1集合的概念与运算
高考数学总复习 第一章 第一节集合的概念与运算课件 理
第十七页，共35页。
考点(kǎo 集合(jíhé)的基本关系及空集的妙用 diǎn)三
【例3】 设集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m －1}，若B⊆A，求实数(shìshù)m的取值范围．
思路点拨：考查集合间的包含、相等关系，关键搞清A，B两 集合谁是谁的子集．若B⊆A，说明B是A的子集，即集合B中元素 都在集合A中，注意B是∅的情况；同样若A⊆B，说明A是B的子集， 此时注意B是不是∅；若A＝B，说明两集合元素完全相同．
A．A＝B B．B＝C C．C＝E D．B＝E
思路点拨：要注意分辨各集合的代表元素是什么，如果性质 相同，但代表元素不同，则它们所表示的集合也是不一样的．因此 对于集合问题(wèntí)，要首先确定它属于哪类集合(数集、点集或某 类图形)．
第十五页，共35页。
解析：集合 A 是用列举法表示，它只含有一个元 素，即函数 y＝x2＋2，集合 B，C，E 中的元素都是数， 即这三个集合都是数集，集合 B 表示的是函数 y＝x2 ＋2 的值域2，＋∞，集合 C 表示的是函数 y＝x2＋2 的 定 义 域 R， 集 合 E 是不 等 式 x － 2≥0 的 解集 2，＋∞，集合 D 的元素则是平面上的点，此集合是 函数 y＝x2＋2 的图象上所有点所组成的集合．故只有 B＝E.故选 D.
第七页，共35页。
2．并集． (1)定义： 由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称 为(chēnɡ w集éi)合__(_j_íh_é_)_A_与__集__合__(_j_íh的é)并B集，记作___A__∪__B_____(读作 “A并B”)．即 A∪B＝{ x|x∈A，或x∈B}. (2)性质：
集合的全部知识点总结
集合的全部知识点总结集合是数学中的一个基本概念，广泛应用于各个领域。
本文将对集合的相关概念、运算、性质以及其在实际中的应用进行总结。
一、集合的基本概念1. 集合的定义：集合是由确定的元素组成的整体，没有重复元素，顺序不重要。
2. 元素和集合的关系：元素是集合的组成部分，用于描述集合的特征。
3. 表示方法：- 列举法：将集合的所有元素逐个列举出来。
- 描述法：通过一定的特征或条件来描述集合。
4. 空集和全集：- 空集：不含有任何元素的集合，用符号∅表示。
- 全集：包含所有元素的集合，用符号U表示。
二、集合的运算1. 交集：两个集合中具有相同元素的部分构成的新集合，用符号∩表示。
2. 并集：两个集合的所有元素组成的新集合，用符号∪表示。
3. 差集：一个集合中去掉与另一个集合共有元素后的新集合，用符号－表示。
4. 互补集：在全集中与某个集合没有交集的元素所构成的新集合，用符号A'表示。
5. 笛卡尔积：由两个集合的所有有序对构成的集合，用符号×表示。
三、集合的性质1. 包含关系：集合A包含于集合B，表示为A⊆B，当且仅当A的每个元素都是B的元素。
2. 相等关系：如果两个集合A和B互相包含，即A⊆B且B⊆A，则称A和B相等，表示为A=B。
3. 幂集：一个集合的所有子集所构成的集合，用符号P(A)表示。
4. 交换律、结合律和分配律：集合的交换律、结合律与数的运算性质类似，具有相似的性质。
四、集合的应用1. 概率论与统计学：集合论为概率论和统计学提供了重要的数学基础，通过对事件的集合进行分析与运算。
2. 数据库管理系统：集合运算在数据库查询和数据处理中起着重要的作用，用于筛选、合并和处理数据。
3. 逻辑学与集合论关系：集合论与逻辑学相辅相成，通过集合的运算和逻辑连接词（与、或、非）进行逻辑推理。
4. 集合在数学证明中的应用：集合的性质和运算方式在数学证明中经常被使用，可以简化证明过程。
总结：集合是数学中不可或缺的重要概念，它具有基本的定义、运算和性质。
集合与运算的基本概念与性质
集合与运算的基本概念与性质一、集合的基本概念1.集合的定义：集合是由一些确定的、互不相同的对象构成的整体。
2.集合的表示方法：用大括号{}括起来，里面列出集合中的元素，如集合A={1,2,3}。
3.集合的元素：集合中的每一个对象称为集合的元素。
4.空集：不含有任何元素的集合，用符号∅表示。
5.集合的性质：a.确定性：集合中的元素是确定的，不存在模糊不清的情况。
b.互异性：集合中的元素是互不相同的。
c.无序性：集合中的元素排列顺序不影响集合的本质。
二、集合的运算1.并集：两个集合A和B的并集，记作A∪B，包含所有属于A或属于B的元素。
2.交集：两个集合A和B的交集，记作A∩B，包含所有同时属于A和属于B的元素。
3.补集：对于全集U，集合A的补集，记作A’，包含所有不属于A的元素。
4.运算法则：a.交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩Ab.结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)c.分配律：A(B∪C)=(AB)∪(AC)，A(B∩C)=(AB)∩(AC)三、集合的其他概念1.子集：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，那么集合A是集合B的子集，记作A⊆B。
2.超集：如果集合A包含集合B的所有元素，那么集合A是集合B的超集，记作A⊇B。
3.真子集：如果集合A是集合B的子集，并且A不等于B，那么A是B的真子集，记作A⊊B。
4.空集的特殊性质：空集是任何集合的子集，也是任何集合的超集。
四、整数的运算1.加法：两个整数相加，得到它们的和。
2.减法：一个整数减去另一个整数，得到它们的差。
3.乘法：两个整数相乘，得到它们的积。
4.除法：一个整数除以另一个整数（不为0），得到它们的商。
5.幂运算：一个整数的n次幂，表示这个整数连乘n次。
五、实数的运算1.加法：两个实数相加，得到它们的和。
2.减法：一个实数减去另一个实数，得到它们的差。
3.乘法：两个实数相乘，得到它们的积。
4.除法：一个实数除以另一个实数（不为0），得到它们的商。
集合的基本概念
集合的基本概念集合是数学中基础而重要的概念之一。
它被广泛应用于各个数学分支和其他科学领域。
本文将介绍集合的基本概念、符号表示法以及一些常见的集合运算。
1. 集合的定义在数学中，集合可以被定义为由确定的对象所构成的整体。
这些对象可以是任何事物，如数、字母、图形等。
一个集合可以包含零个或多个对象，而且每个对象在集合中只能出现一次。
2. 集合的符号表示法数学中，集合通常用大写字母表示，例如A、B、C等。
对于属于集合的对象，可以用小写字母表示，例如a、b、c等。
表示一个对象属于某个集合，可以使用符号“∈”。
例如，如果a属于集合A，我们可以写作a ∈ A。
相反地，如果一个对象不属于某个集合，可以使用符号“∉”。
例如，如果b不属于集合A，我们可以写作b ∉ A。
3. 集合的描述方法有时，我们需要对集合中的对象进行描述。
有两种常见方法可以描述集合：a. 列举法：通过列举集合中的所有对象来描述集合。
例如，如果集合A包含元素1、2和3，我们可以写作A = {1, 2, 3}。
b. 描述法：通过给出满足某个条件的对象来描述集合。
例如，如果集合B包含所有大于0的整数，我们可以写作B = {x | x > 0}，其中“|”表示“满足条件”。
4. 集合的基本运算集合之间可以进行一些常见的运算，包括并集、交集、差集和补集。
a. 并集：两个集合A和B的并集，表示为A ∪ B，包含了A和B中所有的元素。
例如，如果A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}。
b. 交集：两个集合A和B的交集，表示为A ∩ B，包含了A和B共有的元素。
例如，如果A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A ∩ B = {3}。
c. 差集：两个集合A和B的差集，表示为A - B，包含了属于A但不属于B的元素。
例如，如果A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A - B= {1, 2}。
集合的概念与运算例题及答案
1 集合的概念与运算（一）目标： 1.理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题2.理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质，3.能利用数轴或文氏图进行集合的运算,掌握集合问题的常规处理方法．重点： 1.集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用;2.交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用．基本知识点：知识点1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素知识点2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{}Λ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + {}Λ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , {}Λ，，，210±±=Z（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q（5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集记作N *或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z *知识点3、元素与集合关系（隶属）（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉注意：“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写知识点4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）知识点5、集合与元素的表示：集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……例题精析1：1、下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数 （不确定）（2）好心的人 （不确定）（3）1，2，2，3，4，5．（有重复）2、设a,b 是非零实数，那么b ba a+可能取的值组成集合的元素是_-2,0,2__3、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（ A ）（A ）2个元素 （B ）3个元素 （C ）4个元素 （D ）5个元素4、设集合G 中的元素是所有形如a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）的数，求证：(1) 当x ∈N 时, x ∈G;(2) 若x ∈G ，y ∈G ，则x ＋y ∈G ，而x1不一定属于集合G 证明(1)：在a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）中，令a=x ∈N,b=0,则x= x ＋0*2= a ＋b 2∈G,即x ∈G证明(2)：∵x ∈G ，y ∈G ，∴x= a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）,y= c ＋d 2（c ∈Z, d ∈Z ）∴x+y=( a ＋b 2)+( c ＋d 2)=(a+c)+(b+d)2∵a ∈Z, b ∈Z,c ∈Z, d ∈Z∴(a+c) ∈Z, (b+d) ∈Z∴x+y =(a+c)+(b+d)2 ∈G ，又∵211b a x +=＝2222222b a b b a a --+- 且22222,2b a b b a a ---不一定都是整数， ∴211b a x +=＝2222222b a b b a a --+-不一定属于集合G知识点6、集合的表示方法：（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程012=-x 的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53， (100)所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}（2）a 与{a}不同：a 表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素（2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：{x ∈A| P （x ）}含义：在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合例如，不等式23>-x 的解集可以表示为：}23|{>-∈x R x 或}23|{>-x x所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分如：{直角三角形}；{大于104的实数}（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}（3）、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法思考：何时用列举法？何时用描述法？⑴有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法如：集合},5,23,{2232y x x y x x +-+⑵有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法 如：集合}1|),{(2+=x y y x ；集合{1000以内的质数}例 集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？答：不是因为集合}1|),{(2+=x y y x 是抛物线12+=x y 上所有的点构成的集合，集合}1|{2+=x y y =}1|{≥y y 是函数12+=x y 的所有函数值构成的数集例题精析2：1、用描述法表示下列集合①{1，4，7，10，13} }5,23|{≤∈-=n N n n x x 且②{-2，-4，-6，-8，-10} }5,2|{≤∈-=n N n n x x 且2、用列举法表示下列集合①{x ∈N|x 是15的约数} {1，3，5，15}②{（x ，y ）|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}{（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）}注：防止把{（1，2）}写成{1，2}或{x=1，y=2}③⎩⎨⎧=-=+}422|),{(y x y x y x )}32,38{(- ④},)1(|{N n x x n ∈-= {-1，1}⑤},,1623|),{(N y N x y x y x ∈∈=+ {（0，8）（2，5），（4，2）}⑥}4,|),{(的正整数约数分别是y x y x{（1，1），（1，2），（1，4）（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），（4，4）}3、关于x 的方程ax ＋b=0，当a,b 满足条件____时，解集是有限集；当a,b 满足条件_____时，解集是无限集4、用描述法表示下列集合：(1) { 1, 5, 25, 125, 625 }= ;(2) { 0,±21, ±52, ±103, ±174, ……}= 巩固提升：1、数集{}21,,x x x -中元素x 所满足的条件是 2、已知{}23,21,1A a a a =--+，其中a R ∈， ⑴若3A -∈，求实数a 的值；⑵当a 为何值时，集合A 的表示不正确。
第1讲集合的概念和运算
第1讲 集合的概念和运算必记考点1．集合的基本概念(1)集合元素的三个特征： 、 、 ． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号 或 表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．(4)常用数集： N ； N *(或N ＋) ； Z ；Q ； R . (5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、 . 2．集合间的基本关系(1)子集： ，则A ⊆B (或B ⊇A )． (2)真子集： 则A B (或B A )．若集合A 中含有n 个元素，则A 的子集有2n 个，A 的真子集有2n －1个．(3)空集：空集是 的子集，是 的真子集．即∅⊆A ，∅B (B ≠∅)．(4)集合相等：若 ，则A ＝B . 3．集合的基本运算及其性质(1)并集：A ∪B ＝ ． (2)交集：A ∩B ＝ ．(3)补集：∁U A ＝ ，U 为全集，∁U A 表示A 相对于全集U 的补集． (4)集合的运算性质①A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ； ②A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅； ③A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ；④A ∩∁U A ＝∅，A ∪∁U A ＝U ，∁U (∁U A )＝A .考向一 集合的基本概念【例1】►已知a ∈R ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 014＋b 2 014＝________.【训练1】集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N *⎪⎪12x∈Z 中含有的元素个数为( )．考向二 集合间的基本关系【例2】已知集合A ＝{x |0<x ≤4}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________.【训练2】已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．考向三 集合的基本运算【例3】►(1)(2012·安徽)设集合A ＝{x |－3≤2x －1≤3}，集合B 为函数y ＝lg(x －1)的定义域，则A ∩B ＝( )．A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[1,2)D ．(1,2](2)(2012·山东)已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B 为( )． A ．{1,2,4} B ．{2,3,4} C ．{0,2,4}D ．{0,2,3,4}(3)设全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合A ＝{1,2,4}，B ＝{3,4,5}，则图中的阴影部分表示的集合为( )．A ．{5}B ．{4}C．{1,2} D．{3,5}基础演练1.已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1<x<1}，则()．A．A B B．B AC．A＝B D．A∩B＝∅2．设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{3,4,5}，则P∩(∁U Q)＝()．A．{1,2,3,4,6} B．{1,2,3,4,5}C．{1,2,5} D．{1,2}3．设集合U＝{x|x<5，x∈N*}，M＝{x|x2－5x＋6＝0}，则∁U M＝()．A．{1,4} B．{1,5}C．{2,3} D．{3,4}4.若集合A＝{x||x|>1，x∈R}，B＝{y|y＝2x2，x∈R}，则(∁R A)∩B＝()．A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≥0}C．{x|0≤x≤1} D．∅5．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________. 6．集合A＝{x∈R||x－2|≤5}中的最小整数为________．7．若集合A＝{－1,3}，集合B＝{x|x2＋ax＋b＝0}，且A＝B，求实数a，b.第2讲函数及其表示必记考点1．函数的概念一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数．记作.2．函数的三要素函数由、、三个要素构成，对函数y＝f(x)，x∈A，其中(1)定义域：．(2)值域：．(3)两个函数就相同: .3．函数的表示方法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．4．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．考向一函数的定义【例1】(1)下列各图形中是函数图象的是()．2．下列各组函数表示相同函数的是()．A．f(x)＝x2，g(x)＝(x)2B．f(x)＝1，g(x)＝x2C．f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x，x≥0，－x，x<0，g(t)＝|t|D．f(x)＝x＋1，g(x)＝x2－1x－1考向二 求函数的定义域、值域【例2】►(1) 函数y ＝x ＋1x 的定义域为________．(2)函数y ＝x －3x ＋1的值域为________．(3) 设函数f (x )＝41－x ，若f (a )＝2，实数a ＝________.考向三 分段函数及其应用【例3】(1) 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))＝( )．A.15 B ．3 C.23D.139(2)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为( )．A ．1B ．0C ．－1D ．π(3)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )．A.12 B.45 C ．2 D ．9基础演练1．函数f (x )＝11－x ＋lg(1＋x )的定义域是( )．A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)2.下列各组函数中，表示同一函数的是( )． A ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2 B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2 C ．f (x )＝x 2，g (x )＝|x |D ．f (x )＝0，g (x )＝x －1＋1－x3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( )．A ．－3B ．±3C ．－1D ．±14．函数f (x )＝lg 1－x 2的定义域为________．5．(2013·皖南八校联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，log 2x ，x >0，则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫－12＝________. 6.已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.求函数f (x )的解析式.第3讲 函数的性质必记考点 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，①若 ，则f (x )在区间D 上是增函数；②若 ，则f (x )在区间D 上是减函数．(2)单调区间的定义若函数f (x )在区间D 上是 或 ，则区间D 叫做f (x )的单调区间．(3)用定义判断函数单调性的步骤: . 2. 函数的奇偶性(1)定义：如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做偶函数．如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做奇函数．(2)性质:奇函数的图象关于 对称;偶函数的图象关于 对称．考向一 确定函数的单调性或单调区间【例1】(1)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )．A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝x ＋1x(2)函数y ＝－x 2＋2x －3(x <0)的单调增区间是( )．A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1]C ．(－∞，0)D ．(－∞，－1]考向二 函数单调性的应用【例2】(1)若函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在[－2，＋∞)上递增，在(－∞，－2]上递减，则f (1)＝________. (2) 函数y ＝f(x)在R 上为增函数，且f(2m)>f(－m ＋9)，则实数m 的取值范围是 .考向三 求函数的最值【例3】函数f (x )＝2xx ＋1在[1,2]上的最大值和最小值分别是________．考向四 判断函数的奇偶性【例4】判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3－2x ；(2)f (x )＝x 2－1＋1－x 2；(3)f (x )＝(x －1)－ 1＋x1－x.考向五 函数奇偶性的应用【例5】(1)函数f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________.(2) 设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 为奇函数，则a ＝________. (3) 设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝ ．基础演练1．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f (a )－f (b )a －b>0，则必有( )．A ．函数f (x )先增后减B ．f (x )是R 上的增函数C ．函数f (x )先减后增D ．函数f (x )是R 上的减函数2．函数y ＝f (x )在R 上为减函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是 .3．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )．A ．y ＝1xB ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝－2x ＋14．已知f (x )＝x 2－2mx ＋6在(－∞，－1]上是减函数，则m 的范围为________．5．已知函数f (x )为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝⎛⎭⎫12的实数x 的取值范围为________． 6.下列函数是偶函数的是( )．A ．y ＝xB ．y ＝2x 2－3C ．y ＝1xD ．y ＝x 2，x ∈[0,1]7. 设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是 .8. 设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝________.9．已知函数y ＝f (x )是偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和是________． 10．若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0.(1)求b 与c 的值；(2)试证明函数f (x )在区间(2，＋∞)上是增函数．第4讲 指数与指数函数必记考点1．指数与指数运算 (1)根式的概念若x n ＝a ，则x 叫 ，.式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．即x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a (当n 为奇数且n ∈N *时)，x ＝±n a (当n 为偶数且n ∈N *时).(2)根式的性质①(na )n ＝ .②当n 为奇数时，na n＝ ；当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)－a (a <0).(3)分数指数幂的含义正分数指数幂a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)．负分数指数幂a －m n ＝1a m n ＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)．(4)幂指数的运算性质a r ·a s ＝ rs aa= (a r )s ＝ (ab )r ＝2．指数函数的图象与性质考向一 指数幂的化简与求值【例1】化简下列各式： (1)[(0.06415)－2.5]23－ 3338－π0；(2) 2132a b ·(－31132a b )÷156613a b(3)a ·3a 25a ·3a考向二 指数函数的性质【例2】(1)方程2x －2＋x ＝0的解的个数是________． (2) 下列各式比较大小正确的是( )． A ．1.72.5>1.73 B ．0.6－1>0.62C ．0.8－0.1>1.250.2 D ．1.70.3<0.93.1(3)已知函数f (x )＝2x －12x ＋1，①讨论f (x )的奇偶性；②讨论f (x )的单调性．⎝⎛⎭⎫21412－⎝⎛⎭⎫－350－⎝⎛⎭⎫827－13＝________. 已知函数f (x )＝4＋a x －1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( )．函数y ＝1－3x 的定义域为________。
集合的基本概念与运算方法
集合的基本概念与运算方法在数学中，集合是由一组独立的元素组成的。
理解集合的基本概念和运算方法对于解决各种数学问题至关重要。
本文将介绍集合的基本概念以及常用的运算方法。
一、集合的基本概念1. 集合的定义：集合通常用大写字母表示，集合内的元素用逗号分隔，并放在大括号中。
例如，集合A可以表示为：A = {1, 2, 3, 4}。
2. 元素：一个集合由若干个元素组成，元素是集合的基本单位。
例如，集合A中的元素1、2、3、4便是集合A的元素。
3. 子集：若一个集合A的所有元素都属于另一个集合B，则称集合A为集合B的子集。
用符号表示为A ⊆ B。
例如，集合A = {1, 2}是集合B = {1, 2, 3}的子集。
4. 相等集合：若两个集合A和B拥有相同的元素，则称集合A和集合B相等。
用符号表示为A = B。
二、集合的运算方法1. 并集：若A和B为两个集合，他们的并集就是包含两个集合中所有元素的集合。
用符号表示为A ∪ B。
例如，集合A = {1, 2}和集合B = {2, 3}的并集为A ∪ B = {1, 2, 3}。
2. 交集：若A和B为两个集合，他们的交集就是属于A且属于B的所有元素的集合。
用符号表示为A ∩ B。
例如，集合A = {1, 2}和集合B = {2, 3}的交集为A ∩ B = {2}。
3. 补集：设U为全集，若A为一个集合，则相对于全集U，A的补集为U中不属于A的所有元素组成的集合。
用符号表示为A'。
例如，集合A = {1, 2, 3, 4}相对于全集U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}的补集为A' = {5, 6}。
4. 差集：若A和B为两个集合，他们的差集就是属于A但不属于B的所有元素的集合。
用符号表示为A - B。
例如，集合A = {1, 2, 3, 4}和集合B = {2, 3}的差集为A - B = {1, 4}。
5. 互斥集：若两个集合A和B的交集为空集，则称它们为互斥集。
小学三年级奥数教程讲义
导语：一、集合与运算1.集合的概念：集合是由一些确定的事物组成的整体，用大括号{}表示。
2.交集和并集：交集是两个集合中共有的元素组成的集合，用符号∩表示；并集是两个集合中所有元素组成的集合，用符号∪表示。
3.集合的运算规则：交换律、结合律、分配律。
二、逻辑推理1.逻辑运算：与、或、非。
与运算表示两个条件同时满足，用符号∧表示；或运算表示两个条件中至少一个满足，用符号∨表示；非运算表示否定一个条件，用符号¬表示。
2.推理方法：包括归纳法和演绎法。
归纳法是通过观察现象归纳出一般规律；演绎法是通过已知条件推导出结论。
三、数形关系1.数形结合：通过图形找规律、通过规律解题。
2.填数表：根据规律填写表格。
四、排列组合1.排列：从一组元素中取出若干个不同的元素进行排列，共有多少种可能性。
2.组合：从一组元素中取出若干个不同的元素进行组合，共有多少种可能性。
3.排列组合应用：根据具体情况应用排列组合的原理进行解题。
五、数论与整数运算1.质数与合数：质数是只能被1和自身整除的自然数，例如2、3、5等；合数是除了1和自身还能被其他数整除的自然数，例如4、6、8等。
2.最大公约数与最小公倍数：最大公约数是两个数都能整除的最大自然数；最小公倍数是两个数都能被整除的最小自然数。
3.因数与倍数：一个数能被整除的因数称为因数；一个数能被另一个数整除的称为倍数。
4.逢完数：一个数的所有因数相加等于这个数本身。
5.奇数与偶数：一个数能被2整除的称为偶数，不能被2整除的称为奇数。
六、巧用计算1.分数和小数的运算：分数与小数互相转换及运算。
2.百分数：将小数转换为百分数，百分数之间的运算。
3.运算顺序：根据运算法则确定计算的顺序。
尾声：通过学习本教程，相信大家对小学三年级奥数的基本概念和解题方法已有初步了解。
在学习过程中，勤动手、多实践、灵活思维是很重要的。
希望同学们能够善于总结经验，多积累解题思路，为进一步学习和应用奥数打下坚实的基础。
集合的概念与运算
分配律
定义
对于任意三个集合A、B和C，如果A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)和 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，则称集合的运算满足分配律。
解释
分配律意味着并集和交集运算可以分配给括号内的并集和交集运算。 即，括号内的并集和交集运算的结果可以与外部的并集和交集运算 的结果进行交换。
伍 集合的应用
集合的元素
元素可以是具体的， 如苹果、汽车等；也 可以是抽象的，如数 字、图形等。 元素是构成集合的基 本单位，可以是任何 对象或实体。
并集
并集是将两个集合中 的所有元素合并到一 个新的集合中。 并集运算可以用符号 “∪”表示。
交集
交集运算可以用符号“∩”表示。 交集是两个集合中共有的元素组成的集合。
壹
集合的概念与运算
目录 CONTENTS
0 1 集合的基本概念
0 4 集合的应用
0 2 集合的运算
0 5 集合运算的注意事项
0 3 集合运算的性质
贰 集合的基本概念
集的定义
集合中的元素具有确定性、 互异性和无序性。 集合是由确定的、互不相 同的元素所组成的总体。
集合的表示方法
将集合中的元素一一列举出 来，用大括号括起来。 列举法 通过描述集合中元素的共同 特征，用大括号括起来。 描述法
交集是指两个或多个集合中共有的元素的集合，即同时属于A和B的元素组成的集合。 交集的表示方法为A∩B，其中A和B为两个集合。 交集的性质包括交换律、结合律和分配律。
差集
差集是指属于A但不属于B的元素的集合，即所有属于A但不属于B的元素组成的集合。 差集的表示方法为A−B，其中A和B为两个集合。 差集的性质包括反身律、对称律和传递律。
解释
数学集合的概念运算
课前案1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：、、．(2)元素与集合的关系是或关系，用符号或表示．(3)集合的表示法：、、．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号2.集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A的所有元素都是集合B的元素x∈A⇒x∈BA B或B A 真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于AA⊆B，且存在x0∈B，x0∉AA B或B A 相等集合A，B的元素完全相同A⊆B，B⊆AA＝B 空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集任意x，x∉∅，∅⊆A ∅3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝A∩B＝∁U A＝(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.(3)补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅．(4)∁U(∁U A)＝A；∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)．课中案一、目标导引[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1){x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．( ) (2)若{x 2，1}＝{0，1}，则x ＝0，1.( ) (3){x |x ≤1}＝{t |t ≤1}．( )(4)对于任意两个集合A ，B ，(A ∩B )⊆(A ∪B )恒成立． ( ) (5)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( ) [教材衍化]1．(必修1P12A 组T3改编)若集合P ＝{x ∈N |x ≤ 2 021}，a ＝22，则( ) A ．a ∈P B ．{a }∈P C ．{a }⊆P D ．a ∉P2．(必修1P11例9改编)已知U ＝{α|0°<α<180°}，A ＝{x |x 是锐角}，B ＝{x |x 是钝角}，则∁U (A ∪B )＝________．3．(必修1P44A 组T5改编)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为________．[易错纠偏](1)忽视集合中元素的互异性致误； (2)忽视空集的情况致误； (3)忽视区间端点值致误． 1．已知集合A ＝{1，3，m }，B ＝{1，m }，若B ⊆A ，则m ＝________．2．已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{x |2＜x ＜4}，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________，(∁R A )∪B ＝________．3．已知集合M ＝{x |x －2＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________． 二典型例题集合的含义(1)已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{(x ，y )|x ≥y ，x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．6 D ．9(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A ．92 B ．98 C ．0 D ．0或98(3)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________．与集合中的元素有关问题的求解步骤1．(2020·温州八校联考)已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为() A．1或－1 B．1或3 C．－1或3 D．1，－1或32．已知集合A＝{x|x∈Z，且32－x∈Z}，则集合A中的元素个数为________．集合的基本关系(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C 的个数( ) A．1 B．2 C．3 D．4(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．1．(变条件)在本例(2)中，若A⊆B，如何求解？2．(变条件)若将本例(2)中的集合A改为A＝{x|x<－2或x>5}，如何求解？1．设P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则()A．P⊆Q B．Q⊆P C．∁R P⊆Q D．Q⊆∁R P2．(2020·绍兴调研)设A＝{1，4，2x}，B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝________．3．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为________．集合的基本运算(高频考点)集合的基本运算是历年高考的热点，每年必考，常和不等式的解集、函数的定义域、值域等相结合命题，主要以选择题的形式出现．试题多为低档题．主要命题角度有：(1)求集合间的交、并、补运算；(2)已知集合的运算结果求参数．角度一求集合间的交、并、补运算2019·高考全国卷Ⅰ)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁U A=()A．{1，6} B．{1，7} C．{6，7} D．{1，6，7}(2)(2020·浙江高考模拟)设全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|1<x<3}，则A∪B＝________，∁U(A ∩B)＝________．角度二已知集合的运算结果求参数(1)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是()A．－1<a≤2 B．a>2 C．a≥－1 D．a>－1(2)设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝()A．{1，－3} B．{1，0 }C．{1，3} D．{1，5}(1)集合运算的常用方法①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解．②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．[提醒]在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．1．已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁R Q)＝()A．[2，3] B．(－2，3] C．[1，2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)2．设全集S＝{1，2，3，4}，且A＝{x∈S|x2－5x＋m＝0}，若∁S A＝{2，3}，则m＝________．核心素养系列 数学抽象——集合的新定义问题定义集合的商集运算为A B ＝{x |x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B }．已知集合A ＝{2，4，6}，B ＝{x |x ＝k2－1，k∈A }，则集合BA ∪B 中的元素个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解决集合新定义问题的方法(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．(2)用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．设数集M ＝{x |m ≤x ≤m ＋34}，N ＝{x |n －13≤x ≤n }，且M ，N 都是集合U ＝{x |0≤x ≤1}的子集，定义b －a 为集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，则集合M ∩N 的长度的最小值为________．课后案 [A 组]1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{2，4，6，8}，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．(2020·温州十五校联合体联考)已知集合A ＝{}x |e x ≤1，B ＝{}x |ln x ≤0，则A ∪B ＝( ) A ．(－∞，1] B ．(0，1] C ．[1，e] D ．(0，e]3．已知全集U ＝A ∪B ＝{x ∈Z |0≤x ≤6}，A ∩(∁U B )＝{1，3，5}，则B ＝( ) A ．{2，4，6} B ．{1，3，5} C ．{0，2，4，6} D ．{x ∈Z |0≤x ≤6} 4．设集合A ＝{1，2，6}，B ＝{2，4}，C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝( ) A ．{2} B ．{1，2，4} C ．{1，2，4，6} D ．{x ∈R |－1≤x ≤5} 5．已知全集为R ，集合A ＝{x |x 2－5x －6<0}，B ＝{x |2x <1}，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{x |2<x <3}B ．{x |－1<x ≤0}C ．{x |0≤x <6}D ．{x |x <－1}6．已知集合A ＝{x |x 2－3x <0}，B ＝{1，a }，且A ∩B 有4个子集，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，3) B ．(0，1)∪(1，3) C ．(0，1) D ．(－∞，1)∪(3，＋∞) 7．设U ＝{x ∈N *|x ＜9}，A ＝{1，2，3}，B ＝{3，4，5，6}，则(∁U A )∩B ＝( ) A ．{1，2，3} B ．{4，5，6} C ．{6，7，8} D ．{4，5，6，7，8}8．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫5，b a ，a －b ，B ＝{b ，a ＋b ，－1}，若A ∩B ＝{2，－1}，则A ∪B ＝( )A ．{－1，2，3，5}B ．{－1，2，3}C ．{5，－1，2}D ．{2，3，5}9．已知集合P ＝{n |n ＝2k －1，k ∈N *，k ≤50}，Q ＝{2，3，5}，则集合T ＝{xy |x ∈P ，y ∈Q }中元素的个数为( ) A ．147 B ．140 C ．130 D ．11710．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2>0}，B ＝{x |x －a ≤0}，若∁U B ⊆A ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)11．集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为________． 12．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－1≤x ≤3}，集合B ＝{x |log 2(x －2)<1}，则A ∪B ＝________；A ∩(∁U B )＝________．13．设集合A ＝{n |n ＝3k －1，k ∈Z }，B ＝{x ||x －1|>3}，则B ＝________，A ∩(∁R B )＝________． 14．设全集为R ，集合M ＝{x ∈R |x 2－4x ＋3>0}，集合N ＝{x ∈R |2x >4}，则M ∩N ＝________；∁R (M ∩N )＝________．15．已知集合M ＝{x |x 2－4x <0}，N ＝{x |m ＜x ＜5}，若M ∩N ＝{x |3<x <n }，则m ＝________，n ＝________． 16．设全集U ＝{x ∈N *|x ≤9}，∁U (A ∪B )＝{1，3}，A ∩(∁U B )＝{2，4}，则B ＝________． 17．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a <x ≤a ＋3}，若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围是________．[B 组]1．已知全集U 为R ，集合A ＝{x |x 2<16}，B ＝{x |y ＝log 3(x －4)}，则下列关系正确的是( ) A ．A ∪B ＝R B ．A ∪(∁U B )＝R C ．(∁U A )∪B ＝R D ．A ∩(∁U B )＝A .2．集合A ＝{x |y ＝ln(1－x )}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，全集U ＝A ∪B ，则∁U (A ∩B )＝( )A ．{x |x ＜－1或x ≥1}B ．{x |1≤x ≤3或x ＜－1}C ．{x |x ≤－1或x ＞1}D ．{x |1＜x ≤3或x ≤－1} 3．(2020·浙江新高考联盟联考)已知集合A ＝{1，2，m }，B ＝{1，m }，若B ⊆A ，则m ＝________，∁A B ＝________．4．函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈P ，－x ，x ∈M ，其中P ，M 为实数集R 的两个非空子集，规定f (P )＝{y |y ＝g (x )，x ∈P }，f (M )＝{y |y ＝g (x )，x ∈M }．给出下列四个命题：①若P ∩M ＝∅，则f (P )∩f (M )＝∅； ②若P ∩M ≠∅，则f (P )∩f (M )≠∅； ③若P ∪M ＝R ，则f (P )∪f (M )＝R ； ④若P ∪M ≠R ，则f (P )∪f (M )≠R . 其中命题不正确的有________．5．设[x ]表示不大于x 的最大整数，集合A ＝{x |x 2－2[x ]＝3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |18<2x <8，求A ∩B .6．已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．课后案答题纸1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011. 12. A ∪B ＝________；A ∩(∁U B )＝________．13、 B ＝________，A ∩(∁R B )＝_14. M ∩N ＝________；∁R (M ∩N )＝________． 15. m ＝________，n ＝________．16. B ＝________． 17.B 组1 23. m ＝________，∁A B ＝________．4.5．设[x ]表示不大于x 的最大整数，集合A ＝{x |x 2－2[x ]＝3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |18<2x <8，求A ∩B .6．已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．。
集合的概念与运算
集合的概念与运算(总6页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除01集合的概念知识梳理1．元素与集合(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．2．集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B 子集A中任意一个元素均为B中的元素A?B 真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素A B 空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}?U A＝{x|x∈U，且x?A}并集的性质：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A．交集的性质：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B．补集的性质：A∪(?U A)＝U；A∩(?U A)＝?；?U(?U A)＝A．题型一．集合例1. (1)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．9(2)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m}，若3∈A ，则m 的值为________． 答案 (1)C (2)－32(2)由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝－32，当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，故m ＝－32.【感悟提升】(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．变式1.设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x|x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B}，则M 中的元素个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 变式2.设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________.答案 1.B 2.2解析 1.因为集合M 中的元素x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，所以当b ＝4时，a ＝1,2,3，此时x ＝5,6,7.当b ＝5时，a ＝1,2,3，此时x ＝6,7,8. 所以根据集合元素的互异性可知，x ＝5,6,7,8. 即M ＝{5,6,7,8}，共有4个元素．2.因为{1，a ＋b ，a}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，ba ，b ，a ≠0， 所以a ＋b ＝0，得ba ＝－1，所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.题型二. 集合间的基本关系例2.(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A?C?B的集合C的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4B⊆，则实数m的最大值为(2)已知集合},xm-≤≤xA若A=xBx=m|{121},7≤≤{-|2+_____.答案(1)D(2)4 注：若B是A的真子集，则m的最大值为什么？【感悟提升】(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．变式1.已知集合A＝{x|y＝ln(x＋3)}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是()A．A＝B B．A∩B＝?C．A?B D．B?A变式2.已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|x<a}，若A?B，则实数a的取值范围是________．答案 1.D 2.(4，＋∞)解析 1.A＝{x|x>－3}，B＝{x|x≥2}，结合数轴可得：B?A.2.由log2x≤2，得0<x≤4，即A＝{x|0<x≤4}，而B＝{x|x<a}，由于A ?B ，如图所示，则a>4. 题型三. 集合的基本运算例3.（1）已知}2|1||{<-=x x A ，}06|{2<-+=ax x x B ，}0152|{2<--=x x x C ， ① ，B B A =⋃求a 的范围；② 是否存在a 的值使C B B A ⋂=⋃，若存在，求出a 的值，若不存在，说明理由. (2)设集合U ＝R ，A ＝{x|2x(x －2)<1}，B ＝{x|y ＝ln(1－x)}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x|x ≥1}B ．{x|1≤x<2}C ．{x|0<x ≤1}D ．{x|x ≤1}答案 (1)✍（-5≤a ≤-1）;✍1519,-≤≤-⊆⊆a C B A (2)B变式1.已知集合A ＝{1,3，m}，B ＝{1，m}，A ∪B ＝A ，则m 等于( ) A ．0或 3 B ．0或3 C ．1或 3D ．1或3变式2.}32|{+≤≤=a x a x A ，}51|{>-<=x x x B 或，∅≠⋂B A ，则a 的取值范围为_______.答案1.B 2.]3,2()21,(⋃--∞【感悟提升】1.一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．2.运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．变式3.(2015·天津)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ＝{2,3,5,6}，集合B ＝{1,3,4,6,7}，则集合A ∩(?UB)等于( )A．{2,5} B．{3,6}C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8}变式4.设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}，若(?UA)∩B ＝?，则m的值是__________．答案 3.A 4.1或2解析 3.由题意知，?UB＝{2,5,8}，则A∩(?UB)＝{2,5}，选A.4.A＝{－2，－1}，由(?UA)∩B＝?，得B?A，∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠?.∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．①若B＝{－1}，则m＝1；②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)×(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B≠{－2}；③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)×(－2)＝2，由这两式得m＝2.经检验知m＝1和m＝2符合条件．∴m＝1或2.题型四. 集合的新定义问题例4．若集合A具有以下性质：(Ⅰ)0∈A,1∈A；(Ⅱ)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，1x∈A.则称集合A是“好集”．下列命题正确的个数是()(1)集合B＝{－1,0,1}是“好集”；(2)有理数集Q是“好集”；(3)设集合A 是“好集”，若x ∈A ，y ∈A ，则x ＋y ∈A. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C变式: (2015·湖北)已知集合A ＝{(x ，y)|x 2＋y 2≤1，x ，y ∈Z}，B ＝{(x ，y)||x|≤2，|y|≤2，x ，y ∈Z}，定义集合A*B ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B}，则A*B 中元素的个数为( )A ．77B ．49C ．45D ．30 答案 C解析 如图，集合A 表示如图所示的所有圆点“”，集合B 表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合A*B 显然是集合{(x ，y)||x|≤3，|y|≤3，x ，y ∈Z}中除去四个点{(－3，－3)，(－3,3)，(3，－3)，(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合A*B 表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”，共45个．故A*B 中元素的个数为45.故选C. 【真题演练】1.【2016高考新课标1理数】设集合{}2430A x x x =-+< ,{}230x x ->,则A B = （ ）（A ）33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （B ）33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】因为23{|430}={|13},={|},2A x x x x xB x x =+<<<>-所以33={|13}{|}={|3},22A B x x x x x x <<><<故选D.2.【2016高考新课标3理数】设集合{}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=> ，则S T =（ ）(A) [2，3] (B)（-∞ ，2] [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2] [3,+∞）【答案】D【解析】由(2)(3)0x x --≥解得3x ≥或2x ≤，所以{|23}S x x x =≤≥或，所以{|023}S T x x x =<≤≥或，故选D ．3.【2016年高考四川理数】设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则A Z 中元素的个数是（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6【答案】C 【解析】由题意，{2,1,0,1,2}A Z =--，故其中的元素个数为5，选C. 4.【2016高考山东理数】设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则A B =（ ） （A ）(1,1)-（B ）(0,1) （C ）(1,)-+∞ （D ）(0,)+∞【答案】C 【解析】}0|{>=y y A ，}11|{<<-=x x B ，则A B =∞（-1，+），选C. 5.【2016高考新课标2理数】已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（ ）（A ）{1} （B ）{12}，（C ）{0123}，，， （D ）{10123}-，，，， 【答案】C【解析】集合{|12,}{0,1}B x x x =-<<∈=Z ，而{1,2,3}A =，所以{0,1,2,3}A B =，故选C.6.【2016高考浙江理数】已知集合{}{}213,4,P x x Q x x =∈≤≤=∈≥R R 则()P Q ⋃=R （ ）A ．[2,3]B ．( -2,3 ]C ．[1,2)D ．(,2][1,)-∞-⋃+∞ 【答案】B 【解析】根据补集的运算得．故选B ．7.【2015高考陕西，理1】设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =（ ）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞ 【答案】A【解析】{}{}20,1x x x M ===，{}{}lg 001x x x x N =≤=<≤，所以[]0,1M N =，故选A ．8.【2015高考福建，理1】若集合{}234,,,A i i i i = （i 是虚数单位），{}1,1B =- ，则A B 等于 ( )A ．{}1-B ．{}1C ．{}1,1-D ．φ 【答案】C【解析】由已知得{},1,,1A i i =--，故A B ={}1,1-，故选C ．。
重难点01 集合的概念与运算—2023年高考数学
重难点01 集合概念与运算1．集合的有关概念(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。
(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A。
(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法。
(4)五个特定的集合：集合非负整数集(或自然数集) 正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R 2.集合间的基本关系表示关系文字语言记法集合间的基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素A⊆B或B⊇A 真子集集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于AA⊂B或B⊃A 相等集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素A⊆B且B⊆A⇔A＝B 空集空集是任何集合的子集∅⊆A空集是任何非空集合的真子集∅⊂B且B≠∅3.集合的三种基本运算符号表示图形表示符号语言集合的并集A∪B A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}集合的交集 A ∩BA ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }集合的补集若全集为U ，则集合A 的补集为∁U A∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }4.集合基本运算的性质 (1)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅。
(2)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A 。
(3)A ∩(∁U A )＝∅，A ∪(∁U A )＝U ，∁U (∁U A )＝A 。
(4)A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B ⇔A ∩(∁U B )＝∅。
2023年高考中仍将与一元二次不等式解法、一元一次不等式解法、指数、对数不等式解法结合重点考查集合的交集运算，也可能考查集合的并集、补集运算，依然放在前2题位置，难度为基础题.（建议用时：20分钟）一、单选题1.设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B =（ ）（A ）{1,3}（B ）{3,5}（C ）{5,7}（D ）{1,7} 【答案】B【解析】由题知，}5,3{=⋂B A ，故选B.2.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则C U B A =（ ）A. {}1,6B. {}1,7C. {}6,7D. {}1,6,7【答案】C【解析】由已知得{}1,6,7U C A =，所以U B C A ⋂={6,7}，故选C ．3.已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}2,3,5,6A =，集合{}1,3,4,6,7B =，则集合UAB =A ．{}2,5B ．{}3,6C ．{}2,5,6D ．{}2,3,5,6,8 【答案】A 【解析】{2,5,8}UB =,所以{2,5}UAB =，故选A.4.设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x 则=B A A ． [0,2] B ．(1,3) C ． [1,3) D ． (1,4) 【答案】B【解析】∵{}1,2B =-，∴A B ⋂={}2，故选B.5.设集合{|(1)(2)0}A=x x x +-<,集合{|13}B x x =<<,则A BA ．{|13}x x -<<B ．{|11}x x -<<C ．{|12}x x <<D ．{|23}x x << 【答案】A 【解析】{|12}A x x ，{|13}B x x ，∴{|13}A B x x ．6.设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈<R ，则()A CB =A.{}2B.{}2,3C.{}1,2,3-D.{}1,2,3,4 【答案】D【解析】由题知，{}1,2A C =，所以{}{}{}{}1,22,3,41,2,3,4A C B ==，故选D.7.设集合}034|{2<+-=x x x A ，}032|{>-=x x B ，则B A = A.3(3,)2-- B.3(3,)2- C.3(1,)2 D.3(,3)2【答案】D【解析】由题知A =（1,3），B=),23(+∞，所以B A =3(,3)2，故选D.8.已知集合A ={1,2,3,4,5}，B ={(x ,y )|x ∈A ,y ∈A ,x y -∈A }，则B 中所含元素的个数为A .3B .6C .8D .10【答案】D.【解析】B ={（2，1），(3，1)，(4，1)，（5，1），（3,2），(4,2)，（5,2），（4,3），（5,3），（5,4）}，含10个元素，故选D.9.已知集合B A 、均为全集}4,3,2,1{=U 的子集，且(){4}UA B =,{1,2}B =,则UAB =A ．{3}B ．{4}C ．{3,4}D ．∅【答案】A【解析】由题意{}1,2,3AB =，且{1,2}B =，所以A 中必有3，没有4，{}3,4U C B =，故UAB ={}3．10.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5 【答案】C 【解析】由{}1AB =得1B ∈，所以3m =，{}1,3B =，故选C 。
高一数学上册集合的概念
高一数学上册集合的概念高一数学上册集合的概念概念1.集合的定义：集合是由确定的对象所组成的一个整体，这些对象称为集合的元素。
2.元素与集合的关系：一个元素可以属于一个集合，也可以不属于一个集合。
3.集合的表示方法：常用的表示方法有列举法和描述法。
4.集合的基本运算：包括并集、交集、补集和差集等运算。
5.集合的关系：集合之间可以有包含关系、相等关系和不相交关系等。
6.子集和真子集：如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，则称该集合为另一个集合的子集；如果一个集合是另一个集合的子集，并且两个集合不相等，则称该集合为另一个集合的真子集。
相关内容1.集合的运算法则：并集运算满足交换律和结合律；交集运算满足交换律和结合律；补集运算满足对偶律和恒等律；差集运算满足补集定律和恒等律。
2.集合的属性：空集是任意集合的子集；任意集合是自身的子集；全集是包含所有元素的集合；两个集合相等当且仅当它们的元素完全相同。
3.集合的应用：集合的概念在数学中具有广泛的应用，例如概率论、离散数学、集合论等领域。
总结集合是数学中的基本概念之一，它描述了确定的对象所组成的一个整体。
通过集合的定义和基本运算，我们可以进行集合的操作和研究集合之间的关系。
集合的概念在数学的各个领域都有应用，是数学学习的重要基础。
继续介绍集合相关的内容：集合的定义集合是由确定的对象所组成的一个整体，这些对象称为集合的元素。
集合可以用大写字母A、B、C等表示，元素可以用小写字母a、b、c等表示。
元素与集合的关系一个元素可以属于一个集合，也可以不属于一个集合。
如果元素a属于集合A，我们可以用符号a ∈ A表示；如果元素a不属于集合A，我们可以用符号a ∉ A表示。
集合的表示方法常用的表示方法有列举法和描述法： - 列举法：将集合的元素一一列举出来，用花括号{}括起来。
例如，集合A = {1, 2, 3}。
- 描述法：通过描述元素的性质或特点来表示集合。
例如，集合B是所有大于0且小于10的整数的集合，可以表示为B = {x | 0 < x < 10, x ∈ Z}。
集合的基本概念与运算
集合的基本概念与运算在数学领域中，集合是一种包含对象的集合体。
这些对象可以是数字、字母、符号、单词、人或任何其他事物。
集合的概念和运算是数学中重要的基础，本文将介绍集合的基本概念以及常见的集合运算。
一、集合的基本概念集合是由一组对象组成的，并且这些对象是无序的。
用大写字母表示集合，例如A、B、C等，而用小写字母表示集合中的元素，例如a、b、c等。
如果元素a属于集合A，我们可以表示为a∈A。
如果元素x不属于集合A，我们可以表示为x∉A。
在确定一个集合的时候，我们可以列举其中的元素，也可以使用描述集合中元素的特征或性质。
例如，可以表示“大于0的整数”为集合A，可以表示“A={x|x>0, x∈Z}”。
这样即可定义出集合A。
二、集合的基本运算1. 并集运算当我们希望将两个或多个集合合并成一个新的集合时，我们可以使用并集运算。
用符号∪表示并集。
对于集合A和集合B，A∪B表示包含所有属于集合A或属于集合B的元素的新集合。
例如，如果A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}。
2. 交集运算交集运算是指将两个集合中共有的元素组成一个新集合。
用符号∩表示交集。
对于集合A和集合B，A∩B表示包含所有既属于集合A又属于集合B的元素的新集合。
例如，如果A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∩B={3}。
3. 差集运算差集运算是指从一个集合中减去另一个集合中的元素。
用符号\表示差集运算。
对于集合A和集合B，A\B表示包含属于集合A但不属于集合B的元素的新集合。
例如，如果A={1,2,3,4}，B={3,4,5}，则A\B={1,2}。
4. 补集运算在集合理论中，我们还可以定义补集运算。
对于给定的全集U和集合A，A的补集表示U中所有不属于A的元素。
用符号A'或A表示补集。
例如，如果U为全集，A为集合A。
则A'表示U中所有不属于集合A的元素的集合。
三、集合的扩展运算除了基本的集合运算外，还存在集合的扩展运算。
1.1集合的概念及运算(讲义)-2023届高考一轮复习
1.1集合的概念及运算【考试要求】.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系，能用集合语言描述不同的具体问题；1.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；.在具体情境中，了解全集与空集的含义；2.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集，能使用Venn图表示集合间的基本关系及集合的基本运算。
【考点提示】.以选择题、填空题的形式考查集合的交集、并集、补集运算；1.以集合为载体，考查函数的定义域、值域、方程、不等式及曲线间的交点问题;.以考查集合含义及运算为主，同时考查集合语言和思想的运用。
【要点梳理】1.集合的含义与表示（1）集合的含义：指定某些对象的全体称为集合,集合的每个对象称为元素;（2）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性;（3）元素与集合的关系：属于记为，反4;不属于记为agA;（4）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法;（5）常用数集及其符号表示：自然数集：JV；正整数集：N*或"整数集：Z；有理数集：。
；实数集：区；（6）集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集;.集合的基本关系（1）子集：一般地，对于两个集合A , B,集合A中任何一个元素均为集合「中的元素，那么称集合A是集合B的子集，记作：AqB或（2）相等：如果且那么A = B；（3）真子集：对于两个集合A, B,如果且AwB,那么称集合A是集合B的真子集，记作：A曙8或A；（4）空集：不含任何元素的集合，空集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集，可以表示为：0GA或0思3 （B^0）；（5）假设一个集合A中有〃个元素，那么集合A有2：个子集，2"-1个真子集。
2.集合的运算（1）集合的基本运算【基础自测】]假设集合 A = {2£ N IX W 12022 } , 贝 Ij()A. tzeAB. [a}eAC.[a}^AD. a^A答案：D2.(21•全国乙理)集合3 = {5|5 = 2〃 + 1,〃£2}, 2={Z|E=4〃+1/£Z},那么S"=()A. 0B. SC. TD. Z答案：c3.(21•全国甲理)设集合M={x[0<xv4}, N = {x|1wxW5}那么MAN=()A. {x|O<x<l}B. {x|-<x<4}C. {x|4<x<5}D. {x|0<x<5}答案：B4.(21 •全国乙文)全集。
1.1 集合的概念及运算
集合的概念及运算一、 集合的含义与表示1. 集合的含义一些确定的元素组成的总体叫做集合。
2. 元素与集合的关系1. 集合用大写字母 ,,,C B A 表示2. 元素用小写字母 ,,,c b a 表示3. 元素与集合的关系有且仅有两种：属于（用符号""∈表示）和不属于（用符号""∉表示）。
4. 不含任何元素的集合叫做空集，记做∅。
注意 空集属于任何集合。
3. 集合中元素的性质1. 确定性2. 互异性3. 无序性4. 集合的分类1. 无限集，2. 有限集。
5. 常用数集及其符号表示6. 集合的表示方法1. 列举法 如2. 描述法 如7. 练习1. 已知集合{}2,1,0=A ，则集合{}A y x A y A x y x B ∈-∈∈-=,,中元素的个数是2. 已知集合{}5,4,3,2,1=A ，则集合{}A y x A y A x y x B ∈-∈∈=,,),(中元素的个数是3. i 是虚数单位，若集合{}1,0,1-=S ，则S i A ∈. S i B ∈2. S i C ∈3. S i D ∈2. 二、 集合间的基本关系1. 已知集合{}3,2,1=A ，{}3,2=B 则，集合A 与集合B 的关系2. 集合{}1,0,1-共有 个子集。
三、 集合的基本运算1. 已知集合{}m A ,3,1=，{}m B ,1=，A B A =⋃，则m=2. 已知M ，N 为集合I 的非空子集，且M ，N 不相等，若=⋃∅=⋂N M M C N I 则,3. 已知集合{}2,1,0,1,2--=A ，{}0)2)(1(<+-=x x x B ，则=⋂B A4. 已知全集{}8,7,6,5,4,3,2,1=U ，集合{}6,5,3,2=A ，集合{}7,6,4,3,1=B ，则集合=⋂B C A U5. 若集合{}432,,,i i i i A =（i 是虚数单位），{}1,1-=B ，则=⋂B A6. 设集合{}0)2)(1(<-+=x x x A ，集合{}31<<=x x B ，则=⋃B A7. 已知集合{}0322≥--=x x x A ，{}22≤≤-=x x B ，则=⋂B A8. 已知集合U=R ，{}0≤=x A ，{}1≥=x x B ，则集合=⋃)(B A C U9. 设全集{}2≥∈=x N x U ，集合{}52≥∈=x N x A ，则=A C U10.已知集合{}1log 04<<=x x A ，{}2≤=x x B ，则=⋂B A11.已知集合{}023>+∈=x R x A ，{}0)3)(1(>-+∈=x x R x B ，则=⋂B A。
高中数学中集合的概念与运算的解题归纳
高中数学中集合的概念与运算的解题归纳-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN§1.1 集合的概念与运算一、知识导学1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.3.子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素（若A a ∉则B a ∈），则称 集合A 为集合B 的子集，记为A ⊆B 或B ⊇A ；如果A ⊆B ，并且A ≠B ，这时集合A 称为集合B 的真子集，记为A B 或B A.4.集合的相等：如果集合A 、B 同时满足A ⊆B 、B ⊇A ，则A=B.5.补集：设A ⊆S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记为 A C s .6.全集：如果集合S 包含所要研究的各个集合，这时S 可以看做一个全集，全集通常 记作U.7.交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集，记作A ⋂B.8.并集：一般地，由所有属于集合A 或者属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并 集，记作A ⋃B.9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作Φ.10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集.11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn 图）.13.常用数集的记法：自然数集记作N ，正整数集记作N +或N *，整数集记作Z ，有理数集记作Q ，实数集记作R .二、疑难知识导析1.符号⊆，，⊇，，=，表示集合与集合之间的关系，其中“⊆”包括“”和“=”两种情况，同样“⊇”包括“”和“=”两种情况.符号∈，∉表示元素与集合之间的关系.要注意两类不同符号的区别.2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”.3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式中，B =Φ易漏掉的情况.5.若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之.6.若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏.7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、Venn 图等将有关集合直观地表示出来.8.要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用.9.含有n 个元素的集合的所有子集个数为：n 2，所有真子集个数为：n 2-1三、经典例题导讲[例1] 已知集合M={y |y =x 2＋1,x∈R },N={y|y =x ＋1,x∈R }，则M∩N=（ ）A ．（0，1），（1，2）B ．{（0，1），（1，2）}C ．{y|y=1,或y=2}D ．{y|y≥1}错解：求M∩N 及解方程组⎩⎨⎧+=+=112x y x y 得⎩⎨⎧==10y x 或 ⎩⎨⎧==21y x ∴选B错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M 、N 的元素是数而不是实数对(x,y )，因此M 、N 是数集而不是点集,M 、N 分别表示函数y =x 2＋1(x∈R )，y =x ＋1(x∈R )的值域，求M∩N 即求两函数值域的交集．正解：M={y |y =x 2＋1,x∈R }={y |y ≥1}， N={y|y=x ＋1,x∈R }={y|y∈R }．∴M∩N={y |y ≥1}∩{y|(y∈R)}={y |y ≥1}, ∴应选D ．注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x |y =x 2＋1}、{y |y =x 2＋1,x ∈R }、{(x ,y )|y =x 2＋1,x ∈R }，这三个集合是不同的．[例2] 已知A={x |x 2－3x ＋2=0},B={x |ax －2=0}且A∪B=A，求实数a 组成的集合C ． 错解：由x 2－3x ＋2=0得x =1或2．当x =1时，a =2， 当x =2时，a=1．错因：上述解答只注意了B 为非空集合，实际上，B=时，仍满足A∪B=A .当a =0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}．正解：∵A∪B=A ∴B A 又A={x |x 2－3x ＋2=0}={1，2}∴B=或{}{}21或 ∴C={0，1，2}[例3]已知m ∈A,n ∈B, 且集合A={}Z a a x x ∈=,2|，B={}Z a a x x ∈+=,12|，又C={}Z a a x x ∈+=,14|，则有： （ ）A ．m +n ∈A B. m +n ∈B C.m +n ∈C D. m +n 不属于A ，B ，C 中任意一个错解：∵m ∈A ，∴m =2a ,a Z ∈,同理n =2a +1,a ∈Z, ∴m +n =4a +1,故选C错因是上述解法缩小了m +n 的取值范围.正解：∵m ∈A, ∴设m =2a 1,a 1∈Z , 又∵n B ∈,∴n =2a 2+1,a 2∈ Z ,∴m +n =2(a 1+a 2)+1,而a 1+a 2∈ Z , ∴m +n ∈B, 故选B.[例4］ 已知集合A={x|x 2－3x －10≤0}，集合B={x|p ＋1≤x≤2p－1}．若BA ，求实数p 的取值范围．错解：由x 2－3x －10≤0得－2≤x≤5． 欲使B A ，只须3351212≤≤-⇒⎩⎨⎧≤-+≤-p p p ∴ p 的取值范围是－3≤p≤3.错因：上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B=时，符合题设． 正解：①当B≠时，即p ＋1≤2p－1p≥2.由B A 得：－2≤p＋1且2p －1≤5.由－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3②当B=时，即p ＋1>2p －1p ＜2.由①、②得：p≤3.点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．[例5] 已知集合A={a,a ＋b,a ＋2b}，B={a,ac,ac 2}．若A=B ，求c 的值．分析：要解决c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．解：分两种情况进行讨论．（1）若a ＋b=ac 且a ＋2b=ac 2，消去b 得：a ＋ac 2－2ac=0，a=0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．∴c 2－2c ＋1=0，即c=1，但c=1时，B 中的三元素又相同，此时无解．（2）若a ＋b=ac 2且a ＋2b=ac ，消去b 得：2ac 2－ac －a=0，∵a≠0，∴2c 2－c －1=0，即(c －1)(2c ＋1)=0，又c≠1，故c=－21． 点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验. [例6] 设A 是实数集，满足若a∈A，则a -11∈A ，1≠a 且1∉A. ⑴若2∈A，则A 中至少还有几个元素？求出这几个元素.⑵A 能否为单元素集合？请说明理由.⑶若a∈A，证明：1－a1∈A. ⑷求证：集合A 中至少含有三个不同的元素. 解：⑴2∈A ⇒ －1∈A ⇒21∈A ⇒ 2∈A∴ A 中至少还有两个元素：－1和21 ⑵如果A 为单元素集合，则a ＝a -11 即12+-a a ＝0该方程无实数解，故在实数范围内，A 不可能是单元素集⑶a∈A ⇒ a -11∈A ⇒ a --1111∈A ⇒111---a a ∈A ，即1－a 1∈A ⑷由⑶知a∈A 时，a-11∈A， 1－a 1∈A .现在证明a,1－a 1, a -11三数互不相等.①若a=a -11,即a2-a+1=0 ，方程无解，∴a ≠a-11 ②若a=1－a 1，即a 2-a+1=0，方程无解∴a ≠1－a1 ③若1－a 1 =a -11，即a2-a+1=0，方程无解∴1－a 1≠a -11. 综上所述，集合A 中至少有三个不同的元素.点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨.[例7] 设集合A={a |a =12+n ,n ∈N +}，集合B={b |b =542+-k k ,k ∈N +}，试证：A B ．证明：任设a ∈A，则a =12+n =(n ＋2)2－4(n ＋2)＋5 (n ∈N +), ∵ n∈N*，∴ n ＋2∈N*∴ a∈B 故 ①显然，1{}*2,1|Nn n a a A ∈+==∈，而由 B={b |b =542+-k k ,k ∈N +}={b |b =1)2(2+-k ，k ∈N +}知1∈B，于是A≠B②由①、② 得A B ．点评：（1）判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系．（2）判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义．四、典型习题导练1．集合A={x|x 2－3x －10≤0，x ∈Z}，B={x|2x 2－x －6＞0， x ∈ Z}，则A ∩B 的非空真子集的个数为（ ）A ．16B ．14C ．15D ．322．数集{1，2，x 2－3}中的x 不能取的数值的集合是（ ）A ．{2，-2 }B ．{－2，－5 }C ．{±2，±5 }D ．{5，－5}3. 若P={y|y=x 2,x∈R}，Q={y|y=x 2＋1,x∈R}，则P∩Q 等于（ ）A ．PB ．QC ．D ．不知道4. 若P={y|y=x 2,x∈R}，Q={(x ，y)|y=x 2,x∈R}，则必有（ ）A ．P∩Q=B ．P QC ．P=QD ．PQ5．若集合M ＝｛11|<xx ｝，N ＝{x |2x ≤x }，则M N ＝ （ ） A ．}11|{<<-x x B ．}10|{<<x xC ．}01|{<<-x xD ．∅6.已知集合A={x|x 2＋(m ＋2)x ＋1=0,x∈R }，若A∩R ＋=，则实数m 的取值范围是_________．7.（06高考全国II 卷）设a R ∈，函数2()22.f x ax x a =--若()0f x >的解集为A ，{}|13,B x x A B φ=<<≠，求实数a 的取值范围。
一(集合、数列)
定 义 ： 设S是R中 的 一 个 数 集 ， 若 数满 足 ： (1)x S，有x ，即是S的上界； (2) ，x0 S，s.t.x0 ，即是S的最小上界， 则 称 数是 数 集S的 上 确 界 ， 记 作
(4)左无穷右有限区间(, b) {x | x b} (, b] {x | x b};
(5)左有限右无穷区间(a,) {x | a x } [a,) {x | a x };
(6)实数集 (,) x | x .
2、邻域
设a与是两个实数, 且 0。数集{ x x a }称为点a 的邻域 ,点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径.
bb
四、实数集合中的子集 1、区间 区间：是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个 实数叫做区间的端点.
(1)开区间(a,b) x | a x b;
(2)闭区间[a, b] {x | a x b};
(3)半开半闭区间(a, b] x | a x b;
[a,b) {x | a x b};
例如：A {1,2,3,4,5,6}
(2)描述法: 用元素具有的特征表示集合的方法，
即A a | a所具有的特征。
例 如 ：A {( x, y) | x2 y2 1}
7、集合的关系与运算
(1)A是B的子集: x A x B，记作A B。
B
A
A是B的真子集: A B，且A B。 规定：空集为任何集合的子集。
(2)A与B相等: A B且B A。
(3)交集：A B x | x A且x B，简记为AB。 A AB B
(4)并集：A B x | x A或x B。
集合与运算知识点总结
集合与运算知识点总结集合是数学中一种重要的概念，它可以用来表示一组具有共同特征的对象。
集合的运算是指对集合进行各种操作，如交、并、差等。
下面将对集合与运算的知识点进行总结。
一、集合的基本概念1. 集合的定义：集合是由一些确定的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。
2. 元素与集合的关系：一个对象要么属于某个集合，要么不属于。
用符号“∈”表示元素属于某个集合，用符号“∉”表示元素不属于某个集合。
3. 集合的表示方法：常用的表示方法有描述法和列举法。
描述法是通过给出满足某种条件的元素的特征来定义集合；列举法是直接将集合的元素写出来。
二、集合的运算1. 交集：两个集合A和B的交集，记作A∩B，表示同时属于集合A和集合B的元素所组成的集合。
2. 并集：两个集合A和B的并集，记作A∪B，表示属于集合A或集合B的元素所组成的集合。
3. 差集：给定两个集合A和B，A与B的差集，记作A-B，表示属于集合A但不属于集合B的元素所组成的集合。
4. 互斥事件：两个事件A和B互斥，表示A和B不可能同时发生，即A∩B=∅。
5. 互逆事件：两个事件A和B互逆，表示A和B同时发生的概率等于A和B都不发生的概率，即P(A∩B)=P(A')=P(B')。
三、集合的性质1. 子集关系：给定两个集合A和B，如果集合A的所有元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集，记作A⊆B。
2. 幂集：给定一个集合A，由A的所有子集所组成的集合称为A的幂集，记作P(A)。
3. 空集：一个不包含任何元素的集合称为空集，记作∅。
任何集合的子集都包含空集。
4. 交换律：对于任意两个集合A和B，A∩B=B∩A；A∪B=B∪A。
5. 结合律：对于任意三个集合A、B和C，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。
6. 分配律：对于任意三个集合A、B和C，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)；A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。
集合的概念及运算课件人教新课标
无序性：
元素完全相同的两个集合相等，而与列举顺序无关。
两个集合相等当且仅当构成这两个集合的元 素是完全一样的．
4 集合的表示方法
1、列举法： 无序 互异
将集合中的元素一一列举出来，并置于{ }内
2、描述法：
将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件） 表示出来，写成{x︱p(x)}的情势
综上，a的取值范围是a≤－3. 12分
规律方法总结
1．子集、全集、补集 (1)子集与真子集的区分与联系：集合A的真子集一定 是其子集，而集合A的子集不一定是真子集；若集合A中 有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1. (2)集合A与其补集∁UA的关系为：A∩(∁UA)＝∅，A∪ (∁UA)＝U.
答案：－2，－1
5．设集合A＝{(x，y)|x－y＝0}，B＝{(x， y)|2x－3y＋4＝0}，则A∩B＝________.
答案：{(4,4)}
6 集合S，M，N，P如图所示，则图中阴影部分所
表示的集合是( D ) (A) M∩(N∪P)
(B) M∩CS(N∩P) (C) M∪CS(N∩P) (D) M∩CS(N∪P)
在进行集合的运算时，先看清集合的元素和所满足 的条件，再把所给集合化为最简情势，并合理转化求解， 必要时充分利用数轴、Venn图、图象等工具，并会运用 分类讨论、数形结合等思想方法，使运算更加直观，简 洁．
注意：(1)有关集合的运算，要特别注意元 素的互异性，其办法是将所得到的结果进行检 验．(2)要注意∅的性质．
写字母a、b、c…表示.
2.集合的分类 集合按元素多少可分为：有限集(元素个数是有
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
wxckt@ /wxc/
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@
/wxc/
集合相等_____________ 运算：交运算 A∩B＝{x|x∈A 且 x∈B}； 并运算 A∪B＝{x|x∈A 或 x∈B}; 补运算 C U A ＝{x|x A 且 x∈U}，U 为全集 性质：A A； φ A； 若 A B，B C，则 A C； A∩A＝A∪A＝A； A∩φ ＝φ ；A∪φ ＝A； A∩B＝A A∪B＝B A B； A∩C U A＝φ ； A∪C U A＝I；C U ( C U A)＝A； C U (A B)＝(C U A)∩(C U B) 方法：韦恩示意图, 数轴分析 注意：① 区别∈与 、 与 、a 与{a}、φ 与{φ }、{(1,2)}与{1,2}；
2
足条件的 a 的集合.
例 4 已知全集为 R， A { y | y x 2 x 2 } ， B { x | y
2
x
2
2 x 8 ,求
（1） A B ， （2）A∩CRB， ）CRA∩CRB （3
例 5.设集合 M {( x , y ) | y
16 x , y 0 }, N {( x , y ) | y x a } ，若
*
2
2
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@
/wxc/
例 2 已知集合 A={x|x -x-6<0},B={x|0<x-m<9}, ① 若 A∪B=B，求实数 m 的取值范围。 ② 若 A∩B=φ ，求实数 m 的取值范围。
2
例 3 设 M { x x 2 x 3 0 } N { x ax 1 0 } ，若 M N N ，求所有满
wxckt@ /wxc/
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@
/wxc/
所有真子集的个数是_________, 所有非空真子集的个数是_________ ④区分集合中元素的形式：如 A { x | y x 2 2 x 1} ； B { y
wxckt@
新疆
源头学子 小屋
/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@
1 理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解属于、包含、相等关系的意义
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@ /wxc/
A {1，2，3，4}
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@ /wxc/
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@
/wxc/
B {2，3，4}
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
2
2 x 1}
G {z | y x
2
2 x 1, z
y x
}
新疆 源头学子小屋
/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@
新疆 源头学子小屋
/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@
2 已知集合 A={x∈R|x＜5－ 2 }，B={1，2，3，4}，则（ C R A）∩B 等于
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@ /wxc/
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@
/wxc/
wxckt@
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@
/wxc/
/wxc/
/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@
新疆 源头学子小屋
/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@
⑥符号“ , ”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面） 的关系 ； “ Ø , ” 符号 是表示集合与集合之间关系的， 立体几何中的体现 面与直线(面) 的关系
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@
/wxc/
/wxc/
何集合的子集，是任何非空集合的真子集 条件为 A B ，在讨论的时候不要遗忘了
高三数学复习学案一
高考要求
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@ /wxc/
集合的概念与运算
新疆 源头学子小屋
/wxc/
新疆
源头学子 小屋
/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@ /wxc/
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@ /wxc/
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@
/wxc/
A 的情况
新疆 源头学子小屋
/wxc/
wxckt@ /wxc/
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@
/wxc/
B {x|x＞3} C {x|－1＜x＜2} D {x|2＜x＜3}
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@ /wxc/
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@
/wxc/
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@
/wxc/
新疆 源头学子小屋
/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@
新疆 源头学子小屋
/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@
题型讲解
新疆
源头学子 小屋
/wxc/
2
M∩N= ，求实数 a 的取值范围。
学生练习
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@ /wxc/
新疆
源头学子 小屋
/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@
新疆
源头学子 小屋
/wxc/
wxckt@
知识点归纳
新疆
源头学子 小屋
/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@
新疆
源头学子 小屋
/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@
定义：一组对象的全体形成一个集合
新疆 源头学子小屋
新疆 源头学子小屋
/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@
新疆 源头学子小屋
/wxc/
/wxc/
特级教师 王新敞
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@
/wxc/
② A B 时பைடு நூலகம்A 有两种情况：A＝φ 与 A≠φ ③若集合 A 中有 n ( n N ) 个元素， 则集合 A 的所有不同的子集个数为_________，
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@
/wxc/
/wxc/
/wxc/
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
特级教师 王新敞
wxckt@
新疆 源头学子小屋
/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@
2 掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@ /wxc/
C {( x , y ) | y x
2
| y x
2
2 x 1} ；
2 x 1}
D {x | x x
2
2 x 1}
； ；
E {( x , y ) | y x
2
2 x 1, x Z , y Z }
；
F {( x , y ' ) | y x
/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@
新疆 源头学子小屋
/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@
特征：__________.____________.______________ 表示法：列举法{1,2,3,„}、描述法{x|P} 韦恩图
⑤空集是指不含任何元素的集合 { 0 } 、 和 { } 的区别；0 与三者间的关系 空集是任
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@
/wxc/
/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@
新疆
源头学子 小屋
/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@
例 1 已知 x∈R，y∈N ，A={y|y=x -4x+6},{y|y=-x -2x+18}，求 A∩B.
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@ /wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@
1 已知集合 M={x|x ＜4}， N={x|x －2x－3＜0}，则集合 M∩ N 等于
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@ /wxc/
2
2
A {x|x＜－2}
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@ /wxc/
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@
/wxc/
分类： _____________.____________ 数集：自然数集 N、整数集 Z、有理数集 Q、实数集 R、正整数集 N * 、空集φ 关系：属于______、不属于_________、包含于_________、真包含于______________、