高等数学简明教程

第一节 函数
三、反函数 设函数 y f x 的定义域为 D ,值域为 M
.如果对于 M 中的每个 数 y ,在 D 中都有唯一确定的数 x 与之对应,且使 y f x 成立,则确 定了一个以 y 为自变量, x 为因变量的函数,称为函数 y f x 的反函
1 数,记为 x f y ,其定义域为 M ,值域为 D .
解 否 . 它 们 表 示 两 个 不 同 的 函 数. 前 者 的 定 义 域 为 , ，后者的定义域为 ,1 1, .因为定义域不同，所 以函数不同. 例 解 求函数 y
1 x 2 1 的定义域.
,1 1,1 1, .
y arccot x, x ,, y 0, π
第一节 函数
五、复合函数
设 y f u ,其中 u x ,且函数 u x 的值域包含在 函数 y f u 的 定 义 域 内 , 则 称 y f x 为由 y f u 与
y f x , x D ，
其中变量 x 称为自变量, 变量 y 称为因变量 (或函数 ), 数集 D 称 为函数的定义域, f 称为函数的对应法则.
确定函数的两个要素：定义域和对应法则.
第一节 函数
一、函数的概念
例
x2 1 函数 y x 1 与函数 y x 1 是否表示同一函数？
第一节 函数
(6)反三角函数
反正弦函数 反余弦函数 反正切函数 反余切函数
π π y arcsin x, x 1,1, y , 2 2
y arccosx, x 1,1, y 0, π π π y arctanx, x ,, y , 2 2
x n A 或 xn An .若数列 {xn } 的极限 收敛于 A ,记为 lim n
不存在,则称数列 {xn } 发散.
第二节 极限
二、函数的极限
1. x 时函数的极限
函数 y f x 在 , 内有定义, 若当 x 无限增大时,相应的函 数 值 f x 无 限 接 近 于 某 一 确 定 的 常 数 A , 则 A 称 为 函 数 f x 当 x 时的极限,记为
第一节 函数
三、反函数
3 例 求函数 y x 1 的反函数.
解 由 y 3 x 1 解得 x y 1 .当 y 在 , 内任取一值时， 有唯一确定的 x 值与之对应，所以它是一个函数.将 x, y 分别换为 y, x ，得
3
y x3 1，
3 即函数 y 3 x 1 的反函数为 y x 1 .
例 如 ， y sin x 在 , 上 有 界 , 因 为 sin x 1 对 任 何
1 正数 M ，使得 x M 对于 0,1 上的一切 x 都成立.
第一节 函数
二、函数的性质
2.单调性
若 对 任 意 的 x1, x2 I , 当 x1 x2 时 , 恒 有 f x1 f x2 ( 或 f x1 f x2 ), 则称函数 y f x 在区间 I 上单调增加 ( 或单调减 少).区间 I 称为单调增区间(或单调减区间);单调增加函数和单 调减少函数统称为单调函数;单调增区间和单调减区间统称为单 调区间. 2 例如， y x 在 [0,) 内单调增加，在 (,0] 内单调减少 . 又如， y x 在 , 内单调增加.
3
第一节 函数
二、函数的性质
3.奇偶性
设函数 f x 的定义区间 I 上关于原点对称,若对任意的 x I , 都有 f x f x , 则称函数 f x 是区间 I 上的偶函数 ; 若对任意 的 x I ,都有 f x f x ,则称函数 f x 是区间 I 上的奇函数; 若函数既不是奇函数也不是偶函数,则称为非奇非偶函数.
u x 复合而成的复合函数,其中 u 称为中间变量.
2 2 例如， y u , u sin x 可复合成 y sin x .
注：并不是任意两个函数都能构成复合函数.
第一节 函数
五、复合函数
利用复合函数不仅能将若干个简单的函数复合成一个函数， 还可以把一个较复杂的函数分解成几个简单的函数， 这对于今后 掌握微积分的运算是很重要的. 例 将下列复合函数进行分解.
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第一章 函数、极限与连续

第一节 函数 第二节 极限
第三节 极限的运算 第四节 函数的连续性



第一节 Biblioteka Baidu数
一、函数的概念
设 x ，y 是两个变量, D 是给定的非空数集,如果变量 x 在 D 内任取一个确定的数值时,变量 y 按照一定的法则 f 都有唯一确 定的数值与之对应,则称变量 y 是变量 x 的函数,记为
设函数 f ( x) 在 x0 的某左（或右） 邻域内有定义，当自变量 x 从 x0 的左（或右）侧无限趋近于 x0 时，函数 f ( x) 的值无限趋近于某一 确定的常数 A ，则称 A 为 x x0 时函数 f ( x) 的左（或右）极限，记为
x x0
lim f x A （或 lim f x A ）. x x0
(5)三角函数
正弦函数 余弦函数 正切函数 余切函数
y sin x, x ,, y 1,1
y cos x, x ,, y 1,1
π y tan x, x kπ , k Z,y , 2
y cot x, x kπ, k Z,y ,
0
f x 有界.
f x ＝A ,且 A 0 (或 A 0 ),则必存在 x0 的 性质 3(保号性) 若 xlim x
0
某一去心邻域,使得在该邻域内,函数 f x 0 (或 f x 0 ).
f x ＝A ，且在 x0 的某一去心邻域内函数 f x 0 ( 或 推论 若 xlim x
1 2 y x 1 x 1 0 由 ，得 ，所以函数 x 2 1 的定义域为
第一节 函数
一、函数的概念
函数的定义域是使函数表达式有意义的自变量的取值 范围.一般考虑以下几个方面： （1）分式函数的分母不能为零； （2）偶次根式的被开方式必须大于等于零； （3）对数函数的真数必须大于零； （4）三角函数与反三角函数要符合其定义； （5）如果函数表达式中含有上述几种函数，则应取各 部分定义域的交集.
注:(1)分段函数仍旧是一个函数，而不是几个函数， 分段函数的定义域是各段函数定义域的并集. (2)分段函数一般不是初等函数.
第二节 极限
一、数列的极限
对于数列 {xn } ,若当 n 无限增大时,通项 xn 无限接近于某个确 定的常数 A , 则常数 A 称为数列 {xn } 的极限 , 此时也称数列 {xn }
U x 0 , {x x 0 x x 0 } x x x 0 x 0 , x 0 .


点 x0 称为这邻域的中心， 称为这邻域的半径.
第二节 极限
二、函数的极限 2. x x0 时函数的极限
设函数 f ( x) 在 x0 的某一去心邻域内有定义，当自变量 x 无限趋近 于 x0 时，函数 f ( x) 的值无限趋近于某一确定的常数 A ，则称 A 为
0
定理
lim f x A 的充分必要条件是 极限 x x
x x0
lim f x ＝ lim f x A . x x0
第二节 极限
三、极限的性质
f x 存在,则极限值唯一. 性质 1(唯一性) 若 xlim x
0
f x 存在 , 则在 x0 的某一去心邻域内函数 性质 2( 有界性 ) 若 xlim x
第一节 函数
二、函数的性质
1. 有界性
如果存在正数 M , 使对任意的 x I , 恒有 f x M , 则称 函数 y f x 在区间 I 上有界,否则称 f x 在区间 I 上无界.
x , 都成立；而函数 y
1 1,1 上无界，因为不存在 x在
第一节 函数
四、基本初等函数 (1)常数函数 (2)幂函数
y C ( C 为常数）
y x ( 为实数)
(3)指数函数
(4)对数函数
y a x ( a 0 ,且 a 1 , a 为常数)
y loga x ( a 0 ,且 a 1 , a 为常数)
第一节 函数
lim f ( x) A 或 f ( x) A( x ) ， x
其中 x 表示 x 的绝对值无限增大.
第二节 极限
二、函数的极限 2. x x0 时函数的极限
设 x0 , R 且 0 ,则开区间 x0 , x0 称为点 x0 的 邻域, 记为 U x0 , ，即
第二节 极限
四、无穷小与无穷大
在自变量的某一变化过程中，绝对值无限增大的变量称 为该变化过程的无穷大量，简称无穷大.
定理（无穷小与无穷大的关系） 在自变量的同一变化过程中, (1)如果函数 f x 是无穷小,且 f x 0 ,则 f x 是无穷大;
1 (2)如果函数 f x 是无穷大,则 f x 是无穷小.
2 3 例 如 ， y x 与 y cos x 在 , 上 是 偶 函 数 ， y x 与
y sin x 在 , 上是奇函数， y x 1 cos x 在 , 上是非
奇非偶函数.
第一节 函数
二、函数的性质
4.周期性
如果存在不为零的实数 T ,使得对于任意的 x I , x T I , 都有 f x T f x , 则称函数 y f x 是周期函数 , T 是 y f x 的 一个周期.通常所说的周期函数的周期是指它的最小正周期. 例如 , y cos x 是以 2 π 为周期的周期函数 ; y tan x 是以 π 为周期的周期函数.
3 (1) y ln cos x ; (2) y sin x . 解 (1) y ln cos x 是由 y ln u , u cosx 复合而成的.
3 (2) y 3 sin x 是由 y u , u sin x 复合而成的.
第一节 函数
六、初等函数与分段函数
由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步 骤所构成并用一个式子表示的函数，称为初等函数. 在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子表示的 函数，称为分段函数.
0
f x 0 ),则 A 0 (或 A 0 ).
第二节 极限
四、无穷小与无穷大
在自变量的某一变化过程中， 以零为极限的变量称为该变化 过程的无穷小量，简称无穷小.
无穷小的性质： 性质 1 有限个无穷小的和也是无穷小. 性质 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论 1 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论 2 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
lim f x A 或 f x Ax x0 ，其 x x0 时函数 f ( x) 的极限，记为 x x
0
中 x x0 表示 x 既可以从大于 x0 的方向趋近于 x0 ，也可以从小于 x0 的 方向趋近于 x0 .
第二节 极限
二、函数的极限 2. x x0 时函数的极限