最全三角函数的图像与性质知识点总结

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三角函数的图像与性质

一、 正弦函数、余弦函数的图像与性质

二、正切函数的图象与性质 定义域 {|,}2

x x k k Z π

π≠

+∈

值域 R

单调性 递增区间(,)()2

2

k k k Z ππππ-+∈

奇偶性 奇函数

对称性 对称中心:(

,0)()2

k k Z π

∈(含原点)

最小正周期 π

函数 y =sin x y =cos x

图 象

定义域 R R 值域

[-1,1]

[-1,1]

单调性

递增区间:2,2()

2

2k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣

递减区间:32,2()2

2k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣

递增区间:[2k π-π,2k π] (k ∈Z ) 递减区间:[2k π,2k π+π] (k ∈Z )

最 值

x =2k π+π

2(k ∈Z )时,y max =1;

x =2k π-π

2

(k ∈Z )时,y min =-1

x =2k π(k ∈Z )时,y max =1;

x =2k π+π(k ∈Z ) 时,y min =-1

奇偶性

奇函数

偶函数

对称性 对称中心:(k π,0)(k ∈Z )(含原点)

对称轴:x =k π+π

2

,k ∈Z

对称中心:(k π+π

2,0)(k ∈Z )

对称轴:x =k π,k ∈Z (含y 轴)

最小正周期 2π

三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换

1. 由x y sin =的图象得到)sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的图象

注意:定要注意平移与伸缩的先后顺序,否则会出现错误。 2. )sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的性质

(1)定义域、值域、单调性、最值、对称性:

将ϕω+x 看作一个整体,与相应的简单三角函数比较得出; (2)奇偶性:只有当ϕ取特殊值时,这些复合函数才具备奇偶性:

)sin(ϕω+=x A y ,当πϕk =时为奇函数,当2

ππϕ±=k 时为偶函数; (3)最小正周期:ω

π2=T

3. y =A sin(ωx +φ), x ∈[0,+∞) (0,0A ω>>)中各量的物理意义

(1) A 称为振幅;

(2)2T πω=称为周期;

(3)1f T

=称为频率;

(4)x ωϕ+称为相位; (5)ϕ称为初相

(6)ω称为圆频率.

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