切变模量的研究和垂直轴定理的验证

切变模量的研究和垂直轴定理的验证

物理系

摘要：切变模量是材料在弹性限度内剪应力同剪应变的比值，是度量物体受力时形变大小的重要参量。本实验粗略研究了钢丝的切变模量随其扭转角度的变化关系，确定合适的实验条件测量切变模量，测量物体的转动惯量并与理论值进行比较，验证了垂直轴及平行轴定理。

关键词：切变模量；转动惯量；垂直轴定理；平行轴定理；数字计时器

The research of shear modulus and verification of the

perpendicular axis theorem

TAN Cheng Department of Physic

Abstract: Shear modulus is the ratio of shear stress with shear strain in the material’s elastic limit, an important parameter to measure the deformation of the object under external force. In this study, we research the relationship between the shear modulus and torsion angle roughly, determine the appropriate experimental conditions, measuring the moment of inertia to compare with the theoretical value, and verify the vertical axis and parallel axis theorem.

Key word: shear modulus; moment of inertia; vertical axis theorem; parallel axis theorem; Digital timer

一、引言

本实验通过用扭摆法测量钢丝材料的切变模量，了解测量材料切变模量的基本方法，进一步掌握基本长度量和时间测量仪器的正确使用方法，对不同的时间测量仪器进行简单的比较，同时还可以用扭摆法测量各种形状刚体绕同一轴转动的转动惯量以及同一刚体绕不同轴转动的转动惯量，加深对转动惯量的概念及垂直轴定理和平行轴定理的理解。

二、实验原理

1.切变模量定义

正应力同线应变的比值，称为杨氏模量；剪应力同剪应变的比值，称剪切弹性模量，即切变模量。设有某一弹性固体的一个长方形体积元，顶面（底面）面积为A，它的顶面固定，F为与顶面平行且均匀分布的切力，在F的作用下产生切变，切变角为α，如图1所示，在α较小时满足：

F

A

=Gα(1)

比例系数G即为切变模量，单位为

Nm−2。

2.切变模量的计算

实验中，待测样品是一根上下均

匀而细长的钢丝，近似为圆柱体，根据

几何关系，力矩平衡方程，转动定律，

解微分方程最后可得到切变模量的计算式：

G=8πLI1

R4(T12−T02)

(2)1

其中，L、R分别为待测钢丝的长度和半径，I1为所加圆环绕中心轴作水平转动的转动惯量，T1和T0分别为爪手上水平放置圆环和空载时扭转后所对应的扭摆周期。

3.圆柱方柱切变模量测量值的计算及其理论值的计算

方柱转动惯量理论值：

I

方柱=1

12

m(l2+d2)(3)2

其中l为方柱长度，d为方柱宽度（沿垂直于转动轴的方向）。圆柱转动惯量理论值：

I

圆柱=1

4

m(1

3

l2+r2)(4)3

图1：切变模量原理图

其中l 为圆柱长度，r 为圆柱半径。

圆柱及方柱测量值的计算直接利用(2)式变形为：

I =

GR 4(T 12−T 0

2)8πL

(5)

得到负载周期T 1和空载周期T 0即可直接得到测量值.

4. 垂直轴定理：若已知一块薄板（或薄环）绕位于板（或环）上相互垂直轴（X 和Y

轴）的转动惯量为I x 和I y ，则薄板（或环）绕Z 轴的转动惯量为：

I Z =I x +I y (6)

此即垂直轴定理，由此定理可知：圆盘（或环）通过中心且垂直盘面的转轴的转动惯量为圆盘绕其直径的转动惯量的两倍。

5. 平行轴定理：若有任一轴与过质心的轴平行，且该轴与过质心的轴相距d ，刚体对

过质心轴的转动惯量为I ，对与其平行的另一轴的转动惯量为I ′，则有：

I ′=I +md 2 (7)

三、 实验设计和过程

实验器材

切变模量与转动惯量实验仪，数字计数器，秒表，方柱，圆柱，小铁球，螺旋测微仪，游标卡尺，卷尺，电子天平等。

1. 切变模量与转动惯量实验仪简图如图24所示，使

用较为简单，调节底座可调整爪手和感应器之间的距离，调节扭动旋钮可调整爪手的平衡位置。 2. 数字计数器如图2中的7所示，使用时按上升键

预先调节所需要测量的数目，使爪手作扭转振动。当铷铁硼小磁钢靠近霍耳开关约1.0cm 距离时，霍耳开关将导通，即产生计时触发脉冲信号，大

约感应3次后开始计数，计数计时结束,可以读出由于爪手振动在霍耳开关上产生计时脉冲的计数值和总时间，其中计数2次为一个周期。可通过上下键来查阅每次感应计数所对应的时间。 实验过程

实验1：测量钢丝的切变模量

图 2：切变模量与转动惯量实验仪简图 Table 1：1、爪手 2、环状刚体 3、待测材料 4、霍耳开关 5、铷铁硼小磁铁 6、底座 7、数字式计数计时仪 8、标志旋钮 9、扭动旋钮