大学物理 力矩 转动定律 转动惯量
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大学物理-力矩
dF PdA [ p0 g(h y)]Ldy
h
F 0 [ p0 g(h y)]Ldy
p0Lh
1 2
gLh2
y
dA
代入数据，得
hy
dy
F 5.911010 N
O
L
x
第四章 刚体的转动
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
dF [ p0 g(h y)]Ldy
dF对通过点Q的轴的力矩 dM ydF
第四章 刚体的转动
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
例3 一长为 l 、质量
为 m 匀质细杆竖直放置，
其下端与一固定铰链O相 接，并可绕其转动．由于 此竖直放置的细杆处于非
m,l
θ mg
O
稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细
杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转
动．试计算细杆转动到与竖直线成 角时
的角加速度和角速度．
z
M
Ft
F
O
r
m
Fn
第四章 刚体的转动
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
（2）刚体
质量元受外力
内力
Fij
Fej，
Mej Mij mjrj2
外力矩 内力矩
z
O rj
Fej
m j
Fij
Mej Mij mjrj2
Байду номын сангаас
j
j
Mij M ji Mij 0
j
第四章 刚体的转动
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
Mej ( mjrj2 )α
j
定义转动惯量
J mjrj2 J r2dm j
z
O rj
Fej
《大学物理》3.2转动定理
3.2 转动定理
一、力矩
F
力的作用线通过转轴或是 平行于转轴，无法使物体 转动。 力的大小、方向和力的作 用点相对于转轴位置，是 决定转动效果的几个重要 因素。
F
F
1.定义：
力的大小与力臂乘积为力对转轴的力矩。用M表示
z
M
M F d Fr sin
F r P
M
z
F
1 2
1 其中滑轮转动惯量 J MR 2
2
a R
m m g a
2 1 1 2
m2 m1 g
M m1 m2 R 2
2 1
M m m 2
1 2
M m 2m g 2 T M m m 2
1 1 2
M m 2m g 2 T M m m 2
四、转动定理应用举例
例3-4如图所示，一不能伸长的轻绳跨过一轴承光滑的定 滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为m1和m2 的物体，且m1<m2,设滑轮的质量为M，半径为R，绳与 轮之间无相对滑动，求物体的加速度和绳中张力。
解：将三个物体隔离出来受力分析
其中 T 和 T 大小不能假定相等，但
m r 刚体内各质点相对于转轴的分布决定
M J
—— 绕定轴转动的刚体，其角加速度与它所 受合外力矩成正比，与刚体转动惯量成反比。 这一结论就是刚体定轴转动定理。
三、转动惯量
刚体的转动惯量等于刚体内各质点的质量与 其到转轴距离平方的乘积之和。
J m r J r dm
2
2
ij
j
F r f r m r
2 it i it i i i
一、力矩
F
力的作用线通过转轴或是 平行于转轴，无法使物体 转动。 力的大小、方向和力的作 用点相对于转轴位置，是 决定转动效果的几个重要 因素。
F
F
1.定义：
力的大小与力臂乘积为力对转轴的力矩。用M表示
z
M
M F d Fr sin
F r P
M
z
F
1 2
1 其中滑轮转动惯量 J MR 2
2
a R
m m g a
2 1 1 2
m2 m1 g
M m1 m2 R 2
2 1
M m m 2
1 2
M m 2m g 2 T M m m 2
1 1 2
M m 2m g 2 T M m m 2
四、转动定理应用举例
例3-4如图所示，一不能伸长的轻绳跨过一轴承光滑的定 滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为m1和m2 的物体，且m1<m2,设滑轮的质量为M，半径为R，绳与 轮之间无相对滑动，求物体的加速度和绳中张力。
解：将三个物体隔离出来受力分析
其中 T 和 T 大小不能假定相等，但
m r 刚体内各质点相对于转轴的分布决定
M J
—— 绕定轴转动的刚体，其角加速度与它所 受合外力矩成正比，与刚体转动惯量成反比。 这一结论就是刚体定轴转动定理。
三、转动惯量
刚体的转动惯量等于刚体内各质点的质量与 其到转轴距离平方的乘积之和。
J m r J r dm
2
2
ij
j
F r f r m r
2 it i it i i i
力矩 刚体定轴转动的转动定律
dJ R dm
2
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
12
考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对 中心轴的转动惯量为
J dJ R dm R
2 m
2
m
dm mR
2
(2)求质量为m，半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量
m 如图 dS 2 rdr , , dm dS 2 rdr 2 R
l 2
o
P
d d d d dt d dt d
代入初始条件积分 得
第3章 刚体力学基础
3g d sin d 2l 3g (1 cos ) l
1 2 J x dx ml 0 3
l 2
由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯 量不同.
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
11
例3.2 设质量为m，半径为R的细圆环和均匀圆盘分 别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和 圆盘的转动惯量. 解 (1) 在环上任 取一质元，其质量 为dm，距离为R， 则该质元对转轴的 转动惯量为
解 (1)转轴通过棒的中心并与棒垂直
m l
dm dx
dJ x 2dm x 2dx
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
10
整个棒对中心轴的转动惯量为
J dJ
l 2 l 2
1 x dx ml 2 12
2
(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的 转动惯量为
解 (1) M k 2 ，故由转动定律有
k k J 即 J 2 1 k0 0 3 9J
4.3 力矩 转动定律
v −F v
i
v F
v ∑ Mi ≠ 0
i
∑ F = 0,
i
武汉纺织大学 物理教研室
大学物理学
第4章
刚体的定轴转动
讨论
v 不在转动平面内， （1）若力 F 不在转动平面内，把力分 ）
解为平行和垂直于转轴方向的两个分量
力矩为零， 力矩为零，故 F 对转 轴的力矩
v 其中 Fz 对转轴的 v
v v v F = Fz + F⊥
大学物理学
第4章
刚体的定轴转动
4.3 力矩 刚体的转动定律 一 力矩
用来描述力对刚体 的转动作用． 的转动作用．
M = Fr sin θ = Fd d : 力臂 v F 对转轴 z 的力矩 v v v M = r ×F
z
v M
v F
O
v r
*
d
P
θ
v −F
i
v F
v ∑ Mi = 0
i
v ∑ Fi = 0,
M = I β , β 与 M 方向相同． 方向相同．
(2) 为瞬时关系． ) 为瞬时关系． (3) 转动中 M = I β 与平动中F = ma ) 地位相同． 地位相同．
武汉纺织大学 物理教研室
大学物理学
第4章
刚体的定轴转动
质量为m 的物体A 例2 质量为 A的物体 静止在光滑水 平面上，和一质量不计的绳索相连接， 平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳 索跨过一半径为R、质量为m 索跨过一半径为 、质量为 C的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为 B 的物体 上，B 竖 ，并系在另一质量为m 的物体B上 直悬挂．滑轮与绳索间无滑动， 直悬挂．滑轮与绳索间无滑动， 且滑轮与 轴承间的摩擦力可略去不计． ) 轴承间的摩擦力可略去不计．(1)两物体的 线加速度为多少？ 线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的 张力各为多少？ ) 张力各为多少？(2) 物体 B 从静止落下距 其速率是多少？ 离 y 时，其速率是多少？
转动定律、转动惯量讲解
Fit*ri+Fit'*ri= Δmi*(ri^2)*α
这是一个质点的规律，如果把所有的质点加起来，即∑Fit*ri+∑Fit'*ri= ∑Δmi*(ri^2)*α，因为刚体内部质点间的合力对转轴的力矩为零，即∑Fit'*ri= 0， 于是就有∑Fit*ri = ∑Δmi*(ri^2)*α，等式左边表示刚体所有质点所受外力对转轴 的力矩，也就是合力矩M；
《地球能平稳转动而不受外界干扰，全 靠转动定律与转动惯量》
上一章讲了刚体的定轴转动与角速度和角加速度的概念，如果有外力作用在刚体 上，那么刚体会发生什么变化呢？这就是本章要讲到的力矩、转动定律以及转动 惯量等概念。
首先来说力矩，在如图1所示的坐标系中，有一外力F作用在刚体内的P点，刚体 相对于原点的位置矢量为r，显然力F不经过原点O，于是把从O点到力F延长线的 垂直距离d叫做力F对转轴的力臂，其大小d=rsinθ ，而力F的大小和力臂d的乘积 Frsinθ 就叫做F对转轴的力矩，用大写字母M表示，力矩除了有小外，也有方向，
为了深刻理解转动惯量，以地球的转动惯量公式Je = (2mR^2)/5为例子，将地 球质量和半径带入式子可知，地球在转动时转动惯量非常大，根据转动定律可知， 需要非常大的力矩才能使地球加速或者减速，对于地球表面的所有物体而言，没 有哪个物体可以提供这样的力矩，这也就是地球平稳转动的原因。
讲完了转动定律，下一章《芭蕾舞演员的旋转加速秘诀-角动量守恒》将继续讲 解角动量。
而等式右边表示的量只与刚体的形状、质量、刚体的转轴有关。这个量就叫做转 动惯量，用大写字母J表示。于是等式可以表示为：M=J *α。这就是刚体的转动 定律，它的形式对应牛顿第二定律，其物理意义就是在同一力矩下，转动惯量大 的刚体，获得的角加速度就小，转动惯量小的刚体获得的角加速度就大。
这是一个质点的规律，如果把所有的质点加起来，即∑Fit*ri+∑Fit'*ri= ∑Δmi*(ri^2)*α，因为刚体内部质点间的合力对转轴的力矩为零，即∑Fit'*ri= 0， 于是就有∑Fit*ri = ∑Δmi*(ri^2)*α，等式左边表示刚体所有质点所受外力对转轴 的力矩，也就是合力矩M；
《地球能平稳转动而不受外界干扰，全 靠转动定律与转动惯量》
上一章讲了刚体的定轴转动与角速度和角加速度的概念，如果有外力作用在刚体 上，那么刚体会发生什么变化呢？这就是本章要讲到的力矩、转动定律以及转动 惯量等概念。
首先来说力矩，在如图1所示的坐标系中，有一外力F作用在刚体内的P点，刚体 相对于原点的位置矢量为r，显然力F不经过原点O，于是把从O点到力F延长线的 垂直距离d叫做力F对转轴的力臂，其大小d=rsinθ ，而力F的大小和力臂d的乘积 Frsinθ 就叫做F对转轴的力矩，用大写字母M表示，力矩除了有小外，也有方向，
为了深刻理解转动惯量，以地球的转动惯量公式Je = (2mR^2)/5为例子，将地 球质量和半径带入式子可知，地球在转动时转动惯量非常大，根据转动定律可知， 需要非常大的力矩才能使地球加速或者减速，对于地球表面的所有物体而言，没 有哪个物体可以提供这样的力矩，这也就是地球平稳转动的原因。
讲完了转动定律，下一章《芭蕾舞演员的旋转加速秘诀-角动量守恒》将继续讲 解角动量。
而等式右边表示的量只与刚体的形状、质量、刚体的转轴有关。这个量就叫做转 动惯量，用大写字母J表示。于是等式可以表示为：M=J *α。这就是刚体的转动 定律，它的形式对应牛顿第二定律，其物理意义就是在同一力矩下，转动惯量大 的刚体，获得的角加速度就小，转动惯量小的刚体获得的角加速度就大。
大学物理力矩转动惯量定轴转动定律资料
Fi sin i fi sin i mi ai mi ri
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用 ri 乘以上式左右两端得
Fi ri sin i fi ri sin i mi ri 2
设刚体由N个质元构成，对每个质元可写出上述 类似方程，将这N个方程左右相加得
F r sin f r sin (m r
N i 1
刚体定轴 转动定律
2 2 r m 单位： kg· m i i
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d M z J J dt
刚体定轴转动定律：刚体在合外力矩的作用下，所获 得的角加速度与合外力矩的大小成正比，与刚体的转 动惯量成反比。
说明： α ，转动惯量是转动惯性 （1）Mz 一定，J 大小的量度；例如地球的转动惯量非常巨大，因此转 动惯性也非常巨大，地球的自转角速度亘古不变！
§3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律
一、力矩 F对O点的力矩： M r F M rF sin
Z
M
F
M
F
MZ
转 动 平 面
A
O r
r
M 沿Z 轴分量为 F 对Z 轴的力矩 M Z
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力不在转动平面内
M r F r (F1 F2 ) r F1 r F2
i i i
x
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几种典型形状刚体的转动惯量
O' ω m O 圆环 J=mR2 细棒 R
l
1 J ml 2 12 ω
R2
L
R
R1
1 圆柱 J mR 2 2
1 2 圆筒 J m( R12 R2 ) 2
大学物理-力矩、转动定律、转动惯量
gh
yLdy
1 2
p0 Lh 2
1 6
gLh2
h
y
o
L
dA
x
dy
y
Q
dy
x
二、转动定律
质点的动力学问题 刚体的动力学问题
F ma
M
设刚体有n个质点组成，
先取任一质点i来研究
mi ri
外力：Fi 内力：Fi
由牛 顿第二定律得： Fi Fi miai
切线方向：Fit Fit miait
X
dV r2dZ (R2 Z 2 )dZ
其质量：dm dV (R2 Z 2 )dZ
其转动惯量：dJ 1 r 2dm 1 (R2 Z 2 )2 dZ
2
2
dJ 1 r 2dm 2
1 (R2 Z 2 )2 dZ
2
Z r dZ
O
R
Y
J dJ
X
R 1 (R2 Z 2 )2 dZ
比较
牛顿第二定律 F m a
转动定律
M J
三、转动惯量 J miri2 (4 9)
对质量连续分布的刚体 J r 2dm (4 11)
转动惯量的单位：kg m2
影响转动惯量得因素
注意：
（1）、刚体的质量（材料） （2）、刚体质量的分布
质点也有转动惯量
J mr2
（3）、转轴的位置
对质量不连续分布的刚体 J m 2
R 2
8 R5 2 mR2
m 4 R3
3
15
5
例3）求一质量为m的均匀实心球对其一条直径
为轴的转动惯量。
Z x
解：方法二 在球上取一体积元
dV
dV dxdydz
大学物理实验转动惯量
对形状简单且质量分布均匀的物体，转动惯量 可直接理论计算，如
这些物体绕其他与特定轴平行的轴转动时，转 动惯量由平行轴定理计算。
若刚体绕过质心的轴转动的转动惯量为I0，则 绕另一与之平行的轴转动的转动惯量为
I I0 mx2
x为两平行轴之间的距离。
四、弹簧扭转常数K和载 物盘转动惯量的测定
设载物盘的转动惯量为I0，转动周期可测量为 T0，另一转动惯量可理论计算的物体的转动惯 量为I1′，将该物体放在载物盘上，两轴重合， 复合摆周期T1,，则
I 2 转动周期 T K
由此可知，通过测量刚体转动的周期，再由已 知的扭转常数K，就可以计算出转动惯量I。
2
二、仪器描述
光电探头 实心球体
空心金属 圆柱体
扭摆 周期测定仪 挡光杆
塑料圆柱体
游标卡尺
夹具
滑块
金属杆
载物盘
转动轴 螺旋弹簧 水平调 节螺钉 气泡水 平仪
三、转动的平行轴定理
2 2 I0 T0 4 K
I1 K 4 2 T1 T02
2
I 0 I1 T 4 K
2 1 2
2 I T I 0 4 2 2 0 2 T1 T0
五、实验内容及步骤
计算各物体转动惯量的理论值 根据各待测物转动惯量计算公式，测量各物体 有关几何尺寸及质量，各测量三次取平均值。 扭转常数K的确定 ①调整扭摆基座底角螺丝，使扭摆水平。 ②装上载物盘，调整光电探头的位置，使挡光 杆处于缺口中央，测定周期T0。 ③将塑料圆柱体放在载物盘上，测定周期T1。 ④由T0 、T1及塑料圆柱转动惯量的理论值I1′ 计算扭转常数K和载物盘的转动惯量I0。
相关参数：
金属细杆夹具的转动惯量
这些物体绕其他与特定轴平行的轴转动时，转 动惯量由平行轴定理计算。
若刚体绕过质心的轴转动的转动惯量为I0，则 绕另一与之平行的轴转动的转动惯量为
I I0 mx2
x为两平行轴之间的距离。
四、弹簧扭转常数K和载 物盘转动惯量的测定
设载物盘的转动惯量为I0，转动周期可测量为 T0，另一转动惯量可理论计算的物体的转动惯 量为I1′，将该物体放在载物盘上，两轴重合， 复合摆周期T1,，则
I 2 转动周期 T K
由此可知，通过测量刚体转动的周期，再由已 知的扭转常数K，就可以计算出转动惯量I。
2
二、仪器描述
光电探头 实心球体
空心金属 圆柱体
扭摆 周期测定仪 挡光杆
塑料圆柱体
游标卡尺
夹具
滑块
金属杆
载物盘
转动轴 螺旋弹簧 水平调 节螺钉 气泡水 平仪
三、转动的平行轴定理
2 2 I0 T0 4 K
I1 K 4 2 T1 T02
2
I 0 I1 T 4 K
2 1 2
2 I T I 0 4 2 2 0 2 T1 T0
五、实验内容及步骤
计算各物体转动惯量的理论值 根据各待测物转动惯量计算公式，测量各物体 有关几何尺寸及质量，各测量三次取平均值。 扭转常数K的确定 ①调整扭摆基座底角螺丝，使扭摆水平。 ②装上载物盘，调整光电探头的位置，使挡光 杆处于缺口中央，测定周期T0。 ③将塑料圆柱体放在载物盘上，测定周期T1。 ④由T0 、T1及塑料圆柱转动惯量的理论值I1′ 计算扭转常数K和载物盘的转动惯量I0。
相关参数：
金属细杆夹具的转动惯量
力矩转动定律转动惯量jm汇总课件
力矩的物理意义
总结词
力矩描述了力使物体绕某点转动的趋势或转动效果。
详细描述
力矩决定了物体绕某点转动的趋势或转动效果，其方向与力和力臂的乘积方向 相同。力矩越大，物体转动的趋势或转动效果越明显。
力矩的计算方法
总结词
力矩的大小等于力和力臂的乘积，计中力臂是从转动轴（或转动中心）到力的垂 直距离。计算公式为 M=FL，其中 M 为力矩，F 为力，L 为力臂。同时，力矩的 方向与力和力臂的乘积方向相同。
转动惯量的大小决定了物体旋转运动 的加速度、角速度和角动量等参数的 变化规律，进而影响物体的运动状态 和稳定性。
转动惯量的计算方法
转动惯量的计算方法主要包括平行轴定理和垂直轴定理。
平行轴定理指出，对于一个质量分布均匀的刚体，其相对于某固定轴的转动惯量，等于该刚体的质量乘以质心到该轴的距离 的平方，再加上所有相对于此轴的离散质量的转动惯量之和。垂直轴定理则说明，一个质量分布均匀的刚体相对于任一垂直 于其对称平面的轴的转动惯量，等于该刚体的质量乘以其对称轴到质心的距离的平方。
车辆工程
在车辆工程中，力矩转动定律用于分析车辆动力学和稳定性 问题。例如，通过分析车轮的力矩，可以研究车辆的操控性 能和行驶稳定性。
力矩转动定律在科研中的应用
物理学研究
力矩转动定律是物理学中分析转 动问题的基本原理，广泛应用于 分析天体运动、刚体动力学等问 题。
生物学研究
在生物学研究中，力矩转动定律 用于分析生物体的运动和平衡机 制，如动物的行走、飞行等。
动惯量。
实验步骤
2. 将刚体安装到实验装置上 ，调整力矩计和角位移传感
器的位置和角度。
1. 准备实验器材：刚体、力 矩计、角位移传感器、数据
4-2力矩转动定律转动惯量
J r2dm
图1
图2
J1 J2
➢ 常用的转动惯量 （P110 表）
21
四 平行轴定理
质量为m 的刚体，
如果对其质心轴的转动 惯量为 JC ，则对任一与
该轴平行，相距为 d 的
转轴的转动惯量
JO JC md 2
d
C mO
J Jc
22
J Jc md2
圆盘对P 轴的转动惯量 P R O m
Fit Fit miait miri
11
➢ 质元绕Z轴转动的力矩
M i ri Fit ri Fit miri2
➢ 刚体绕Z轴转动的力矩
z
Fi内
Fi外
r O i m i 质量元
Mi riFit riFit
mi ri 2
M
r
F
M Frsin Fd
5
4、一对力偶的力矩
M Fd
F
F
o
l
F 0 M 0
M F l F l Fl
22
ro
F'
F
F 0
M 0
M Fr Fr 0
6
讨论
（1）若力 F不在转动平面内，把力分
解为平行和垂直于转轴方向的两个分量
41
➢ 常用的转动惯量公式
m质点：J r2m 圆盘(圆柱): J 1 mR2
2
杆：
Jc
1 12
mL2
J
端
1 3
mL2
R Om
O1
O1’
d=L/2
3力矩转动定律(大学物理 - 刚体部分)
F
二、转动定律
刚体作定轴转动时，合外力矩等于 刚体的转动惯量与角加速度的乘积。 M Jβ
注意几点
1. 是矢量式 2. 具有瞬时性。 3. M、J、是对同一轴而言的。
§5.力矩、转动定律 / 二、转动定律
三. 解题方法及应用举例
M Jβ
1.确定研究对象。
2.受力分析（只考虑对转动有影响的力矩）。
M J
l 1 2 mg cos ml 2 3 3 g cos 2l
习题课 / 例3
m,l
mg
3 g cos 2l
60时
0时
3 g 4l 3 g 2l
m,l
mg
习题课 / 例3
3.列方程求解(平动物体列牛顿定律方程，转 动刚体列转动定律方程和角量与线量关系)。
§5.力矩、转动定律 / 三、解题方法及应用举例
例1：如图所示，两个同心圆盘结合在一 起可绕中心轴转动，大圆盘质量为 m1、 半径为 R，小圆盘质量为 m2、半径为 r， 两圆盘都用力 F 作用，求角加速度。
解：以 m1、 m2 为研 究对象，它们有共同 的角加速度，只有 F、 F 产生力矩。 FR Fr ( J1 J 2 )
第三节
力矩 转动定律
一、力矩
力与力臂的乘积。
O d
M
r
P r M dF r sin F M rF sin 根据矢量乘积法则： A B AB sin 用矢量方法表示力矩： M r F 单位：牛顿· 米， N ·m 方向：从r沿小于角右旋到F，大拇指指向。
§5.力矩、转动定律 / 一、力矩
m2 r
R
m1
大学物理-力矩-转动定律-转动惯量
F
p
18
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
解 (1) Fr J
Fr 98 0.2 39.2 rad/s2
J 0.5
mg T ma
(2) Tr J
a r
两者区别?
rO
F T
T
J
mgr mr 2
98 0.2 0.5 10 0.22
i
J r2dm
9
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
四. J 的计算
质量连续分布刚体的转动惯量
J mjrj2 r2dm dm ：质量元 j
对质量线分布的刚体： dm dl
：质量线密度
对质量面分布的刚体：
：质量面密度
对质量体分布的刚体：
在圆规迹切线方向
mk ak mk rk Fk fk
两边乘以rk，并对整个刚体求和
第二章 动力学基础
z
o
vk
mk
( mk rk2 ) Fk rk fk rk
k
k
k
5
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
( mk rk2 ) Fk rk fk rk
17
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
四、转动定律的应用举例
例1 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘， 在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kg·m2,飞轮与转轴间的摩擦不计 。
rO
求: (1) 飞轮的角加速度。
(2) 如以重量P =98 N的物体挂在 绳端,试计算飞轮的角加速度。
大学物理-第四章-力矩 转动定律 转动惯量
0
3
8
以上各例说明：
(1)刚体的转动惯量 与刚体的质量有关， 与刚体的质量分布有关， 与轴的位置有关。
(２)质量元的选取：
线分布 dm dx(或dl)
面分布 dm ds
体分布 dm dv
线分布
面分布
体分布
9
习题4-11： 质量为m1和m2 的两物体A、B 分别悬挂在图示的组合轮两端.设两轮的半 径分别为R 和r，两轮的转动惯量分别为J1 和J2 ，轮与轴承间、绳索与轮间的摩擦力 均略去不计，绳的质量也略去不计.试求两 物体的加度度和绳的张力.
解: 系统角动量守恒
J11 J22 (J1 J2 )
J11 J 22
(J1 J2 )
22
习题4-16：一质量为m′、半径为R 的均匀圆盘，通过 其中心且与盘面垂直的水平轴以角速度ω转动，若在 某时刻，一质量为m 的小碎块从盘边缘裂开，且恰好 沿垂直方向上抛，问它可能达到的高度是多少？ 破裂
Lz x mv y ymv x
15
2 刚体定轴转动的角动量
L mirivi ( miri2 )
i
i
z
L J
二 刚体定轴转动的角动量定理
dL d(J) M
dt dt
O ri
v i
mi
t2 Mdt
t1
L2 L1
dL
J2
J1
非刚体定轴转动的角动量定理
20
有许多现象都可以用角 动量守恒来说明. 它是自然 界的普遍适用的规律.
花样滑冰 跳水运动员跳水
飞轮
1
2
航天器调姿
大学物理课件考研备考期末复习 角动量 角动量守恒定律
解：对M：M ＝T1 R＝J
J＝ 1 MR2 2
对m : mg T1 ma a R
解 方 程 得 ：a
m
m M
2
g
v 2ah 4mgh 2m M
v 1 4mgh
R R 2m M
·R 绳 v0=0
m
th
2m g
r2 R2
dr
2 3
m gR
根据转动定律，得
M
2 3
m gR
4g
J
1 m R2
3R
2
角加速度为常量，且与ω0的方向相反，
表明圆盘作匀减速转动
0 t
当圆盘停止转动时，ω=0，则得
t 0 3R0 4g
一个质量为M、半径为R 的定滑轮 上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上， 另一端挂一质量为m 的物体而下垂。忽略 定轴O 轴处摩擦，求物体m由静止下落高度h时的 速度和此时滑轮的角速度。
Mdt
L2
L1
冲量矩
t2
M
dt
t1
质点的角动量定理：对同一参考点 O ，质点所 受的冲量矩等于质点角动量的增量.
3 质点的 角动量守恒定律 M 0, L 恒矢量
质点所受对参考点 O 的合力矩为零时，质点对该 参考点 O 的角动量为一恒矢量.
例
例1 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内.一质 量为 m 的小球穿在圆环上, 并可在圆环上滑动. 小球开始 时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的水平面上), 然后从 A 点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计.求 小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速度.
解 小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞 前后系统角动量守恒
(完整版)转动定律讲解
d力臂:转轴到力作用线的垂直距离
方向: r F 的方向 单位: N m
对于定轴转动；
z
M
r
Od
F
P*
规定转动正方向,力矩使刚体绕
正方向转动, M 取正,反之取负。
第四章 刚体的定轴转动
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
大学物理学
讨论 1）与转轴平行的力对转轴不产生力矩;
2）与转 轴垂直但通过转轴的力对转轴不产生力矩； 3）若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和垂
直于转轴方 向的两个分 量 F Fz F
其中 Fz 对转轴的力
矩为零，故 F 对转轴的
力矩
M r F
M z rF sin
4）合 力矩 等于各分力矩的矢量和
M M1 M2 M3
第四章 刚体的定轴转动
z
k
Fz
F
O r
F
定轴转动：（规定转动 正方向）
M Mi
i
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
力矩可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响.
第四章 刚体的定轴转动
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
大学物理学
一 力矩
刚体绕 O z 轴旋 转 , 力 F 作用在刚体上点 P ,
r 且在转动平面内, 为由点O 到力的作用点 P 的径
矢 .
F 对转轴 Z 的力矩 M rF
M
力矩是矢量
大小: M Frsin Fd
M i Fitri (mi )atri
at ri
Mi (mi )ri2
z
Fit
O
ri
mi
M Mi (mi )ri2 (mi )ri2
➢ 转动惯量
方向: r F 的方向 单位: N m
对于定轴转动；
z
M
r
Od
F
P*
规定转动正方向,力矩使刚体绕
正方向转动, M 取正,反之取负。
第四章 刚体的定轴转动
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
大学物理学
讨论 1）与转轴平行的力对转轴不产生力矩;
2）与转 轴垂直但通过转轴的力对转轴不产生力矩； 3）若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和垂
直于转轴方 向的两个分 量 F Fz F
其中 Fz 对转轴的力
矩为零，故 F 对转轴的
力矩
M r F
M z rF sin
4）合 力矩 等于各分力矩的矢量和
M M1 M2 M3
第四章 刚体的定轴转动
z
k
Fz
F
O r
F
定轴转动：（规定转动 正方向）
M Mi
i
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
力矩可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响.
第四章 刚体的定轴转动
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
大学物理学
一 力矩
刚体绕 O z 轴旋 转 , 力 F 作用在刚体上点 P ,
r 且在转动平面内, 为由点O 到力的作用点 P 的径
矢 .
F 对转轴 Z 的力矩 M rF
M
力矩是矢量
大小: M Frsin Fd
M i Fitri (mi )atri
at ri
Mi (mi )ri2
z
Fit
O
ri
mi
M Mi (mi )ri2 (mi )ri2
➢ 转动惯量
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1 mgl sin J
2 式中 J 1 ml2
3
得 3g sin
2l
由角加速度的定义
d d d d dt d dt d
d 3g sind
2l
代入初始条件积分 得
3g (1 cos )
l
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
如令 mC 0，可得
mB B
FT1
FT2
mAmB g mA mB
（2） B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率
v 2ay
2mB gy
mA mB mC / 2
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
例4 一长为 l 质量为 m 匀质细杆竖直放置，其
下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动 . 由于此
力矩
Mzk
r
F
M z rF sin
z
k
Fz
F
O r F
2）合力矩等于各分力矩的矢量和 M M1 M2 M3
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
M ij
O
d
rj
ri
i
j
Fji Fij
M ji
Mij M ji
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
z 二 转动定律(Law of Rotation of a Rigid Body about
a Fixed Axis)
1）单个质点m 与转
轴刚性连接
M
Ft
F
M rF sin
J l / 2 r 2dr 1 l 3
l / 2
12
1 ml2
12
如转轴过端点垂直于棒
J l r 2dr 1 ml2
0
3
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
例2 一质量为 m 、半径为 R 的均匀圆盘，求通
过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 .
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
一 力矩(Torque)
刚体绕 O z 轴旋转 , 力F
作平用面在内刚, 体r上为点由点P ,O且到在力转的动
作用点 P 的径矢 .
F
对转轴Z M
的力r矩F
M Frsin Fd
M
O
z
M
r
d
P*
F
d : 力臂
第四章 刚体的转动
例3 质量为 mA 的物体 A 静止在光滑水平面上，
和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质
量为 mC 的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为 mB 的物
体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的摩
擦力可略去不计. 问：（1） 两物体的线加速度为多少？
水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2）物体 B 从
FT1 mAa
mBg FT2 mBa
a
RFT2
R,
RFT1
J
J
1 2 mcR
2
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
a
mB g
mA mB mC 2
FT1
mA
mAmB g mB mC
2
第四章 刚体的转动
A mA
FT1
C mC)mB g mA mB mC 2
静止落下距离 y 时，
A mA
C
其速率是多少？
mC （若水平面不光滑又
如何？）
mB B
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
A
mA
FT1
FN
mA FT1
PA
O
x
FT1
FC
PC
FT2
C
mC FT2
mB B
FT2
O
mB PB y
解 （1）隔离物体分 别对物体A、B 及滑轮作 受力分析，取坐标如图， 运用牛顿第二定律 、转 动定律列方程 .
解 设圆盘面密度为 ，
r 在盘上取半径为 ，宽为 dr
的圆环
圆环质量 dm 2π rdr
O
RR
r
dr
圆环对轴的转动惯量
dJ r2dm 2π r3dr
J R 2π r3dr π R4
0
2
而 m (π R2 )
所以 J 1 mR2 2
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小 扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转
动 .试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度
和角速度 .
解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力 FN
作用，由转动定律得
1 mgl sin J
2
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
O
r m
F sin Ft ma t mr
Fn
M rFt mr 2
2）刚体 质量元受外力
Fej，内力
Fij
Mej Mij mjrj2
z
O rj
Fej
m j
外力矩
内力矩
Fij
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
Mej Mij mjrj2α
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
例1 一质量为 m、长为 l 的均匀细长棒，求
通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
O
Or
l 2 O´ dr l 2
O´ dr l
r 解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为
处的质量元 dm dr dJ r2dm r2dr
J mjrj2 r2dm dm ：质量元 j
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量 注意
第四章 刚体的转动
1、转动惯量的大小取决于刚体的质量及其分布、形 状及转轴的位置 .
2、转动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物 理量。地位等同于质点力学中质点的质量。
3、转动惯量的单位是 kg m 2 ，量纲是ML2
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
三 转动惯量
J mjrj2 , J r2dm j
➢ 物理意义：转动惯性的量度 . M J
转动惯性的计算方法
➢ 质量离散分布刚体的转动惯量
J mjrj2 m1r12 m2r22
j
➢ 质量连续分布刚体的转动惯量
F
F
Fi 0 , Mi 0
F
F
Fi 0 , Mi 0
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
讨论
1）若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和垂
直于转轴方向的两个分量
F Fz F
其中 Fz 对转轴的力
矩为零，故 F 对转轴的
即
15
5
J 2 mR2 5
z4 R3
)dz
1 mR2 5
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
证明：将均质球体分割成一
z
系列彼此平行且都与对称轴
垂直得圆盘，则有
r
J
1 2
dm r 2
1 2
r 2dz
r
2
z
dz R
om
R 1( R2 z2 )2 dz
R 2
8 R2 2 mR2
j
j
Mij M ji Mij 0
j
Mej ( mjrj2 )α
j
定义转动惯量 J mjrj2
(Moment of Inertia) j
z
O rj
Fej
m j
Fij
2
J r dm
转动定律
M J
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成 正比 ，与刚体的转动惯量成反比 .
第四章 刚体的转动
补充：证明球体对任意直径的转动惯量为：I
2 5
mR2
证明：如图所示，在坐标z处取高为dz的小圆柱作
为质元
z
m , dm r2dz
4 R3
dz
3
r
z
oR
J z2dm R z2 m (R2 z2 )dz
R 4 R3
3
3m 4
R ( z2 R R