平稳随机过程分析共55页文档
第六章平稳随机过程
第六章 平稳随机过程 6.1平稳过程的概念与例子第二章2.4中介绍了严平稳过程与宽平稳过程.在自然科学,工程技术中人们常遇到这类过程,例如纺织过程员棉纱截面积的变化;导弹在飞行中受到湍流影响产生的随机波动;军舰在海浪中的颠波;通讯中的干扰噪声等等.它们都是可用平稳过程描述.这类过程一方面受到随机因素的影响产生随机波动,同时又有一定的惯性,使在不同时刻的波动特性基本保持不变.其统计特是,当过程随时间的变化而产生随机波动时,其前后状态是相互联系的,且这种联系不随时间的推延而改变 . 由于严平稳过程的统计特征是由有限维分布函数来决定的,在应用中比较难以确定,而宽平稳过程的判别只涉及一二阶矩的确定,在实际中比较容易获得,因此我们主要研究宽平稳过程.这种仅研究与过程一二阶矩有关性质的理论,这就是所谓相关理论.对于正态过程,由于其宽平稳性与严平稳性是等价的,故用相关理论研究它显得特别方便.本书后面涉及的.主要是宽平稳过程,简称它为平稳过程. 例6.1 设,...}2,1,0,{,±±=n X n 是实的互不相关随机变量序列,且,0][=n X E2][σ=n X D ,试讨论随机序列的平稳性.解 因为,0][=n X E ⎩⎨⎧≠===--,0,00,],[),(2ττσττn n X X X E n n R 其中τ为整数,故随机序列的均值为常数,相关函数仅与τ有关,因此它是平稳序列.在物理和工程技术中,称上述随机序列为白噪声.它普遍存在于各类波动现象中,如电子发射波的波动,通讯设备中电流或电压的波动等,这是一种较简单的随机干扰的数学模型.例6.2设,...}2,1,0,{,±±=n Z n 为复随机序列,且,0][=n Z E mn n m n Z Z E δσ2][=,,...)2,1,0(,2±±=∞<∑∞-∞=n w n n nσ为实数序列.对于每一个t,可以证明级数tiw n nn eZ∑∞-∞=在均方意义下收敛.令X(t)=tiw n n n eZ ∑∞-∞=利用随机变量级数均方收敛性质,可以推得E t X E =)]([[tiw n nn eZ∑∞-∞=]=0,[)]()([E t X t X E =-τtiw n n n eZ ∑∞-∞=,])(∑∞=∞--n t iwm m eZ τ=τn iw n neZE 2∑∞-∞=.所以X(t)为平稳过程.物理上,cos(wt),sin(wt)或iwt e 都是描述简谐振动的,t iw n n ne t w t w ),sin(),cos(都可以看作具有随机振幅的简谐振动.上述例题说明,若不同频率的随机振幅互不相关,则这种简谐振动的有限项甚至无限项的加(只要它是均方收敛的)都是平稳过程. 例6.3 设随机{N(t),}0≥t 是具有参数λ的泊松过程,随机过程{X(t),t }0≥定义为:若随机点在[0,t]内出现偶数次(0也看作偶数),则X(t)=1;若出现奇数次,则X(t)=-1, (1) 讨论随机过程X(t)的平稳性; (2) 设随机变量V 具有概率分布, ,21}1{}1{===-=V P V P且与X(t)独立,令Y(t)=VX(t),试讨论随机过程Y(t)平稳性.解 (1)由于随机点N(t)是具有参数λ的泊松过程,故在[0,t]内随机点出现k 次的概率,...2,1,0,!)()(==-k k t e t P ktk λλ 故),(....}!4)(!2)(1[...)()(}1)({4220t ch et t et P t P t X P ttλλλλλ--=+++=+++==),(....}!5)(!3)([...)()(}1)({5331t sh et t t e t P t P t X P ttλλλλλλ--=+++=+++=-=于是,)(..1)(.1)]([)(t sh e t ch e t X E t m t t X λλλλ---===.2t e λ- 故X(t)不是平稳过程.其他略.例6.4 设有状态连续,时间离散的随机过程),2sin()(Qt t X π=其中Q 是(0,1)上均匀分布的随机变量,t 只取整数值1,2,…,试讨论随机过程X(t)的平稳性. 解 因为⎰⎰===12s i n ()()2s i n ()]2{sin()]([πππdq q f qt Qt E t X E qt)dq=0,⎰-=-=-1)](2sin[)2sin()]()({),(dq t q qt t X t X E t t R τππττ=⎪⎩⎪⎨⎧≠==--⎰,0,0,0,21]])2(2cos[)2[cos(2110τττππτdq q t q所以X(t)是平稳过程.现在我们用此例说明宽平稳过程不一定是严平稳过程.事实上,令1t t =,由于状态11)(x t X =对应两个q 值,即 1112)a r c s i n (t x q π=,1122)arcsin(t x q ππ-=于是得随机过程的一维概率密度为 ().11)(),(21112211111xt dx dq q f dx dq q f x t f -=+=π可见X(t)的一维概率密度与时间t 有关,故X(t)只是宽平稳过程.,而不是严平稳过程.例6.5 设X(t)=Xf(t)为复随机过程,其中X 是均值为0的实随机变量,f(t)是t 的随机函数..试证X(t)是平稳过程的充要条件是qw c i ce t f q wt i ,,,1,)()(-==+为常数.证明 充分x 性:令,)()(q wt i ce t f +=记D[X]=2σ,因为E{X}=0,故 0)]([)]([)(===t Xf E t X E t m X , 由于)]()([),(ττ-=-t X t X E t t R X=,.][22)])([)(22ττσiw q t w i q wt i e c e e c X E =+--+ 所以X(t)是平稳过程.必要性:设X(t)是平稳过程,则)]()([),(ττ-=-t X t X E t t R X =),()(][2τ-t f t f X E 上式必须与t 无关,取,0=τ有22)(c t f =(常数). 因此)(,)()(t ce t f t i ϕϕ=为实函数,于是))].()((e x p [)()(2τϕϕτ--=-t t i c t f t f 上式应与t 无关,故,0)]()([=--τϕϕt t dtd 于是,)(q wt t +=ϕ 故 qw c i cet f q wt i ,,,1,)()(-==+为常数.6.2 联合平稳过程及相关函数的性质一,联合平稳过程对于两个平稳过程的联合分布和数字特征的讨论,可以用类似于第二章的方法.下面主要讨论两个平稳过程的联合平稳问题.若将两个平稳过程X(t)和Y(t)同时输入加法器中,加法器的输出随机过程W(t)=X(t)+Y(t)是否平稳的问题.首先分析输出过程的要求的平稳条件.由)]()([τ-t W t W E =}]()()]{()({[ττ-+-+t Y t X t Y t X E=])()({[τ-t X t X E +)]()([τ-t Y t Y +)]()([τ-t Y t X +})]()([τ-t X t Y =++)()(ττY X R R )]()([τ-t Y t X E +)]()([τ-t X t Y E .上式最后两项是X(t)和Y(t)的互相关函数,一般情况下,它们与t 有关,为使输出过程W(t)是平稳,必需要求输入的两个平稳过程X(t)和Y(t)的互相关函数与t 无关. 定义 6.1设}),({T t t X ∈和}),({T t t Y ∈是两个平稳过程,若它们的互相关函数)]()([τ-t Y t X E 及)]()([τ-t X t Y E .仅与τ有关,而与t 关,则称X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程. 由定义有),()]()([),(τττXY XY R t Y t X E t t R =-=- ),()]()([),(τττYX YX R t X t Y E t t R =-=-.当两个平稳过程X(t),Y(t)是联合平稳时,则它们的和W(t 是平稳过程,此时有 )]()([τ-t W t W E =++)()(ττY X R R )(τXY R +)(τYX R =).(τW R 二,相关函数的性质平稳过程X(t)的相关函数).(τX R 具有如下性质.定理6.1 设}),({T t t X ∈为平稳过程,则相关函数具有下列性质: (1) ;0)0(≥X R (2) )().(ττX X R R =-;(3));0()(X X R R ≤τ(4) ).(τX R 是非负定的,即对任意实数n t t t ,...,,21及复数,,...,21n a a a 有0),(1,≥∑=j i j i nj i X a a t t R;(5)若X(t)是周期为T 的周期函数,即X(t)=X(t+T),则)()(T R R X X +=ττ; (6)若X(t)是不含周期分量的非周期过程,当∞→τ时,X(t)与X(t+τ )1XX X m m R =∞→)(limττ.证明 由平稳过程相关函数定义,得(1) =)0(X R .0])([])()({[2≥=t X E t X t X E (2) =)0(X R =])()({[τ-t X t X E =)(τ-X R ; (3)由许瓦兹不等式有])()([])()([)(222τττ-≤-=t X t X E t X t X E R X≤-≤])([])([22τt X E t X E 2)]0([X R(4) 第二章定理2.2已证.X X m m =类似地,联合平稳过程X(t)和Y(t)的互相关函数有下列性质: (1) );0()0()(Y X XY R R R ≤τ);0()0()(Y X YX R R R ≤τ (2) ,)().(ττYX XY R R =-例6.6设X(t)=Asin(wt+Q),Y(t)=Bsin(wt+Q-h)为两个平稳过程,其中A,B,w 为常数,Q 在π2,0()上服从均匀分布.求).(),(ττYX XY R R解 )]()([)(ττ-=t Y t X E R XY =)]sin()sin([h Q w wt B Q wt A E -+-+τ =dqh q w wt q wt AB πτπ21)sin()sin(20⎰-+-+=).cos(21h w AB +τ同理=)(τYX R ).cos(21h w AB -τ6.3随机分析 一,收敛性概念由微积分知,若对于任给,0>ε都存在正整数N,使对一切n>N,恒有不等式 ε<-a x n (6.1) 成立,则称序列}{n x 以a 为极限,记作ax n n =∞→lim.对于概率空间),,(P ℑΩ上的随机序列}{n X ,每个试验结果e 都对应一序列),...(),...,(),(21e Xe X e X n (6.2)故随机序列}{n X 实际上代表一族(6.2)式的序列,故不能用(6.1)式定义整个族的收敛性.如果(6.2)式对每个e 都收敛,则称随机序列}{n X 处处收敛,即满足 XX n n =∞→lim.下面介绍随机序列在较弱意义下的收敛定义,它们不一定要求对每个e 都收敛. 定义6.2 称二阶矩随机序列)}({e X n 概率1收敛于二阶矩随机变量X(e),若使)()(lime X e X n n =∞→成立的e 的集合的概率为1,,1)}()(lim:{==∞→e X e X e P n n或称 )}({e X n 几乎处处收敛于X(e),记作..X X e a n →定义6.3称二阶矩随机序列)}({e X n 依概率收敛于二阶矩随机变量X(e),若对任意,0>ε有0})()({lim=≥-∞→εe X e X P n n ,.X X Pn →记作.X X P n →定义 6.4 设有二阶矩随机序列}{n X 和二阶矩随机变量0][lim2=-∞→XX E n n (6.3)成立,则称}{n X 均方收敛于X,记作..X X s m n → (6.3)式的极限常写作 XmXi l n=..定义6. }{n X 称二阶矩随机序列依分布收敛于二阶矩随机变量X,若}{n X 相应的分布函数列)},({x F n 在X 的分布函数F(x)的每一个连续点处有),()(limx F x F n n =∞→记作 .X X d n →对于以上四种收敛定义进行比较有下列关系: (1) ..X X s m n → 则 .X X P n →(2) ..X X e a n →则 .X X P n → (3) .X X P n → 则 .X X d n → 下面只给出(1),(2)的证明. 证明(1)由切比雪夫不等式得 22][}{εεXXE X X P nn -≤≥-若有0][lim2=-∞→XX E n n ,则对任给,0>ε有0}{lim=≥-∞→εXX P n n(2)由,1}{lim==∞→X X P n n 故,1}0{lim==-∞→X X P n n因此, 对任给,0>ε有 ,1}{lim=<-∞→εX X P n n .0}{lim=≥-∞→εX X P n n以下只讨论最简单的均方收敛.定理 6.2二阶矩随机序列}{n X 收敛于二阶矩随机变量X 的充要条件为0][lim2=-∞→mn n X X E定理6.3 设n X {},}{n Y ,}{n Z 都是二阶矩阵随机序列,U 为二阶矩随机变量,}{n c 为常数序列,a,b,c 为常数.令,..X mX i l n=,..Y mY i l n =,..Z mZi l n=,..c mc i l n =则(1) ;lim..c c mc i l n n n ==∞→(2) ;..cU U mc i l n =(3) ,)(..bY aX bY aX m i l n n +=+ (4) ];..[][][limn n n n X m i l E X E X E ∞→∞→==(5)];..[][][lim n n mX i l E X E X E ==(6) ];..)(..[(][][lim m n m n Y m i l mX i l E Y X E Y X E == 特别有 ];..[][][lim 222nnmXi l E XE X E ==证明 (1),(2),(3)由均方收敛定义可证.(4)因为当∞→n 时,有])([2bY aX bY aX E n n +-+=.0][2][22222→-+-≤YY E b XX E a n n由均方收敛定义知(4)得证. (5)由许瓦兹不等式有,1].[)1.()[(222Y E Y E Y E ≤=令X X Y n -=,代入上式,得到2]{][0X E X E n -≤2][X X E n -=),(,0][2∞→→-≤n X X E n 所以, ]...[][][.n n n mX i l E X E X E im l ==∞→ (6)由许瓦兹不等式,有=-][][Y X E Y X E m n =-][Y X Y X E m n ==-++--]2))([(Y X Y X Y X Y Y X X E m n m n==-+-+--])[(})[()])([(X Y Y E Y X X E Y Y X X E m n m n),,(,0}{}{}{212221222122∞→→-+-+--≤m n X E YY E Y E XX EYY E XX Em n m n所以, ]...)(..[(][][lim m n m n Y m i l mX i l E Y X E Y X E ==定理6.4设}{n X 为二阶矩阵随机序列,则}{n X 均方收敛的充分必要条件为下列极限存在:].[lim,m n m n X X E ∞→证明 必要性由定理6.3之(6)易知.现在证充分性.设 c XE X X E m n m n ==∞→2,].[lim ,由]2[222m m n nm n X X X X E X X E +-=-]2[22mm n nX E X X EX E +-=,02lim2,=+-=-∞→c c c X XE mnm n ,根据定理6.2知}{n X 均方收敛.以上讨论了具有二阶矩的随机序列均方极限的性质.对于一般的二阶矩过程}),({T t t X ∈,可以类似地定义它的均方极限,且有类似的均方极限性质.二,均方极限下面在讨论随机过程}),({T t t X ∈的均方连续导数积分等概念中,假定}),({T t t X ∈是二阶矩过程,参数集T 为直线上一个有限区间(可以为}),({T t t X ∈无穷区间).定义6.6 设有二阶矩过程}),({T t t X ∈,若对每一个t T ∈,有 ,0])()([lim2=-+→t X h t X E h则称X(t)在t 点均方连续,记作).()(...t X h t mX i l =+若对T 中一切点都均方连续,则称X(t)在T 上均方连续. 考虑到=-+])()([2t X h t X E ),(h t h t R X ++-),(h t t R X +-),(t h t R X ++),(t t R X (6.4)定理6.5(均方连续准则) 二阶矩过程}),({T t t X ∈在t 点均方连续的充要条件为相关函数),(21t t R X 在(t,t)处连续.证明 必要性;若).()(...t X h t mX i l =+则由定理6.3之(6)得 )].()([lim),(lim21,21,2121t X t X E t t R tt t t X tt t t →→→→=. 充分性:若),(21t t R X 在(t,t)处连续,令(6.4)式的0→h 取极限即可得证.. 推论 若相关函数),(21t t R X 在{(t,t),}T t ∈上连续,则它在T T ⨯上连续.证明 若在),(21t t R X 在{(t,t),t }T t ∈处连续,则由定理6.5知X(t)在T 上均方连续,故),()(..11t X s X m i l t s =→),()(..22t X s X m i l t s =→再由定理6.3之(6),故)].()([lim),(lim2121,,t X s X E t s R t t t s X t t t s →→→→===)].()([21t X t X E ),(21t t R X ,知),(21t t R X 在T T ⨯上连续. 三,均方导数定义6.7 设有二阶矩过程}),({T t t X ∈,若存在另一个随机过程)(t X '满足 则称X(t)在t 点均方可微,记作 ht X h t X m i l dtt dX t X h )()(..)()(0-+=='→.并称)(t X '为X(t)在t 点的均方导数.若X(t)在T 上每一点t 均方可微,则称它在T 上均方可微.类似地,若随机过程}),({T t t X ∈'在t 点均方可微,则称X(t)在t 点二次均方可微.)(t X '的均方导数记为)(t X ''或22dtX d并称它为二阶矩过程X(t)的二阶均方导数.同理可定义更高阶均方导数. 为了叙述均方可微准则,我们把相关函数),(21t t R X 的如下极限(若存在)]),(),(),(),([lim21212212121122110,021h h t t R h t t R h h t h t R h t h t R X X X X h h -+-+-++→→称为),(21t t R X 在点),(21t t 的广义导数,记作21212),(t t t t R X ∂∂∂.定理6.6 (均方可微准则)二阶矩过程}),({T t t X ∈在t 点均方可微的充要条件为相关函数),(21t t R X 在点(t,t)的广义二阶导数存在. 证明 由定理6.4知,X(t)在t 处均方可微的充要条件为 1100)()([lim121h t X h t X E h h -+→→][])()(22h t X h t X -+存在.将上式展开上式极限存在的充要条件为),(21t t R X 在(t,t)处的广义导数存在.]),(),(),(),([lim 212211210,021h h t t R h t t R h h t h t R h t h t R X X X X h h -+-+-++→→推论1 二阶矩过程 }),({T t t X ∈ 在T 上均方可微的充要条件为相关函数),(21t t R X 在}),,{(T t t t ∈上每一点广义二阶可微.推论2若),(21t t R X 在}),,{(T t t t ∈上每一点广义二阶可微,则dtt dmX)(在T 上以及),,(211t t R t X ∂∂),,(212t t R t X ∂∂),,(21212t t R t t X ∂∂∂在T T ⨯ 上存在,且有(1))];([)]([)(t X E dtt X dE dtt dm X '==(2) 1 (3))];()([)]()([),(21212212t X t X E t X t X E t t t R t X '=∂∂=∂∂(4))].()([)]()([),(212121221212t X t X E t X t X E t t t t R t t X ''=∂∂∂=∂∂∂证明(1)由推论1知)(t X '存在,又由定理6.3之(5),有)];([])()(.,[])()([lim)]([)]([lim)]([)(0t X E ht X h t X m i l E ht X h t X E ht X E h t X E dtt X dE dtt dmh h h X'=-+=-+=-+==→→→(2)由定理6.3之(6))].()([)]()()(..[)]()()([lim)]()([),(2121102110211211t X t X E t X ht X h t X m i l E t X ht X h t X E t X t X E t t t R t h h X '=-+==-+=∂∂=∂∂→→其余各式类似可证.推论2表明数学期望运算与导数运算可以交换顺序.此外,均方导数还有类似于普通函数导数的性质,如导数唯一性;X(t)均方可微,则它均方连续;任一随机变量X(或常数)的均方导数为零;等等. 四,均方积分设二阶矩过程 }),({T t t X ∈,f(t)为普通函数,其中T=[a,b]用一组分点将T 划分如下:b t t t a n =<<<=...10 记n i i ni t t ∆=--≤≤)}{(max11,作和式].,[),)(()(111i i i i i i ni i n t t t t t t X t f S --=∈'-''=∑定义6.8 如果当0→∆n 时,n S 均方收敛于S,即,0lim 0=-→∆S S E n n则称f(t)X(t)在区间[a,b]上均方可积,并记 0..)()(→∆==⎰n m i l dt t X t f S ba).)(()(11-=-''∑i i i ni i t t t X t f(6.5)称(6.5)式为f(t)X(t)在区间[a,b]上的均方积分.定理6.7 (均方可积准则)f(t)X(t)在区间[a,b]上均方可积的充要条件为212121),()()(t d dt t t R t f t f X b aba⎰⎰存在,特别地,二阶矩过程X(t)在区间[a,b]上均方可积的充要条件为),(21t t R X 在[a,b]⨯[a,b].上可积.定理6.8 设f(t)X(t)在区间[a,b]上均方可积,则有 (1) ⎰⎰=baba dt t X E t f dt t X t f E )]([)(])()([; (2) ])()()()([222111⎰⎰ba b adt t X t f dtt X t f E =212121),()()(t d dt t t R t f t f X baba⎰⎰证明 (1)由定理6.3之(5),=⎰])()([badt t X t f E ).])(()(..[11-=-''∑i i i ni i t t t X t f m i l E==-''-=→∆∑)])(()([lim11i i i ni i t t t X t f E n ⎰badt t X E t f )]([)(.类似地由定理6.3之(6)可证明(2)式.定理6.8表明,若f(t)X(t)均方可积,则数学期望积分两种运算可以交换顺序. 均方积分有类似于普通函数积分的许多性质,如唯一性,分部积分公式等等. 定理6.9 设二阶矩过程}),({T t t X ∈在区间[a,b]上均方连续, ,,)()(b t a dv v X t Y ta≤≤=⎰在均方意义下存在,且随机过程}),({T t t Y ∈在区间[a,b]上均方可微,且).()(t X t Y ='推论 设X(t)均方可微,且)(t X '均方连续,则 ⎰'=-tads s X a X t X )()()(. (6.6)例6.7 设}),({T t t X ∈是实均方可微过程,求其导数过程}),({T t t X ∈'的协方差函数).,(t s B X ' 解由(6.6)式⎰'=-taX x X ds s m a m t m )()()(,)()(t m dtt dm X X '=所以,='),(t s B X )]()()][()([t m t X s m s X E X X ''-'-'= =)]()()]()([t m s m t X s X E X X ''-''=)()(),(t m s m t s R X X X '''- =)]()(),([2t m s m t s R ts X X X -∂∂∂=).,(2t s B ts X ∂∂∂6.4 平稳过程的各态历经性平稳随机过程的统计特征完全由其前二阶矩函数确我们知道,对固定的时刻t,均值函数和协方差函数是由随机变量X(t)的取值在样本空间Ω上的概率平均,是由X(t)的分布函数确定,常很难求得.实际上,如果我们已经样本记录,是否可由此获得平稳过程的数字特征的充分依据,即时间取平均来代替统计平均呢?为此,我们来回顾一下大数定律.设独立同分布的随机变量序列,...},2,1,{=n X n 具有2][,][σ==n n X D m X E ,(n=1,2,…),则.1}1{lim1=<-∑=∞→εNk kN m XNP这里若将随机序列,...}2,1,{=n X n 看作具有离散参数的随机过程,则∑=Nk kX N11为随机过程的样本函数按不同时刻取平均,它随样本不同而变,是个随机变量.而][n X E m =是随机过程的均值,即任意时刻的过程取值的统计平均.大数定律表明,随时间n 的无限增长.随机过程的样本函数按时间平均以越来越大的概率近似于过程的统计平均.即只要观测的时间足够长,则随机过程的每个样本函数都能遍历各种可能状态.随机过程的这种特性即遍历性或埃尔古德性或叫各态历经性.根据随机过程的定义知,对于每一个固定的t ,T ∈X(t)为一个随机变量,)()]([t m t X E X =即为统计平均;对于每一个固定的Ω∈e ,X(t)即为普通的时间函数,若在T 上对t 取平均,即时间平均.定义6.9 设}),({∞<<-∞t t X 为均方连续的平稳过程,则分别称 ⎰-∞→=TTT dtt X Tm i l t X )(21..)(⎰-∞→-=-TTT dtt X t X Tm i l t X t X )()(21..)()(ττ为该过程的时间均值和时间相关函数.定义6.10 设∞<<-∞t t X ),({为均方连续的过程平稳过程,若)]([)(1.Pr t X E t X =,即XTTT m dt t X Tm i l t X ==⎰-∞→)(21..)( (6.7)以概率1成立,则称该平稳过程的均值具有各态历经性.即).()()(21..)],()([)()(1.ττττX TTT pr R dt t X t X Tm i l t X t X E t X t X =--=-⎰-∞→即(6.8)以概率1成立,则称该平稳过程的相关函数具有各态历经性.定义6.11 如果均方连续的平稳过程}),({∞<<-∞t t X 的均值和相关函数都具有各态历经性,则称平稳过程为具有各态历经性或遍历性.从上面的讨论知,随机过程的时间平均是对给定的e,样本函数对t 的积分值再取平均,显然积分值依赖于e,故一般地,随机过程的时间平均是个随机变量.如果X(t)是各态历经过程,则)()(,)(τ-t X t X t X 不再依赖于e,而是以概率1分别等于 E[X(t)]和E[X(t))](τ-t X .这一方面表明各态历经过程各样本函数的时间平均实际上可以认为是相同的,于是对随机过程的时间平均也可以由样本函数的时间平均来表示,且可以用任一个样本函数的时间平均代替随机过程的统计平均.另一方面也表明E[X(t)]和E[X(t))](τ-t X 必定与t 无关,即各态历经过程必是平稳过程.但是,平稳过程在什么条件下才具有各态历经性呢?下面先讨论平稳过程的均值具有遍历性的条件.定理6.10设∞<<-∞t t X ),({}为均方连续的平稳过程,则它的均值具有各态历经性的充要条件为 0))()[21(21lim222=--⎰-∞→τττd m R TTXx TtT (6.9)定理6.11设∞<<-∞t t X ),({}为均方连续的平稳过程,则它的相关函数具有各态历经性的充要条件为 0))()()[21(21lim21221=--⎰-∞→ττττd R B TTX TtT(6.10)其中 )].()()()([)(111τττττ----=t X t X t X t X E B例6.8 设有随机相位过程X(t)=acos(wt+Q),a,w 为常数,Q 为)2,0(π上得服从均匀分布的随机变量.问X(t)是否为各态历经过程. 解 因为 021)c o s ()]([20=+=⎰dq q wt a t X E ππ,)]cos()cos([),(Q w wt Q wt a E t t R X +-+=-ττ =dq q w wt q wt a)cos()cos(2202+-+⎰τππ=),()cos(22ττX R w a=⎰-∞→+=TTT dtQ wt a Tm i l t X )cos(21..)( =wQ wT Q wT Ta m i l T )sin()sin(2..+--+∞→=0,故有)].([)(t X E t X = 又因为⎰-∞→+-+=-TTT dtQ w wt Q wt a Tm i l t X t X )2cos()cos(21..)()(2ττ),cos(2)22cos()[cos(2121..22τττw adt Q w wt w aTm i l TTT =+--=⎰-∞→故).()()(ττX R t X t X =-过程X(t)的均值和相关函数都具有各态历经性,所以随机相位过程是各态历经的. 例6.9 讨论随机过程X(t)=Y 的各态历经性,其中Y 是方差不为零的随机变量. 解 X(t)=Y 是平稳过程,事实上 X m Y E t X E ==][)]([(常数),,][][),(22Xx m Y D Y E t t R +==-τ(与t 无关). 但是此过程不具有各态历经性,因为⎰-∞→==TTT Y Y d t Tm i l t X ,21..)(Y 非常数,不等于E[X(t)],所以X(t)=Y 的均值不具有各态历经性.类似可证其相关函数也不具有各态历经性.。
随机过程及其平稳性PPT课件
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偏相关系数
X •
设 两
个
、
1
随机
变和X量2的是影三响个X。相3在互这之种间情都况有下关，系两的个随随机机变变量量，的每相个关随系机数变反量映都的包其含实有不另是
这两个变量之间的真正关系，因为这两个随机变量的水平都受第三个随机变量水
平的影响。设法将第三个变量的影响从前个变量中去掉后，再计算两“净值”序
.|. |
9
-0.159
-0.025
55.674
0.000
30
•
.**| . |
.|. |
10
- 0第. 23403页/共-40 3. 0页3 7
58.274
0.000
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从上图样本自相关函数的值分析
• Autocorrelation的图形没有截尾或拖尾特征， • 还有许多值落在临界值范围之外，所以，可以初步判断时间序列Y有非平稳性。 • 下面分析DY的平稳性。
• 1983 615.0000
• 1984 726.0000
• 1985 992.0000
• 1986 1170.000
• 1987 1282.000
• 1988 1648.000
• 1989 1812.000
• 1990 1936.000
29
• 1991 2167.000
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800 600 400 200
2.2.4 平稳随机过程的相关性分析
2 lim RX (τ ) = RX (∞) = mX
证明 : 当 τ → ∞ 时 , X (t )与 X (t + τ )不相关 , 则有 :
τ →∞
lim R X (τ ) = R X ( ∞ ) = lim E [ X ( t ) X ( t + τ )]
τ →∞
2 = lim { E [ X ( t )] ⋅ E [ X (t + τ )]} = m X
17
∞
样本函数x(t)的平均功率： 样本函数x(t)的平均功率： x(t)的平均功率
1 T 2 w = lim ∫−T xT (t) dt T →∞ 2 T 1 1 ∞ 2 = lim ⋅ ∫−∞ XT (ω) dω T →∞ 2 T 2π 1 ∞ 1 2 = lim ∫−∞[T→∞ 2T XT (ω) ]dω 2π
∫
∞
−∞
xT ( t ) e
− jω t
dt =
∫
T
−T
x (t )e
− jω t
dt
1 xT (t ) = 2π
1 T 2 w = lim ∫−T xT (t) dt T →∞ 2 T
∫
∞
−∞
X T (ω )e jωt dω
2
1 ∞ 2 ∫−∞[x(t)] dt = 2π ∫−∞ X (ω) dω
样本函数x(t)的功率谱密度， 样本函数x(t)的功率谱密度， x(t)的功率谱密度 简称样本的功率谱密度。 简称样本的功率谱密度。
x(t), w和 T (ω)取 于 验 结 , 都 有 定 随 性 X 决 试 的 果 带 一 的 机 .
例 : 已知平稳过程 X (t )的自相关函数为 : (1) R X (τ ) = 3e
第二章 平稳随机过程的谱分析
u 2T
2T
2015-2-10
u 2T
u 2T
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《随机信号分析》教学组
则
2T 1 1 2T S X ( ) lim { 0 d 2T RX ( )e j du T 2T 2
0 2T 1 2T d 2T RX ( )e j du} 2
对 S X ( ) 在X(t)的整个频率范围内积分， 便可得到X(t)的功率。 对于平稳随机过程，有：
1 E[ X ( t )] 2
2
2015-2-10
S X ( )d
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《随机信号分析》教学组
三、功率谱密度与自相关函数之间的关系
确定信号： x(t ) X ( j) 随机信号：平稳随机过程的自相关函数
率。 2 解： E[ X (t )] E[a 2 cos2 (0t )]
a2 E{ [1 cos(20t 2)]} 2 2 2 a a 22 cos(20t 2 )d 0 2 2
a2 a2 sin(20 t 2 ) 02 2 2 a2 a2 sin 20t 2
S X ( ) 2 RX ( ) cosd
0
RX ( )
2015-2-10
1
0
S X ( ) cos d
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《随机信号分析》教学组
3．单边功率谱
由于实平稳过程x(t)的自相关函数 RX ( ) 是实偶函数，功率谱密度也一定是实偶函 数。有时我们经常利用只有正频率部分的 单边功率谱。
2T 1 1 2T lim{ d RX ( )e j du} 2T 2 T 2T 2T 1 2T j lim ( 2 T ) R ( ) e d X T 2T 2T 2T lim (1 ) RX ( )e j d T 2T 2T 2T j RX ( )e j d RX ( )e d lim
演示文稿平稳随机过程及其遍历性
与时间t无关。
2) 若X(t)为严平稳，则对于任一时刻t0 ， X(t0)具 有相同的统计特性。
10
第10页，共58页。
实际中，要确定一个对一切n都成立的随机过 程概率密 度函数族是十分困难的，因而在工程中往往根据实际需要只
在相关理论范围内考虑平稳过程问题。 相关理论：只限于研究随机过程一阶和二阶矩的理论。
演示文稿平稳随机过程及其遍 历性
第1页，共58页。
平稳随机过程及其遍历性
第2页，共58页。
随机过程可分为平稳和非平稳两大类, 严格地说, 所有信号都 是非平稳的, 但是, 平稳信号的分析要容易得多, 而且在电子系统
中, 如果产生一个随机过程的主要物理条件在时间的进程中不
改变, 或变化极小, 可以忽略, 则此信号可以认为是平稳的. 如接 收机的噪声电压信号, 刚开机时由于元器件上温度的变化, 使得 噪声电压在开始时有一段暂态过程, 经过一段时间后, 温度变化 趋于稳定, 这时的噪声电压信号可以认为是平稳的。
31
第31页，共58页。
➢ 相关系数
也称为归一化
协方差函数或 标准协方差函
数
rX
( )
KX KX
( )
(0)
RX
( )
2 X
mX2
此。 差）值之在间表[－符示1号正，相相1同关]之可r，X间能表(。性明) 大两 。个0rX不表(同示)时不刻相0起关伏，值（随机变表量示rX与完(均全)值相之关1
x2
f
X
(
x)d
x
2 X
D[X (t)]
(x
mX )2
fX
平稳随机过程分析
X X (T , ) xT (t )e jt dt
x(t )e jt dt
T
T
应用帕塞瓦等式
1 2 T x (t )dt 2 X X (T , ) d 1 T 2 1 2 x (t )dt X X (T , ) d T 2T 4T
对于平稳随机过程，有：
1 E[ X ( t )] 2
2
S X ( )d
9
0t ) ，其中a和0 例：设随机过程 X (t ) a cos( （ 0 ， 皆是实常数， 是服从 2 ） 上均匀分布的随
机变量，求随机过程 X (t ) 的平均功率。
解： E[ X 2 (t )] E[a 2 cos2 (0t )]
1 维纳—辛钦定理 若随机过程X(t)是平稳的，自相关函数绝对 可积，则自相关函数与功率谱密度构成一对付 氏变换，即：
12
S X ( ) RX ( )e
j
d
1 RX ( ) 2
S X ( )e
j
d
13
推论：对于一般的随机过程X(t)，有：
S X ( ) A RX (t , t ) e j d
0 0
18
a, 0 皆为 例：设随机过程 Y (t ) aX (t ) sin ，其中 0t X (t )为具有功率谱密度 S X ( )的平稳随机 常数， 过程。求过程 Y (t ) 的功率谱密度。 解： RY (t , t ) E[Y (t )Y (t )]
E[aX(t ) sin 0t aX(t ) sin 0 (t )]
4平稳随机过程
P{X (t) } p{X (t) } 1 2
而正负号在区间(t,t+ρ)内变化的次数N(t,t+ρ) 是随机的，且假设N(t,t+ρ)服从泊松分布,亦 即事件
AK {N (t, t ) k} 的概率为
P( Ak )
(o)k
k!
e ,
k
0,1,2,,
第12页，共33页。
x(t) I
n
E X (ti )X (t j ) ai a j
i , j1
E[ n
X
(t
i
)
a
i
]2
0
i1
第17页，共33页。
4．平稳相关与互相关函数
（1）定义: 设{X(t)},{Y(t)},tT为两个平稳过程，如果它
们的互相关函数RXY(t,t+)只是 的函数,即 RXY(t,t+)=E[X(t)Y(t+)]= RXY(),则称{X(t)},{Y(t)}是平
证：(1)由Cauchy-Schwarze不等式
{E[X(t)]}2E[X2(t)]<+,
所以E[X(t)]存在。 在严平稳过程的定义中，令h=-s,由定义X(s)与X(0)同分
布，所以E[X(t)]= E[X(0)]为常数。一般记为X.
第4页，共33页。
(2) 由Cauchy-Schwarze不等式
平稳随机过程
引言
第1页，共33页。
一、严平稳随机过程
1．定义：设{X(t),tT}是随机过程,如果对于任意的常数h和任
意正整数n,及任意的n维随机向量(X(t1),X(t2),…,X(tn))和 (X(t1+h),X(t2+h),…,X(tn+h))具有相同的分布,则称随机过程 {X(t),tT}具有平稳性,并同时称此过程为严平稳过程。
第二章平稳随机过程的谱分析平稳随机过程
第二章平稳随机过程的谱分析平稳随机过程第二章平稳随机过程的谱分析本章要解决的问题：●随机信号是否也可以应用频域分析方法?●傅里叶变换能否应用于随机信号？● 相关函数与功率谱的关系● 功率谱的应用● 采样定理● 白噪声的定义2.1 随机过程的谱分析2.1.1 预备知识1、付氏变换:对于一个确定性时间脉冲x(t)，设x(t)是时间t 的非周期实函数，且x(t) 满足狄利赫利条件（有限个极值，有限个断点，断点为有限值）且绝对可积，能量有限，则x(t)傅里叶变换存在。
即：满足上述三个条件的x(t)的傅里叶变换为：其反变换为：2、帕赛瓦等式由上面式子可以重新得到：——称为非周期性三十天拉热函数的帕塞瓦(Parseval)等式。
物理意义：若x(t)表示的是电压(或电流) ，则上式左边代表x(t)在时间(-∞, ∞) 区间的总能量（单位阻抗）。
因此，等式右边的被积函数X X (ω)2表示了信号x(t)能量按频率分布的情况，故称X X (ω)2为能量谱密度。
2.1.2、随机过程的功率谱密度变换一个信号的惟教变换是否存在，可能需要满足三个条件，那么随机信号是否满足这三个条件从而存在付氏呢？随机信号持续时间无限长，因此，对于非0的样本函数，它的能量一般也是无限的，因此，其付氏变换不牵涉到。
但是注意到它的平均功率是有限的，在特定的条件下，仍然洪可以利用博里叶变换这一工具。
为了将傅里叶变换方法常量应用于随机过程，必须对过程的待测函数做某些限制，最简单的一种方法是应用截取函数。
截取函数x T (t):图2.1 x (t)及其截取函数当x(t)为有限值时，裁取函数x T (t)满足绝对可积条件。
因此，x T (t)的傅里叶变换存在，有很明显，式的变化）x T (t)也应满足帕塞瓦等式，即：（注意积分区间和表达用2T 除上式等号用的两端，可以得到等号于两边取集合平均，可以得到:令T→∞，再取极限，便可得到随机过程的平均功率。
随机过程课件chapter8平稳过程.pptx
称 X t S t 为随机相位周期信号，讨论其平稳性.
解 由假设， 的概率密度为
f
1 T
,
0＜＜T ,
0, 其它,
于是，均值函数
E［X
t ］
1 T
T
0
S
t
d
1 T
t T
t
S
d
1 T
T
0
S
d
常数
上面的第三个等号用到 S t 的周期性.
BUPT
8
1 平稳过程的概念
解：（续）同样，利用 S S 关于 的周期性，可得
BUPT
14
2.2自相关函数的性质
(4) 若平稳过程 X t 满足条件 X t X t l ，则称它
为周期过程，其中 l 为过程的周期. 周期平稳过程的自相关函 数必是以 l 为周期的周期函数. 因为:
RX l E［X t X t l］ E［X t X t ］ RX .
(5 ) RX 是非负定的，即对任意的 t1,t2 ,tn T 及任意
无关而只与 有关，则称X t,t T为宽(弱、广义)平稳过
程，并称 X 为它的均值， RX 为它的自相关函数.特别地.
一般来说，宽平稳过程不一定是严平稳过程.反过来，严 平稳过程一般也未必是宽平稳过程，因为它的二阶矩不一定 存在.
BUPT
6
1 平稳过程的概念
例 1.2 如果 Xn, n 0, 1, 2, 为互不相关的随机变
(3) RXY 2 RX 0 RY 0 .
这是由于
RXY 2 E［X t Y t ］2 E［X 2 t ］E［Y 2 t ］ RX 0 RY (0)
(4) | RXY( )| 12［RX (0) RY(0)］.
第六章平稳随机过程.ppt
6.1 平稳随机过程的概念
• 宽平稳过程
严平稳过程
• 严平稳过程 二阶矩存在宽平稳过程
正态过程
• 严平稳过程
宽平稳过程
6.1 平稳随机过程的概念
• 例6.1 设X(t)=Ycos(t)+Zsin(t), t>0，且 Y, Z相互独立，EY=EZ=0，DY=DZ=2， 试讨论随机过程{X(t), t>0}的平稳性。
RX (t, t h) RX (t h, t) RX (t, t)
定理6.4（均方连续准则） 二阶矩过程{X(t),tT}，在t点均方连续的 充要条件为相关函数RX(t1,t2)在点(t,t)处 连续。
推论 若相关函数RX(t1,t2)在{(t,t)，tT} 上连续，则它在TT上连续。
6.3 随机分析简介
则称X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程。
6.2 联合平稳随机过程
命题：当X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程 时，W(t)=X(t)+Y(t)是平稳随机过程。 事实上，EW(t)=EX(t)+EY(t)=常数，
E[W (t)W (t )] E[X (t) Y (t)][X (t ) Y (t )] E[ X (t) X (t ) X (t)Y (t )
在均方意义下存在，且随机过程{Y(t),tT}
在区间[a,b]上均方可微，有Y(t)=X(t)。
推论 设X(t)均方可微，且X(t)均方连续，
则
t
X (t) X (a) a X ( )d
特别地有X (b) X (a)
b
X ( )d
a
6.3 随机分析简介
• 例6.5 设 {X(t), tT} 是实均方可微过程，
所以{Xn,n=0, 1, 2,}是平稳随机序列。
平稳随机过程
2 2 A
m ( t ) m y ( t ), X A
( t ) y ( t ).
2 X
Xt () 的 一 维 概 率 密 度 为 : 1 f ( xt , ) e X 2 X
2 ( x m ) X 2 2 X
X (t ) A cos( t ) E [ A 2 ] E [cos( t ) cos( t )]
= 1 E [ A 2 ] E [cos(2 t 2 ) cos( )] 2 1 R X ( ) E [ A 2 ] E [cos( )] 2
X () t不 是 平 稳 过 程
3.1 平稳随机过程
Exercise 3.3
判 断 图 示 的 四 个 随 机 过 程 是 否 平 稳
幅度、相位和频率都是随机的
E[ X (t )]
X (t ) A cos( t )
E[ A cos(t )] E[ A] E[cos(t )] =E[cos(t ) cos sin( t ) sin ] =0
幅度、相位和频率都是随机的
R X (t , t ) E [ X ( t ) X ( t )]
X (t ) A cos( t )
E [ A 2 cos( t ) cos( t )] E [ A 2 ] E [cos( t ) cos( t )] 1 = E [ A 2 ] E [cos(2 t 2 ) cos( )] 2 1 R X ( ) E [ A 2 ] E [cos( )] 2
第五讲-平稳随机过程
(6) 相关函数具有非负定性 即对任意的 个复数 相关函数具有非负定性,即对任意的 即对任意的n个复数
α1 , α 2 ,..., α n
有
αi α*j RX (ti − t j ) ≥ 0 ∑∑
i =1 j =1
n
n
利用如下关系可证明
2 n E ∑ αi X (ti ) ≥ 0 i =1
2.3 平稳随机过程
X(t)=At， 例2.7、 设随机过程X(t)=At，A为标准正态分布的 2.7、 设随机过程X(t)=At 随机变量。 随机变量。 试问X(t)是否平稳？ 试问X(t)是否平稳？ X(t)是否平稳 解、
E{X (t )} = E{tA} = tE{A} = 0
RX (t1, t2 ) = E{X (t1 ) X (t2 )} = t1t2 E{A2} = t1t2
解、
1 x(t ) = lim T →∞ 2T
∫
T
−T
a cos(ωt + ϕ )dt = 0 = m X
1 x(t ) x(t + T ) = lim T → ∞ 2T
∫
T
−T
a 2 cos(ωt + ϕ ) cos(ωt + ωτ + ϕ )dt
= a 2 cos(ω0τ ) / 2 = RX (τ )
ˆ mX = 1 2T
∫
T
−T
x ( t ) dt
ˆ (τ ) = 1 RX 2T
∫
T
−T
x ( t + τ ) x ( t ) dt
随机序列： 随机序列：
ˆ mX
ˆ σ
2 X
1 = N
[理学]2平稳随机过程
![[理学]2平稳随机过程](https://img.taocdn.com/s3/m/926634a30129bd64783e0912a216147917117ee4.png)
1
E( X n )
sin 2nxdx 0
0
第二页，共51页。
RX (n, n m) E( X n X nm )
1
0 sin 2nx sin2 (n m)xdx
1
1
[cos2mx cos2 (2n m)x]dx
20
1/ 2, m 0
0, m 0
,
只依赖于m，所以是平稳序列。
2
E(X Xn )2 E(Xn Y )2 0
第十九页，共51页。
(3)
l.i.m
n
Xn
X
,
l.i.m
n
Yn
Y,则
l.i.m(X
n
n
Yn )
X
Y,, 是常数.
证明（3）：
E(X n βYn X βY )2 E(X n X βYn βY )2 E(X n X )2 E( βYn βY )2 0
i, j1
E[
n
X
(ti
)
ai
]2
0
i1
第七页，共51页。
性质5.周期性. 若平稳过程X(t)满足X(t)=X(t+k)，则称它为
周期过程，周期为k。周期平稳过程的自相关函数必是以k为周期
的函数。
证：RX ( k) E[X (t)X (t k)] E[X (t)X (t )] RX ( ).
l 0
h0
lim
h0
RX
(s
l,
t
h)
lim
h0
E[
X
(s
l
)
X
(t
h)]
l 0
l 0
E[X (s)X (t)] RX (s,t).