩阵研究分裂四元数

矩阵,得到分裂四元数矩阵实表示的重要性质;最后,给出了分裂四元数矩阵特征值存在的充分必要条件,并通过数值算例说明了分裂四元数矩阵左特征值的求法.

关键词:分裂四元数;分裂四元数矩阵;实表示;特征值

中图分类号:O246.1 文献标志码:A 文章编号:1001-8735(2019)02-0112-05

d o i :10.3969/j

.i s s n .1001-8735.2019.02.0041843年,H a m i l t o n 提出了四元数的概念,其形式为H 0=a 0+a 1i +a 2j +a

3{}k ,且满足i 2

=-1,j 2=-1,k 2

=-1,i j =-j i =k ,j k =-k j =i ,k i =-i k =j ,i j

k =-1,a 0,a 1,a 2,a 3∈R .1849年,J a m e s C o c k l e 提出分裂四元数的概念,其形式为H =a 0+a 1i +a 2j +a 3{}k ,且满足i 2=-1,j 2=1,k 2

=1,i j =-j

i =k ,j k =-k j =-i ,k i =-i k =j ,i j

k =1,a 0,a 1,a 2,a 3∈R .H 0和H 是两个结合且非交换的四维克利福德代数,是两个非交换的代数环.四元数代数H 0为除环,分裂四元数代数H 不是除环,且含有零因子㊁幂等元和幂零

元等[1].分裂四元数矩阵的特征值问题在四元数理论研究中占有非常重要的地位,对这部分的研究已取得丰硕成果[2-3]

.文献[4]利用矩阵的复表示研究了四元数矩阵的右特征值问题,得到系列结果.文献[5

]利用矩阵的复表示研究了分裂四元数矩阵的左特征值和右特征值.本文研究实表示意义下分裂四元数矩阵的性质和特征值问题.

1 分裂四元数的实表示

设H =a =a 0+a 1i +a 2j +a 3k ;a 0,a 1,a 2,a 3∈{}R ,且满足i 2=-1,j 2=1,k 2

=1,i j k =1,i j =-j

i =k ,j k =-k j =-i ,k i =-i k =j ,称满足条件的a 为分裂四元数.称a =a 0-a 1i -a 2j -a 3k 为a 的共轭,a =|a a |=|a 20+a 21-a 22-a 23|为a 的范数

[5]

.定理1 任一个分裂四元数均和R 上的4阶矩阵同构.

证明 令a =a 0+a 1i +a 2j +a

3k ∈H ,a 0,a 1,a 2,a 3∈R ,定义映射φa :H →H ,σa (b )=a b ,∀b ∈H ,则φa 为双射,且 φa (1)=a 1=a 0+a 1i +a 2j +a 3k , φ

a (i )=a i =-a 1+a 0i +a 3j -a 2k , φa (j )=a j =a 2+a 3i +a 0j +a 1k , φa (k )=a k =a 3-a 2i -a 1j +a 0k .依此映射,可定义分裂四元数集合为4阶实矩阵集合

M 4×4(R )=a 0a 1a 2a 3-a 1a 0a 3-a 2a 2a 3a 0a 1

a 3-a 2-a 1a æèçççççöø÷÷

÷÷÷0T

,a 0,a 1,a 2,a 3∈ìîíïïïïïïüþ

ýïïïïïïR 的子集合,H 和M 4×4(R )本质是相同的.

故对分裂四元数的研究可转化为实数域上4阶矩阵的研究.实数域

第2期

孔祥强:分裂四元数矩阵的实表示与特征值

上4阶矩阵的性质即为H 上分裂四元数的性质.称

a 0a 1a 2a 3-a

1a 0a 3-a 2a 2a 3a 0a 1

a 3-a 2-a 1a æèçççççö

ø

÷

÷÷÷÷

0T

为a 的实表示,记作a R ,即

a R

=a 0-a 1a 2a 3a 1a 0a 3-a 2a 2a 3a 0-a 1

a 3-a 2

a 1a æèççç

ççö

ø

÷÷

÷÷÷0.2 分裂四元数矩阵的实表示及其性质

设A =A 0+A 1i +A 2j +A 3k ∈M n ×n (H ),其中A 0,A 1,A 2,A 3∈M n ×

n (R ),则定义A 的实表示矩阵形式为 A R =A 0-A 1A 2A 3A 1A 0

A 3-A 2A 2A 3A 0-A 1A 3-A 2

A 1

A æèç

çç

çç

ö

ø

÷÷

÷

÷

÷0∈M 4n ×4n (R ).记 M 4n ×4n (R )=A 0-A 1A 2A 3A 1A 0A 3-A 2A 2A 3A 0-A 1A 3-A 2A 1A æèçççççöø÷÷÷÷÷0;A 0,A 1,A 1,A 1∈M n ×

n (R ìîíïïïïïüþ

ýï

ïï

ïï),则分裂四元数矩阵集合M n ×n (H )和实数域上4n 阶矩阵集合M 4n ×4n (R )本质上是相同的.实数域上4n 阶矩阵的性质即为H 上分裂四元数矩阵的性质,对分裂四元数矩阵的研究可转化为实数域上4n 阶矩阵的研究.

若A ,B ∈M n ×n (H ),且A B =B A =I n ,其中I n 为n 阶单位矩阵,

则称A 为可逆矩阵,B 为A 的逆矩阵.性质1 设A ,B ∈M n ×n (H ),则(1)I R n =I 4n ;

(2)(A +B )R =A R +B R ;(3)(A B )R =A R B R

;(4)若A 可逆,则(A -1)R =(

A R )-1.证明 (1

)由实表示定义,显然可得.(2)令 A =A 0+A 1i +A 2j +A 3k ,B =B 0+B 1i +B 2j +B

3k ,则 A +B =(A 0+B 0)+(A 1+B 1)i +(A 2+B 2)j +(A 3+B 3)k ,故

(A +B )R

=A 0+B 0-A 1-B 1A 2+B 2A 3+B 3A 1+B 1A 0+B 0A 3+B 3-A 2-B 2A 2+B 2A 3+B 3A 0+B 0-A 1-B 1

A 3+

B 3-A 2-B 2

A 1+

B 1

A 0+

B æèç

çç

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ö

ø

÷

÷

÷÷÷

0=

A 0-A 1

A 2A 3A 1A 0A 3-A 2A 2A 3A 0-A 1A 3-A 2

A 1

A æèç

çççç

öø÷÷÷÷÷0+B 0-B 1

B 2B 3B 1B 0

B 3-B 2B 2B 3B 0-B 1

B 3-B 2B 1B æèç

ççççö

ø

÷÷÷÷÷0=A R +B R

.(3

)令 A R B R =A 0-A 1

A 2A 3A 1A 0

A 3-A 2A 2A 3A 0-A 1A 3-A 2

A 1A æèç

çç

çç

ö

ø

÷÷

÷÷

÷0B 0-B 1B 2B 3B 1B 0B 3-B 2B 2B 3B 0-B 1B 3-B 2

B 1

B æèç

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öø÷÷÷÷÷0=s 11

s 12s 13s 14s 21s 22s 23s 24s 31s 32s 33s 34s 41

s 42s 43s æèç

ççççö

ø

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÷

÷÷÷

44,㊃

311㊃