应用多元统计 第三章

X , A分别为样本均值和样本离差阵，记
T 2 n(n 1) X ' A1 X ,
则
n p T2 ~ F ( p, n p, ) , p n 1
其中 n '1 .
性质4 T 2 统计量的分布只与 p , n 有关，而与∑无关。
设 U～Np( 0 , Ip ),W0～Wp( n , Ip ), U 和 W0 相互独立，则
2 2
2
2
一般地，设X(a)～Np( ,∑) (a=1,2,…,n)相互独立，记
1 p M 1n ' 1 p
则称 W X ' X 服从非中心参数为Δ 的非中心威沙特分布，记 为 W ~ W (n, , )，其中 p
其中 M ' AM A2 A , 且 rank( A) r .
性质8 设 X ~ Nn p (M , I n ) , A和 B 均为 n 阶对称幂等矩阵, 则
X ' AX 与 X ' BX 相互独立 AB O .
三、霍特林(Hotelling) T 2 分布 1. 霍特林 T 2 分布的定义
( X )' A( X ) 与( X )' B( X )独立
AB Opwenku.baidu.comp .
3. 非中心 t 分布和非中心 F 分布 定义3.1.2 设 X ~ N ( ,1)与Y ~ 2 (n) 相互独立，令
X T Y
, n
则称 T 的分布具有n个自由度、非中心参数为 的 非中心 t 分布，记为 T ~ t (n, ).
性质3 设 p 阶随机阵 W ~ Wp (n, ) ，C 是m×p常数矩阵,则 m 阶 随机阵 CWC ' 也服从威沙特分布，即
CWC ' ~ Wm (n , CC ' ) .
特别地： （1） aW～Wp( n , a∑ ) (a>0为常数）. （2）设
l (l1,, l p ) ，则 l 'Wl W1 (n , l 'l )，即 2 ' 2 2 ( 其中 l l ) . ~ (n)
YY
'

Xi ,
则
1
其中
2 1 ' 2 .
2 X ' X ~ n ( ) ,

结论3 设 X ~ Nn (0n , 2 I n ) ，A为对称矩阵，且 rank (A) = r 二次型
X ' AX

2
~ 2 ( r ) A2 A （A为对称幂等矩阵）。
2 '
结论4 设 X ~ Nn ( , I n ) , A A , 则
定义3.1.3 设 X ~ 2 (m , )与Y ~ 2 (n) 相互独立，令
F
X
则称 F 的分布为具有自由度为 m , n 和非中心参数 为 的 F 分布，记为 F～F ( m , n , ).
m , Y n
4. 非中心 、非中心 t 分布和非中心 F 分布的应用
2
在一元统计中，关于在一个正态总体 N ( , 验中，检验H0： = 0时，检验统计量为
霍特林 T 2 分布，记为 T 2 ～T 2( p , n , ) .
2. 霍特林 T 2 分布的性质
性质1 设 X(a)(a=1,…,n)是来自 p元总体 Np( ,∑ )的随机样本，
X 和 A 分别是正态总体Np( ,∑ )的样本均值向量和样本离差阵,
则统计量
T (n 1)[ n ( X )] A [ n ( X )]
.
' 1
' 2
结论2 设 X ~ N p ( , ) , 0 , 则A为对称矩阵 ,rank(A)=r.
则 ( X ) A( X ) ~ (r ) AA A .
结论3 设 X ~ N p ( , ) , 0 , A 和 B 为 p 阶对称矩阵，则
类似地，非中心 和非中心 F 分布在一元统计的相应检验
2
中，将应用非中心分布来计算第二类错误。
二、威沙特(Wishart)分布
1. 威沙特分布的定义 定义3.1.4 设 X(a) ~ Np( 0,∑ ) (a=1,…,n)相互独立,记 X ( X (1) ,, X ( n) )'
为 n×p 矩阵，则称随机阵
'
，
Z=BX ( Z 为 m 维随机向量)，若 BA=O，则 BX 和 X ' AX 相互独立。 结论6 两个二次型相互独立的条件：设 X ~ Nn ( , 2 I n )，A， B 为 n 阶对称矩阵，则
AB O X ' AX 与 X ' BX 相互独立.
2. 一般 p 维正态随机向量 的二次型 p 维随机向量的二次型具有下述结论： 结论1 设 X ~ N p ( , ) , 0 , 则 X '1 X ~ 2 ( p , ) ， 其中
' 2 变量 X ' X 为服从 n 个自由度、非中心参数 i n
的

2
分布，记为 X X ~ (n, ) 或 X X ~ ( ).
' 2 ' 2 n
i 1
当X～Nn( , In )，≠0，且
2
Yi
显然
1
2 1时，令
i Yi ~ N , 1 (i 1,2,, n) ,
nU ' W0 U nX ' W 1 X ~ T 2 ( p, n) .
性质5 T 2 统计量对非退化变换保持不变. 设 X(a)(a=1,…,n)是来自 p元总体 Np( ,∑ )的随机样本,
1 有 Tx2 n(n 1)(X x )' Ax ( X x ) ~ T 2 ( p, n 1) .
1
d
X x和 Ax
分别表示正态总体 X 的样本均值向量和样本离差阵，则由性质1
当 i
0 (i 1,, n) , 2 1 时，则有
X X ~
' 2
i 1
1

结论2 当
2
(n) ; (或记为 X X ~
'
2
2 (n) ）。

' 0 ( i 1 , 2 , , n ) X X 的分布常称为非中心 ， i
2
分布。
定义3.1.1 设 n 维随机向量 X～Nn( , In )（≠0），则称随机
'
性质4 分块威沙特矩阵的分布（习题三中第3-4题）:设
X ( a) ~ N p (0 , ) (a 1,, n)相互独立，其中
又已知随机阵
n
11 12 r 21 22 p r
' (a)
W X (a) X
a 1
W11 W12 r ~ Wp (n , ) W21 W22 p r
定义3.1.5 设 X～Np( 0 ,∑ ),随机阵W～Wp( n,∑ )(∑ > 0 , n ≥ p ), 且 X 与 W 相互独立，则称统计量 T 2 nX 'W 1 X 为霍特林 T 2
统计量，其分布称为服从 n 个自由度的 T 2 分布，记为
T 2 ~ T 2 ( p , n) .
更一般地，若X～Np( ,∑ )( ≠ 0 ),则称 T 2 的分布为非中心
W X ( a ) X ('a ) X ' X
a 1 n
的分布为威沙特分布，记为W~Wp( n ,∑ ).
X ( a) ~ N (0, 2 ) , 此时 显然，p=1时，
W X (2a ) ~ 2 2 (n) ,
a 1
n
即 W1 (n, )就是
2
(n).当p=1, 1时,W1(n,1)就是 (n) .
X1 X , Xn
则X
~ Nn ( , I n ) ，其中 (1 ,, n ) .
2
'
X 的二次型具有以下一些结论： 结论1 当 i
0 (i 1,, n) , 1 时，则
2
n
X ' X X i2 ~ 2 (n) ;
2
) 的均值检
T
X 0 S n
2
H 0下
~ t (n 1) ,
否定域为{|T|>},其中满足：P{|T|>}= (显著性水平). 当否定H0时，可能犯第一类错误，且 第一类错误的概率＝P{“以真当假”}=P{|T|>| = 0}|} =显著性水平 ;
当H0相容时，可能犯第二类错误，且
A ( X ( a ) X )( X ( a ) X )' ~ Wp (n 1, ).
a 1
n
性质2 关于自由度 n 具有可加性：设 Wi ~ Wp (ni , ) (i=1,…,k)相
互独立，则
W ~ W (n, )
i 1 i p
k
其中
n n1 nk .
其中 p 为随机阵 W 的阶数，n 为自由度，一元统计中的 2对 应 p 元统计中的协方差阵∑. 【注】随机阵 W 的密度函数是威沙特于1928年推导出来的， 故此分布称为威沙特分布。
2. 威沙特分布的性质 性质1 设X(a)～Np( ,∑ ) (a=1,2,…,n)相互独立，则样本离差阵A
服从威沙特分布，即
2 ' 1
n(n 1)( X )' A1 ( X )
~ T 2 ( p , n 1) .
性质2 T 2与 F 分布的关系：设 T 2～T 2( p , n),则
n p 1 2 T ~ F ( p, n p 1) . np
性质3 设 X(a)(a=1,…,n)是来自 p元总体 Np( ,∑ )的随机样本.
M M (1n ) (1n ) 1n 1n n
' ' ' ' ' '
'
当X(a)～Np(a ,∑) (a=1,2,…,n)相互独立，非中心参数
a a
a 1
n
'
或
M M
'
这里
11 1 p 1' M ' n1 np n
其中 221 22 2111 12 , 且 W221与W11相互独立.
1
性质6 设随机阵 W ~ Wp (n , ) ，则 E (W ) n .
性质7 设 X ~ Nn p (M , I n )，A为 n 阶对称矩阵，则
X ' AX ~ Wp (r , , ) ,
1

其中
2
X AX ~ (r , ) ,
' 2

1
2
' A A A2（对称幂等矩阵），
且 rank (A) = r (r≤n)。
结论5 二次型与线性函数的独立性：设 X ~ Nn ( , 2 I n ) ，A 为 n 阶对称矩阵，B 为 m×n 矩阵，令
X AX
第二类错误的概率＝P{“以假当真”}＝P{|T|≤| ≠ 0}
设＝1≠0
X 1 (1 0 ) P | 1 2 S n
此时检验统计量T～ t (n-1, )(非中心参数 n (1 0 ) / )， 利用非中心 t 分布可以计算第二类错误 的值，从而得到检 验法的功效函数为1- .
则 （1） W11
~ Wr (n , 11 ) , W22 ~ Wpr (n , 22 ) .
（2）当 12 O时，W11与 W22 相互独立.
1 性质5 设 W ~ Wp (n , ) ，记 W221 W22 W21W11 W12 ，则
W221 ~ Wpr (n r , 221 ) ,
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第三章 多元正态分布参数的假设检验
几个重要统计量的分布
单总体均值向量的检验及置信域
多总体均值向量的检验
主要内容
协方差阵的检验 独立性检验 正态性检验
§3.1 几个重要统计量的分布
一、正态变量二次型的分布
1. 分量独立的 n 维随机向量 X 的二次型 设 X i ~ N1 (i , 2 ) (i 1,2,, n) , 且相互独立，记