初识分形
分形的概念和应用
起源：分形概念起源于1975年，由数学家Benoit Mandelbrot提出
概念：分形是指具有自相似性的几何形状，即无论放大或缩小，其形状保持不变
应用：分形在数学、物理学、生物学、经济学等领域都有广泛的应用
发展：分形概念的发展推动了许多学科的研究，如混沌理论、复杂系统等
生物学：分形理论在生物学பைடு நூலகம்的应用，如分形生物学、分形生态学等
计算机科学：分形理论在计算机科学中的应用，如分形图像处理、分形建模等
数学：分形理论在数学中的广泛应用，如分形几何、分形分析等
物理学：分形理论在物理学中的应用，如分形物理学、分形宇宙学等
分形渲染：利用分形算法进行3D渲染，提高渲染效率和效果
分形建模：利用分形原理进行3D建模，如分形城市、分形建筑等
平面设计：分形图案在平面设计中的应用，如海报、广告、包装等
艺术创作：分形图案在艺术创作中的应用，如绘画、雕塑、装置艺术等
汇率市场：分形理论可以用来预测汇率市场的波动和趋势
金融风险管理：分形理论可以用来评估和管理金融风险
股票市场：分形理论可以用来预测股票市场的波动和趋势
经济周期：分形理论可以用来解释经济周期的波动和规律
生成纹理：为3D模型添加分形纹理，增强视觉效果
生成动画：制作分形动画，如分形爆炸、分形生长等
生成自然景观：模拟山脉、河流、树木等自然景观
生成艺术作品：创作分形艺术作品，如分形图案、分形动画等
数学：分形理论在数学中的广泛应用，如分形几何、分形分析等
计算机科学：分形理论在计算机科学中的广泛应用，如分形算法、分形图像处理等
分形市场假说：描述金融市场的复杂性和不可预测性
分形时间序列分析：用于分析金融数据的时间序列特征
初中数学分形课件
混沌一开， 乾坤乃定。 历经无数分叉路， 柳暗花明见新村。 教育立国， 科技兴邦， 两个强劲吸引子， 交织出一幅美丽分形。 万众协同， 应变持恒。 依凭超循环作用， 借助蝴蝶效应， 向着同宿点， 奋起马蹄奔前程。
(付新楚(1961- )《混沌寄情》)
现科学之美， 探复杂之谜， 映射突变， 分形遇与混沌帝。 马蹄迭代驱寂寞， 落霞覆涟漪， 斑图指进临境， 连络廿一世纪。 (刘华杰）
谢 谢 欣 赏 ！
分形的应用领域
数学中的动力系统等;
物理中的布朗运动,流体力学中的湍流等; 化学中酶的构造等;
生物中细胞的生长等;
地质学中的地质构造等;
天文学中土星光环的模拟等;
其它:计算机,经济学,社会学,艺术等
—连接在一起的三段Koch曲线构成一个雪花曲线
随机Koch曲线 ——对海岸线的模拟
分形树叶
分形树叶(续1)分形树Fra bibliotek(续2)分形树叶(续3)
花草树木(L 系统）的一个例子
一些分形图片:
（
Z n1 Z c
2 n
（
z 和 c 都是复数）
蝴蝶函数： 花函数：
洛伦兹吸引子
函数图形(天鹅)是帮加莱截面映射
图形(稻草)是描述植物生长的PL规则图案
/
与分形有关的诗
幻境风云起，人间纷扰多。 醉弄光影躯，轻舞自婀娜。 (宋爽)
分念成形窥色相，共灵显迹化虚无。 出有入无成妙道，分形露体共真源。 (摘自《慧命经· 化身图释词》)
第一步
Sierpinsk垫片的生成过程 —第2步
Sierpinsk垫片的生成过程 —第3步
Sierpinsk垫片的生成过程 —第4步
Koch曲线
分形的定义及其特点
分形定义与特点解析
哎呀，说起这个分形啊，它就像咱们四川的山山水水，层层叠叠，复杂又迷人。
分形嘛，简单来说，就是那些看起来自相似，不管你咋个放大缩小，它都长得差不多的图形或者结构。
就像你站在峨眉山脚看金顶，跟你在金顶上看周围的云海，那种层层叠叠、云雾缭绕的感觉，差不多就是分形的一个味儿。
分形的特点，第一就是自相似性，就像我前面说的，它自个儿跟自个儿像，不管大小，都有那么一股子“家族脸”。
第二呢，就是无限复杂性，你越往细里看，它就越复杂，好像永远都看不完，跟咱们四川的竹林一样，一根竹子里头还有无数小枝丫，小枝丫上又有更细的，没完没了。
再来说说它的应用，那可就广了。
在自然界里头，雪花、河流的分支、树叶的脉络，都是分形的杰作。
在科学里头，分形理论还被用来研究天气变化、股市波动这些看似杂乱无章，实则暗藏规律的东西。
就连咱们画画、设计里头，也经常能见到分形的影子，让作品看起来更加生动、有层次感。
所以说，分形这个东西，它不仅仅是数学上的一个概念，更是大自然和人类智慧的一种奇妙结合。
咱们四川人讲究的是“巴适”，我觉得分形就挺“巴适”的，既复杂又简单，既抽象又具体，让人越看越有味儿。
第四章 分形041019105835
Df ： 显然，D 即为相应图形的维数。对上式取对 数，并将 D 记为 D f log log K L (4-1-2)
可以见到，对于正规的几何图形，(4-1-2)式的分子刚好可以为分母所整除， D f 为整数，这就是我们所熟悉的欧几里德维数。但对于不规则的几何图形， (4-1-2) 式不总是可以整除的，于是在一般情况下，一个几何图形的维数是个分数， 简称 为分维。这就是说，规则几何图形是一般几何图形的特殊情况，与此相对应 f 常称为豪斯道夫维数。 的分数维概念， 的整 数维数也只是一种特例。这就是 1919 年由法国数学家豪斯道夫(Hausdorff) 我们还可以从另外角度来讨论图形维数的定义。例如，一个具有单位面积的 引进 正方形，现在把它等分成九个小正方形，即九个小正方形相加等于原来的面积， D 而这时小正方形的边长缩小为原来长度的 1/3 倍。上述关系为： 9×(1/3)2＝1 (4-1-3)
2. 规则分形
现在来看一些比较特殊的几何图形，它们是在曼德布罗特提出分形理论之前， 由许多数学家构造出来的一批具有自相似的几何图形，如康托尔(Cantor)点集， 科赫(Koch)曲线，谢尔宾斯基(Serpinski)地毯等。这些数学家当时是从纯数学兴 趣来构造这些图形，并称之为“病态图形”。现在采用分形理论去研究它们时， 可以看到这些图形与正规几何图形之间存在着直接的联系。
图 4-1 布朗微粒运动的径迹
基于测量对象体形上的自相似性与标度不变性，曼德布罗特提出了分形理论。 首先，他在 1973 年在法兰商学院讲学期间提出了分形的几何学的基本思想，接 着在 1977 年他出版了第一本著作：《分形对象：形、机遇与维数》，而在 1982 年出版了第二本著作：《自然界的形几何学》，从而奠定了这门新科学的基础。 分形的英文词是“fractal”，是曼德布罗特创造的，用以表征某些不规则的几何形 体。他给出的分形定义为： A fractal is a shape made of parts simslar to the whole in some way”，即“分形是其组成部分以某种方式与整体相似的图形”，或者说， 分形是指一类体形复杂的体系，其局部与整体具有相似性。与人们熟悉的整规体 形的整数维不同，分形体的维数不一定是整数，它可取连续变化的各种数值，称 之为分形维数，或简称分维。根据分形体的不同特征，有多种分形维数的定义， 而且由不同分形维数定义计算出的维数也有一些差别。 目前，分形的研究现已大大地超出了数学、物理学的范畴，它不仅广泛用于 处理自然科学中相关问题，象雷电、相变、聚合物生长等等，而且在扩展到生态、 生命、经济、人文的许多领域。在地震、气象的预报预测、石油的多次开采等应 用领域，甚至在股票涨落分析等方面，分形也都得到了广泛的应用。由此可见， 分形为人们处理复杂对象提供了一个强有力的工具。尤其值得一提的是虽然从表 面上看来，分形似乎和前面讨论过的非线性动力学无多大关系，但是深入研究发 现，分形与系统的混沌运动是密切相关的，它是非线性科学中的另一个重要分支。
大班数学教案分形
大班数学教案分形一、引言分形是一种具有自相似性和无限细节的数学图形，具有广泛的应用和研究价值。
本教案将介绍大班数学课程中关于分形概念的教学内容，旨在培养学生的观察力和创造力，帮助他们理解数学中的抽象概念。
二、教学目标1.了解分形的基本概念和特征；2.学习观察和分析分形图形；3.培养学生的创造力和解决问题的能力。
三、教学准备1.白板、黑板或投影仪；2.数学课本和练习册；3.笔、纸和尺子。
四、教学过程第一节：认识分形1.分形的定义和特征（教师讲解）：–分形是一种具有自相似性的数学图形；–分形具有无限的细节，并且在各个尺度上都有相似的结构。
2.分形的例子（教师示范）：–科赫雪花；–谢尔宾斯基三角形；–蒙德里安风格的图形。
第二节：观察分形图形1.小组活动：观察和分析分形图形（学生讨论）–将学生分成小组，每个小组观察一种分形图形；–学生讨论图形的特征、规律和自相似性。
2.学生报告（小组展示）–每个小组派代表报告他们观察到的分形特征；–教师指导学生提出问题和讨论。
第三节：创造分形图形1.分形图形的制作（学生实践）：–学生使用尺子和纸制作自己的分形图形；–可以使用递归的方法或其他方法。
2.学生展示和评价（学生展示）–学生展示自己制作的分形图形；–其他学生对作品进行评价和提出改进建议。
第四节：巩固练习1.教师出示多个分形图形，要求学生分析和描述图形的特征和规律。
2.学生完成练习册上的练习题，加深对分形的理解和应用。
五、教学总结通过本次课程，学生了解了分形的基本概念、特征和应用。
通过观察、分析和制作分形图形，学生的观察力和创造力得到了培养和发展。
通过练习和讨论，学生对分形有了更深入的理解。
这些能力和知识对学生的数学学习和解决问题的能力有着积极的影响。
六、拓展阅读•Mandelbrot B.B. (1983). The Fractal Geometry of Nature. W.H.Freeman and Company.•Falconer, K. (1990). Fractal Geometry - Mathematical Foundations and Applications. John Wiley & Sons.。
斐波那契数列与黄金分割
分形几何学将成为许多物理现象的有力工具。
1974年，就职于IBM托马斯·沃森研究中心的Mandelbrot萌生出一种新的 几何测量思想，用这个思想描述股票价格波动，结果显示整个市场从它的
10.门格尔海绵(Menger sponge)
分形的定义
Kenneth Falconer的定义（描述性）
分形的原意是不规则的、分数的、支离破碎的，它是一种具有自 相似性的图形、现象或物理过程等。
• 它具有精细的结构，即在任意小的尺度下，它可以有更小 的细节；
• 它是如此的不规则，无论从局部还是整体看，它都无法用 微积分或传统的几何语言来描述;
4.柯赫曲线(Koch curve)
5.柯赫雪花(Koch snowflake)
6.明可夫斯基香肠(Minkowski sausage)
7.皮亚诺曲线(Peano curve)
8.谢尔宾斯基三角垫(Sierpinski triangle gasket)
9.谢尔宾斯基方毯(Sierpinski carpet)
最大尺度到最小尺度是自相似的，这就是分形的雏形。后来，Mandelbrot 转向研究数据传输的噪声问题，他用自己萌发的几何学思路提出了一个模
型，该模型不用天文学数据，仅通过数学图形就显示出天体物理家证实的
宇宙星系分布。
Mandelbrot所做的描述，正是以19世纪数学家Cantor命名的抽象构造-Cantor集。这种高度抽象的描述对试图控制误差是有意义的。分析表明， 不应靠加强信号来淹没噪声，而应采用适当的信号。他认为“自相似绝不
• 它本身的结构通常在大小尺度上有某种自相似的性质； • 它的分形维数大于它的拓扑维数； • 在多数情况下，它可以由迭代方法产生； • 它通常具有“自然”的外貌。
分形
在 Sierpinski 三角形中，我们首先作一个完全 填充的三角形（二维）。然后，我们从中间移去一 个三角形，然后再在剩下的三角形中分别移去一个 三角形。最终它的面积等于零了，于是，它的维数 自然小于 2 ，但是却永远达不到 1 ，因为，无论何 处，它都不接近一条线。所以，它的维数也在 2与 1 之间，经过数学计算，它的真正维数大约是 1.5850 。
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Koch 雪 花 和 Sierpinski 三 角 形 也 是 比较典型的分形图形，它们都具有严格的 自相似特性。但是在前面说述的 Mandelbrot集合却并不严格自相似。所以， 用“具有自相似”特性来定义分形已经有 许多局限了。
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我们把具有某种方式的自相似性的图形 或集合称为分形。自相似性就是局部与整体相 似，局部中又有相似的局部，每一小局部中包 含的细节并不比整体所包含的少，不断重复的 无穷嵌套，形成了奇妙的分形图案，它不但包 括严格的几何相似性，而且包括通过大量的统 计而呈现出的自相似性。
分 形
Fractal
1
作为一门新兴学科，分形不但受 到了科研人员的青睐，而且因为 其广泛的应用价值，正受到各行 各业人士的关注。那么，在我们 开始学习分形之前，首先应该明 白的一件事情是：什么是分形？
2
严格地而且正式地去定义分形是一件非常复 杂而且困难的事情。但是，有一些不太正规的定 义却可以帮助我们理解分形的含义。在这些定义 中，最为流行的一个定义是： 分形是一种具有自相似特性的现象、图像或 者物理过程。 也就是说，在分形中，每一组成部分都在特 征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已。
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分形的历史发展
• 分形的研究可以上溯到很久以前。大约100年前分形的 思想已经开始出现在数学领域。但是，就像其它的一些革命 性的思想一样，分形的研究受到了主流学术的谴责，被人们 认为只是研究一些数学中的怪异现象。那个时候著名的数学 家 Charles Hermite 把分形称为“怪物”，这代表了绝大 多数人的观点。 IBM公司的数学家 Benoit B. Mandelbrot 认真地研究 了分形与自然的关系。他向人们展示了分形广泛地存在于我 们身边，一些现象都能够用分形来进行准确的描述。他和他 的同事们用分形来描述树和山等复杂事物。他还扩展了维数 的概念，开创性地提出了分数维的概念，并创造了“fractal” 一词。“ fractal”就是我们所说的“分形”，也叫“分维”， 台湾的学者则称之为“碎形”。为了褒奖 Mandelbrot 的突 15 出贡献，人们把他称为“分形之父”。
分形的感受和理解
我对分形的认识和感受
白丹丹 12计应三 12051433
首先，分形是具有以非整数维形式充填空间的形态特征的数学工具。
我们身处的大自然不规则的显现普遍存在。
如果任由其自由发展不去探索我们肯定是一无所得的除了从自然获取养分之外。
因此被称为描述大自然的分形几何学肯定是要应运而生的。
像其他科学一样分形的提出便很快得到了社会的各个科学领域的关注。
我想，而且在实用上分形几何都具有重要价值。
著名的物理学家惠勒说过这样一句话：“谁不知道熵概念就不能被认为是科学上的文化人，将来谁不知道分形概念，也不能称为有知识。
”足见分形在科学领域的的重要性。
它的出自现描述了然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象。
例如，弯弯曲曲的海岸线、令人眼花缭乱的满天繁星等。
它们的特点都是，极不规则或极不光滑。
直观而粗略地说，这些对象都是分形。
想到分形我的第一印象就是花菜，因为花菜的特征完全符合曼德勃罗给分形下过的定义：部分与整体以某种形式相似的形，称为分形。
分形从上世纪80年代初开始便经久不息。
它作为一种新的概念和方法，正在许多领域开展应用探索。
分形几何不仅展示了数学之美，也揭示了世界的本质，还改变了人们理解自然奥秘的方式；可以说分形几何是真正描述大自然的几何学，对它的研究也极大地拓展了人类的认知疆域。
分形科普教学课件(一)
分形科普教学课件(一)分形科普教学教学内容•什么是分形•分形的特点和应用•分形的种类和形式教学准备•实物展示：分形图案的打印件或示意图•教学演示软件：例如Fractal Explorer等•白板或投影仪教学目标1.理解分形的概念和特点2.掌握分形的常见种类和形式3.了解分形在科学、艺术、建筑等领域的应用设计说明本节课采用展示、讲解和操作的方式进行分形科普教学。
首先通过实物展示和讲解引入分形的概念和特点，然后通过教学演示软件展示分形的种类和形式，最后讲解分形在各个领域的应用。
教学过程1.引入（5分钟）–展示分形图案的实物或示意图，引起学生的兴趣和好奇心。
–提问：你们是否见过这样的图案？它们有什么特点？2.讲解概念（10分钟）–讲解分形的定义：图形的某个部分与整体具有相似之处，即自相似性。
–引导学生理解自相似性的概念：无论放大还是缩小，图形的细节都保持相似。
–举例说明分形的概念：如科赛雪花、谢尔宾斯基三角形等。
3.展示种类和形式（15分钟）–使用教学演示软件展示常见的分形种类和形式，如曼德布罗集合、茱利亚集合等。
–讲解每种分形的生成原理和特点，与学生进行互动讨论。
4.应用展示（10分钟）–分享分形在科学、艺术、建筑等领域的应用案例，如分形在生物学中的应用、分形艺术品欣赏等。
–引导学生思考：为什么分形在各个领域都有广泛的应用？5.总结和拓展（5分钟）–概括分形的概念、特点和应用。
–提醒学生可以自己通过软件或其他方式制作分形图案，并进行拓展和创新。
课后反思本节课通过实物展示、讲解和教学演示软件的方式，引导学生了解分形的概念、特点和应用。
学生们对分形产生了浓厚的兴趣，积极参与讨论和互动。
但在教学过程中有些学生存在一定的理解困难，下次可以适当增加示意图和例子的数量，加强概念的理解和掌握。
鼓励学生进行拓展和创新，提高课后作业的引导性，促使学生自主学习和实践。
分形科普教学（续）教学内容•什么是分形•分形的特点和应用•分形的种类和形式教学准备•实物展示：分形图案的打印件或示意图•教学演示软件：例如Fractal Explorer等•白板或投影仪教学目标1.理解分形的概念和特点2.掌握分形的常见种类和形式3.了解分形在科学、艺术、建筑等领域的应用设计说明本节课采用展示、讲解和操作的方式进行分形科普教学。
高一数学中的分形几何初步是什么
高一数学中的分形几何初步是什么在高一数学的学习中，我们会接触到一个新奇而有趣的概念——分形几何。
这一概念仿佛为我们打开了一扇通往奇妙数学世界的大门，让我们能够以全新的视角去理解和探索周围的事物。
那么，究竟什么是分形几何呢？简单来说，分形几何是研究具有自相似性的不规则图形和结构的数学分支。
想象一下，你在大自然中看到一棵大树。
如果仔细观察它的树枝，你会发现树枝的形状和结构与整棵树有一定的相似性。
大的树枝上分出小的树枝，小的树枝再分出更小的树枝，这种相似性不断重复，就是一种自相似的特征。
再比如，一片雪花的形状，它的每一个分支也都和整体有着相似的结构。
分形几何的特点之一就是其复杂性和不规则性。
传统的几何图形，如圆形、三角形、正方形等，都具有简单、规则的形状和明确的数学定义。
但分形几何所研究的对象往往没有平滑的线条和整齐的形状，而是充满了曲折和细节。
这种不规则性使得分形几何在描述和理解自然界中的许多现象时具有独特的优势。
比如，山脉的轮廓、河流的走向、云朵的形状等等，这些自然现象都很难用传统的几何图形来准确描绘，但分形几何却能够很好地捕捉到它们的特征。
分形几何中的一个重要概念是“分形维数”。
在我们熟悉的欧几里得几何中，维度是整数，比如点是零维，线是一维，面是二维，体是三维。
但在分形几何中，维度可以是分数。
举个例子，科赫雪花就是一个典型的分形图形。
我们从一个等边三角形开始，然后在每条边的中间三分之一处向外凸出一个等边三角形，不断重复这个过程。
通过计算可以发现，它的维数约为 126 维。
这个分数维数反映了分形图形的复杂程度和填充空间的能力。
分形几何的应用非常广泛。
在计算机图形学中，分形可以用来生成逼真的自然景观，如山脉、树木等。
在物理学中，分形有助于研究混沌现象和复杂的物理系统。
在生物学中，分形可以帮助我们理解生物结构的形成和发展。
对于高一的同学来说，学习分形几何初步不仅仅是为了掌握一个新的数学概念，更重要的是培养一种新的思维方式。
数学欣赏—分形
分形几何学
被誉为大自然的几何学的分形（Fractal） 被誉为大自然的几何学的分形（Fractal） 理论， 是现代数学的一个新分支， 理论 ， 是现代数学的一个新分支 ， 其本质是 一种新的世界观和方法论。 它承认， 一种新的世界观和方法论 。 它承认 ， 在一定 条件下、 一定过程中、 在某一方面（ 形态， 条件下 、 一定过程中 、 在某一方面 （ 形态 ， 结构， 信息， 功能， 时间， 能量等） 结构 ， 信息 ， 功能 ， 时间 ， 能量等 ） ， 世界 的局部可能表现出与整体的相似性；它承认， 的局部可能表现出与整体的相似性；它承认 ， 空间维数的变化既可以是离散的， 空间维数的变化既可以是离散的 ， 也可以是 连续的…… 连续的……
分形的特征
分形的特征，归纳起来有以下几点：
无限精细的结构 不能用传统的几何语言描述
自相似性
分数维数 可以由简单的方式生成
火百合
荷叶
食人花
黑蒲公英
星 系
云
团
闪电
山
峰
植物
分形的定义 分形的定义
曼德尔布罗特对分形的定义：
A fractal is a shape made of parts similar to the whole in some way 分形是其组成部分以某种方式与 整体相似的图形
分形的特征
分形作为一种全新的概念，使许多人 在第一次见到分形图形时都有新的感受， 不管你是从科学的观点看还是从美学的观 点看。 分形图可以体现出许多传统美学的标 准，如平衡、和谐、对称等等，但更多的 是超越这些标准的新的表现。
当我们严格地去分析欧几里得几何与自然的关系时我们会发现要想在自然界中找到真正的圆形球形正方形正方体等几乎是不可能的欧几里德几何图形其实只是人类对大自然的理想化产物欧几里德几何图形其实只是人类对大自然的理想化产物
分形初步认识分形和制作简单的分形形
分形初步认识分形和制作简单的分形形分形：初步认识分形和制作简单的分形形分形（fractal）是指一种具有自相似性质的几何图形或数学模型。
在这些图形或模型中，无论放大多少次，都能够看到与整体形状相似的部分。
分形的研究起源于上世纪60年代，由波尔兹曼首次提出，并由Mandelbrot在上世纪70年代进一步发展和推广。
分形在数学、物理、生物、艺术等领域都有广泛的应用。
一、分形的基本概念和特征分形的核心特征包括自相似性、无穷细节和分形维度。
自相似性指的是一个物体的一部分与整体之间存在相似的结构，而无穷细节则是指分形的结构可以不断被放大，仍然能够展示出更多的细节。
分形维度是描述分形形状复杂程度的重要参数，它可以是非整数维度。
二、常见的分形图形和模型1. 科赫曲线（Kochcurve）：科赫曲线是一种无限细分的闭合曲线，它由无数个相似的小线段组成，每个小线段都与整体曲线形状相似。
制作科赫曲线的方法很简单，首先取一条线段，然后将线段等分为三段，再在中间段上构建一个等边三角形，最后去掉中间那段线段，将剩余的线段作为新的整体，重复以上操作。
2. 曼德勃罗集合（Mandelbrot Set）：曼德勃罗集合是由复变函数产生的一类分形，它可以在复平面上绘制出具有自相似性的图形。
曼德勃罗集合的生成过程非常复杂，一般需要通过计算机程序来绘制。
三、制作简单的分形形状1. 制作分形树：分形树是一种常见的分形图形，它模拟了自然界中的树木形状。
制作分形树的方法很简单，首先绘制一条竖直线段作为树干，然后在树干的两侧分别绘制两条较短的线段，形成树干的两个分支。
再对每个分支递归地应用相同的绘制规则，直到达到预设的层数。
2. 制作谢尔宾斯基三角形（Sierpinski Triangle）：谢尔宾斯基三角形是一种经典的分形形状，它由无数个自相似的小三角形组成。
制作谢尔宾斯基三角形的方法很简单，首先绘制一个大三角形，然后将它分割为四个相似的小三角形，接着去掉中间那个小三角形，再对每个剩余的小三角形递归地应用相同的操作，直到达到预设的层数。
分形理论ppt课件
分形理论在图象压缩中的应用
为什么分形理论能用于图象压缩
图象压缩：指在没有明显失真的前提下，将图象的
位图信息转变成另外一种能将数据量缩减的表达形 式。 首先，尽管图象中数据量很大，但数据之间不是完 全独立的，图象中存在着各种各样的相关性或冗余 信息。即一部分数据可以由另一部分数据完全推算 出来。 其次，大部分图象视频信号的最终接收者都是人眼， 人眼对图象中的不同部分的敏感程度是不同的。
(3)通常分形集的“分形维数”比它的拓扑维数要大；－－ －说明了分形的复杂性
(4)许多情况下，分形集是非常简单的，或者是递归的。－ －－说明了分形的生成机制 －－－自相似性是分形的灵魂 它使得分形的任何一个片段都包含了整个分形的信息
X
分形理论简介
五、分形的应用范围
分形观念的引入并非仅是一个描述手法上的改变，
（2）部分与整体以某种形式相似的形，称为分形
X
分形理论简介
四、分形的特点
(1)分形的最基本特征是所谓的“自相似性”。如图1
(2)该集有精细结构，即在任意小的比例尺度内包含整体。 如图2
(3)通常分形集的“分形维数”比它的拓扑维数要大；－－ －说明了分形的复杂性
(4)许多情况下，分形集是非常简单的，或者是递归的。－ －－说明了分形的生成机制 －－－自相似性是分形的灵魂 它使得分形的任何一个片段都包含了整个分形的信息
分形理论
X
X
分形理论简介
一、什么是分形？ 1、问题的引入 －－英国的海岸线有多长
2、欧氏几何的局限性 －－欧氏几何主要是基于中小尺度上的点、线、面 之间的关系
3、分形----自然几何
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分形理论简介
二、分形的发展
萌芽：1919年以前
分形几何基础知识
分形几何基础知识嘿，朋友！你知道吗？分形几何就像是一个神秘而迷人的魔法世界，充满了令人惊叹的奇妙之处。
说起分形几何，咱们先想想大自然里那些美到让人陶醉的景象。
比如说，冬天的雪花，每一片都有着独特又相似的形状，复杂却又有着规律，这其实就是分形的体现。
还有那枝繁叶茂的大树，从主干分出枝干，枝干再分出小枝丫，这不也是一种分形的结构嘛！分形几何的特点，那可真是有意思极啦！它有着自相似性，啥叫自相似性呢？就是局部和整体看起来差不多。
就好比你拿个放大镜去看一片树叶的脉络，再拿个显微镜去看更小的部分，你会发现它们的形状都有着相似的特征。
这难道不神奇吗？再来说说分形几何中的分形维数。
这可不是咱们平常熟悉的那种整数维度，而是可能带有小数的。
你想想，普通的直线是一维的，平面是二维的，可分形的物体，它的维度就变得复杂起来。
这就像是你走在一条弯弯曲曲的小路上，你很难说清楚它到底算是一维还是更高的维度。
分形几何在很多领域都大显身手呢！在计算机图形学里，它能创造出超级逼真的自然景观，让你在游戏或者电影里仿佛身临其境。
在医学领域，它可以帮助医生更深入地理解人体器官的复杂结构，更好地诊断疾病。
这不就像给医生们配备了一把神奇的钥匙，能打开更多未知的健康之门吗？学习分形几何，能让咱们的思维更加开阔，就像给大脑来了一场奇妙的冒险。
它让我们明白，世界上的很多东西并不是那么简单和规整，而是充满了无尽的变化和复杂性。
朋友，你难道不想深入这个神奇的分形几何世界，去探索更多的奥秘吗？你难道不想看看它还能给我们带来怎样的惊喜和启发吗？相信我，一旦你走进这个世界，你就会被它深深吸引，无法自拔！总之，分形几何是一个充满魅力和无限可能的知识领域，值得我们用心去学习和探索。
分形科普教学课件
分形科普教学课件分形是一种数学形态，展现了自相似的特性。
它们可以在自然界中广泛观察到，如树木的分支结构、云朵的形状和山脉的地形等。
本次科普教学课件将详细介绍分形的概念、特点和应用，并提供相应的例子进行示范。
课件整体流程如下：第一部分：引言和概述1. 引入分形的概念和定义2. 提出分形的重要性和应用领域3. 激发学生对分形的兴趣，引入下一部分第二部分：分形的基本特征与性质1. 自相似性：解释分形的核心特性2. 尺度不变性：解释分形的尺度特性和其意义3. 分形维度：定义分形维度及其计算方法4. 分形的几种经典形状及其描述第三部分：分形的生成方法1. 德国麦德尔布洛特集（Mandelbrot Set）：使用数学公式生成著名分形图形2. 迭代函数系统（IFS）：介绍IFS的原理和应用3. 分形的递归构造方法第四部分：分形的应用领域1. 自然界中的分形：通过例子展示分形在自然界中的存在2. 艺术与设计中的分形：介绍分形在艺术、设计和建筑中的应用3. 数据压缩与编码：解释分形编码的原理和优势4. 分形的科学研究和计算机模拟：介绍分形在科学研究和计算机模拟中的应用第五部分：分形实践与探索1. 分形图形的绘制与生成：教授学生如何使用矢量绘图软件生成分形图形2. 程序编写与交互设计：指导学生使用编程语言编写分形生成程序，并实现交互性设计3. 学生展示与分享：让学生展示他们自己制作的分形图形，并分享经验和感悟第六部分：总结与展望3. 展望分形在未来的发展和应用前景每个环节中会有详细描述，包括相关公式的解释、图形的展示和实例的说明。
可以加入一些交互式环节，如让学生亲自操作生成分形图形或设计分形应用。
这样的教学课件能够帮助学生更好地理解分形的概念和应用，激发他们对数学和科学的兴趣。
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精细结构
任意小局部总是包含细致的结构。
Байду номын сангаас
参考书：《分形算法与程序设计》
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1.3 分形的度量
（1）长度的测量 Length(n=0)=1 Length(n=1)=4/3 Length(n=2)=16/9 ………… Length=lim(Length(n))
n→∞
=lim(4/3)n= ∞
n→∞
参考书：《分形算法与程序设计》
第 1 章 初识分形
1.1 Fractal 的含义 1.2 分形的几何特征 1.3 分形的度量
1.4 分形维数 1.5 分形是一种方法论 1.6 分形与计算机图形学
参考书：《分形算法与程序设计》
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1.1 Fractal 的含义
英文单词Fractal，在大陆被译为“分形”，在台湾被译为 “碎形”。它是由美籍法国数学家曼德勃罗（Benoit Mandelbrot） 创造出来的。其含义是不规则的、破碎的、分数的。曼德勃罗是 想用此词来描述自然界中传统欧几里得几何学所不能描述的一大 类复杂无规的几何对象。
分形作为一种方法，在图形学领域主要是利用迭代、递归等技 术来实现某一具体的分形构造。
分形几何学与计算机图形学相结合，将会产生一门新的学科— —分形图形学。它的主要任务是以分形几何学为数学基础，构造非规 则的几何图素，从而实现分形体的可视化，以及对自然景物的逼真 模拟。
参考书：《分形算法与程序设计》
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欧氏空间中的面积为0。如此看来，Koch曲线在传统欧氏空间中
不可度量。
参考书：《分形算法与程序设计》
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1.4 分形维数
分形维数是分形的很好的不变量，它一般是分数，用它可以 把握住分形体的基本特征。
图a是边长为1的正方形，当边长 变 成 原 来 的 1∕2 时 ， 原 正 方 形 中 包 含4个小正方形，如图b，而4=22；
的复杂形态提供了一个新的尺度。复杂性科学是现代科学的前沿，在这
门科学的研究过程中，发现了许多符合分形规则的复杂形态，而分数维
是测量这些形态复杂程度的一种度量。也就是说，我们找到了对复杂性
做定量分析的工具。
参考书：《分形算法与程序设计》
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1.6 分形与计算机图形学
分形理论的发展离不开计算机图形学的支持，如果一个分形构 造的表达，不用计算机的帮助是很难让人理解的。不仅如此，分形 算法与现有计算机图形学的其他算法相结合，还会产生出非常美丽 的图形，而且可以构造出复杂纹理和复杂形状，从而产生非常逼真 的物质形态和视觉效果。
在计算机上构造出以假乱真的景象来，显然利用这套方法我们可以把世
界压缩到几个分形规则中，便于携带和传播。其次，许多以前被认为是
随机的现象，从分形理论的角度看并不是随机的，比如布朗运动、股票
价格的波动、传染病的流行传播等，这为我们控制这些貌似随机的现象
奠定了理论基础。最后，分形理论中的分数维概念，为我们认识世界中
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1.3 分形的度量
（2）面积的测量 Area(n0)=(1╳√3/6)/2= √3/12 Area(n1)=√3/12 ╳(4/9) Area(n2)=√3/12 ╳(4/9)2 ………… Area(n)=lim(√3/12 ╳(4/9)n)=0
n→∞
如上所述，koch曲线在一维欧氏空间中的度量为∞，在二维
对于实际的自然景物，我们可以用计盒维数的方法测量分维。
参考书：《分形算法与程序设计》
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1.5 分形是一种方法论
沃尔夫奖（Wolf Prize）在颁发给分形理论创始人曼德勃罗时的评 语所说的，“分形几何改变了我们对世界的看法”。
分形理论至少会在三个方面改变我们对世界的认识。首先，自然界
中许多不规则的形态其背后都有规则，都可以用分形的方法建立模型并
图c是边长为1的正立方体，当边 长 变 成 原 来 的 1∕2 时 ， 原 正 立 方 体 中包含8个小正立方体，如图d，而 8=23。
则有N＝kD , D=log(N)/log(k)
这样Koch曲线的分形维数D=log(4)log(3)=1.2618
参考书：《分形算法与程序设计》
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1.4 分形维数
参考书：《分形算法与程序设计》
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1.2 分形的几何特征
自相似性 自相似，便是局部与整体的相似。
自仿射性
自仿射性是自相似性的一种拓展。如果，将自相 似性看成是局部到整体在各个方向上的等比例变 换的结果的话，那么，自仿射性就是局部到整体 在不同方向上的不等比例变换的结果。前者称为 自相似变换，后者称为自仿射变换。