4-28几何证明选讲(选修4-1)

在解决与圆有关的问题时， 作圆的直径就可以利用直 径上的圆周角是直角， 往往能使问题找到突破口． 直径上 的圆周角是直角是圆周角定理的一个特殊情况， 这个定理 无论在几何证明中还是在高中数学的其他地方都有重要 应用，应熟练掌握．
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求证：DG· DE＝DF· EG. [分析] 由于条件中有平行线，考虑平行线(等)分线
段定理及推论，利用相等线段(平行四边形对边相等)，经 中间比代换，证明线段成比例，得出等积式．
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[证明] ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥DC，AD＝BC， DG AD ∵AD∥BC，∴ ＝ ， EG EC DF BC AD DG DF 又∵AB∥DC，∴ ＝ ＝ ，∴ ＝ ， DE EC EC EG DE 即 DG· DE＝DF· EG.
数学（理） 第17页
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切线 长定 理
PA、PB 是 (1)PA＝PB
(1) 证 线 段 相
Hale Waihona Puke ⊙ O 的 切 (2) ∠ OPA ＝ 等，已知 PA 线 ∠OPB 求 PB(2)求角
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高频考点
类型一 平行线(等)分线段成比例定理的应用
【例 1】 如图，F 为 ABCD 边上一点，连 DF 交 AC 于 G，延长 DF 交 CB 的延长线于 E.
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(3)相似三角形的性质 ①相似三角形的性质(一) (ⅰ)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角 平分线的比都等于相似比． (ⅱ)相似三角形周长的比等于相似比． (ⅲ)相似三角形面积的比等于相似比的平方． ②相似三角形的性质(二)
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由①②得 AD4＝BD2· 2＝BE· AB· DC CF· AC ＝BE· AD· CF· BC， ∴AD3＝BC· CF. BE·
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类型四
圆内接四边形性质及判定定理的应用
【例 4】 如图，已知 AP 是⊙O 的切线，P 为切点， AC 是⊙O 的割线，与⊙O 交于 B，C 两点，圆心 O 在∠ PAC 的内部，点 M 是 BC 的中点．
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考纲要求
4．应用圆内接四边形的性质进行推理． 5．利用圆的切线的性质和判定进行推理和证明． 6．利用圆中的比例线段进行计算和推理．
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要点串讲
1.平行线分线段成比例定理及推论 (1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线 段成比例． (2)推论： 平行于三角形一边的直线截其他两边(或 两边的延长线)所得的对应线段成比例． 2．相似三角形的判定及性质 (1)相似三角形的判定
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类型二
相似三角形判定定理、性质定理的应用
【例 2】 如图，BD、CE 是△ABC 的高，求证：△ ADE∽△ABC.
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[分析]
易证△AEC ∽△ADB， 可得
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[证明] ∵BD、CE 是△ABC 的高， ∴∠AEC＝∠ADB＝90° ， AD AE 又∵∠A＝∠A，∴△AEC∽△ADB，∴ ＝ ， AB AC 又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.
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(2)圆内接四边形的判定定理及推论 ①判定定理： 如果一个四边形的对角互补， 那么这个 四边形的四个顶点共圆． ②推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对 角，那么这个四边形的四个顶点共圆．
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5．圆的切线的性质及判定定理 (1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． (2)推论： ①推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切 点． ②推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆 心．
(ⅰ)相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比． (ⅱ)相似三角形外接圆的面积比等于相似比的平方．
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3．圆周角定理
(1)圆周角定理及其推论
①定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角
的一半． ②推论 (ⅰ)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆 中，相等的圆周角所对弧也相等．
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②定理 1：如果两个直角三角形有一个锐角对应相 等，那么它们相似． ③定理 2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成 比例，那么它们相似． ④定理 3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边 与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这 两个直角三角形相似．
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类型六
与圆有关的比例线段
【例 6】 如图所示，已知⊙O1 与⊙O2 相交于 A、B 两点，过点 A 作⊙O1 的切线交⊙O2 于点 C，过点 B 作两 圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2 于点 D、E，DE 与 AC 相 交于点 P.
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6．弦切角的性质 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
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7．与圆有关的比例线段 定理 名称 相交 弦定 理 基本 图形 条件 结论 (1)PA· PB PC· PD 应用 ＝ (1)在 PA、PB、 PC、 四线段 PD
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数学（理） 第32页
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(2)由(1)得，A，P，O，M 四点共圆， 所以∠OAM＝∠OPM， 由(1)得 OP⊥AP，由圆心 O 在∠PAC 的内部， 可知∠OPM＋∠APM＝90° ， ∴∠OAM＋∠APM＝90° .
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数学（理） 第11页
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(ⅱ)推论 2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对的弦是直径． (2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数． 4．圆内接四边形的性质与判定定理 (1)圆内接四边形的性质定理 ①定理 1：圆内接四边形的对角互补． ②定理 2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对 角．
角三角形射影定理的两个条件， 选择合适的直角三角形是 解决问题的关键．
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[证明] ∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90° ， 在 Rt△ADB 中，∵DE⊥AB， 由射影定理得 BD2＝BE· AB， 同理 CD2＝CF· AC， ∴BD2· 2＝BE· CF· CD AB· AC 又在 Rt△ABC 中，AD⊥BC，∴AD2＝BD· DC ① ②
第四部分
选考内容
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第二十八讲 几何证明选讲(选修4－1)
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考纲要求
1.利用平行线等分线段定理和平行线分线段成比例 定理进行相关推理和计算． 2．相似三角形的判定及有关性质，直角三角形的 射影定理的应用． 3．应用圆心角、圆周角、弦切角定理说明角之间 的关系．
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类型五
圆的切线的性质及判定的应用
【例 5】 已知 AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切 线，切点为 B，OC 平行于弦 AD(如图)． 求证：DC 是⊙O 的切线．
数学（理） 第34页
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[分析] 因为 DC 过⊙O 上的点 D，所以可连接 OD， 只要证明 DC⊥OD，因为 BC 和⊙O 切于 B，所以∠OBC ＝90° ，因此只需证∠ODC＝∠OBC，而这两个角分别在 两个三角形中，只需证它们全等．
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①预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边 (或两边的延长线)相交， 所构成的三角形与原三角形相似． 如图，若 EF∥ BC，则△AEF∽△ABC.
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②判定定理 1：两角对应相等，两三角形相似． ③判定定理 2：两边对应成比例且夹角相等，两三角 形相似． ④判定定理 3：三边对应成比例，两三角形相似． (2)直角三角形相似的判定 ①上述所有的任意三角形相似的判定皆适用于直角 三角形．
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类型三 【例 3】
直角三角形射影定理的应用 如图，在 Rt△ABC 中，
∠BAC＝90° ，AD⊥BC 于 D，DF⊥AC 于 F，DE⊥ AB 于 E，求证：AD3＝BC· CF. BE·
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[分析]
题目中有直角三角形和斜边上的高符合直
(1)求证：AD∥EC； (2)若 AD 是⊙O2 的切线， PA＝6， 且 PC＝2， BD＝9， 求 AD 的长． [分析] (1) 要证AD∥EC → 可证∠D＝∠E → 寻找中间角，可连接AB
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(2)
可由相交弦定 理和平行线分 线段成比例定 理求得
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(1)求证：A，P，O，M 四点共圆； (2)求∠OAM＋∠APM 的大小． [分析] 要证 A、P、O、M 四点共圆，可考虑四边形 APOM 的对角互补；根据四点共圆，同弧所对的圆周角 相等， 进行等量代换， 进而求出∠OAM＋∠APM 的大小．
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x＝3 由①②可得， y＝4 x＝－12 或 y＝－1
①
②
(舍去)，
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∴DE＝9＋x＋y＝16. ∵AD 是⊙O2 的切线，DE 是⊙O2 的割线， ∴AD2＝DB· DE＝9×16，∴AD＝12.
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弦 AB、 CD 相交于圆 内点 P
(2) △ ACP ∽ 中知三求一 △BDP (2)求弦长及角
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(1)求线段 PA、 (1)PA· PB 割线 定理 PD PAB、 PCD 是 ＝PC· ⊙O 的割线 (2)△PAC ∽△PDB (1)PA2 ＝ PB· PC (2)△PAB ∽△PCA PB、PC、PD 及 AB、CD(2)应用 相似比求 AC、 BD 切割 线定 理 PA 切⊙O 于 A，PBC 是⊙ O 的割线 (1)已知 PA、 PB、 PC 知二可求一 (2)求解 AB、CA
数学（理） 第35页
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[证明] 连接 OD. ∵OA＝OD，∴∠1＝∠2， ∵AD∥OC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4， ∴∠3＝∠4. 又∵OB＝OD，OC＝OC， ∴△OBC≌△ODC， ∴∠OBC＝∠ODC.
数学（理） 第36页
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∵BC 是⊙O 的切线， ∴∠OBC＝90° ∴∠ODC＝90° ， ∴DC 是⊙O 的切线．
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[解]
(1)证明：连接 OP，OM，
∵AP 与⊙O 相切于点 P， ∴OP⊥AP， ∵M 是⊙O 的弦 BC 的中点， ∴OM⊥BC， 于是∠OPA＋∠OMA＝180° . 由圆心 O 在∠PAC 的内部，可知四边形 APOM 的对角 互补，所以 A，P，O，M 四点共圆．
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[解]
(1)证明：连接 AB，
∵AC 是⊙O1 的切线， ∴∠BAC＝∠D. 又∵∠BAC＝∠E， ∴∠D＝∠E，∴AD∥EC.
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(2)设 BP＝x，PE＝y. ∵PA＝6，PC＝2， ∴由相交弦定理得 PA· PC＝BP· PE，xy＝12 ∵AD∥ EC， 9＋x 6 DP AP ∴ ＝ ，∴ ＝ PE PC y 2
好方法好成绩
1.圆中关于角的三个定理 圆心角定理：圆心角等于它所对弧的度数；圆周角 定理：圆周角等于它所对弧的度数的一半；弦切角定理： 弦切角的度数等于所夹角弧度数的一半．这是三个相互 关联的定理， 这三个定理通过其所对的弧建立相互关系， 是解决圆的问题中所不可缺少的工具．
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