大学物理03-2力矩 转动惯量 定轴转动定律
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大学物理刚体力学基础-文档资料
用右手螺旋法则确定。
2)力矩的单位、 牛·米(N·m)
3)力矩的计算: M 的大小、方向均与参考点的选择有关
MFsrin
※在直角坐标系中,其表示式为
M rF ( x i y j z k ) ( F x i F y j F z k )
ri
fij fji
M i0M j0(ri rj)fji
0
rij
rj
f ij
ri jfji 0
二、刚体定轴转动的转动定律:
刚径体r绕i 的定圆轴周转运动动,,在作刚用体在上质取点一上质的元合力m i矩,绕轴作半
M ir iF ifi r iF i r ifi
( y z z F y ) i F ( z x F x z ) j F ( x y y F x ) k F
M x i M yj M zk
i jk
Mx yFz zFy
M x y z
My zFx xFz
Fx Fy Fz
Mz xFy yFx
2、力对轴的矩:
i
Fi
由牛顿第二定律可知
ri m i
Fifi miai
则质点所受力矩
Mi miri2
对刚体所受所有力矩求和得:
riF i rifi m iri2
由于刚体各质点相对轴距离不变,令
J miri2
2、刚体定轴转动的转动定理
M J
作定轴转动的刚体,其转动角加速度与外力对该轴的力矩之 和成正比,与刚体对该轴的转动惯量成反比。 其在定轴转动中的地位与牛顿定律在质点运动中地位相当。
(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时,整个棒对该轴的转动惯量为
2)力矩的单位、 牛·米(N·m)
3)力矩的计算: M 的大小、方向均与参考点的选择有关
MFsrin
※在直角坐标系中,其表示式为
M rF ( x i y j z k ) ( F x i F y j F z k )
ri
fij fji
M i0M j0(ri rj)fji
0
rij
rj
f ij
ri jfji 0
二、刚体定轴转动的转动定律:
刚径体r绕i 的定圆轴周转运动动,,在作刚用体在上质取点一上质的元合力m i矩,绕轴作半
M ir iF ifi r iF i r ifi
( y z z F y ) i F ( z x F x z ) j F ( x y y F x ) k F
M x i M yj M zk
i jk
Mx yFz zFy
M x y z
My zFx xFz
Fx Fy Fz
Mz xFy yFx
2、力对轴的矩:
i
Fi
由牛顿第二定律可知
ri m i
Fifi miai
则质点所受力矩
Mi miri2
对刚体所受所有力矩求和得:
riF i rifi m iri2
由于刚体各质点相对轴距离不变,令
J miri2
2、刚体定轴转动的转动定理
M J
作定轴转动的刚体,其转动角加速度与外力对该轴的力矩之 和成正比,与刚体对该轴的转动惯量成反比。 其在定轴转动中的地位与牛顿定律在质点运动中地位相当。
(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时,整个棒对该轴的转动惯量为
定轴转动刚体的转动定律度力矩角动量转动惯量
Iz Ix Iy
z
定理证明:
对于质量平面分布的刚体, 绕 x 轴的转动惯量为:
o
yy
Ix y2dm
x
dm
绕 y 轴的转动惯量为:
I y x2dm
x
绕 z 轴的转动惯量为:
19
z
Iz z2dm (x 2 y2 )dm
y2dm x 2dm I x I y 证毕
o
yy
x z dm
0
M
绕圆环质心轴的转动惯量为
dm
oR
I MR2
例2:在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量为 2m 和 m 的 质点,可绕 o 轴转动,求:质点系的转动惯量I。
解:由转动惯量的定义
I
2
mi ri 2
2mb 2
m
(3b)2
11mb 2
i 1
9
例3: 如图所示,一质量为m、长为l的均质空心圆柱
体(即圆筒圆筒)其内、外半径分别为R1和R2。试求
的质元受阻力矩大,
细杆的质量密度 m
l
质元质量 dm dx
o
xl dm m dx
x
质元受阻力矩:
dM 阻 dmgx
细杆受的阻力矩
m l
M阻
dM
阻
0l
gxdx
1 2
gl 2
1 2
mgl
4
二、定轴转动刚体的角动量
1 .质点对点的角动量
L
r
P
r
mv
作圆周运动的质点的角动量L=rmv;
l
x2dm
L
x2dx
1 L3
0
1 mL2
0
3
A
力矩转动定律转动惯量
PB y
31
第32页/共42页
a
mB g
mA mB mC 2
解 得
FT1
mA
mAmB g mB mC
2
FT2
(mA mC 2)mB g mA mB mC 2
A mA
mC 0时: FT1 FT2
32
第33页/共42页
C mC
mB B
FT1
mA
mAmB g mB mC
2
FT2
(mA mC 2)mB g mA mB mC 2
的角加速度和角速度. M J
35
第36页/共42页
36
解: 受力分析,力矩(O)分析
重力对O点的力矩
M mgd
J
d L sin
2
有: 1 mgl sin J
2
m,l
O
θ
FN
mg
d
式中 J 1 ml2 3
得 3g sin
2l
第37页/共42页
由角加速度的定义
dω dω dθ ω dω
F
F
Fi 0 , Mi 0
M rF
M Frsin Fd
3
第4页/共42页
4、一对力偶的力矩
M Fd
F
F
ol
F 0 M 0
F'
ro
F
F 0 M 0
M F l F l Fl
22
M Fr Fr 0
4
第5页/共42页
讨论
(1)若力 F 不在转动平面内,把力分
解为平行和垂直于转轴方向的两个分量
如令 mC 0 ,可得
A mA
FT1
FT2
《大学物理》3.2转动定理
3.2 转动定理
一、力矩
F
力的作用线通过转轴或是 平行于转轴,无法使物体 转动。 力的大小、方向和力的作 用点相对于转轴位置,是 决定转动效果的几个重要 因素。
F
F
1.定义:
力的大小与力臂乘积为力对转轴的力矩。用M表示
z
M
M F d Fr sin
F r P
M
z
F
1 2
1 其中滑轮转动惯量 J MR 2
2
a R
m m g a
2 1 1 2
m2 m1 g
M m1 m2 R 2
2 1
M m m 2
1 2
M m 2m g 2 T M m m 2
1 1 2
M m 2m g 2 T M m m 2
四、转动定理应用举例
例3-4如图所示,一不能伸长的轻绳跨过一轴承光滑的定 滑轮,滑轮视为圆盘,绳的两端分别悬有质量为m1和m2 的物体,且m1<m2,设滑轮的质量为M,半径为R,绳与 轮之间无相对滑动,求物体的加速度和绳中张力。
解:将三个物体隔离出来受力分析
其中 T 和 T 大小不能假定相等,但
m r 刚体内各质点相对于转轴的分布决定
M J
—— 绕定轴转动的刚体,其角加速度与它所 受合外力矩成正比,与刚体转动惯量成反比。 这一结论就是刚体定轴转动定理。
三、转动惯量
刚体的转动惯量等于刚体内各质点的质量与 其到转轴距离平方的乘积之和。
J m r J r dm
2
2
ij
j
F r f r m r
2 it i it i i i
一、力矩
F
力的作用线通过转轴或是 平行于转轴,无法使物体 转动。 力的大小、方向和力的作 用点相对于转轴位置,是 决定转动效果的几个重要 因素。
F
F
1.定义:
力的大小与力臂乘积为力对转轴的力矩。用M表示
z
M
M F d Fr sin
F r P
M
z
F
1 2
1 其中滑轮转动惯量 J MR 2
2
a R
m m g a
2 1 1 2
m2 m1 g
M m1 m2 R 2
2 1
M m m 2
1 2
M m 2m g 2 T M m m 2
1 1 2
M m 2m g 2 T M m m 2
四、转动定理应用举例
例3-4如图所示,一不能伸长的轻绳跨过一轴承光滑的定 滑轮,滑轮视为圆盘,绳的两端分别悬有质量为m1和m2 的物体,且m1<m2,设滑轮的质量为M,半径为R,绳与 轮之间无相对滑动,求物体的加速度和绳中张力。
解:将三个物体隔离出来受力分析
其中 T 和 T 大小不能假定相等,但
m r 刚体内各质点相对于转轴的分布决定
M J
—— 绕定轴转动的刚体,其角加速度与它所 受合外力矩成正比,与刚体转动惯量成反比。 这一结论就是刚体定轴转动定理。
三、转动惯量
刚体的转动惯量等于刚体内各质点的质量与 其到转轴距离平方的乘积之和。
J m r J r dm
2
2
ij
j
F r f r m r
2 it i it i i i
刚体定轴转动的转动定律力矩
力矩平衡的条件
静平衡
刚体在转动过程中,如果合力矩 为零,则刚体保持静止状态。
动平衡
刚体在转动过程中,如果合力矩为 零,则刚体保持匀速转动状态。
平衡状态
无论是静平衡还是动平衡,刚体的 平衡状态都满足合力矩为零的条件。
力矩平衡的应用
机械平衡
在机械设计中,通过调整刚体的质量 分布或添加平衡装置,使刚体在转动 过程中满足力矩平衡条件,以保证机 械设备的稳定性和可靠性。
刚体的定轴转动
定轴转动:刚体绕某一固定轴线作旋 转运动。
在定轴转动中,刚体的角速度和角加 速度是矢量,其方向沿固定轴线,而 力矩是改变刚体转动状态的唯一物理 量。
刚体定轴转动的特点
角速度矢量、角加速度矢量和力 矩矢量都与固定轴线平行。
刚体定轴转动时,其上各点的速 度方向与该点到轴线的垂直线段 相垂直,各点的加速度方向与该
实例三:旋转木马的旋转
总结词
旋转木马的旋转是刚体定轴转动的又一实例,通过外力矩的作用,使旋转木马绕轴转动。
详细描述
旋转木马在外力矩的作用下开始转动,当旋转木马转动时,由于摩擦阻力和空气阻力的作用,旋转木 马会逐渐减速并最终停止。
实例四:陀螺的稳定旋转
总结词
陀螺的稳定旋转是刚体定轴转动的最后一个实例,陀螺通过自转保持稳定的旋转状态。
在日常生活和工业生产中,转动 定律也广泛应用于各种旋转运动
的分析和设计。
04
刚体定轴转动的力矩平衡
力矩平衡的概念
力矩平衡
刚体在转动过程中,受到 的力矩之和为零,即合力 矩为零。
力矩
力对转动轴的力矩等于力 和力臂的乘积,其中力臂 是从转动轴到力的垂直距 离。
转动轴
刚体转动的中心轴,可以 是固定的点或线。
力矩 刚体定轴转动的转动定律
dJ R dm
2
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
12
考虑到所有质元到转轴的距离均为R,所以细圆环对 中心轴的转动惯量为
J dJ R dm R
2 m
2
m
dm mR
2
(2)求质量为m,半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量
m 如图 dS 2 rdr , , dm dS 2 rdr 2 R
l 2
o
P
d d d d dt d dt d
代入初始条件积分 得
第3章 刚体力学基础
3g d sin d 2l 3g (1 cos ) l
1 2 J x dx ml 0 3
l 2
由此看出,同一均匀细棒,转轴位置不同,转动惯 量不同.
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
11
例3.2 设质量为m,半径为R的细圆环和均匀圆盘分 别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动,求圆环和 圆盘的转动惯量. 解 (1) 在环上任 取一质元,其质量 为dm,距离为R, 则该质元对转轴的 转动惯量为
解 (1)转轴通过棒的中心并与棒垂直
m l
dm dx
dJ x 2dm x 2dx
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
10
整个棒对中心轴的转动惯量为
J dJ
l 2 l 2
1 x dx ml 2 12
2
(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时,整个棒对该轴的 转动惯量为
解 (1) M k 2 ,故由转动定律有
k k J 即 J 2 1 k0 0 3 9J
3-第3章 刚体力学基础
大学物理学(第5版)
二、定轴转动定律
把刚体看作一个质点系
Fi
f i Δ m i a i
ri Fi ri f i Δ m i ri a i
加速度: a i a i a in
§3-2力矩 刚体定轴转动的转动定律
Mi
z M iz
Fi
Fi //
ri
mi Fi
(ri Fi ) (ri fi ) Δmi ri ai Δmi ri ai Δmi ri ain
§3-2力矩 刚体定轴转动的转动定律
M外z Miz ( mi ri 2 ) ( mi ri 2 )
i
i
i
若令
J z (mi ri 2 )
i
M 外z J z
绕定轴转动的刚体的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比,与刚体的转
动惯量成反比。
注意:
——刚体定轴转动中的转动定律
(1)M和J均对于同一转轴而言;
1
2
合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。 ——刚体定轴转动时的动能定理
章目录 节目录 上一页 下一页
“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材
大学物理学(第5版)
§3-3 刚体定轴转动的动能定理
四、机械能守恒定律
1、刚体的势能
EP mghc
m为刚体的总质量; hc为刚体质心的高度。
dm dx m dx O
r2 x2
l
dm x dx
l
x
J l x2 m dx 1 m x3 l
J 1 ml 2
J=
0
1 ml 2 3
l
1 12
3l
ml 2 m
0
l2 4
二、定轴转动定律
把刚体看作一个质点系
Fi
f i Δ m i a i
ri Fi ri f i Δ m i ri a i
加速度: a i a i a in
§3-2力矩 刚体定轴转动的转动定律
Mi
z M iz
Fi
Fi //
ri
mi Fi
(ri Fi ) (ri fi ) Δmi ri ai Δmi ri ai Δmi ri ain
§3-2力矩 刚体定轴转动的转动定律
M外z Miz ( mi ri 2 ) ( mi ri 2 )
i
i
i
若令
J z (mi ri 2 )
i
M 外z J z
绕定轴转动的刚体的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比,与刚体的转
动惯量成反比。
注意:
——刚体定轴转动中的转动定律
(1)M和J均对于同一转轴而言;
1
2
合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。 ——刚体定轴转动时的动能定理
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“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材
大学物理学(第5版)
§3-3 刚体定轴转动的动能定理
四、机械能守恒定律
1、刚体的势能
EP mghc
m为刚体的总质量; hc为刚体质心的高度。
dm dx m dx O
r2 x2
l
dm x dx
l
x
J l x2 m dx 1 m x3 l
J 1 ml 2
J=
0
1 ml 2 3
l
1 12
3l
ml 2 m
0
l2 4
3_2转动定律 转动惯量 平行轴定理
平行轴定理 质量为m的刚体,如果对 其质心轴的转动惯量为JC ,则 对任一与该轴平行,相距为d 的转轴的转动惯量
d
C
m
O
J O J C md
JP 1 2 mR mR
2 2
2
圆盘对P 轴的转动惯量 P
R
O m
四 转动定律应用举例 对平动的物体应用牛顿定律;对转动的物体应 用转动定律;建立平动与转动之间的关系。
对质量面分布的刚体: d m
dS
:质量面密度
对质量体分布的刚体:d m
dV
:质量体密度
第三章 刚体的转动
3 – 2 转动定律 转动惯量 平行轴定理
例3-1 一质量为m、长为l的均匀细长棒,求通 过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量。
O r
l 2
O
dr
l 2
r
dr
O
O´
l
解: 设棒的线密度为,取一距离转轴 OO 为r 处的质量元dm=dr . d J r 2 d m r 2 d r
(m A m C 2)m B g mA mB mC 2
A
mA
FT1
C
F T1
F T2
mC F T2
mB B
如令 m C 0,可得
F T1 F T2
mAmBg mA mB
第三章 刚体的转动
3 – 2 转动定律 转动惯量 平行轴定理
F T1 F T2
3) 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
M ij
O
M
rj
j
d
ji
iF ri ij
F ji
大学物理03-刚体力学基础
15
J
r
m
2
dm
• 刚体的形状(质量分布)
16
J
注 意
r
m
2
dm
只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布 的刚体,才能用积分计算出刚体的转动惯量
例3-2 一均匀细棒,质量为 m ,长为 l 。求该棒对下列转轴 的转动惯量:(1)通过棒中心且与棒垂直的轴;(2)通过 棒的一端且与棒垂直的轴。 解:取如图坐标,在棒上任取质元,到转轴的垂直距离为x, 长度为 d x,该质元的质量为 dm = (m/l )dx (质量为线分布)。 A L/2 C
S
O
Mz r d
P
F
M r F
O r
F
P
F
F //
大小: M rF sin Fd 方向: 由右手螺旋法则确定
转动平面
F 应该理解为外力在转动平面内的 分力F//
转动平面
在定轴转动中,M 的方向只有两种可能指向。若先选 定了转轴的正方向,则 M 与转轴方向一致时取正 值,反之为负值
11
(3) 如果有几个外力矩作用在刚体上,则合力矩等 于各个力矩的代数和
M
i i i
ri Fi
12
2
二 刚体绕定轴的转动定律
刚体可视为由许多质点组成的,而每一个质点都遵从质点力学 的规律。刚体转动定律可由牛顿第二定律直接导出。
Fi f i mi ai mi ri
一、力对转轴的力矩
力是引起质点运动状态变化的原因,而力 矩是引起转动物体运动状态变化的原因
(2) 外力F 不在转动平面内(任意力) 可将 F 分解为转动平面内的分力 F// 和垂直于转动平面的分力F F不能引起刚体转动状态的变化 力矩:
J
r
m
2
dm
• 刚体的形状(质量分布)
16
J
注 意
r
m
2
dm
只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布 的刚体,才能用积分计算出刚体的转动惯量
例3-2 一均匀细棒,质量为 m ,长为 l 。求该棒对下列转轴 的转动惯量:(1)通过棒中心且与棒垂直的轴;(2)通过 棒的一端且与棒垂直的轴。 解:取如图坐标,在棒上任取质元,到转轴的垂直距离为x, 长度为 d x,该质元的质量为 dm = (m/l )dx (质量为线分布)。 A L/2 C
S
O
Mz r d
P
F
M r F
O r
F
P
F
F //
大小: M rF sin Fd 方向: 由右手螺旋法则确定
转动平面
F 应该理解为外力在转动平面内的 分力F//
转动平面
在定轴转动中,M 的方向只有两种可能指向。若先选 定了转轴的正方向,则 M 与转轴方向一致时取正 值,反之为负值
11
(3) 如果有几个外力矩作用在刚体上,则合力矩等 于各个力矩的代数和
M
i i i
ri Fi
12
2
二 刚体绕定轴的转动定律
刚体可视为由许多质点组成的,而每一个质点都遵从质点力学 的规律。刚体转动定律可由牛顿第二定律直接导出。
Fi f i mi ai mi ri
一、力对转轴的力矩
力是引起质点运动状态变化的原因,而力 矩是引起转动物体运动状态变化的原因
(2) 外力F 不在转动平面内(任意力) 可将 F 分解为转动平面内的分力 F// 和垂直于转动平面的分力F F不能引起刚体转动状态的变化 力矩:
力矩转动定律转动惯量jm汇总课件
力矩的物理意义
总结词
力矩描述了力使物体绕某点转动的趋势或转动效果。
详细描述
力矩决定了物体绕某点转动的趋势或转动效果,其方向与力和力臂的乘积方向 相同。力矩越大,物体转动的趋势或转动效果越明显。
力矩的计算方法
总结词
力矩的大小等于力和力臂的乘积,计中力臂是从转动轴(或转动中心)到力的垂 直距离。计算公式为 M=FL,其中 M 为力矩,F 为力,L 为力臂。同时,力矩的 方向与力和力臂的乘积方向相同。
转动惯量的大小决定了物体旋转运动 的加速度、角速度和角动量等参数的 变化规律,进而影响物体的运动状态 和稳定性。
转动惯量的计算方法
转动惯量的计算方法主要包括平行轴定理和垂直轴定理。
平行轴定理指出,对于一个质量分布均匀的刚体,其相对于某固定轴的转动惯量,等于该刚体的质量乘以质心到该轴的距离 的平方,再加上所有相对于此轴的离散质量的转动惯量之和。垂直轴定理则说明,一个质量分布均匀的刚体相对于任一垂直 于其对称平面的轴的转动惯量,等于该刚体的质量乘以其对称轴到质心的距离的平方。
车辆工程
在车辆工程中,力矩转动定律用于分析车辆动力学和稳定性 问题。例如,通过分析车轮的力矩,可以研究车辆的操控性 能和行驶稳定性。
力矩转动定律在科研中的应用
物理学研究
力矩转动定律是物理学中分析转 动问题的基本原理,广泛应用于 分析天体运动、刚体动力学等问 题。
生物学研究
在生物学研究中,力矩转动定律 用于分析生物体的运动和平衡机 制,如动物的行走、飞行等。
动惯量。
实验步骤
2. 将刚体安装到实验装置上 ,调整力矩计和角位移传感
器的位置和角度。
1. 准备实验器材:刚体、力 矩计、角位移传感器、数据
转动定理
如合外力矩等于零 L J const.
即转动过程中角动量保持不变
这里可以有 J00 J11
但是 J 0 J1
在刚体碰撞等问题中,内力矩>>外力矩,角动 量保持不变。
太原理工大学物理系
例1 一根质量为 M ,长为l 的均匀细棒,可绕通
过棒中心的垂直轴 静止,今有质量为
Z m
,的在小球xy以平速面度内转v0动垂。直开碰始撞时
§3 -2 刚体定轴转动定理
§2-5给出了质点系角动量定理微分形式:
M
dL dt
在刚体绕z轴做定轴转动时
r
rr
r
M Mzk L Lzk
对刚体定轴转动有
Mz
dLz dt
太原理工大学物理系
一、力对转轴的力矩 若力不在转动平面内
z
F
k
v
O
r
F
合力矩: 刚体内力矩:
太原理工大学物理系
讨论
1)力经过转轴或与转轴平行,力矩恒为零r。
g
M
m2
m1
1 2
m
/
r
T2
m1g-a
m2
2m1
1 2
m
g+M
m2
m1
1 2
m
/
r
太原理工大学物理系
当不计滑轮质量及摩擦阻力矩 即令m=0、M=0时,有
T1
T2
2m1m2 m2 m1
g
a m2 m1 g m2 m1
阿特伍德机是一种可用来测量重力加速度g的 简单装置。
太原理工大学物理系
m3 r3
m1r12 m2r22 m3r32
r1 m1 m2
r2
形状简单对称刚体的转动惯量查表 (见教材) 太原理工大学物理系
即转动过程中角动量保持不变
这里可以有 J00 J11
但是 J 0 J1
在刚体碰撞等问题中,内力矩>>外力矩,角动 量保持不变。
太原理工大学物理系
例1 一根质量为 M ,长为l 的均匀细棒,可绕通
过棒中心的垂直轴 静止,今有质量为
Z m
,的在小球xy以平速面度内转v0动垂。直开碰始撞时
§3 -2 刚体定轴转动定理
§2-5给出了质点系角动量定理微分形式:
M
dL dt
在刚体绕z轴做定轴转动时
r
rr
r
M Mzk L Lzk
对刚体定轴转动有
Mz
dLz dt
太原理工大学物理系
一、力对转轴的力矩 若力不在转动平面内
z
F
k
v
O
r
F
合力矩: 刚体内力矩:
太原理工大学物理系
讨论
1)力经过转轴或与转轴平行,力矩恒为零r。
g
M
m2
m1
1 2
m
/
r
T2
m1g-a
m2
2m1
1 2
m
g+M
m2
m1
1 2
m
/
r
太原理工大学物理系
当不计滑轮质量及摩擦阻力矩 即令m=0、M=0时,有
T1
T2
2m1m2 m2 m1
g
a m2 m1 g m2 m1
阿特伍德机是一种可用来测量重力加速度g的 简单装置。
太原理工大学物理系
m3 r3
m1r12 m2r22 m3r32
r1 m1 m2
r2
形状简单对称刚体的转动惯量查表 (见教材) 太原理工大学物理系
刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
0 R2
1 mR2 2
Z
m R2
R1
薄圆环
dm
ds
m (R22
R12
)
ds
ds 2 rdr
dJ r2dm
J R2 r 2
m
2 rdr
R1
(R22 R12 )
1 2
m(R22
R12 )
R
m
H
空心圆柱面
dm ds m ds 2 RH
ds 2 Rdh
dJ r2dm
J H R2 m 2 Rdh
0 2 RH
mR3
r
R
H m
实心圆柱
dm
dV
m
R2H
dV
dV 2 rHdr
dJ r2dm
J R r2 m 2 rHdr
0 R2H
R2 R1
H m
同轴空心圆柱
dm
dV
mg
H (R22
R12 )
dV
dV 2 rHdr
dJ r2dm
J R2 r2
mg
2 rHdr
R1 H (R22 R12 )
R
+
T1
+
T2
N
m
4m
2m + o
P1
P2
mg
4m
T1
T2
2m
分别对人、物、滑轮建立方程:
4mg-T1 4ma人地
(1 )
T2-2mg 2ma物地 2ma绳地 (2) R
T1R -T2 R
J
1 2
mR2
(3) m
人相对 绳匀加 速a0上爬,则
a人地 a人绳 a绳地
4m
刚体定轴转动定律
于 180°的夹角 θ 转向 F 时,拇指所指的方向就是力矩的方向。
可见,力矩的方向与转轴的方向平行,只有两个可能的方向,因此,可用 M 的正负表示力矩的方向。 一般可按力矩的作用来判断其正负:由转轴 Oz 正向俯视,若力矩的作用使刚体逆时针转动,则力矩为 正,否则为负。
刚体定轴转动定律 1.1 力矩
可加性
• 对同一转轴而言,刚体各部分转动惯量之 和等于整个刚体的转动惯量。
平行轴定理
• 设有两个彼此平行的转轴,一个通过刚体 的质心,另一个不通过质心。两平行轴之 间的距离为d,刚体的质量为m。
如果此刚体对通过质心转轴的转动惯量为 Jc ,则对另一 转轴的转动惯量 J 为 J Jc md 2
刚体定轴转动定律
刚体定轴转动定律Βιβλιοθήκη , ,,,
例题讲解 2
如图所示,一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮。绳两边分别悬有质量为 m1 和 m2 的两个物体 A,B。已知 m1
小于 m2 ,滑轮可看作质量均匀分布的等厚圆盘,其质量为 m,半径为 r,设绳与滑轮间无相对滑动。求:① 物
体的加速度;② 滑轮的角加速度;③ 绳的张力。
i 1
n
用 M 表示,即 M (Δmiri2 ) β
i 1
n
n
式中的 (Δmiri2 ) 称为转动惯量,用 J 表示,即 J (Δmiri2 )
i 1
i 1
于是,式可写为 M Jβ
刚体定轴转动定律 1.2 转动定律
转动定律:刚体定轴转动时,刚体的角加速度与刚体所受的合外力矩成正比,与刚体的转动惯量 成反比。
r 2 dm
Ω
式中 r ——质元 dm 到转轴的距离(m)。 在国际单位制中,转动惯量的单位为 kg m2 。
可见,力矩的方向与转轴的方向平行,只有两个可能的方向,因此,可用 M 的正负表示力矩的方向。 一般可按力矩的作用来判断其正负:由转轴 Oz 正向俯视,若力矩的作用使刚体逆时针转动,则力矩为 正,否则为负。
刚体定轴转动定律 1.1 力矩
可加性
• 对同一转轴而言,刚体各部分转动惯量之 和等于整个刚体的转动惯量。
平行轴定理
• 设有两个彼此平行的转轴,一个通过刚体 的质心,另一个不通过质心。两平行轴之 间的距离为d,刚体的质量为m。
如果此刚体对通过质心转轴的转动惯量为 Jc ,则对另一 转轴的转动惯量 J 为 J Jc md 2
刚体定轴转动定律
刚体定轴转动定律Βιβλιοθήκη , ,,,
例题讲解 2
如图所示,一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮。绳两边分别悬有质量为 m1 和 m2 的两个物体 A,B。已知 m1
小于 m2 ,滑轮可看作质量均匀分布的等厚圆盘,其质量为 m,半径为 r,设绳与滑轮间无相对滑动。求:① 物
体的加速度;② 滑轮的角加速度;③ 绳的张力。
i 1
n
用 M 表示,即 M (Δmiri2 ) β
i 1
n
n
式中的 (Δmiri2 ) 称为转动惯量,用 J 表示,即 J (Δmiri2 )
i 1
i 1
于是,式可写为 M Jβ
刚体定轴转动定律 1.2 转动定律
转动定律:刚体定轴转动时,刚体的角加速度与刚体所受的合外力矩成正比,与刚体的转动惯量 成反比。
r 2 dm
Ω
式中 r ——质元 dm 到转轴的距离(m)。 在国际单位制中,转动惯量的单位为 kg m2 。
大学物理-力矩-转动定律-转动惯量
F
p
18
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
解 (1) Fr J
Fr 98 0.2 39.2 rad/s2
J 0.5
mg T ma
(2) Tr J
a r
两者区别?
rO
F T
T
J
mgr mr 2
98 0.2 0.5 10 0.22
i
J r2dm
9
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
四. J 的计算
质量连续分布刚体的转动惯量
J mjrj2 r2dm dm :质量元 j
对质量线分布的刚体: dm dl
:质量线密度
对质量面分布的刚体:
:质量面密度
对质量体分布的刚体:
在圆规迹切线方向
mk ak mk rk Fk fk
两边乘以rk,并对整个刚体求和
第二章 动力学基础
z
o
vk
mk
( mk rk2 ) Fk rk fk rk
k
k
k
5
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
( mk rk2 ) Fk rk fk rk
17
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
四、转动定律的应用举例
例1 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘, 在绳端施以F=98 N 的拉力,飞轮的转动惯量 J=0.5 kg·m2,飞轮与转轴间的摩擦不计 。
rO
求: (1) 飞轮的角加速度。
(2) 如以重量P =98 N的物体挂在 绳端,试计算飞轮的角加速度。
大学物理(上)课件-第03章刚体的定轴转动3-2
解 : (1) 棒在任意位置时的重力矩 l M = mg cos θ 2 1 3g M = Jβ = ml 2 β β= cos θ 3 2l
N
o
c
⋅
θ
dθ
⋅
1 1 dω (2) mg cos θ = ml 2 2 3 dt 1 dω dθ 1 2 dω = ml 2 = ml ω 3 dθ dt 3 dθ
ω
o
r1
r2 v1
∆m1
E
27
K
1 2 = J ω ——刚体定轴转动的动能 2
3. 刚体定轴转动的动能定理
设在外力矩 M 的作用下,刚体绕定轴发生角位移 dθ 元功:
dA = Mdθ
dω 由转动定律 M = J β = J dt dω 有 dA = J dθ = Jω dω dt
A=
∫ω
ω2
1
1 1 2 2 = J ω - J ω Jω d ω 2 1 2 2
28
刚体绕定轴转动的动能定理 :合外力矩对刚体所做的 功等于刚体转动动能的增量。
ω = (2 β h r )1 2 = 9.08 rad ⋅ s −1
§3.3 定轴转动刚体的功与能
1.力矩的功 � 刚体在力 F 作用绕轴转过一微小角位移 dθ � � � � 力 F 作功为dA = F ⋅ dr = F cos(π − ϕ ) dr
2 = F sin ϕ dr = F sin ϕds = Fr sin ϕdθ � 力F使刚体由θ 0转到θ 时, 力矩的功为
2
4 2 19 2 65 2 J = J1 + J 2 = mr + mr = mr 3 2 6
22
例1 一个质量为M、半径为R的定滑 轮(当作均匀圆盘)上面绕有细绳, 绳的一端固定在滑轮边上,另一端挂 一质量为m的物体而下垂。忽略轴处 摩擦,求物体m由静止下落高度h时 的速度和此时滑轮的角速度。 解:
N
o
c
⋅
θ
dθ
⋅
1 1 dω (2) mg cos θ = ml 2 2 3 dt 1 dω dθ 1 2 dω = ml 2 = ml ω 3 dθ dt 3 dθ
ω
o
r1
r2 v1
∆m1
E
27
K
1 2 = J ω ——刚体定轴转动的动能 2
3. 刚体定轴转动的动能定理
设在外力矩 M 的作用下,刚体绕定轴发生角位移 dθ 元功:
dA = Mdθ
dω 由转动定律 M = J β = J dt dω 有 dA = J dθ = Jω dω dt
A=
∫ω
ω2
1
1 1 2 2 = J ω - J ω Jω d ω 2 1 2 2
28
刚体绕定轴转动的动能定理 :合外力矩对刚体所做的 功等于刚体转动动能的增量。
ω = (2 β h r )1 2 = 9.08 rad ⋅ s −1
§3.3 定轴转动刚体的功与能
1.力矩的功 � 刚体在力 F 作用绕轴转过一微小角位移 dθ � � � � 力 F 作功为dA = F ⋅ dr = F cos(π − ϕ ) dr
2 = F sin ϕ dr = F sin ϕds = Fr sin ϕdθ � 力F使刚体由θ 0转到θ 时, 力矩的功为
2
4 2 19 2 65 2 J = J1 + J 2 = mr + mr = mr 3 2 6
22
例1 一个质量为M、半径为R的定滑 轮(当作均匀圆盘)上面绕有细绳, 绳的一端固定在滑轮边上,另一端挂 一质量为m的物体而下垂。忽略轴处 摩擦,求物体m由静止下落高度h时 的速度和此时滑轮的角速度。 解:
3-2 刚体的定轴转动定理
d d d d dt d dt d
d d
3g cosd d 2l 3g 0 2l cosd 0 d 3g 1 2 si n 2l 2
3 g sin l
例3.匀质圆盘的质量为m,半径为R,在水平
桌面上绕其中心旋转,如图所示。设圆盘与桌 面之间的摩擦系数为μ,求圆盘从以角速度ω0 旋转到静止需要多少时间? 解:以圆盘为研究对象,它受重力、桌面的支 持力和摩擦力,前两个力对中心轴的力矩为零。 在圆盘上任取一个细圆环,半径为r,宽度为dr,整个圆环所受摩 擦力矩等于圆环上各质点所受摩擦力矩之和。由于圆环上各个质点 所受摩擦力矩的力臂都相等,力矩的方向都相同,若取ω0的方向 为正方向,则整个圆环所受的力矩为
dL M dt
对刚体上的每个视为质点的质量元应用 这个结论,从而得出刚体在外力矩的作用下 角动量的变化规律。
3-2 刚体的定轴转动定律
一、定轴转动定律的推导
考虑如图所示刚体上的任意两个 质量元,第i个质量元mi,所在 处的位矢为 r ,施加的外力 F i
i
第j个质量元 mj,所在处的位矢 r 为 j,施加的外力 F
注意以下几点: 1.力矩与转动惯量必须对同一转轴而言的; 2.要选定转轴的正方向,以便确定已知力矩或角加 速度、角速度的正负; 3.当系统中既有转动物体又有平动物体时,则对转 动物体按转动定律建立方程,对于平动物体按牛顿 定律建立方程。
例1、一个质量为M、半径为R的定滑轮
(当作均匀圆盘)上面绕有细绳,绳的一 端固定在滑轮边上,另一端挂一质量为m的 定轴O 物体而下垂。忽略轴处摩擦,求物体m由静 止下落高度h时的速度和此时滑轮的角速度。 · m t R 绳 v0=0 h
§3-2 力距 转动惯量 定轴转动定律
设刚体由N 个点构成,对每个质点可写出上述 类似方程,将N 个方程左右相加,得:
N
N
N
Firi sini firi sini (miri2 )
i 1
i 1
i 1
根据内力性质(每一对内力等值、反向、共
线,对同一轴力矩之代数和为零),得:
N
firi sini 0
i 1
N
N
得到: Firi sin i (miri2 )
F1 F
转动 平面
r
F2
注 (1)在定轴动问题
中,如不加说明,所指的
力矩是指力在转动平面内
的分力对转轴的力矩。
(2) M Z rF2 sin F2d d r sin 是转轴到力作
用线的距离,称为力臂。
(3) F1对转轴的力矩为零,
在定轴转动中不予考虑。
(4)在转轴方向确定后,力对转轴的 力矩方向可用+、-号表示。
l x2dx l3 ml 2
0
33
Ox
O´ dx
l
(3)当转轴通过棒上距中心为h的B点并和棒垂
直时有
JB
l / 2h x2dx ml 2 mh2
l / 2h
12
这个例题表明,同一刚体对不同位置的转 轴,转动惯量并不相同。
Ox
O´ h dx l h
总结:J与以下几点有关: (1) 与刚体总质量有关; (2) 与质量分布有关; (3) 与转动轴的位置有关。
连续分布刚体
r 2dl
J
r 2 dm
r
2
ds
r 2d
线分布 面分布 体分布
比较: 平动: 平动动能
1 mv2 线动量 mv
2
N
N
N
Firi sini firi sini (miri2 )
i 1
i 1
i 1
根据内力性质(每一对内力等值、反向、共
线,对同一轴力矩之代数和为零),得:
N
firi sini 0
i 1
N
N
得到: Firi sin i (miri2 )
F1 F
转动 平面
r
F2
注 (1)在定轴动问题
中,如不加说明,所指的
力矩是指力在转动平面内
的分力对转轴的力矩。
(2) M Z rF2 sin F2d d r sin 是转轴到力作
用线的距离,称为力臂。
(3) F1对转轴的力矩为零,
在定轴转动中不予考虑。
(4)在转轴方向确定后,力对转轴的 力矩方向可用+、-号表示。
l x2dx l3 ml 2
0
33
Ox
O´ dx
l
(3)当转轴通过棒上距中心为h的B点并和棒垂
直时有
JB
l / 2h x2dx ml 2 mh2
l / 2h
12
这个例题表明,同一刚体对不同位置的转 轴,转动惯量并不相同。
Ox
O´ h dx l h
总结:J与以下几点有关: (1) 与刚体总质量有关; (2) 与质量分布有关; (3) 与转动轴的位置有关。
连续分布刚体
r 2dl
J
r 2 dm
r
2
ds
r 2d
线分布 面分布 体分布
比较: 平动: 平动动能
1 mv2 线动量 mv
2
刚体的定轴转动定律
r
F F
其中,d为转轴到力的作用线的垂直距离,称为力臂 3.若作用于刚体的力与转轴既不平行也不垂直时, 可将力分解为平行和垂直于轴的两个分力,再计算
二、定轴转动定律
质点系的角动量定理: dL 对于刚体,这一关系照 M 样成立,因刚体也是一 dt 个质点系。
Z
但对定轴转动,比如刚体绕Z轴运动, 就只要考虑沿Z轴方向的分量。
J M1
t
解: 以刚体为研究对象 ,以M0的方向为轴的正方向,则:
M 0 M 1 J M 0 a
d dt M 0 a J
J
M 0 a dt J
d
dt J
0
M 0 a
at J
0
1 a
M 0 (1 e
)
例4 设一细杆的质量为m,长为L,一端支以枢轴而能 自由旋转,设此杆自水平静止释放。求: 1)当杆与铅直方向成角时的角加速度: 2)当杆过铅直位置时的角速度: 已知:m,L 求:,,N 解:以杆为研究对象 建立OXYZ坐标系
N
M
抵消
T2 T1 ' m g T ' 3 2
T1
r
已知: 1 , m2 , m3 , r m 求: a1 , a2 , T1 , T2 解:以 m1 , m2 , m3 为研究 对象。 受力分析:m1 m1 g.T1 '
m1
m1 g
a1
m2
m2 g
m2 m2 g.T2 ' m3 m3 g , N, T1 , T2
a+
m1g - T= m1a….(1) (2m1 m2 )r T’r=J…(2) m1m2 g 2m1 g T a 2 …(3) J mr / 2 2m m 2m m
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对质量面分布的刚体:dm dS , :质量面密度。
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例题3-1 求质量为m、长为l 的均匀细棒对下面三种 转轴的转动惯量: (1)转轴通过棒的中心并和棒垂直; (2)转轴通过棒的一端并和棒垂直; (3)转轴通过棒上距中心为h的一点并和棒垂直。
m m 单位长度质量(线密度): ,因此 dm dx dx l l l 2 2 2 m J x dm x dx l 2 l x 1 o dx ml 2(公式) x 12
说明:平行轴定理适用于任意形状刚体,无论一维、二维 还是三维。另外,轴线可以在刚体内,也可以在刚体外。
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例题 3-2 求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的 转动惯量。设圆盘的半径为R,质量为m,密度均匀。
dr
r
R
解:设圆盘的质量面密度为,在圆盘上取一半径为r、 宽度为dr 的圆环(如图),环的面积为2rdr,环的质 量dm= 2rdr。可得 4
其体积:
2 2 2
X
dV πr dz π( R z )dz
其质量:dm dV π( R2 z 2 )dz
1 2 1 其转动惯量: dJ r dm π( R 2 z 2 ) 2 dz 2 2
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X
1 2 1 dJ r dm π( R 2 z 2 )2 dz 2 2 r z dz J dJ R O Y R 1 π ( R 2 z 2 ) 2 dz R 2 8 2 5 πR mR 2 4 3 15 5 其中 m πR 3
变形,对转动无贡献; 只有 r F2 才对转动产生 贡献!此力矩方向沿转轴 ! 注:(1)在定轴转动问 题中,如不加说明,所指 的力矩是指力在转动平面 内的分力对转轴的力矩。
r F1 只能引起轴的
r F1
r F
r F2
转动 平面
r
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(2) M z rF2 sin F2 d
J r dm
2
R
0
由于圆柱体是由一个个薄圆盘堆积起来的,因此
π R 1 2π r dr mR 2 2 2
3
J圆柱
1 1 2 1 2 mi R mi R m圆柱 R 2 2 i 2 i 2
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平行轴定理:J JC md 2
1.角坐标 描写刚体转动位置的物理量。 在转动平面内,过O点作 一极轴,设极轴的正方向 是水平向右,则OP与极轴 之间的夹角为。
P
O
x
角称为角坐标(或角位置)。
角坐标为标量,但有正负,符号与极坐标辐角一致。
0 : 从Ox到OP是逆时针旋转 0 : 从Ox到OP是顺时针旋转
i i i
x
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几种典型形状刚体的转动惯量
O' ω m O 圆环 J=mR2 细棒 R
l
1 J ml 2 12 ω
R2
L
R
R1
1 圆柱 J mR 2 2
1 2 圆筒 J m( R12 R2 ) 2
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ω
R
ω
空心 R
2 2 2 薄球壳 mR J mR 2 5 3 2 1 2 想一想:圆柱 J mR 实心球 J mR 2 的原因? 5 2
0 mi i cosi mi xi mxC
m
2 i
i
O d C
P m i i'
i
x'
i
mi i2 mi d 2 mi i cos i 2d
在质心坐标 系中,质心 位于原点!
可见, JO JC md 2 ——平行轴定理
x
O
x
dx
以上说明,J 与刚体质量、质量分布、轴的位置有关!
(※)式中隐含着一个关于转动惯量的平行轴定理!
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平行轴定理
定理表述:刚体绕平行于质心轴的某轴的转动惯量J, 等于绕质心轴的转动惯量 JC 加上刚体质量与两轴间 距离平方的乘积: J J md2
C
d
C
O
JO JC md
Z
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例题3-3 一轻绳跨过一定滑轮,滑轮视为圆盘,绳的两 端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2,m1<m2,如图所 示。设滑轮的质量为m,半径为r,所受的摩擦阻力矩为 Mr。绳与滑轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳 的张力。 Mr 解:滑轮具有一定的转动惯 量。在转动中受到阻力矩 Mr T1 的作用,两边的张力不再相 T2 T1 T2 等,设物体 1 这边绳的张力为 a T1、T1' (T1' = T1), m a
d r sin 是转轴到F2作
用线的距离,称为力臂。 转动 平面
r F1
r
r F
r F2
(3 ) F 1 对转轴的力矩为零, 在定轴转动中不予考虑。
d
(4)在转轴方向确定后,力对转轴 的力矩方向可用+、-号表示,一般 以向上为正,即以逆时针转动方向 为正!
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二、刚体转动的角量描述
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2.角位移 描写刚体位置变化的物理量。 角坐标的增量: 称为刚体的角位移
3.角速度 描写刚体转动快慢和方向 的物理量。
R y
v2
P
P
v1
x
d 角速度 lim t 0 t dt
方向:满足右手定则,沿刚体转动方向右手大拇指指向。
N i 1
刚体定轴 转动定律
2 2 r m 单位: kg· m i i
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d M z J J dt
刚体定轴转动定律:刚体在合外力矩的作用下,所获 得的角加速度与合外力矩的大小成正比,与刚体的转 动惯量成反比。
说明: α ,转动惯量是转动惯性 (1)Mz 一定,J 大小的量度;例如地球的转动惯量非常巨大,因此转 动惯性也非常巨大,地球的自转角速度亘古不变!
i 1 i i i i 1 i i i i 1
N
N
N
2
i i
)
根据内力性质(每 一对内力等值、反向、 共线,对同一转轴的力 矩代数和为零)得
i 1
M ij
rj
j
f ji
f ij
O
M ji
fi ri sin i 0
N
d
i ri
M ij M ji
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得到:
F r sin (m r
i 1 i i i i 1
N
N
2
i i
)
上式左端为刚体所受外力对转轴的合力矩,以 Mz 表示;右端求和符号内的量与转动状态无关, 而只与刚体的质量分布有关,称为刚体转动惯量, 以J 表示。于是得到
d M z J J dt
其中转动惯量: J
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解:(1)建立坐标系,分割出质量元
m (2) J x dm x dx 0 l 1 2 ml (公式) 3
2 l 2
x
O
x
h
dx
m x dx (3) J x dm l 2 h l 1 ml 2 mh 2 (※) 12
2 l 2 h 2
§3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律
一、力矩 F对O点的力矩: M r F M rF sin
Z
M
F
M
F
MZ
转 动 平 面
A
O r
r
M 沿Z 轴分量为 F 对Z 轴的力矩 M Z
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力不在转动平面内
M r F r (F1 F2 ) r F1 r F2
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J 的计算方法
质量离散分布
J mi ri 2 m1r12 m2 r22
i 1
N
2 mN rN
质量连续分布
J mi ri 2 r 2dm
i
dm :质量元
r dV
2 V
d V :体积元
dm dl , :质量线密度。 对质量线分布的刚体:
Fi sin i fi sin i mi ai mi ri
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用 ri 乘以上式左右两端得
Fi ri sin i fi ri sin i mi ri 2
设刚体由N个质元构成,对每个质元可写出上述 类似方程,将这N个方程左右相加得
F r sin f r sin (m r
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飞轮的质量为什么大 都分布于外轮缘?
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竿 子 长 些 还 是 短 些 较 安 全 ?
质点平动的牛顿第二定律与刚体定轴转动定律的对比: 平动: 线动量 mv 转动: 角动量 J
dv 平动定律 F m dt d 转动定律 M z J dt
质量:平动中惯性大小的量度。 转动惯量:转动中惯性大小的量度。 与牛顿第二定律相似,力矩Mz与角加速度α是共 生共灭的,两者方向(符号)相同,力矩是刚体转动状 态(ω)发生变化的原因,当Mz=0时,α=0,ω保持不 变,刚体作匀角速度转动。
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角速度是矢量,但对于刚体定 轴转动来说,角速度的方向只有两 个:上或下,因此用正负号就可表 示角速度的方向,而不必写成带有 箭头的矢量形式。 刚体上任一质元的速度表示为