并行PCGMRES算法的研究与实现修改(计算机学报)

Krylov子空间上并行PCGMRES算法的研究及在边界元问题中的应用*（一般不超过30个字）

完成人：***队张三，李四，王五

摘要：通过研究基于主从模式的并行计算模型和Krylov子空间Gmres算法的基本理论，提出了一种Krylov 子空间上带预校型的并行PCGMRES新算法，给出了求解线性方程组的算例和求解大型弹性边界元问题的算例，与并行GMRES(m)算法的运行结果进行比较之后表明，所设计的并行算法在保证计算精度的前提下，可以减少迭代次数，缩短计算时间，有很好的加速比和计算效率。（8行左右）

关键词：Krylov子空间, PCGMRES算法, 并行算法, 边界元法

中图分类号：O246，O241.6

The Research of Parallel PCGMRES Algorithm in Krylov Subspace and its Application in BEM

Abstract:Through the research of the parallel computational model based on the principal and subordinate mode and the basic theory of Gmres Algorithm in Krylov subspace, this essay raises a new parallel PCGMRES algorithm which possesses predict-correct pattern, and shows the computing examples for linear equations and large-scale elastic problem. After the comparison with the result from the parallel GMRES(m) algorithm, it shows that this designed parallel algorithm can reduce the iteration frequency, shorten the computing time and obtain better speedup ratio and computing efficiency at the premise of assuring the computation precision.

Keywords:Krylov Subspace; PCGMRES Algorithm; Parallel Algorithm; BEM.

1 引言

对于大部分工程实际问题来说，线性方程组的求解是其中计算的核心部分，如有限元和边界元问题，最后都归结为求解大型线性方程组，但是目前大部分算法都局限于研究稀疏线性方程组的求解问题，而对于大型稠密线性方程组的求解却不是很完善，特别是在并行技术产生之后，研究计算大型稠密线性方程组的并行算法已经成为了一个科学计算中的重要问题。边界元法作为一种强有力的数值计算方法，由于其高精度和降维等优点，被大量的应用于许多学科的分析计算中，尤其是在计算数学和计算力学领域被公认为是有限元法的重要补充。但是边界元法最后所得方程组的系数矩阵一般具有非对称性和稠密的特点，并且对于边界元求大规模问题时，若划分的单元较多时，其运算量和存储量将剧增，而已限制了边界元在大规模问题中的应用。

随着高速网络技术的快速发展，并行计算已经成为大型计算的主要技术之一，机群系统已经成为并行计算的主要平台，但是一般并行算法只适用于中等粒度以上的并行，这样就有必要设计适合于网络并行的粗粒度并行算法。

GMRES方法(Generalized Minimal Residual algorithm)是一种求解大型非对称线性方程*本文相关研究得到国家自然科学基金(70773035),河北省自然基金(F200600377)

组的 Krylov 子 空间投影法，1986年由Y.Saad 和M.H.chltz 提出．该法基于Krylov 向量的完全正交化，由于所需计算量和内存量较少等方面的优势，目前广泛应用于机械、计算力学、计算数学等工程领域。为了提高算法的计算效率，采用预条件子技术是一种非常有效的方法。刘晓明等将GMRES 方法应用于油藏数值模拟计算问题，利用矩阵分块技术和拟消去法(PE)对系数矩阵进行了预处理。于春肖、杨爱民等[1,2]提出改进GMRES(m)算法收敛性的一种预条件方法，并论证方法的正确性。陈一鸣、杨爱民等[3,4]利用分治策略对GMRES 方法进行了并行处理，用于快速解决矩阵和向量之间、矩阵和矩阵之间的运算。除上述方法外，本文将给出一种加快收敛速度、减小存储空间的并行带预校GMRES （PCGMRES ）算法，此算法是基于 B.K.Schmidt 等给出的度量通信开销的方法[5,6]，是引入并行技术的Krylov 子空间投影类方法[7,8]，期间使用预测－校正策略，可以减少计算时间和存储量，提高计算效率。

2 PCGMRES 算法

2.1 Krylov 子空间上的Galerkin 原理

设所求方程组为b Ax =，其中A 为一非奇异的大型矩阵，n

R b ∈为一给定向量。后面用到的范数都是2-范数。记m K 和m L 是n R 中的两个m 维子空间，分别由{}m

i i v 1=和{}m

i i w 1

=所张成。取n

R x ∈0为任意向量。令z x x +=0，则原方程组等价为0r Az =，其中

00Ax b r -=。

矩阵符号表示的Galerkin 原理为：

令()m m v v v V ,,21=和()m m w w w W ,,21=，其中{}m i i v 1=和

{}

m

i i

w 1

=分别是m K 和m

L 的基底。因此，可以把m z 表示成m m m y V z =，其中的m

m R y ∈。可得(

)

0r W y AV W T

m m m T m

=，

假设m T

m AV W 为非奇异阵，则可得到近似解()

01

r W AV W V z T m m

T m m m -=。

2.2 GMRES 算法

若选取m m K L =，则称之为Arnoldi 算法，若选取m m AK L =，则称之为GMRES 算

法。GMRES 算法经过许多相关人员的研究，已经取得了很大的改进和完善，同时将它和各种预测－校正系统结合起来，已经成为了当前求解大型非对称线性方程组的主要手段[5]。

若取{}

01

00,,r A Ar r span K m m -= ，可得m K 的一组标准正交基：

()y H e V y H AV r y AV r Az r m m m m m -=-=-=-++111000β

已知I V V m T m =++11，则有y H e Az r m -=-10β，于是在n

R 中极小化Az r -0就等

价于在m K 中极小化y H e m -1β。即可以把它最终归结为求解最小二乘方程

y H e m -1min β。

GMRES 算法的计算步骤为：

（1）任取0x ，计算00x A f r -=和001/r r v =； （2）迭代 ,,,2,1k j For

= （直到满足条件） do

),,2,1(),(j i v v A h i j ij ==