第六章非线性规划基本概念与基本原理
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如 果 将 定 义 6-2 和 6-3 中 的 不 等 式 反 向 ，即 可 得 到 相 应 的 极 大 点 和 极大值的定义．本教材主要就极小点和极小值进行讨论，而且主要研 究局部极小．对于极大化问题可通过恒等式
正 方 形 ，容 器 总 重 量 不 超 过 68 公 斤 ，已 知 用 做 容 器 四 壁 的 材 料 为 每 平
方 米 10 元 ，重 3 公 斤 ；用 做 容 器 底 的 材 料 每 平 方 米 20 元 ，重 2 公 斤 ．试
问制造该容器所需的最小费用是多少？列出数学模型．
设该容器的底边长和高分别为 x1 米和 x2 米，则有
称为 x*的δ邻域，记为 N (x*，δ)，其中 x x* 表示 x 与 x*之间 的距离（通常为 欧几里德距离）．
定义 6-2 设 f (x )为定义在 n 维欧氏空间 E n 中的某一区域 S
上的 n 元实函数，其中 x (x1, x2 , , xn )T ．对于 x*∈S，若存在
某个ε>0，对任意的 x∈N (x*，δ)∩S 均有 f (x )≥f (x*)，则称 x*为 f (x)在 S 上的局部极小点，f (x* )为局部极小值．若对于所有 x∈N (x*，δ)∩S 且 x≠x*都有 f (x ) > f (x*) ，则称 x*为 f (x )在 S 上的严格局部极小点，f (x* )为严格局部极小值．
定义 6-3 设 f (x)为定义在 n 维欧氏空间 R n 中的某一区域 S 上的
n 元 实 函 数 ， 其 中 x (x1, x2 , , xn )T ． 对 于 x*∈ S， 若 存 在 某 个 ε >0，
对任意的 x∈S 均有 f (x)≥f (x*)，则称 x*为 f (x )在 S 上的全局极小点， f (x* )为全局极小值．若对于所有 x∈S 且 x≠x*都有 f (x) > f (x*) ，则 称 x *为 f (x )在 S 上的严格全局极小点，f (x * )为严格全局极小值．
设 （ x1, x2） 表 示 供 应 中 心 的 待 定 位 置 （ 坐 标 ）， 而 （ ai， bi） 是 第 i 个用户的所在位置，则问题的目标函数是
min{max[ ai x1 bi x2 ]}
x1 , x2
1im
这个式子意昧着，首先对（x1, x2）的每个可能值求出指标 I，使方括 号中的矩形距离最大；其次在依赖于（x1, x2）的所有最大距离中求出 最小的．如果每一位置（x1, x2）都可以接受，那么问题是无约束的； 如果还有其他限制，例如供应中心到某几个用户的距离必须在某个范
非 线 性 规 划 问 题 是 一 类 优 化 问 题 ，在 这 类 问 题 中 ，目 标函数或约束函数至少有一个不是决策变量的线性函 数。显然，非线性规划问题相对于线性规划问题而言更 具一般性，在工程实际中也更普遍．
例 6-1 某公司专门生产储藏用的容器，订货合同要求该公司制造
一种敞口的长方体容器，容积恰好为 12 立方米,该种容器的底必须为
第六章 非线性规划基本概念 与基本原理
本章讲授非线性规划的基本概念、非线 性规划的最优解所满足的必要条件和充分条 件，这些条件是非线性规划的各种数值算法 的推导和分析提供必不可少的理论基础。
本章还将讲授非线性规划问题数值算法 的基本迭代形式和收敛性准则。
6.1 非线性规划的数学模型和基本 概念
6.1.1 非线性规划问题举例
s.t.
2 3
x13
x12 x2
V0
x1≥0，x2≥0
6.1.2 非线性规划问题的一般数学模型
一般非线性规划的数学模型可表示为
min f ( x) s.t. hi ( x) 0(i 1, 2,L , m)
g j ( x) 0( j 1, 2,L , l )
(6-1)
式 中 x ( x1 , x2 ,L , xn )T Rn ， 是 n 维 向 量 ，
围内．则问题是有约束的．
例 6-3 设要设什一个如图 6.1.1 所示的半球形和圆柱形相连接的 构件，要求在构件体积为一定的条件下确定构件的尺寸，使其表面积 最小．
图 6.1.1 半球形和圆柱形相连接的构件
构 件 的 大 小 取 决 于 其 中 圆 住 体 的 底 半 径 和 高 ，今 设 该 圆 柱 体 的 底 毕径为 x1，高为 x2，由于构件的表面由半球顶面、侧面和底面构成， 因此其表面积为
的缩写．
例 6-2 定 位 问 题 假 设 要 选 定 一 个 供 应 中 心 的 位 置 ，由 这 个 中 心 向 城 市 中 位 置 固 定 的 m 个 用 户 提 供 服 务 中 心 供 应 的 商 品 ，可 以 是 电 、水 、 牛奶和其他货物，供应中心的设置定位准则是使从中心到用户的“距 离”最小．例如，可以是使中心到各用户的最大距离为最小，假定在 这个城市里货物必须沿互相垂直的路线（街道）供应，那么合适的距 离函数就是矩形距离．下面列出其数学模型：
目标函数：
min f (x ) = 40x1x2+20x12
约束条件：
x12x2=12
12 x1x2+2 x12 ≤68
x1≥0, x2≥0
记为
min f (x ) = 40x1x2+20x12
s.t x12x2=12
12
x1x2+2
x
2 1
≤68
x1≥ 0
x2≥ 0
其中 s.t 是 subject to（受约束于）的缩写，min 是 minimize（最小化）
S 2x12 2x1 x2 x12
构 件 的 体 积 为 半 球 体 和 圆 住 体 之 和 ，所 以 若 要 使 构 件 的 体 积 为 定 值 V0， 应该满足条件
2 3
x13
x12 x2
V0
又构件的底半径和圆柱体之高显然非负，故还要求
因此本例的数学模型为
x1≥0, x2≥0
min S 2x12 2x1 x2 x12
f , hi (i 1,2, , m), g j ( j 1,2, ,l) 都 是 Rn R 的 映 射 （ 即 自 变 量 是
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n 维向量，因变量是实数的函数关系）．
6.1.3 基本概念
6.1.3．1 局部极值与全局极值
定义 6-1 设 x*∈R n, δ>0，集合 {x | x Rn ,且 x x* }
正 方 形 ，容 器 总 重 量 不 超 过 68 公 斤 ，已 知 用 做 容 器 四 壁 的 材 料 为 每 平
方 米 10 元 ，重 3 公 斤 ；用 做 容 器 底 的 材 料 每 平 方 米 20 元 ，重 2 公 斤 ．试
问制造该容器所需的最小费用是多少？列出数学模型．
设该容器的底边长和高分别为 x1 米和 x2 米，则有
称为 x*的δ邻域，记为 N (x*，δ)，其中 x x* 表示 x 与 x*之间 的距离（通常为 欧几里德距离）．
定义 6-2 设 f (x )为定义在 n 维欧氏空间 E n 中的某一区域 S
上的 n 元实函数，其中 x (x1, x2 , , xn )T ．对于 x*∈S，若存在
某个ε>0，对任意的 x∈N (x*，δ)∩S 均有 f (x )≥f (x*)，则称 x*为 f (x)在 S 上的局部极小点，f (x* )为局部极小值．若对于所有 x∈N (x*，δ)∩S 且 x≠x*都有 f (x ) > f (x*) ，则称 x*为 f (x )在 S 上的严格局部极小点，f (x* )为严格局部极小值．
定义 6-3 设 f (x)为定义在 n 维欧氏空间 R n 中的某一区域 S 上的
n 元 实 函 数 ， 其 中 x (x1, x2 , , xn )T ． 对 于 x*∈ S， 若 存 在 某 个 ε >0，
对任意的 x∈S 均有 f (x)≥f (x*)，则称 x*为 f (x )在 S 上的全局极小点， f (x* )为全局极小值．若对于所有 x∈S 且 x≠x*都有 f (x) > f (x*) ，则 称 x *为 f (x )在 S 上的严格全局极小点，f (x * )为严格全局极小值．
设 （ x1, x2） 表 示 供 应 中 心 的 待 定 位 置 （ 坐 标 ）， 而 （ ai， bi） 是 第 i 个用户的所在位置，则问题的目标函数是
min{max[ ai x1 bi x2 ]}
x1 , x2
1im
这个式子意昧着，首先对（x1, x2）的每个可能值求出指标 I，使方括 号中的矩形距离最大；其次在依赖于（x1, x2）的所有最大距离中求出 最小的．如果每一位置（x1, x2）都可以接受，那么问题是无约束的； 如果还有其他限制，例如供应中心到某几个用户的距离必须在某个范
非 线 性 规 划 问 题 是 一 类 优 化 问 题 ，在 这 类 问 题 中 ，目 标函数或约束函数至少有一个不是决策变量的线性函 数。显然，非线性规划问题相对于线性规划问题而言更 具一般性，在工程实际中也更普遍．
例 6-1 某公司专门生产储藏用的容器，订货合同要求该公司制造
一种敞口的长方体容器，容积恰好为 12 立方米,该种容器的底必须为
第六章 非线性规划基本概念 与基本原理
本章讲授非线性规划的基本概念、非线 性规划的最优解所满足的必要条件和充分条 件，这些条件是非线性规划的各种数值算法 的推导和分析提供必不可少的理论基础。
本章还将讲授非线性规划问题数值算法 的基本迭代形式和收敛性准则。
6.1 非线性规划的数学模型和基本 概念
6.1.1 非线性规划问题举例
s.t.
2 3
x13
x12 x2
V0
x1≥0，x2≥0
6.1.2 非线性规划问题的一般数学模型
一般非线性规划的数学模型可表示为
min f ( x) s.t. hi ( x) 0(i 1, 2,L , m)
g j ( x) 0( j 1, 2,L , l )
(6-1)
式 中 x ( x1 , x2 ,L , xn )T Rn ， 是 n 维 向 量 ，
围内．则问题是有约束的．
例 6-3 设要设什一个如图 6.1.1 所示的半球形和圆柱形相连接的 构件，要求在构件体积为一定的条件下确定构件的尺寸，使其表面积 最小．
图 6.1.1 半球形和圆柱形相连接的构件
构 件 的 大 小 取 决 于 其 中 圆 住 体 的 底 半 径 和 高 ，今 设 该 圆 柱 体 的 底 毕径为 x1，高为 x2，由于构件的表面由半球顶面、侧面和底面构成， 因此其表面积为
的缩写．
例 6-2 定 位 问 题 假 设 要 选 定 一 个 供 应 中 心 的 位 置 ，由 这 个 中 心 向 城 市 中 位 置 固 定 的 m 个 用 户 提 供 服 务 中 心 供 应 的 商 品 ，可 以 是 电 、水 、 牛奶和其他货物，供应中心的设置定位准则是使从中心到用户的“距 离”最小．例如，可以是使中心到各用户的最大距离为最小，假定在 这个城市里货物必须沿互相垂直的路线（街道）供应，那么合适的距 离函数就是矩形距离．下面列出其数学模型：
目标函数：
min f (x ) = 40x1x2+20x12
约束条件：
x12x2=12
12 x1x2+2 x12 ≤68
x1≥0, x2≥0
记为
min f (x ) = 40x1x2+20x12
s.t x12x2=12
12
x1x2+2
x
2 1
≤68
x1≥ 0
x2≥ 0
其中 s.t 是 subject to（受约束于）的缩写，min 是 minimize（最小化）
S 2x12 2x1 x2 x12
构 件 的 体 积 为 半 球 体 和 圆 住 体 之 和 ，所 以 若 要 使 构 件 的 体 积 为 定 值 V0， 应该满足条件
2 3
x13
x12 x2
V0
又构件的底半径和圆柱体之高显然非负，故还要求
因此本例的数学模型为
x1≥0, x2≥0
min S 2x12 2x1 x2 x12
f , hi (i 1,2, , m), g j ( j 1,2, ,l) 都 是 Rn R 的 映 射 （ 即 自 变 量 是
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n 维向量，因变量是实数的函数关系）．
6.1.3 基本概念
6.1.3．1 局部极值与全局极值
定义 6-1 设 x*∈R n, δ>0，集合 {x | x Rn ,且 x x* }