量子力学期末复习题

一、 填空题

1．玻尔-索末菲的量子化条件为：

pdq nh =?，（n=1,2,3,....)，

2．德布罗意关系为：h

E h p k γωλ

===

=； 。

3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为：

21

2

mV h A υ=-， 4．波函数的统计解释：()

2

r t ψ

，代表t 时刻，粒子在空间r 处单位体积中出现的概率，又称为

概率密度。这是量子力学的基本原理之一。波函数在某一时刻在空间的强度，即其振幅绝对值的平方与在这一点找到粒子的几率成正比，和粒子联系的波是概率波。 5．波函数的标准条件为：连续性，有限性，单值性 。 6．

，

为单位矩阵，则算符

的本征值为：1± 。

7．力学量算符应满足的两个性质是 实数性和正交完备性 。 8．厄密算符的本征函数具有： 正交性，它们可以组成正交归一性。即

()m n

mn

d d λλφφτδ

φφτδλλ*

*

''==-??或 。

9．设

为归一化的动量表象下的波函数，则

的物理意义为：表示在()

r t ψ

，所描写的态中测量粒子动量所得结果在

p p dp →+范围内的几率。

10.

i ；

?x

i L ；

0。

11．如两力学量算符 有共同本征函数完全系，则

_0__。

12．坐标和动量的测不准关系是： ()

()

2

2

2

4

x x p ??≥

。自由粒子体系，_动量_守恒；中心力

场中运动的粒子__角动量__守恒

13．量子力学中的守恒量A 是指:?A

不显含时间而且与?H 对易，守恒量在一切状态中的平均值和概率分布都不随时间改变。

14．隧道效应是指：量子力学中粒子在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应。

15． 为氢原子的波函数， 的取值范围分别为：n=1,2,3,… ；

l=0,1,…,n -1；m=-l,-l+1,…,0,1,…l 。

16．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并为: 2

n ，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角

动量的耦合时，能级的简并度为 2

2n ，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为 12+j 。

17．设体系的状态波函数为 ，如在该状态下测量力学量 有确定的值 ，则力学量算符

与态矢量

的关系为：?F

ψλψ=。

18．力学量算符 在态 下的平均值可写为 的条件为：力

学量算符的本征值组成分立谱，并且()r ψ

是归一化波函数。

19．希尔伯特空间：量子力学中Q 的本质函数有无限多个，所以态矢量所在的空间是无限维的函数空间。

20．设粒子处于态 ，

为归一化波函数， 为球谐函数，则系数c

的取值为：

1

6 ， 的可能值为：

13

，

本征值为

出现的几率为：

1

2

。 21．原子跃迁的选择定则为：101l m ?=±?=±；， 。

22．自旋角动量与自旋磁矩的关系为：S e

M S μ

=-；式中S M 是自旋磁矩，S 是自旋角动量，e

-是电子的电荷，μ是电子的质量。

23．

为泡利算符，则=2?σ

3

0 ，

?2z i σ

。 24．

为自旋算符，则

2

3

4

， 0 ，

?z

i S 。 25．乌伦贝克和哥德斯密脱关于自旋的两个基本假设是:（1）每个电子具有自旋角动量?S

，它在空间任何方向上的投影只能是两个数值：1

2

z

s =±

；（2）每个电子具有自旋磁矩S M ，它和它

的自旋角动量S 的关系式是：S e

M S μ

=-

，式中e -是电子的电荷，μ是电子的质量。S M 在

空间任意方向上的投影只能取两个数值：2z S B e

M M μ

=±

=±。 26．轨道磁矩与轨道角动量的关系是：2L e

M L μ

=-

。 27．证明电子具有自旋的实验有：斯特恩-革拉赫实验。

28．费米子所组成的全同粒子体系的波函数具有_反对称性__，玻色子所组成的全同粒子体系的波函数具有____对称性_____。

29． 考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为 （已归一化），则在态 下，自旋算

符

对自旋的平均可表示为：()111211221222?G G G G G G ψψ

ψψψψ+

**????==

???????

，，，；对坐标和自旋同时求平均的结果可表示为:?G G

d ψ

ψτ+

=

?。 30． 考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为 （已归一化），则

的意义为:表示在t 时刻，在（x,y,z ）点周围单位体积内找到自旋1

2

z

s =

的电子的几率。 _1__。

31.量子力学中的态是希尔伯特空间的__矢量__；算符是希尔伯特空间的__算符__。

力学量算符在自身表象中的矩阵是 对角的

32、2

),,,(t z y x ψ的物理意义： 发现粒子的几率密度与之成正比 。

33、dr r r 2

2

),,(?

?θψ表示 在r —r+dr 单位立体角的球壳内发现粒子的几率 。

34、在量子力学中，微观体系的状态被一个 波函数 完全描述；力学量用 厄密算符 表示。

二、 问答题

1. 你认为Bohr 的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。 (简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？)

答：Bohr 理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。首先，Bohr 的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr 理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr 理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr 理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr 理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。

2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？

答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率0υ，当照射光频率0υυ<时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率0υυ>时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻9

10

s -≈观

测到光电子。爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完

成的。(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。 3．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？

答：对于一般情况，如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：1122c c ψψψ=+（12c c ，是复数）也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。态叠加原理的含义表示当粒子处于态1ψ和2ψ的线性叠加态ψ时，粒子是既处于态1ψ，又处于态2ψ。它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性。

4. 什么是定态？定态有什么性质？ 答：体系处于某个波函数()()[]exp r t r iEt ψ

ψ=-，所描写的状态时，能量具有确定值。这

种状态称为定态。定态的性质：（1）粒子在空间中的概率密度及概率流密度不随时间变化；（2）任

何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化；（3）任何力学量（不显含时间）取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。 5. 简述力学量与力学量算符的关系？

答：算符是指作用在一个波函数上得出另一个函数的运算符号。量子力学中采用算符来表示微观粒子的力学量。如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符

?F 由经典表示式F （r,p ）

中将p 换为算符?p 而得出的，即：?????F F F =?（r,p ）=（r,-i ）。量子力学中的一个基本假定：如果算符?F 表示力学量F ，那么当体系处于?F 的本征态φ时，力学量F 有确定值，这个值就是?F

在φ中的本征值。 6.经典波和量子力学中的几率波有什么本质区别？

答：1）经典波描述某物理量在空间分布的周期性变化，而几率波描述微观粒子某力学量的几率分布；（2）经典波的波幅增大一倍，相应波动能量为原来的四倍，变成另一状态，而微观粒子在空间出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度，几率波的波幅增大一倍不影响粒子在空间出现的几率，即将波函数乘上一个常数，所描述的粒子状态并不改变； 7. 能量的本征态的叠加一定还是能量本征态。

答：不一定，如果1ψ，2ψ对应的能量本征值相等，则2211ψψψc c +=还是能量的本征态，否则，如果1ψ，2ψ对应的能量本征值不相等，则2211ψψψc c +=不是能量的本征态

8.什么是表象？不同表象之间的变换是一种什么变换？在不同表象中不变的量有哪些？ 答：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。不同表象之间的变换是一种幺正变换。在不同表象中不变的量有：算符的本征值，矩阵的迹即矩阵对角元素的和。

9. 简述量子力学的五个基本假设。

答：（1）微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件；（2）力学量用厄密算符表示。如果在经典力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力学量的算符，由经典表示中的将动量

p 换为算符i -?

得出。表示力学量的算符具有组成完全系的本征函数。（3）将体系的状态波函数ψ用算符?F

的本征函数展开??m

m m F F λλ?λ??λ?==（，）：

m m m

c c

d λλψ??λ=+∑?，则在ψ态中测量力学量F 得到结果为m λ的几率为2

m c ，得到结果在d λ

λλ+范围内的几率是2

c d λλ；

（4）体系的状态波函数满足薛定谔方程：?i

H t

ψψ?=?，?H 是体系的哈密顿算符。（5）在全同粒子组成的体系

中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态（全同性原理）。 10.波函数归一化的含义是什么？归一化随时间变化吗？

答：粒子既不产生也不湮灭。根据波函数的统计解释，在任何时刻，粒子一定在空间出现，所以在整个空间中发现粒子是必然事件，概率论中认为必然事件的概率等于1。因而粒子在整个空间中出现的概率即2

ψ对整个空间的积分应该等于1.即

()2

,,,1x y z t d ψτ=?式中积分表示对整个空间

积分。这个条件我们称为归一化条件。满足归一化条件的波函数称为归一化波函数。波函数一旦归一化，归一化常数将不随时间变化。

11.量子化是不是量子力学特有的效应？经典物理中是否有量子化现象？

答： 所谓量子化，就是指某个力学量可取数值具有离散谱。一般来说，这不是量子力学的特有效应。经典物理中，例如声音中的泛音，无线电中的谐波都是频率具有离散谱。经典波在束缚态形成驻波时，频率也是量子化的，但经典波的频率量子化并不对应能量量子化。有时量子化用了专指能量量子化，在这种意义上它就是量子力学特有的效应。 12.什么是算符的本征值和本征函数？它们有什么物理意义？

答：含有算符?F 的方程?m m m F F ??=称为?F

的本质方程，m F 为?F 的一个本质值。而m ?则为?F 的属于本征值m F 的本征函数。 如果算符多代表一个力学量，上述概念的物理意义如下：当体系

处于?F

的本征态m ?时，测量F 的数值时确定的，恒等于m F 。当体系处于任意态时，单次测量F 的值必等于它的本征值之一。

13.算符运算与一般代数运算有什么异同之处？

答：（1）相同点:都满足加法运算中的加法交换律和加法结合律。（2）不同点：a.算符乘积一般

不满足代数乘法运算的交换律，即????FG

GF ≠；b.算符乘积定义(

)()??????FGE F G E ψψ??=??

，运算

次序由后至前，不能随意变换。

14.什么是束缚态和定态？束缚态是否必为定态？定态是否必为束缚态？

答：定态是概率密度和概率流密度不随时间变化的状态。若势场恒定

0U

t

?=?，则体系可以处于定态。当粒子被外力（势场）束缚于特定的空间区域内，及在无穷处波函数等于零的态叫做束缚态。束缚态是离散的。例如一维谐振子就属于束缚定态，具有量子化能级。但束缚态不一定是定态。例如限制在一维箱子中的粒子，最一般的可能态是以一系列分立的定态叠加而成的波包。这种叠加是没有确定值的非定态。虽然一般情况下定态多属束缚态，当定态也可能有非束缚态。

15.（1）在量子力学中，能不能同时用粒子坐标和动量的确定值来描写粒子的量子状态？（2）将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变？（3）归一化波函数是否可以含有任意相因子i e δ

（δ是实常数）？（4）已知F 为一个算符，当F 满足如下的两式

时，a. F F +

=,b. 1

F F -+

=,问何为厄米算符，何为幺正算符？（5）证明厄米算符的本征值为实数。量子力学中表示力学量的算符是不是都是厄米算符？

答：（1）不能；因为在量子力学中，粒子具有波粒二象性，粒子的坐标和动量不可能同时具有确定值。（2）不改变；根据Born 对波函数的统计解释，描写体系量子状态的波函数是概率波，由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1，因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函数在空间各点的相对强度。（3）可以；因为2

1i e δ=，如果2

ψ对整

个空间积分等于1，则

2

i e δ

ψ对整个空间积分也等于1.即用任意相因子i e δ（δ是实常数）去乘以

波函数，既不影响体系的量子状态，也不影响波函数的归一化。（4）满足关系式a 的为厄密算符，

满足关系式b 的为幺正算符；（5）证明：以λ表示F 的本征值，ψ表示所属的本征函数，

则?F ψλψ=因为F 是厄密算符，于是有dx dx λ

ψψλψψ***

=??

，由此可得λλ*=，即λ为实数。 16.薛定谔方程应该满足哪些条件？

答：（1）它必须是波函数应满足的含有对时间微商的微分方程；（2）方程是线性的，即如果1ψ和2ψ都是方程的姐，那么1ψ和2ψ的线性叠加1122c c ψψψ=+也是方程的解，这是因为根据态叠加原理，如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：1122c c ψψψ=+（12c c ，是复数）也是这个体系的一个可能状态；（3）这个方程的系数不应该包含状态的参量，如动量、能量等，因为方程的系数如含有状态的参量，则方程只能被粒子的部分状态所满足，而不能被各种的状态所满足。

17. 量子力学中的力学量用什么算符表示？为什么？力学量算符在自身表象中的矩阵是什么形式？

答：量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符。因为所有力学量的数值都是实数，既然表示力学

量的算符的本征值是这个力学量的可能值，因而表示力学量的算符，它的本征值必须是实数。力学量算符在自身表象中的矩阵是一个对角矩阵。 18.简述力学量算符的性质？

答：（1）实数性：厄密算符的本征值和平均值皆为实数；（2）正交性：属于不同本征值的本征态彼此正交。即

m n mn d ??τδ*=?；（3）完备性：力学量算符的本征态的全体构成一完备集，即

()()n n n

x c x ψ?=∑。

19.在什么情况下两个算符相互对易？

答：如果两个算符?F 和?G 有一组共同本征函数m ?，而且m

?组成完全系，则算符?F 和?G 对易。

20.请写出测不准关系?

答：设算符?F

和?G 的对易关系为：???i F G k ??=?

?

，，则测不准关系式为：()()2

2

2

??4

k F G

??≥，如果k 不为零，则?F

和?G 的均方偏差不会同时为零，它们的乘积要大于一正数。 21.量子力学中的守恒量是如何定义的？守恒量有什么性质？量子力学中的守恒量和经典力学的

守恒量定义有什么不同，并举例说明？

答：量子力学中不显含时间，且其算符与体系的哈密顿算符对易的力学量称为守恒量；量子体系的守恒量，无论在什么态下，平均值和概率分布都不随时间改变；量子力学中的守恒量与经典力学中的守恒量概念不相同，实质上是不确定度关系的反映。a.量子体系的守恒量并不一定取确定值，及体系的状态并不一定就是某个守恒量的本征态。如对于自由粒子，动量是守恒量，但自由粒子的状态并不一定是动量的本征态（平面波），在一般情况下是一个波包；b.量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。例如中心力场中的粒子，l 的三个分量都守恒，但由于x y z l l l 、、不对易，一般说来它们并不能同时取确定值（角动量0l

=的态除外）。

22.定态微扰理论的适用范围和适用条件是什么？

答：适用范围：求分立能级及所属波函数的修正；适用条件是：

(0)(0)

(0)(0)1nm

m n m n

H εεεε'≠-，式中。

23.什么是自发跃迁？什么是受激跃迁？

答：在不受外界影响的情况下，体系由高能级跃迁到低能级，这种跃迁称为自发跃迁；体系在外界（如辐射场）作用下，由低能级跃迁到高能级，这种跃迁称为受激跃迁。 24.什么是严格禁戒跃迁？角量子数和磁量子数的选择定则是什么？

答：如果在任何级近似中跃迁几率均为零，这这种跃迁称为严格禁戒跃迁。角量子数和磁量子数的选择定则是：101l

m ?=±?=±；，。

25. 谁提出了电子自旋的假设？表明电子有自旋的实验事实有哪些？自旋有什么特征？ 答：乌伦贝克和高斯密特提出了电子自旋的假设。他们主要根据的两个实验事实是：碱金属光谱的

双线结构和反常的Zeeman 效应。他们假设的主要内容为：a.每个电子具有自旋角动量?S

，它在空间任何方向上的投影只能是两个数值：1

2

z s =±

；b.每个电子具有自旋磁矩S M ，它和它的自旋角动量S 的关系式是：S e

M S μ

=-

，式中e -是电子的电荷，μ是电子的质量。

表明电子有自旋的实验事实：斯特恩-盖拉赫实验。其现象：K射出的处于S态的氢原子束通过狭缝BB和不均匀磁场，最后射到照相片PP上，实验结果是照片上出现两条分立线。解释：氢原子具

有磁矩，设沿Z方向：；如在空间可取任何方向，应连续变化，照片上应是一连续带，但实验结果只有两条, 说明是空间量子化的，只有两个取向，对S 态 , ,没轨道角动量，所以原子所具有的磁矩是电子固有磁矩，即自旋磁矩。

自旋的特点：（1）电子具有自旋角动量这一特点纯粹是量子特性，它不可能用经典力学来解释。它是电子的本身的内禀属性，标志了电子还有一个新自由度。（2）电子自旋与其它力学量的根本区别为，一般力学量可表示为坐标和动量的函数，自旋角动量与电子坐标和动量无关，不能表示为

，它是电子内部状态的表征，是一个新的自由度。（3）电子自旋值是，而不是的整数

倍。（4），而两者在差一倍。自旋角动量也具有其它角动量的共性，即满足同样的对易关系：。

①它是个内禀的物理量，不能用坐标、动量、时间等变量表示；

②它完全是一种量子效应，没有经典对应量。也就是说，当0

→时，自旋效应消失。

③它是角动量，满足角动量最一般的对应关系。而且电子自旋在空间任何方向上的投影只取

2

±两个值。

26. 什么是斯塔克效应？

答：当原子置于外电场中，它发射的光谱线将发生分裂，这称为Stark效应。

27.什么是光谱的精细结构？产生精细结构的原因是什么？考虑精细结构后能级的简并度是多少？

答：由于电子自旋与轨道角动量耦合，是原来简并的能级分裂成几条差别很小的能级，称为光谱的

精细结构；当n和l给定后，j 可以取

1

0)

2

j l l

=±=

，(除外，即具有相同的量子数n，l的能

级有两个，它们的差别很小，这就是产生精细结构的原因。考虑精细结构后能级的简并度为（2j+1）

28.什么是塞曼效应？什么是反常的塞曼效应？对简单塞曼效应，没有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为几条？

答：把原子（光源）置于强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条，我们把这称为正常的塞曼效应。而反常的塞曼效应是指在弱磁场中原子光谱线的复杂分裂（分裂成偶条数）。对简单塞曼效应，没有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为三条。 29．什么是全同性原理和泡利不相容原理？

答：全同性原理：由全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，它们的对称性不随时间改变。泡利不相容原理：不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态。

30.写出泡利矩阵的形式及其对易关系。请用泡利矩阵定义电子的自旋算符，并验证它们满足角动

量对易关系。 答：泡利矩阵：01?10x σ??= ??? ；0?0y i i σ-??= ??? ；?01z σ??

= ?-??

1 0 ；对易关系

为：???2i σ

σσ

?=；自旋算符??2

S σ=；对易关系为???S S i S ?=。验证过程如下：??????x y x y y x S S S S S S ??=-??，即：2

222

010001??10001044?2010142x y z

i i S S i i i i iS --??????????=-

??? ???

??????????????=== ? ?--????

， 1 0 1 0 31.请写出两个电子体系的波函数。

答：按空间态和自旋态组合可有四种反对称态：?

??

??

???自旋态对称空间态反对称自旋态反对称空间态对称

()()()()[]()()()()??

????-+--12212121

21

2121211221χχχχ????r r r r m n m n ； ()()()()[]()()

()()()()()()?????????

??

??????+-----122121212121

2121212

1212

1212

11221χχχχχχχχ????r r r r m n m n ； 其中()()1

11?r E r H n n n

??=；()()222?r E r H m m m ??=。 32.请简述微扰论的基本思想。

答：将复杂的体系的哈密顿量 分成 与 两部分。 是可求出精确解的，而 可看成

的微扰。只需将精确解加上由微扰引起的各级修正量，逐级迭代，逐级逼近，就可得到接近问题真实的近似解。确定

时，先确定

，再用

确定

。

33. 什么是玻色子和费米子？

答：由电子，质子，中子这些自旋为 的粒子以及自旋为 的奇数倍的粒子组成的全同粒子体系的波函数是反对称的，这类粒子服从费米(Fermi)－狄拉克 (Dirac) 统计，称为费米子，由光子（自旋为1）以及其它自旋为零，或 整数倍的粒子所组成的全同粒子体系的波函数是对称的，这类粒子服从玻色(Bose)－爱因斯坦统计，称为玻色子。 34.什么是隧道效应？请举例说明隧道效应的应用。

答：粒子在其能量E 小于势垒高度0U 时，仍然会有部分粒子穿过势垒的现象叫隧道效应，又叫隧穿效应。隧道效应的应用：1.扫描隧道显微镜（STM ）是电子隧道效应的重要应用之一。扫描隧道显微镜可以显示表面原子台阶和原子排布的表面三维图案。在表面物理、材料科学和生命科学等诸多领域中，扫描隧道显微镜都能提供十分有价值的信息。2.隧道二极管是一种利用隧道效应的半导体器件，也是隧道效应的重要应用之一。由于隧道效应而使其伏安特性曲线出现负阳区，因而隧道二级管具有高频、低噪声的特点。隧道二级管是低频放大器、低频噪声振荡器和超高速开关电路中的重要器件。

35. 厄米算符具有哪些性质？厄米算符的平均值、本征值、本征函数具有哪些性质？

答：厄米算符具有下列性质：a.两厄米算符之和仍为厄米算符；b.当且仅当两厄米算符 ?A

和 ?B

对易时，它们之积才为厄米算符。因为()

?

????????AB B

A BA ==。只有在??,0A

B ??=??

时， ????BA

AB =，才有，()

?

????AB AB

=，即??AB 仍为厄米算符；c.无论厄米算符?A 、?B 是否对易，算符

()

1????2AB BA +及 ()

1??

??2AB BA i

-必为厄米算符，因为 ()

()()

*

????????11111????????????????22222AB BA B A A B A B B A AB BA i i i i i ??-=-+=-=-????

； d.任何算符总可分解为???i ο

οο+-=+。令 ()?

1???2οοο+=+、()?1???2i

οοο-

=-，则?ο+和?ο-均为厄米算符。

厄米算符的平均值、本征值、本征函数具有下列性质：

①厄米算符的平均值是实数；②在任何状态下平均值均为实数的算符必为厄米算符； ③厄米算符的本征值为实数。厄米算符在本征态中的平均值就是本征值。

④厄米算符属于不同本征值的本征函数正交；⑤厄米算符的简并的本征函数可以经过重新组合后使它正交归一化；⑥厄米算符的本征函数系具有完备性；⑦厄米算符的本征函数系具有封闭型。 36. 简单讨论一下相对论情形和非相对论情形下的德布洛意关系式。

答：对于非相对论情形：20

2k p m ε=

,p =相对论情形：02

2224

E

p c m c =+

;

p ==

=所以当k

c ε

时，即得到非相对论情形下的公式：

022222

00240111......22m c E p c p m c h

h

m c h m υ??????==

=

++=+

+?? ? ? ????

????? 由于能量只有相对变化E ?才有意义（即能量的绝对值在物理上是没有意义的，它依赖于“零能量值”的选取），21h E E E υ=?=-可将常数项20m c 抵消，此时相对论形式的关系退化为非相对

论情形：k

h

ευ

=

，k ε就是非相对论粒子的动能。德布洛意频率本身不是一个可观测量，因此只有

德布洛意波长具有物理意义。

37. 为什么物质的波动性在宏观尺度不显现？ 答：由于h p λ

=，原因是普朗克常数太小（346.610.h J s -=?

），而宏观尺度的运动动量太大,

导致波长太小，难以引起可以观察的物理效应。因为p =

,要减小宏观尺度运动的动量，

必须减小动能E ，但从物理上考虑E 不可能减小到比热运动能量kBT 更小，所以必须减小质量。质量的减小对应于尺度的减小。只有把物体尺度减小到微观尺度，才可能出现较大的物质波波长λ。从而引起可以观察到的物理效应。

38.相对论粒子德布洛意波对应的相速度，群速度分别是多少？（相速度p

dx v dt k

ω

=

=,代表相位

传播的速度。波包是指波动在有限空间中分布。群速度g

d v dk

ω

=

对应波包运动的速度） 答：由德布洛意关系：

0h p

λ=

=，所以：波矢

2k π

λ

=

=

；

22

E mc h h υ===

，所以2ω=

则相速度：

22

0p c v k

v

ω

=

=

=。 又因为：()

(

)

032

221m v d dv

h v c πω

=

-，()

(

)

32

221m dk

dv

h v c π=

-

所以，群速度：g d d dv v v dk

dk dv

ωω===，即在相对论情形下粒子运动速度也对应于波包的群速度。 39. 自由粒子非相对论情形的相速度和群速度分别为多少？

答：

()2

2k m

ω=

，2

2k m ω=，则群速度：g d k v dk m ω==（对应的才是粒子运动的速度）。而

相速度：2p

k

v k

m

ω

=

=

（不是粒子运动速度）。 40.什么是希尔伯特空间？波函数与希尔伯特空间的关系？

答：希尔伯特空间是定义在复数域上的一个有限维或无限维的完备矢量空间。波函数对应于希尔伯特空间中的态矢。

41.试举例有哪些实验揭示了光的粒子性质？哪些实验揭示了粒子的波动性质？

答：黑体辐射、光电效应、康普顿散射实验给出了能量分立、光场量子化的概念，从实验上揭示了光的粒子性质。电子杨氏双缝实验、电子在晶体表面的衍射实验、中子在晶体上的衍射实验从实验上揭示了微粒的波动性质。 三、证明题

1. 试证明)x 3x 2(e

3)x (33x

21

2

2ααπ

αψα

-=-是线性谐振子的波函数，并求此波函数对应的

能量。

证：线性谐振子的S-方程为：)()(2

1

)(22222x E x x x dx d ψψμωψμ=+-

① 把)(x ψ

代入上式，有：221

332()(23)]x d d x x x dx dx αψαα-=-

22

1

23332

2

(23)(63)]x

x x x x e αααααα-=--+-

22

154322

(293)x x x αααα-=-+-

??

??

??-+-=-)3x 9x 2(e 3dx d dx )x (d 2

345x 21

2

222αααπαψα

??

????+-+-+--=

--)x 18x 8(e )3x 9x 2(xe 3335x 2

12345x 2122222ααααααπ

ααα

22

1

42

2

334222

(7(23)(7)()x x x x x x αααααααψ-=--=-

把)(22

x dx

d ψ代入①式左边，得 2

222

2224222

2

22

42

222222()11()7()()()22222

1 7()()()

222

7117 ()()()()

2222()d x x x x x x x x dx x x x x x x x x x x x E x ψμωψαψαψμωψμμμμω

μω

ψψμωψμμωψμωψμωψωψψ=-+=-+=?

?

-

+=-+==左边（

）右边

当ω 2

7

=

E 时，左边 = 右边。 n = 3

)32(3)(3321

2

2x x e

dx d x x

ααπ

αψα

-=-，是线性谐振子的波函数，其对应的能量为ω 2

7

。

2. 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是

0==θe er J J ；

2

sin m n e r m e J ψθ

μ?=

。

证：电子的电流密度为：)(2*

*m n m n m n m n e i e

J e J

ψψψψμ

?-?-=-= ?在球极坐标中为：?

θθ?θ??

+??+??=?sin 11r e e r r e r

，式中?θe e e r 、、为单位矢量 ])sin 11( )sin 11([2*

*

m n r m n m

n r m n e r e e r r e r e e r r e i e J e J ψ?

θθψψ?

θθψμ?

θ?θ??+??+??-??+??+??-=-=

)]sin 1sin 1()1 1()([2*

****

*m n m

n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n r r r e r r e r r e ie ψ?

ψθψ?ψθψθψψθ

ψψψψψμ?θ??-??+??-??+??-??-

=

m n ψ中的r 和θ部分是实数。 ∴?ψψθ

μe im im r ie J m n m

n e

)(sin 222

---

= ?ψθ

μe r m e m n 2sin -=

可见，0==θe er J J ； 2

sin m n e r m e J ψθ

μ?-

=

3. 试以基态氢原子为例证明：U T ??或不是ψ的本征函数，而是U

T ??+的本征函数。 ) 1( 2)1(41

22

0/2/301000 s a r e a e a μπψ==

-解：

2

22222111?[()(sin )]2sin sin T

r r r r θμθθθ?????=-++????； 2

?s e U r

=-；

02

2

/23/22100100

2202

2

/3/2100

2200000100

111?()()()

2211212

()()()22 r a r a T r r e r r r a r r r

e a a a r a a r

ψψμμπψμμπψ--????=-=-?????=-=--≠?常数

所以：的本征函数不是T ?100ψ

由于1002

100

?ψψr

e U s -= ；可见，的本征函数不是U ?100ψ

02

2

/3/2100

100

20002222

10010010010022

0000

112?? ()()()211

22r a s e T U e a a a r r

a a r a r a ψψμπψψψψμμμμ-+=--=-

+-=-而

可见，100ψ是)??(U T

+

的本征函数。 4．

证明： ±==

L L ，6的氢原子中的电子在??=135 45和θ的方向上被发现的几率最大。

解： ΩΩ?θd Y d W m m 2),( =； ∴ 2

),(m m Y W =?θ

±==L L ，6的电子，其中1 ,2±==m

2121 (,)cos (,)cos i i Y e Y e ??θ?θθθ?θθ--==； ∴θπ

θθπ?θ2sin 3215

cos sin 815),(2222

12==

=±m

Y W 当??=135 45和θ

时：π

3215

12=

±W 为最大值。即在?=?=13545θθ，方向发现电子的几率

最大。在其它方向发现电子的几率密度均在0～

π

3215

之间。 5．试证明：处于1s ，2p 和3d 态的氢原子的电子在离原子核的距离分别为00094a a a 和、

的球壳内被发现的几率最大(0a 为第一玻尔轨道半径 )。

证：①对1s 态，0

/2/30

10)1(

,0 ,1a r e a R n -=== 002/2/22

3232101010000

112

()()(

)4()4(2)r a r a W W r r R r r e r r e a r a a --?===-?； 令

010

=??r

W 0321 , ,0a r r r =∞==? 易见 ，当12100, 0r r W ==∞=时，不是最大值。

2

0104)(-=

e a a W 为最大值，所以处于1s 态的电子在0 a r =处被发现的几率最大。 ②对2p 态的电子02/0

2

/30

213)21(

,1 ,2a r e a r a R n -===

00

42

//2

323212121

25

0000

11()()(4)2324r a r a W r r W r r R r e r e a a r a a --?===-?； 令

021

=??r

W 03214 , ,0a r r r =∞==? 易见 ，当12210, 0r r W ==∞=时，为最小值。

0/2020

2

5

02212)812(241a r e a r a r r a r W -+-=??

038)163212(1624143

4

205042

21

20

<-=+-?=

??--=e a e a a r W a r ∴

04a r =为几率最大位置，即在04a r =的球壳内发现球态的电子的几率最大。

③对于3d 态的电子 03/20

2/3032)(15811)2(

,2 ,3a r e a r

a R n -=== 002

/32/3265

3232327227

00

1182()(6)811581153r a r a W r W r r R r e r e a r a a --?==

=-???； 令

032

=??r

W 03219 , ,0a r r r =∞==? 易见 ，当12320, 0r r W ==∞=时，为几率最小位置。

03/220

6052

7

022322)92415(158116a r e a r a r r a r W -+-?=??

22

46

632

0002

27230000

936281116(9)(15)0811595r a W a a a e e r a a a a --=??=-+=-

09a r =为几率最大位置，即在09a r =的球壳内发现球态的电子的几率最大。

6.指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。

① 2

2

2

4dx

d x ； ② []2

； ③

∑

=n

K 1

解：①2

2

2

4dx d x 是线性算符；

2

222212221222

2

2112222211222

44 )(4)(4)(4 u dx

d

x c u dx d x c u c dx d x u c dx d x u c u c dx d x ?+?=+=+

②

[]2 不是线性算符；

2

222112

2

222121212122211]

[][ 2][ u c u c u c u u c c u c u c u c +≠++=+

③

∑

=n

K 1

是线性算符；

7. 指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。

（1）

224 dx

d dx d i dx d ，，； （2）①x p x ??， ②)????(21

x p p x x x + 1解：（）- *

* * d

d dx dx dx dx

ψφψφψφ∞

∞∞∞-∞

-∞=-??； 00

x ψφ→±∞→→当，，；

*

* ()* ()* d d d d dx dx dx dx dx

dx dx dx ψφψφψφψφ∞

∞∞∞-∞

-∞-∞-∞∴=-=-≠????

d

dx

∴不是厄米算符。

-* * * ()* ()* d d d d i dx i i dx i dx i dx dx dx dx dx ψφψφψφψφψφ∞

∞∞∞∞

∞-∞-∞-∞-∞=-=-=???? d

i

dx

∴是厄米算符 2-22

22222* *4 4* 4 **

* 4 44 4* (4)* d d d d dx dx

dx dx dx dx d d d d dx dx dx dx dx dx

d d dx dx

dx dx

φψφψφψψφψψφφψφψφ∞

∞∞

∞-∞-∞∞

∞-∞-∞∞

∞-∞-∞=-=-=+=-=?????? 2

24d dx

∴是厄米算符。

（2）①

**12121212????????()())*()*x x x x xp d x

p d x p d p x d ψψτψψτψψτψψτ===????（

因为 x x p

x p

???χ≠； ∴ x p x ?? 不是厄米算符。 ②

???+=+τψψτψψτψψd x p d p x d x p p x

x x x x 2*

12*12*

1)??(2

1)??(21)]????(2

1

[

***121212111????????()()[())]222

x x x x p x d xp d xp p x d ψψτψψτψψτ=

+=+??? ?+=

τψψd p x x p

x x 2*1])????(21

[ ∴

)????(2

1

x p p x x x +是厄米算符。 9.下列函数哪些是算符2

2

dx d 的本征函数，其本征值是什么？

①2

x ， ②

x e ， ③x sin ， ④x cos 3， ⑤x x cos sin +

解：①2)(2

2

2=x dx

d ； ∴ 2x 不是22dx d 的本征函数。 ②

x

x e e dx d =22；∴ x e 不是22dx d 的本征函数，其对应的本征值为1。 ③x x dx d x dx

d sin )(cos )(sin 2

2-==； ∴ 可见，x sin 是2

2

dx d 的本征函数，其对应的本征值为－1。 ④

)cos 3(cos 3)sin 3()cos 3(22x x x dx d

x dx d --=-= ∴ x cos 3 是2

2

dx d 的本征函数，其对应的本征值为－1。