2020年辽宁省大连市中考数学试卷

2020年辽宁省大连市中考数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1．（3分）下列四个数中，比﹣1小的数是（）
A．﹣2B．−1
2C．0D．1
【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得
﹣2＜﹣1，0＞﹣1，−1
2＞−1，1＞﹣1，
∴四个数中，比﹣1小的数是﹣2．
故选：A．
2．（3分）如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层右边的一个小正方形．
故选：B．
3．（3分）2020年6月23日，我国成功发射北斗系统第55颗导航卫星，暨北斗三号最后一颗全球组网卫星，该卫星驻守在我们上方36000公里的天疆．数36000用科学记数法表示为（）
A．360×102B．36×103C．3.6×104D．0.36×105
【解答】解：36000＝3.6×104，
故选：C．
4．（3分）如图，△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，DE∥BC，则∠AED的度数是（）
A ．50°
B ．60°
C ．70°
D ．80°
【解答】解：∵∠C ＝180°﹣∠A ﹣∠B ，∠A ＝60°，∠B ＝40°， ∴∠C ＝80°， ∵DE ∥BC ，
∴∠AED ＝∠C ＝80°， 故选：D ．
5．（3分）平面直角坐标系中，点P （3，1）关于x 轴对称的点的坐标是（ ） A ．（3，1）
B ．（3，﹣1）
C ．（﹣3，1）
D ．（﹣3，﹣1）
【解答】解：点P （3，1）关于x 轴对称的点的坐标是（3，﹣1） 故选：B ．
6．（3分）下列计算正确的是（ ） A ．a 2+a 3＝a 5 B ．a 2•a 3＝a 6
C ．（a 2）3＝a 6
D ．（﹣2a 2）3＝﹣6a 6
【解答】解：A ．a 2与a 3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； B ．a 2•a 3＝a 5，故本选项不合题意； C ．（a 2）3＝a 6，故本选项符合题意； D ．（﹣2a 2）3＝﹣8a 6，故本选项不合题意． 故选：C ．
7．（3分）在一个不透明的袋子中有3个白球、4个红球，这些球除颜色不同外其他完全相同．从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率是（ ） A ．1
4
B ．1
3
C ．3
7
D ．4
7
【解答】解：根据题意可得：袋子中有3个白球，4个红球，共7个， 从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率4
7．
故选：D ．
8．（3分）如图，小明在一条东西走向公路的O 处，测得图书馆A 在他的北偏东60°方向，
且与他相距200m ，则图书馆A 到公路的距离AB 为（ ）
A ．100m
B ．100√2m
C ．100√3m
D ．
200√33
m
【解答】解：由题意得，∠AOB ＝90°﹣60°＝30°， ∴AB =1
2
OA ＝100（m ）， 故选：A ．
9．（3分）抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＜0）与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x ＝1，其部分图象如图所示，则此抛物线与x 轴的另一个交点坐标是（ ）
A ．（7
2，0）
B ．（3，0）
C ．（5
2
，0）
D ．（2，0）
【解答】解：设抛物线与x 轴交点横坐标分别为x 1、x 2，且x 1＜x 2， 根据两个交点关于对称轴直线x ＝1对称可知：x 1+x 2＝2， 即x 2﹣1＝2，得x 2＝3，
∴抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0）， 故选：B ．
10．（3分）如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝40°．将△ABC 绕点B 逆时针旋转得到△A ′BC ′，使点C 的对应点C ′恰好落在边AB 上，则∠CAA ′的度数是（ ）
A．50°B．70°C．110°D．120°
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，
∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°，
∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，∴∠A′BA＝∠ABC＝40°，A′B＝AB，
∴∠BAA′＝∠BA′A=1
2（180°﹣40°）＝70°，
∴∠CAA'＝∠CAB+∠BAA′＝50°+70°＝120°．
故选：D．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）不等式5x+1＞3x﹣1的解集是x＞﹣1．
【解答】解：5x+1＞3x﹣1，
移项得，5x﹣3x＞﹣1﹣1，
合并得，2x＞﹣2，
即x＞﹣1，
故答案为x＞﹣1．
12．（3分）某公司有10名员工，他们所在部门及相应每人所创年利润如下表所示．部门人数每人所创年利润/万
元
A110
B28
C75
这个公司平均每人所创年利润是 6.1万元．
【解答】解：这个公司平均每人所创年利润是：1
10
（10+2×8+7×5）＝6.1（万）．
故答案为：6.1．
13．（3分）我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”其大意为：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，根据题意，可列方程为x（x+12）＝864．
【解答】解：∵矩形的宽为x步，且宽比长少12步，
∴矩形的长为（x+12）步．
依题意，得：x（x+12）＝864．
故答案为：x（x+12）＝864．
14．（3分）如图，菱形ABCD中，∠ACD＝40°，则∠ABC＝100°．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，∠BCD＝2∠ACD＝80°，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣80°＝100°；
故答案为：100．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A与D在函数y=k
x（x＞0）
的图象上，AC⊥x轴，垂足为C，点B的坐标为（0，2），则k的值为8．
【解答】解：连接BD，与AC交于点O′，
∵四边形ABCD 是正方形，AC ⊥x 轴， ∴BD 所在对角线平行于x 轴， ∵B （0，2），
∴O ′C ＝2＝BO ′＝AO ′＝DO ′， ∴点A 的坐标为（2，4）， ∴k ＝2×4＝8， 故答案为：8．
16．（3分）如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，点E 在边AD 上，CE 与BD 相交于点F ．设DE ＝x ，BF ＝y ，当0≤x ≤8时，y 关于x 的函数解析式为 y =80
x+8 ．
【解答】解：在矩形 中，AD ∥BC ， ∴△DEF ∽△BCF ， ∴
DE BC
=
DF BF
，
∵BD =2+CD 2=10，BF ＝y ，DE ＝x ， ∴DF ＝10﹣y ， ∴x
8=
10−y y
，化简得：y =80
x+8，
∴y 关于x 的函数解析式为：y =80
x+8， 故答案为：y =80
x+8．
三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）
17．（9分）计算（√2+1）（√2−1）+√−83
+√9． 【解答】解：原式＝2﹣1﹣2+3 ＝2． 18．（9分）计算
x 2+4x+4x+2
÷
x 2+2x
x−2
−1．
【解答】解：原式=(x+2)
2x+2•x−2x(x+2)
−1
=x−2
x −1 =
x−2−x
x =−2x
．
19．（9分）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E 在边BC 上，BD ＝CE ．求证：∠ADE ＝∠AED ．
【解答】证明：∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C （等边对等角）， 在△ABD 和△ACE 中，{AB =AC ∠B =∠C BD =CE
∴△ABD ≌△ACE （SAS ），
∴AD ＝AE （全等三角形对应边相等）， ∴∠ADE ＝∠AED （等边对等角）．
20．（12分）某校根据《教育部基础教育课程教材发展中心中小学生阅读指导目录（2020版）》公布的初中段阅读书目，开展了读书活动．六月末，学校对八年级学生在此次活动中的读书量进行了抽样调查，如图是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
读书量 频数（人）
频率 1本 4 2本
0.3
3本 4本及以上
10
根据以上信息，解答下列问题：
（1）被调查学生中，读书量为1本的学生数为 4 人，读书量达到4本及以上的学生数占被调查学生总人数的百分比为 20 %；
（2）被调查学生的总人数为 50 人，其中读书量为2本的学生数为 15 人； （3）若该校八年级共有550名学生，根据调查结果，估计该校八年级学生读书量为3本的学生人数．
【解答】解：（1）由图表可知：
被调查学生中，读书量为1本的学生数为4人，
读书量达到4本及以上的学生数占被调查学生总人数的百分比为20%， 故答案为：4；20； （2）10÷20%＝50人， 50×0.3＝15人，
∴被调查学生的总人数为50人，其中读书量为2本的学生数为15人， 故答案为：50；15；
（3）（50﹣4﹣10﹣15）÷50×550＝231人， 该校八年级学生读书量为3本的学生有231人．
四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）
21．（9分）某化肥厂第一次运输360吨化肥，装载了6节火车车厢和15辆汽车；第二次运输440吨化肥，装载了8节火车车厢和10辆汽车．每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨化肥？
【解答】解：设每节火车车厢平均装x 吨化肥，每辆汽车平均装y 吨化肥， 依题意，得：{6x +15y =3608x +10y =440
，
解得：{x =50
y =4
．
答：每节火车车厢平均装50吨化肥，每辆汽车平均装4吨化肥． 22．（10分）四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，AD ＝CD ． （1）如图1，求证∠ABC ＝2∠ACD ；
（2）过点D 作⊙O 的切线，交BC 延长线于点P （如图2）．若tan ∠CAB =5
12
，BC ＝1，求PD 的长．
【解答】（1）证明：∵AD ＝CD ， ∴∠DAC ＝∠ACD ， ∴∠ADC +2∠ACD ＝180°， 又∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠ABC +∠ADC ＝180°， ∴∠ABC ＝2∠ACD ；
（2）解：连接OD 交AC 于点E ，
∵PD 是⊙O 的切线， ∴OD ⊥DP ， ∴∠ODP ＝90°，
又∵AD
̂=CD ̂， ∴OD ⊥AC ，AE ＝EC ， ∴∠DEC ＝90°， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴∠ECP ＝90°， ∴四边形DECP 为矩形， ∴DP ＝EC ， ∵tan ∠CAB =5
12，BC ＝1， ∴
CB AC
=
1AC
=512
，
∴AC =12
5， ∴EC =1
2
AC =65
， ∴DP =65．
23．（10分）甲、乙两个探测气球分别从海拔5m 和15m 处同时出发，匀速上升60min ．如图是甲、乙两个探测气球所在位置的海拔y （单位：m ）与气球上升时间x （单位：min ）的函数图象．
（1）求这两个气球在上升过程中y 关于x 的函数解析式； （2）当这两个气球的海拔高度相差15m 时，求上升的时间．
【解答】解：（1）设甲气球的函数解析式为：y ＝kx +b ，乙气球的函数解析式为：y ＝mx +n ， 分别将（0，5），（20，25）和（0，15），（20，25）代入， {5=b 25=20k +b ，{15=n 25=20m +n
，
解得：{k =1b =5，{m =12n =15
， ∴甲气球的函数解析式为：y ＝x +5（x ≥0），乙气球的函数解析式为：y =12
x +15（x ≥0）；
（2）由初始位置可得：
当x 大于20时，两个气球的海拔高度可能相差15m ，
且此时甲气球海拔更高，
∴x +5﹣（12x +15）＝15， 解得：x ＝50，
∴当这两个气球的海拔高度相差15m 时，上升的时间为50min ．
五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）
24．（11分）如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，点D 从点B 出发，沿
边BA →AC 以2cm /s 的速度向终点C 运动，过点D 作DE ∥BC ，交边AC （或AB ）于点E ．设点D 的运动时间为t （s ），△CDE 的面积为S （cm 2）．
（1）当点D 与点A 重合时，求t 的值；
（2）求S 关于t 的函数解析式，并直接写出自变量t 的取值范围．
【解答】解：（1）∵△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，
∴AB =√AC 2+BC 2=√62+82=10（cm ），
当点D 与点A 重合时，BD ＝AB ＝10cm ，
∴t =102=5（s ）；
（2）当0＜t ＜5时，（D 在AB 上），
∵DE ∥BC ，
∴△ADE ∽△ABC ，
∴
DE BC =AD AB =AE AC ， ∴DE 8=10−2t 10=6−CE 6，
解得：DE =40−8t 5，CE =65
t ， ∵DE ∥BC ，∠ACB ＝90°，
∴∠CED ＝90°，
∴S =12DE •CD =12×40−8t 5×65t =−2425
t 2+245； 当t ＝5时，点D 与点A 重合，△CDE 不存在；
如图2，当5＜t ＜8时，（D 在AC 上），
则AD ＝2t ﹣10，
∴CD ＝16﹣2t ，
∵DE ∥BC ，
∴△ADE ∽△ACB ，
∴
DE CB =AE AB =AD AC ， ∴DE 8=2t−106，
∴DE =
8t−403， ∴S =12DE •CD =12×8t−403×（16﹣2t ）=−83
t 2+1043t −3203， 综上所述，S 关于t 的函数解析式为S ={−2425t 2+245t(0＜t ＜5)−83t 2+1043t −3203(5＜t ＜8)
．
25．（11分）如图1，△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，BC ，AC 上，BE ＝CE ，点G
在线段CD 上，CG ＝CA ，GF ＝DE ，∠AFG ＝∠CDE ．
（1）填空：与∠CAG相等的角是∠CGA；
（2）用等式表示线段AD与BD的数量关系，并证明；
（3）若∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠ACD（如图2），求AC
AB
的值．【解答】解：（1）∵CA＝CG，
∴∠CAG＝∠CGA，
故答案为：∠CGA；
（2）AD=1
2BD，理由是：
如图，在CG上取点M，使GM＝AF，连接AM，EM，∵∠CAG＝∠CGA，AG＝GA，
∴△AGM≌△GAF（SAS），
∴AM＝GF，∠AFG＝∠AMG，
∵GF＝DE，∠AFG＝∠CDE，
∴AM＝DE，∠AMG＝∠CDE，
∴AM∥DE，
∴四边形AMED为平行四边形，
∴AD＝EM，AD∥EM，
∵BE＝CE，即点E为BC中点，
∴ME为△BCD的中位线，
∴AD＝ME=1
2BD；
（3）延长BA至点N，使AD＝AN，连接CN，∵∠BAC＝∠NAC＝90°，
∴AC垂直平分DN，
∴CD＝CN，
∴∠ACD＝∠ACN，
设∠ACD＝α＝∠ACN，则∠ABC＝2α，
则∠ANC＝90°﹣α，
∴∠BCN＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α，∴BN＝BC，即△BCN为等腰三角形，
设AD＝1，则AN＝1，BD＝2，
∴BC＝BN＝4，AB＝3，
∴AC=2−AB2=√7，
∴AC
AB =
√7
3
．
26．（12分）在平面直角坐标系xOy中，函数F1和F2的图象关于y轴对称，它们与直线x ＝t（t＞0）分别相交于点P，Q．
（1）如图，函数F1为y＝x+1，当t＝2时，PQ的长为4；
（2）函数F1为y=3
x，当PQ＝6时，t的值为1；
（3）函数F1为y＝ax2+bx+c（a≠0），
①当t=√b b时，求△OPQ的面积；
②若c＞0，函数F1和F2的图象与x轴正半轴分别交于点A（5，0），B（1，0），当c≤x≤c+1时，设函数F1的最大值和函数F2的最小值的差为h，求h关于c的函数解析式，并直接写出自变量c的取值范围．
【解答】解：（1）∵F 1：y ＝x +1，
F 1和F 2关于y 轴对称，
∴F 2：y ＝﹣x +1，
分别令x ＝2，则2+1＝3，﹣2+1＝﹣1，
∴P （2，3），Q （2，﹣1），
∴PQ ＝3﹣（﹣1）＝4，
故答案为：4；
（2）∵F 1：y =3x ，
可得：F 2：y =−3x
， ∵x ＝t ，可得：P （t ，3t ），Q （t ，
−3t ）， ∴PQ =3t −−3t =6t =6，
解得：t ＝1，
经检验：t ＝1是原方程的解，
故答案为：1；
（3）①∵F 1：y ＝ax 2+bx +c ，
∴F 2：y ＝ax 2﹣bx +c ，
∵t =√b b ，分别代入F 1，F 2，
可得：P （
√b b ，a b +√b +c ），Q （√b b ，a b −√b +c ）， ∴PQ ＝|a b +√b +c −(a b −√b +c)|=2√b ，
∴S △OPQ =12×2√b ×√b b =1；
②∵函数F 1和F 2的图象与x 轴正半轴分别交于点A （5，0），B （1，0），
而函数F 1和F 2的图象关于y 轴对称，
∴函数F 1的图象经过A （5，0）和（﹣1，0），
∴设F 1：y ＝a （x +1）（x ﹣5）＝ax 2﹣4ax ﹣5a ，
则F 2：y ＝ax 2+4ax ﹣5a ，
∴F 1的图象的对称轴是直线x ＝2，且c ＝﹣5a ，
∴a =−c 5，
∵c ＞0，则a ＜0，c +1＞1，
而F 2的图象在x ＞0时，y 随x 的增大而减小，
当0＜c ＜1时，
F 1的图象y 随x 的增大而增大，F 2的图象y 随x 的增大而减小，
∴当x ＝c +1时，y ＝ax 2﹣4ax ﹣5a 的最大值为a （c +1）2﹣4a （c +1）﹣5a ，
y ＝ax 2+4ax ﹣5a 的最小值为a （c +1）2+4a （c +1）﹣5a ，
则h ＝a （c +1）2﹣4a （c +1）﹣5a ﹣[a （c +1）2+4a （c +1）﹣5a ]＝﹣8ac ﹣8a ， 又∵a =−c 5，
∴h =85c 2+85c ；
当1≤c ≤2时，
F 1的最大值为4a×(−5a)−(−4a)24a =−9a ，F 2的图象y 随x 的增大而减小，
∴F 2的最小值为：a （c +1）2+4a （c +1）﹣5a ，
则h ＝﹣9a ﹣[a （c +1）2+4a （c +1）﹣5a ]＝﹣a （c +1）2﹣4a （c +1）﹣4a ＝﹣ac 2﹣6ac ﹣9a ，
又∵a =−c 5，
∴h =15c 3+65c 2+95c ，
当c ＞2时，
F 1的图象y 随x 的增大而减小，F 2的图象y 随x 的增大而减小，
∴当x ＝c 时，y ＝ax 2﹣4ax ﹣5a 的最大值为ac 2﹣4ac ﹣5a ，
当x ＝c +1时，y ＝ax 2+4ax ﹣5a 的最小值为a （c +1）2+4a （c +1）﹣5a ，
则h ＝ac 2+4ac ﹣5a ﹣[a （c +1）2+4a （c +1）﹣5a ]，
又∵a =−c 5
，
∴h ＝2c 2+c ；
综上：h 关于x 的解析式为：h ={ 85c 2+85c(0＜c ＜1)15c 3+65c 2+95c(1≤c ≤2)2c 2+c(c ＞2)
．。