无穷小量的比较

则当 x 0 时, 有 u 0,
ex 1 u lim lim lim u 0 x 0 u 0 ln(1 u ) x

u 0
1 ln(1 u)
1 u
1 lim ln(1 u)
1 u
1 1. ln e
当x 0时， e x 1 ~ x.
解
令 (1 x) 1 y,于是 ln(1 x) ln(1 y),
第五节 无穷小量的比较
A.
ห้องสมุดไป่ตู้
无穷小量的阶：
高阶、低阶、同阶(等价)、k阶无穷小
B.
利用等价无穷小量计算极限
A.无穷小量的阶
引例：当 x 0时， 3 x , x 2 , sin x 都是无穷小, 但 它们趋于零的速度不同：
x 0, lim x 0 3 x
2
sin x 1 lim , x 0 3 x 3
tan 2 x . 例3 求 lim x 0 1 cos x
1 2 解 当x 0时, 1 cos x ~ x , tan 2 x ~ 2 x . 2 2 (2 x ) 原式 lim 8. x 0 1 x2 2
2
例4 解
e 1 求 lim . x 0 x
x
令 e x 1 u, 即 x ln(1 u),

例. 当
时, 比较无穷小
与
的阶.
ln x 解: 因 lim x 1 ( x 1) 2 ln[1 ( x 1)] lim 2 x 1 ( x 1) x 1 lim x 1 ( x 1) 2 1 lim x 1 x 1
故 是比
x 0 时, ln(1 x) ～ x ,
当 1 时 n
ex 1 x
ax 1 x ln a x 0
～
1 x

1 x
例2. 求 lim
解:
sin x 3x
x 0 x 3
～ ～
1 1 lim 2 x 0 x 3 3
例如,
2x 2 tan 2 x lim lim x 0 5 x 5 x 0 sin 5 x
x 0 , 有 y 0,

(1 x ) 1 例5 求 lim . x 0 x


y (1 x) 1 (1 x) 1 lim lim . lim y 0 ln(1 y ) x 0 x 0 ln(1 x) x y y lim lim . y 0 ln(1 y ) y 0 y
反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较.
高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶.
2、利用等价无穷小计算极限 (注意适用条件)
常用的等价无穷小：当x 0时,
1 cos
1 x2 x～ 2
～
e 1 x,
x
1 x 1 x,
sin x lim 2 , x 0 x
sin x lim 1 , x 0 x
用“比”来比较它们趋于零的速度快慢
定义
设 lim 0 , lim 0, 0
(1)若 lim 0 , 则称 是比 高阶的无穷小,
或 是比 低阶的无穷小, 记作 o( )
n
n
～
B. 利用等价无穷小量计算极限
定理 若 则lim =lim
定理 若 ， 且 lim 存在 则 lim lim 证： lim lim
更低阶的无穷小.
lim lim lim = lim 注意:相乘、相除可以替换，相加、相减不可替换
常用的等价无穷小
当x 0时,
x 0
1 2 1 cos x x 2
x 0 x 0 x 0 x 0 x 0
1 x 1 ～ x 特别地,当 1 时,有 n 1 n 1 x 1 ～ x n

1 例6. 求 lim (1 . x 0 cos x 1
解:
1 x2 )3
1 x ln(1 x) 1 例7. 求 lim . 2 x x 0 (e 1)arcsin x
1 2 x ln(1 x ) 2 x lim 2 解: 原式= lim x 0 2 x arcsin x x 0 2 x
1 2
tan x sin x 例8. 求 lim . 3 x 0 x
解: 原式
xx 原式 lim 3 x 0 x
lim
2 x 1 x 2
x 0
x
3
注意 不能滥用等价无穷小代换. 切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对 于函数中进行加减运算的无穷小不能分别代换.
tan x sin x 例9. 求 lim . 3 x 0 sin (2 x )
解: 原式
x x lim x 0 8x3
1 2
2
END内容小结
1、无穷小阶的比较
2
x o 6x
3


是关于x的二阶无穷小,且 1 2 1 cos x x 2 sin x lim 与x等价无穷小 时, 1, 故
x 0
时
x
sin x x x 0
例1. 证明: 当 证:
时,
～
n 1 n 1 n2 ( a b ) a b a b ( a b)
(2)若 lim b 0 , 则称 与 是同阶无穷小; (2’)若 lim 1 ,则称 与 是等价无穷小, 记作
(3)若lim k b 0 , k 0 则称 是关于 的 k 阶无穷小;
例如 当 x 0 时
故当
tan x x arcsin x x 2 x 2sin 1 cos x 2 lim lim 1 2 x 0 x 0 1 2 2 x x 2 2