微积分第一章课外习题参考答案

y( x ) 2n cos 2n ( n ),
(1) n
y x cos x在( , )上无界.
(2) (2) 取 x 2n , 则 xn , 且 2 (2) y( xn ) (2n )cos(2n ) 0, 2 2 当x 时, y x cos x不是无穷大. 无穷大 无界, 但无界 无穷大.
3
x .
.
7. ln x , x 0 .
f ( x ) x 3 x, x 0 . 1 (3) 2 , (2) 1 , ( ) 2 , 2 1 2 ( ) . 2 2
微积分第一章课外习题参考答案 4
p 2.
2 2 1 h r 2 二.V R h , h 2r . 3 3( h 2r )
微积分第一章课外习题参考答案
,
20
(接上页p8.) { xn }为单调增加有界序列. lim xn 存在 .
n
设 lim xn A,由xn 2 xn1 , 得
n
lim xn lim 2 xn1 ,
n n
A 2 A , A 2, A 1(舍去), lim xn 2
微积分第一章课外习题参考答案 23
tan 3 x 3 p10.三.1. lim . x 0 sin 2 x 2 1 1 1 2 2 2. lim x (1 cos ) lim x . 2 x x x 2x 2 ln(1 sin 2 x ) sin 2 x 3. lim lim 1. x 2 x 0 x 0 x ( e 1) x tan x sin x 4. lim 3 x 0 x tan x (1 cos x ) 1 lim . 3 x 0 x 2
2

2 ( x 1)2
(1 x )

2
2
.
微积分第一章课外习题参考答案
25
§1.8函数的连续性(11-12)
1 8 一.1.( , 3),( 3, 2),(2, ), , , ; 2 5 1 2. ; 3. 2 ; 4. 1 ; 2 5. 可去 , 无穷 , 可去 . 二.1. 2. f ( x )在x 1处不连续. f ( x )在x 1处不连续.( 注意:作图)
8
p4.
2.
解 :由题意,
n 2
1 1 1 ( 1) P1 Pn 1 2 3 2 2 2 2n 2 1 n 1 1 n 1 1 ( ) 2 2( ) 2 2 1 3 1 2 1 n 1 2 2( ) 2 2 lim P1 Pn lim n n 3 3
1 x 4. , x 1 , 1 x
x, 0 x 1 . x1 ln x ,
3
微积分第一章课外习题参考答案
x p1.5.(1) y u , u arcsin v , v . 2
2
(2) y e u , u arctan v , v 2 x, 6. 2 x , 8. 9. 0 x2 2 x4
n
)2 , 则
lim y( x
n x
( 2) n

2
) 1,
lim sin x不存在.
微积分第一章课外习题参考答案 15
§1.5-§1.6极限运算法则, (7-8)
一填空题. 1 1. ; 2. 2 ; 3. 0 ; 4. 2 ; 5. cos a ; 5 6. 3 ; 7. 2 ; 8. x ; 9. e 2 ; 10. e k ( k N ) ; 11. 0 ; 12. . 二.计算题. 1 3 2 4 3 5 1. I lim 2 2 2 x 2 3 4 ( n 1)( n 1) 1 ; 2 n 2
2
log a
1
2
x 1 x f ( x ).
log a ( x x 1)
2
微积分第一章课外习题参考答案
6
§1.1, §1.2数列极限(3-4)
p3. 一.填空题. 2n 1 n 1 n 1 1. (1) xn ( 1) .(2) xn . n 2n 3 2. (1) 0. (2) 0 . (3) 2 . (4) 1 . (5)不存在. (6)不存在.
1 n( n 1) 5.a ; 6.a 1 ; 7.a . 2 2
微积分第一章课外习题参考答案 22
p9.二.证明 : arctan x u lim u arctan x lim 1; x 0 u 0 tan u x 2 x 2sin 1 cos x 2 1, lim 1 2 lim x 0 x 1 2 2 x x 2 1 2 arctan x x ,1 cos x x , ( x 0). 2
n
微积分第一章课外习题参考答案 21
§1.7无穷小的比较(9-10)
1 一. 1. 高阶 ; 2. 等价 ; 3. x sin ; x sin x x 4. lim lim m m x 0 (sin x ) x 0 x
n n
, n m 1, n m ; 0, n m
微积分课外习题参考答案
微积分第一章课外习题参考答案
1
第一章 极限与连续
微积分第一章课外习题参考答案
2
预备知识(1-2)
p1. 一.1. { x | x 3且x 0} . 2. [1,1],[2k ,(2k 1) ], k Z . 1 x 3. 1 1 e x 1 1 x1 , x2 , 1 x1 1 e x 1 x 1 . x 1
微积分第一章课外习题参考答案
7
p 3. 二.1.证明 由 | U n | | a | | U n a | 0 可知 lim | U n || a | .
n
例 : 取U n ( 1)n , 则 lim | U n | 1, 但 lim U n不存在.
n x
微积分第一章课外习题参考答案
x0 1 三. f [ g ( x )] 0 x0 1 x 0 e | x | 1 g[ f ( x )] 1 | x | 1 注意作图形. 1 | x | 1 e
微积分第一章课外习题参考答案 5
p2. 四 . 证明: f ( x ) f (2a x ) f (2b 2a x ) f [2(b a ) x ] 周期 T 2 | b a | . 五 . 证明 f ( x ) log a ( x x 1)
微积分第一章课外习题参考答案
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p4.3.证明 : { xn }有界, M 0, 使得 | xn | M , n 1,2,
n
.
0, lim yn 0, N ,当n N 时, | yn |

M | xn yn || xn || yn | , lim xn yn 0.
(2) n
微积分第一章课外习题参考答案 14
p6. 五.证明 : 取
(1) xn (2n )2 , 则
(1) xn ( n )且 (1) lim y( xn ) lim sin 2n 0, n n
取
x
( 2) n
(2n

( 2) xn
2 ( n ), 且 ) lim sin(2 n
x

微积分第一章课外习题参考答案
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Leabharlann Baidu
p8. 三.1.证明 : n 1 1 1 n( 2 2 2 ) 2 n n n n 2 n n 2 n 2 , n n2 n2 lim 2 1, lim 2 1, n n n n n 1 1 1 lim n( 2 2 2 ) 1. n n n 2 n n
x 1 x 1 0
x 1 0 x 1
lim f ( x ) 1, lim f ( x ) 1,
lim f ( x )不存在. 三.lim f ( x ) 1, lim ( x )不存在.
x 0 x 0
微积分第一章课外习题参考答案 13
(1) p6. 四.解:(1) 取 xn 2n , 则
微积分第一章课外习题参考答案 24
2 p10. 5. lim( e 1) x lim x 2. x x x 2x 2cos 1 cos x 2 6. lim lim x 1 ( x 1) 2 x 1 ( x 1) 2 lim
x 1
2 x
2sin
微积分第一章课外习题参考答案
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§1.3-§1.4 函数的极限(5-6)
p6. x | x | 1 二.解 : 设f ( x ) ,则 1 | x | 1 lim f ( x ) 1, lim f ( x ) 1,
x 1 0
x 1 0

lim f ( x ) 1;
微积分第一章课外习题参考答案 17
p8. 4.
t 0 0
lim
t 2 | sin | 2 2, t 2
1 cos t lim 不存在. t 0 t 2 2 5. lim arctan x 1, x 2 2 2 lim arctan x ( ) 1, x 2 2 lim arctan x不存在.
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微积分第一章课外习题参考答案
x 0 p7. 2. f (0 0) lim 1, x 0 x 2 x 0 f (0 0) lim 0, x 0 x f (0 0) f (0 0), 极限不存在. (1 a ) x 2 (a b) x b 1 3. lim 0, x x1 1 a 0 a 1 , . a b 0 b 1
微积分第一章课外习题参考答案 19
2
p8. 2.证明 : (1)
x1 2 0,
x2 2 x1 x1 0, 设xn xn1 0, 则 xn1 2 xn 2 xn1 xn 0, 根据数学归纳法原理,{ xn }为单调增加序列, (2) x1 2 2, 设xn 2, 则 xn1 2 xn 2 2 2, 根据数学归纳法原理,xn 2, n 1,2,
n
微积分第一章课外习题参考答案
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p4.5.(a )不存在;( 若 lim( xn yn )存在, 则
n
lim yn lim[( xn yn ) xn ]存在, 矛盾.)
n n
(b )不一定; 例 : xn ( 1)n , yn ( 1) n1 . (c )不一定; 1 1 2 例:(1) xn n, yn ;(2) xn n , yn . n n 1 1 (d )不一定.例:xn , yn . n 2n
n
, 从而, 当n N时,
微积分第一章课外习题参考答案
10
p4.
4.证明: >0,由 lim x2 k A, N 1 ,
n
当 k N 1 ,即当 2k 2 N 1时,| x2 k A | ; 同理,由 lim x2 k 1 A, N 2 ,
n
当 k N 2 ,即当 2k 1 2 N 2 +1时,| x2 k A | ; 取 N max{2 N 1 , 2 N 2 1}, 则当 n N时,| xn A | , lim xn A.