平面向量的线性运算及其坐标表示

第五章 平面向量

本章知识结构图

第一节平面向量的线性运算及其坐标表示

考纲解读

1、了解向量的实际背景，理解平面向量的概念及两个向量相等的含义与向量的几何表示.

2、掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义，掌握向量数乘的运算及其意义，理解

两个向量共线的含义.

3、了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，理解用坐标表示平面向量共线的条件. 命题趋势探究

从内容上看，高考重点考查向量的基本概念及运算，尤其是向量数量积运算及其几何表示，平面向量的坐标运算也是运算的关键，通过坐标运算可将几何问题转化成代数问题，进行垂直、平行关系的判定及夹角的求解，从形式上看，既有选择题，也有填空题，从能力上看，侧重于对学生运算和数形结合能力进行考查.

平面向量的综合问题时新热点题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主.

预测2019年高考本专题主要考查形式及内容如下：

（1）一道选择题或填空题，重点考查平行关系的判定，属于中低档题目.

（2）一道解答题，可能以三角函数、数列、解析几何为载体，考查向量的运算和性质.

)12210

b a a

b x y x y λ=⇔⇔-=120a b a b x x ⊥⇔⋅=⇔2a x y =+cos ,a b a b a b x x ⋅=<>=+122||cos ||x x a b b a b a x θ+⋅=

=+在方向上的投影为12122112cos ||||

x x y a b

a b a b x y x θθ+⋅=

=+设与的夹角为，则

知识点精讲

一、向量的基本概念 向量概念

既有大小又有方向的量叫向量，一般用a ，b ，c 来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如AB （其中A 为起点，B 为终点）. 注：谈到向量必须说明其方向与大小.

向量的大小，有就是向量的长度（或称模），记作a 或AB . 2.零向量、单位向量、相等向量、平行（共线）向量 零向量：长度为零的向量，记为0，其方向是不确定的. 单位向量：模为1个单位长度的向量.当a 0≠时，向量a

a

±是与向量a 共线（平行）的单位向量.

相等向量：长度相等且方向相同的向量.相等向量经过平移后总可以重合，记为a b =. 平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，因为任何平行向量经过平移后，总可以移到同一条直线上.

规定零向量与任何向量a 平行（共线），即0//a .

注：①数学中研究的向量都是自由向量，可以任意平移；②向量中的平行就是共线，可以重合，而几何中平行不可以重合；③//a b ，//b c ，不一定有//a c ，因为b 可能为0. 向量的线性运算 向量的加法

求两个向量和的运算叫做向量的加法，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作A B a =，

BC b =，则向量AC 叫做向量a 与b 的和（或和向量），即a b AB BC AC +=+=.

向量加法的几何意义：向量的加法符合三角形法则和平行四边形法则.如图5-1所示，向量

AC =a b +.

注：①若a ，b 为不共线向量，加法的三角形法则和平行四边形法则都适用；当a ，b 共线时，则只能用三角形法则求和向量，向量加法的本质是首尾相接. ②三角形法则可推广至若干向量的和.如图5-2所示.

2．向量的减法 （1）相反向量.

与a 长度相等、方向相反的向量叫做a 的相反向量，记作-a . ①规定：零向量的相反向量仍为零向量； ②-（-a ）=a ,a +(-a )=0;

③若a ，b 互为相反向量，则a =-b ，b =-a ，a +b =0. （2）向量的减法.

向量a 与b 的相反向量的和叫做向量a 与b 的差或差向量，即a -b =a +（-b ）.

向量减法的几何意义：向量的减法符合三角形法则.如图5-3所示，OA a =，OB b =则向量BA a b =-.

注：向量加法的三角形法则是两向量首尾相连，和向量是以第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点；向量减法的三角形法则是将两个向量的起点移到一起，差向量是连接两向量的终点，箭头指向被减向量的终点的向量. 3.向量的数乘

（1）实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λ ，它的长度和方向规定如下： ①=②当λ>0时，λ的方向与的方向相同；当λ<0时，λ的方向与的方向相反；当0=λ时，=λ方向不确定；=时，=λ方向不确定. （2）向量数乘运算的运算律.

设、为任意向量，λ、μ为任意实数，则 )()(λμμλ=；μλμλ+=+)(；

λλλ+=+)(.

三、平面向量基本定理和性质

共线向量基本定理

如果()a b R λλ=∈，则//a b ；反之，如果//a b 且0b ≠，则一定存在唯一的实数λ，使a b λ=.（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）. 平面向量基本定理

如果1e 和2e 是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量a ，都存在唯一的一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+，我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{}

12,e e .1122e e λλ+叫做向量a 关于基底{}

12,e e 的分解式. 注：由平面向量基本定理可知：只要向量1e 与2e 不共线，平面内的任一向量a 都可以分解成形如1122a e e λλ=+的形式，并且这样的分解是唯一的. 1122e e λλ+叫做1e ，2e 的一个线性组合.平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.

推论1：若11223142a e e e e λλλλ=+=+，则1324,λλλλ==. 推论2：若11220a e e λλ=+=，则120λλ==.

线段定比分点的向量表达式

如图5-4所示，在△ABC 中，若点D 是边BC 上的点，且BD DC λ=（1λ≠-），则向量1AB AC

AD λλ

+=

+.在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往

能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握. 三点共线定理

平面内三点A ，B ，C 共线的充要条件是：存在实数,λμ，使OC OA OB λμ=+,其中

1λμ+=，O 为平面内一点.

此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握.