导数运算与导数公式

x0
y 2y
x0 y 1
1 2
例9 求 x2 y 2 xy 4在点(2,2)的切线方程
y 例10 由ln x y arctan 确定y是x的函数, 求y x
2 2
6 对数求导法
( x 1)3 x 1 , 观察函数 y 2 x ( x 4) e y x
二、计算下列各函数的导数：
10 x 1 1 1、 y ；2、 y x ； 2 10 1 1 x x 1 t 2 csc x 3、 y ； 4、 f ( x ) ,求 f ( 4) ； 2 1 t 1 x x a b a b x 5、 y (a 0, b 0) . b x a
同理可得
(arccos x )
1 ; 2 1 x
1 1 x
2
.
(arctan x )
1 ( arccot x ) . 2 1 x
例 求下列函数的导数
tanx (1) y 33 x arctan x x sinx ( 2) y secx tanx - 2x arcsinx
x2 1 例4 求函数 y ln 3 ( x 2) 的导数. x2
例5
求函数 y e
sin
1 x
的导数.
5.隐函数的导数
定义: 由方程F ( x , y ) 0所确定的y关于x的 函数称为隐函数 . 隐函数求导法则:
用复合函数求导法则直接对方程两边对x求 导,y看成x的函数.
2 三、求抛物线 y ax bx c 上具有水平切线的点.
1 x 四、写出曲线 y x 与 轴交点处的切线方程. x
练习题答案
2 sin x x x 一、1、 x ( cos x ) ；2、3a ln a e 2 ； 2x x 3 sec x ( 2 sec x tan x ) 2 3、 ； 4 、 ；5、 ；6、 . 25 4 1 2x 10 x 2 ln 10 二、1、 ； 2、 ； 2 2 x 2 (1 x x ) (10 1) 1 2 csc x[(1 x 2 ) cot x 2 x ] 3、 ； 4、 ； 2 2 18 (1 x ) a x b a x b a ab ). 5、( ) ( ) ( ) (ln b x a b x 2 b b 4ac ). 三、( , 2a 4a 2x y 2 0 2x y 2 0 四、 和 .
例
求下列函数的导数 解
y (sec x ) (
sec x tan x .
(1) y sec x
(cos x ) sin x cos 2 x cos 2 x
同理可得
1 ) cos x
(csc x ) csc x cot x .
sin x ( 2) y tan x 解 y (tan x ) ( ) cos x (sin x ) cos x sin x(cos x ) cos 2 x sin2 x 1 2 sec x 2 2 2 cos x cos x cos x
例8
求由方程 e sin x y y 所确定的隐函数 dy dy y的导数 , x0 . dx dx
xy 2 2
解
方程两边对x求导,
exy(y xy) cosx2y(2xy x2y) 2yy
解得
2xy cos x 2 y ye xy y , 2 2 xy 由原方程知 x 0, y 1, 2y x cos x y xe dy dx
2
( 2) y (1 2x) , x 0 ( 3) y x e x e , x 0
x2 x2 ex ex
1 x
练 习 题
一、 填空题： 3 2 2 1、 设 x 2 x y 5 xy 5 y 1 0 确定了 dy y 是x 的函数，则 =________. dx (1,1) 3 3 x y xy 7 在点（1，2）处的切线方程是 2、 曲线 ___________. 3、 设 xy e
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
( x 1)3 x 1 1 1 2 y [ 1] 2 x x 1 3( x 1) x 4 ( x 4) e
例9 设 y x sin x ( x 0), 求y.
解
(1) y ax b (2) y xlnx (3) y x sinx lnx
(4) y 2x x 2 sin x 2 ( 5) y xa a x a a
(6) y xtanx - cscx xsinx (7) y 1 tanx 1 - lnx ( 8) y 1 lnx
写成导函数形式为 : y f [g(x)] g(x)
dy dy du 或 dx du dx
推广
设 y f ( u), u (v ), v ( x ),
则复合函数 y f { [ ( x )]}的导数为 dy dy du dv . dx du dv dx
注意:
[u( x ) v ( x )] u( x )v( x );
u( x ) u ( x ) [ ] . v( x ) v ( x )
2.反函数的导数
如果函数 y f ( x )在(a, b )内严格单调、可导 则它有反函数x ( y ),当f ( x ) 0 时, x ( y )可导, 且有 1 ( y ) . f ( x )
3. 导数的基本公式
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4.复合函数的导数
如果函数 u g( x )在点 x0可导 , 而y f (u ) 在点 u 0 ( x0 )可导 , 则复合函数 y f [g( x )]在点 x0可导, 且其导数为 dy |x x0 f (u 0 ) g( x0 ). dx
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
思考题
99 g ( x ) f ( x) ( x 1) g ( x) 设 在x=1处连续，
且 g(1)=5 ,求 f ' (1) .
练 习 题
一 、 填 空 题 ： 1 、 设 y x sin x ， 则 y = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 2 dy x x 2、 设 y 3a e ， 则 =__________. x dx dy x 2 y e ( x 3 x 1 ) 3、 设 ,则 = __________. dx x 0 y 2 tan x sec x 1 4、 设 ,则 y =_________. 3 x2 5、 设 y f (x ) ,则 f ( 0 ) =________. 5 x 5 x 0 6 、 曲 线 y sin x 在 处 的 切 线与 x 轴 正 向 2 的 夹 角 为 _________.
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
例 解
求函数 y arcsin x 的导数.
x sin y在 y ( , )内单调、可导, 2 2
且 (sin y ) cos y 0,
在 x ( 1,1)内有
1 1 1 1 (arcsin x ) ) . 2 2 (sin y ) cos y 1 sin y 1 x
推论
(1) [ f i ( x )] f i( x );
( 2) [ fi ( x )] f1 ( x )f 2 ( x )fn ( x )
i 1
i 1 n i 1
n
n
( x) f1 ( x )f 2 ( x )fn 1 1 ( 3) ( ) 2 g( x) g(x) g ( x)
即
(tan x ) sec 2 x .
同理可得
(cot x ) csc 2 x .
( 3) y log a x (a 0, a 1)
解:
ln x 1 1 (log a x ) ( ) (ln x ) ln a ln a x ln a
例 求下列函数的导数
等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 1 y cos x ln x sin x y x
1 y y(cos x ln x sin x ) x sin x sin x x (cos x ln x ) x
例11 求下列函数的导数 : x 1 (1) y 2 2x x
导数的基本公式与运算法则
1. 和、差、积、商的求导法则 2. 反函数的导数
3. 导数的基本公式
4. 复合函数与隐函数求导 5. 取对数求导
1.和、差、积、商的求导法则
定理
设f(x),g(x)在x点可导,则
(1) [ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x); (2) [ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x); f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) (3) [ ] ( g ( x) 0). 2 g ( x) g ( x)
sin x
.
方法:
先在方程两边取对数, 然后等式两边求导求出 导数. --------对数求导法 适用范围:
多个函数相乘和幂指函 数 u( x )
v( x)
的情形.
( x 1)3 x 1 例8 设 y , 求y. 2 x ( x 4) e
解 等式两边取对数得
1 ln y ln( x 1) ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3 上式两边对x求导得
x y
dy , 则 =________. dx
二、 用对数求导法则求下列函数的导数： x2 1、 y x ； x 2( 3 x ) 4 2、 y ； 5 ( x 1)
x 3、 y x sin x 1 e . 4、 Y=x(x-1)(x-2)…(x-2000)
1 3 三、设 f ( x ) 满足，f ( x ) 2 f ( ) 求 f ( x ). x x
例1 解
求函数 y ln sin x 的导数.
y ln u, u sin x .
dy dy du 1 cos x cos x cot x dx du dx u sin x
例2 求函数 y ( x 2 1)10 的导数 .
2 x 2 a x 2 a x arcsin 的导数 . 例3 求函数 y 2 2 a ( a 0)