数学物理方法定解问题

2、热传导方程（反映输运过程）；
3、泊松方程及拉普拉斯方程（反映稳定过 程）。
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波动方程的导出
（一）均匀弦横振动方程(一维波动方程）
设：均匀柔软的细弦沿x轴绷紧，在平衡位置附
近产生振幅极小的横振动
u(x,t): 坐标为x 的点在t时刻沿垂线方向的位移
求：细弦上各点的振动规律
弦的横振动
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建立方程 （1）确定物理变量 位移u(x,t) （2）系统中取一小部分，分析临近部分与之 关系（建立等式）
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核心等式关系：
牛顿第二定律 F=ma
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u(x) u+u u 0 1
F B
T2 受力分析： 2
分竖直和水平方向考虑 沿水平方向，不出现平移
T1 x
x+x
即F水平 0
T2 cos 2 T1 cos 1 0
（1）
在微小振动近似下：
1， 0, cos 1， 1. 2 2
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△x
A x
横截面积为A的均匀细杆， 杆长方向有温差，侧面绝热。
x1
x2
核心等式： 热量守恒
Q温度变化 Q流动热量
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△x
A
假设△t时间内△x温度升高，则
x
x1
x2
Q温度变化 c m [u( x, t1 ) u( x, t2 )]
其中c为比热容（即单位质量升高单位温度所需 热量），m为质量。
特殊性，即个性。
泛定方程：不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。 它反映了问题的共性。
5
具体的问题的求解的一般过程： 1、根据系统的内在规律列出泛定方程——客观规律 2、根据已知系统的边界状况和初始状况列出边界条件和
初始条件——求解所必须用ห้องสมุดไป่ตู้ 3、求解方法 —— 行波法、分离变量法等
三类数学物理方程的一种最常用解法 分离变量法 偏微分方程 标准的常微分方程 标准解，即为各类特 殊函数 6
4
二、边界问题---边界条件 体现边界状态的数学方程称为边界条件 三、历史问题----初始条件 体现历史状态的数学方程称为初始条件
例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。不同的初始条件 → 不同的运动状态，但都服从牛顿第二定律。 定解问题的完整提法： 在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在 给定的区域里解出某个物理量u，即求u(x,y,z,t)。 定解条件：边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的
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（一） 初始条件 ——描述系统的初始状态
A、 波动方程的初始条件
u |t 0 ( x) u ( x) t t 0
系统各点的初位移 系统各点的初速度
B、热传导方程的初始条件
初始时刻的温度分布： u( x, t ) t 0 ( x)
C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件
u 在t 0时， u ( x, t1 ) u ( x, t 2 ) t t
故Q温度变化 u c A x t t
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m v A x
Q流动热量满足傅立叶实验定律：
物体在无穷小时段dt内流过一个无穷小面积ds的 热量dQ与物体温度沿曲面ds法线方向导数成正比。
初始条件=无（描述稳定状态，与t无关）
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注意：初始条件给出系统在初始状态下物理量的分布，
而不是一点处的情况。
( x, y, z ) 和 ( x, y, z ) 是空间坐标的函数
一根长为l的弦，两端固定于0和l。在中点位置将弦沿着横向拉 例： 开距离h ，如图所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。 解：初始时刻就是放手的那一瞬间，按题意
2
从物理规律角度来分析，数学物理定解问题表征的 是场和产生这种场的源之间的关系．
声振动是研究声源与声波 场之间的关系
定解 问题
热传导是研究热源与温度 场之间的关系 泊松（S. D. Poisson 1781～1840，法国数学家） 方程表示的是电势（或电场） 和电荷分布之间的关系
3
一、数学物理方程---泛定方程:物理规律的数学表示 物理规律
ut a u f
2
其中Δ为拉普拉斯算子，f=0时为齐次方程，f≠0时 为非齐次方程。 （注：扩散情况也满足此方程，此时为扩散方程， u为浓度。）
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泊松方程或拉普拉斯方程
前两类方程的特例，稳定场情况，即u不随时间变化。
u 0 t
u 0
（6）
（6）式即为拉普拉斯方程。
u f
则Q热源 F ( x, t ) A x t
此时Q温度变化 Q流动热量 Q热源
u k 2u F ( x, t ) 2 t c x c
u 2u 2 即 a 2 f ( x, t ) t x
（5）式即为一维非齐次热传导方程。
28
2
16
综合前式，有
2u x
2
T
x x
1
2u t 2
2
上式即为通过核心等式关系建立的研究对象
u(x,t)所满足的方程式。 （3）对等式进行化简得到最终方程（泛定方程）
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令Δx→0，得到
u 2 u a 2 2 t x
2 2
（2）
其中 a T /
2
（2）式即为弦的自由横振动方程（齐次方程）。
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若有外力作用在弦上，方向垂直于x轴，设其力密 度为F（x，t），由于弦段很小，其上各点外力近 似相等，故该段所受外力为
F外 F (3 , t ) x
( x 3 x x)
此时竖直方向上的牛顿第二定律为
F外 F拉竖直 ma
同样利用前面关系代换，有
T 2u x
2
x F (3 , t ) x x
1
2u t 2
2
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两边约去Δx，并令Δx→0，得到
2u 2u a 2 2 f ( x, t ) t 2 x
其中
（3）
f ( x, t ) F ( x, t ) /
（5）
同理有二维（薄片）及三维热传导方程
u 2u 2u 2 a ( 2 2 ) f ( x, y, t ) t x y u u u u 2 a ( 2 2 2 ) f ( x, y, z, t ) t x y z
2 2 2
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热传导方程可统一表示为：
（3）式为弦的强迫振动方程（非齐次方程）。
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类似可得到二维波动方程（薄膜振动）和三维波动 方程（电磁波、声波的传播）：
u u 2 u a ( 2 2 ) f ( x, y, t ) 2 t x y
2 2 2
2u 2u 2u 2u a 2 ( 2 2 2 ) f ( x, y, z, t ) t 2 x y z
第二篇
数学物理方程
Mathematical Equations for Physics
想要探索自然界的奥秘就得解微分方程
—— 牛顿
第一章
重点
数学物理方程的定解问题
1、从实际问题中建立数学物理方程的基本方法； 2、系统的边界条件和初始条件的写法。
1
数学物理思想
数学物理方程（简称数理方程）是指从物理 学及其它各门自然科学、技术科学中所导出的函 数方程，主要指偏微分方程和积分方程． 数学物理方程所研究的内容和所涉及的领域 十分广泛，它深刻地描绘了自然界中的许多物理 现象和普遍规律.
数学语言翻译
物理量u 在空间和时间中的变
化规律，即物理量u在各个地点和各个时刻所取的值
之间的联系。
振动与波（振动波，电磁波）传播满足 波动方程 多数为二 阶线性偏 微分方程 热传导问题和扩散问题满足热传导方程 静电场和引力势满足拉普拉斯方程或 泊松方程
泛定方程反映的是同一类物理现象的共性，和具体条 件无关。
x
F竖直
u T( x
2u T 2 x x
1
x x
u ) x x
sin 2 tan 2 ux
x x
( x 1 x x)
（注：上式利用了拉格朗日中值定理：f ( x)在[a, b]连续， , b)可导， (a f (b) f (a) 则在(a, b)内至少存在一个，使 f ' ( )） ba
A t
x x1
而△t时间内由ox轴正向流出的热量为
u Q流出 k x
A t
x x2
Q流动热量 Q流入 - Q流出
u k A t（ x
x x2
u x
)
x x1
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△x
A
x x1 x2
由核心等式有
u u c A x t k A t（ t x
1.1 数学模型(方程）的建立
建模步骤：
1、确定表征过程的物理量u（代求函数）；
2、从所研究的系统中划出任一微元，分析邻近部 分与它的关系及相互作用，用含u的算术式表达此 作用； 3、对算式进行化简得到最终方程，此方程为 某一类物理过程的通用方程（泛定方程）。
7
模型（方程）类型：
1、波动方程（描述振动和波动特征）；
波动方程可统一表示为：
utt a u f
2
其中Δ为拉普拉斯算子，f=0时为齐次方程，f≠0时 为非齐次方程。
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热传导方程
热传导现象：系统的温度 u(x,y,z,t) 不均匀时，将 出现热量从温度高处到温度低处的流动，叫热传导。
建立方程 （1）确定物理变量
温度u(x,t)
（2）系统中取一小部分，分析临近部分与之 关系（建立等式）
h
初始速度为零，即有
l x
ut ( x, t )
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研究对象: 选取不包括端点的一微元(x,
x+dx), 弦长dx ，
u(x) u+u u T 0
1
F
T 2
2
1 x
简化假设： (2)振幅极小,
x+x
(1)弦是柔软的 (不抵抗弯曲),张力沿弦的切线方向 张力与水平方向的夹角1和2 很小，
仅考虑1和2的一阶小量，略去二阶小量 (3)弦的重量与张力相比很小，可以忽略。
由（1）式可得弦中各点的张力相等
T2 T1
即张力为常数，记为T
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u(x) u+u u 0 1
F B
T2 2
沿竖直方向
即F竖直 T sin 2 T sin1
T (sin 2 sin1 )
x+x
u x
x
T1 x
sin 1 tan 1 ux
对于小振动，有
（7）
（7）式为非齐次拉普拉斯方程或泊松方程。
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1.2 定解条件
前面的方程反映了同一类物理过程（泛定方程）。 物理上，某个具体过程还与初始状态和边界上的约 束情况相关；数学上，当变量个数大于方程个数的时候，
方程没有唯一确定的解。
为了得到物理（数学）上的唯一确定解，需要引入 定解条件。 定解条件=初始条件+边界条件 （注：有时还需要其他条件，如不同媒质界面处衔接条 件，物理上的合理性条件等。）
(4)设单位长度上弦受力 F ( x , t ) ，力密度为：
f ( x, t ) F ( x, t ) /
质量线密度，
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u(x)
F
u+u
u
T2 2
1
T1 x
B
0
x+x
s x
弦的原长：
振动拉伸后：s ' (x)2 (u)2 x dx 弦长dx ，质量线密度，B段 的质量为m= dx
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竖直方向上满足牛顿第二定律：
F竖直 ma
由前知弦长Δx(dx） ，质量线密度，质量为m=
Δx
由于所取弦长 x很短，其上每点加速度 近似相等， 2u 故用其中任一点 2处的加速度 2 代替a t
2
2u 故m a x 2 t
( x 2 x x)
x x2
u x
)
x x1
u k u x ( x1 x, t ) u x ( x1 , t ) 即 t c x
u 2 u a 2 t x
2
（4）
（4）式即为一维齐次热传导方程（其中a2=k/cp)。
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若杆内部有热源，设热源密度F（x，t）（单位时间内 单位体积放出热量）。
u 即dQ k ds dt n
其中k为热传导系数，当物体为均匀且各向同性时为常 数，取“-”是因为热量流向与温度梯度方向相反（温度 梯度方向指温度变化方向，指向标量场增长最快的方 向）。
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△x
A
x x1 x2
则△t时间内由ox轴正向流入的热量为
Q流入
u k x