解三角形复习课
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a b c ( 3). sin A , sinB , sinC ; 2R 2R 2R a b b c c a (4). , , ; sin A sin B sin B sinC sinC sin A
2.余弦定理
a 2 b 2 c 2 2bc cos A b 2 c 2 a 2 2ca cos B c 2 a 2 b 2 2ab cos C
四、判断三角形形状
判定三角形形状通常有两种途径：化边为角；化角为边 具体有如下四种方法：
①通过正弦定理实施边角转换；
②通过余弦定理实施边角转换；
③通过三角变换找出角之间的关系；
④通过三角函数符号的判断及正余弦函数有界性的 讨论 已知边之间的关系 主要题型 已知角的三角函数关系 已知边与角的关系
已知边与角之间的关系
化为
3.三角形面积公式
1 (1) S aha ( ha 表示 a边上的高 ) 2
1 1 1 (2) S ab sin C ac sin B bc sin A 2 2 2
4.三角形中的常见结论
(1) A B C (2)在三角形中大边对大角，大角对大边.
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差 小于第三边 (4)有关三角形内角的三角函数式
点评：此题结合向量、三角变换的知识同时 运用余弦定理和三角形面积。三角变换和向 量与解三角形的结合是高考的重点，同时考 察学生多方面的知识。
六、解三角形在生活中的应用
1. 解三角形在生活中应用非常广泛 , 如测量、航海、物 理 几何等方面都要用到解三角形的知识.这些实际问题 基本上分成测量长度、高度、角度三种类型 . 解三角形 应用题得一般步骤及基本思路.
(1)一般步骤：
2
ABC有一解
( 3) 182 202 c 2 2 20 c cos 150 c 2 20 3c 76 0. 解得 c 10 3 4 11 10 3 4 11 0 ABC无解
例2. ABC中，已知A 60 , b 4 3 , 为使此三角形只有 一个, a满足的条件是（ A. 0 a 4 3 C. a 4 3或a 6
余弦定理的变形：
b2 c 2 a 2 a 2 c 2 b2 a2 b2 c 2 cos A ; cosB ; cosC . 2bc 2ac 2ab
当A、B、C分别为 90 时，上面的关系式分别 a 2 b2 c 2; b2 a 2 c 2; c 2 a 2 b2
c）
B. a 6 D. 0 a 4 3或a 6
点评：可通过正弦定理或几何作图很容易 看出三角形有一个解的情况有两种。这些 有些同学容易出现误区，直接令关于C的一 元二次方程有一解，很容易少考虑a>b的情 况，以后做题时要注意。
例3. 钝角 ABC中， a 1, b 2, 则最大边 c的取值 范围是
解三角形
1.正弦定理
知识点梳理
a b c 2 R(其中 R为ABC外接圆的半径 ) sin A sin B sinC
正弦定理的变形：
(1)a 2 R sin A ， b 2 R sin B , c 2 R sinC ;
(2). a : b : c sin A : sin B : sinC ;
sin(A B ) sinC ; tan( A B ) tan C ; A B C cos sin ; 2 2 cos( A B ) cos C ; A B C sin cos ; 2 2 A B C tan cot 2 2
(5) ABC中，A、B、C成等差数列的充要条件
总结：根据已知条件，适当选取适用的定理，进行边 角互化结合三角变换找出三边之间的关系或者是找出 内角之间的关系来判断形状。
练习 1．在锐角三角形 ABC 中，角 A、B、C 的对边分 别为 a、b、c，且 a＝4bsin A，则
15 cos B＝________. 4
解析 ∵a＝4bsin A 且△ABC 为锐角三角形， ∴sin A＝4· sin B· sin A. 1 ∴sin B＝ ， 4 15 ∴cos B＝ . 4
练习2
在△ABC 中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且 sin A ＝2sin Bcos C，试求（1）角 A； （2）确定△ABC 的形 状．
解 （1）由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc， 得 b2＋2bc＋c2－a2＝3bc， 2 2 2 b ＋ c － a bc 1 即 a2＝b2＋c2－bc，∴cos A＝ ＝ ＝ ， 2bc 2bc 2 π ∴A＝ . 3
得 2 sin B 1 3 1
2 B 或 . 3 3
1 3 ( 2) 由a 6, S 6 3 , 得 ac 6 3 2 2
2 2 2
c 4
1 由b a c 2ac cos 36 16 2 6 4 28 3 2 b 28 2 7 .
例6. 已知在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的 边，S是该三角形的面积，若向量m (2 sin B,1), n (1,1), 且m n 3 1. (1) 求角B的大小； (2)若角B为锐角，a 6, S 6 3 , 求b的值.
解： (1) 由 m n 3 1 3 sin B 2
（2）sin A＝2sin Bcos C. a2＋b2－c2 a2＋b2－c2 ∴a＝2b· ＝ ， 2ab a ∴b2＝c2，b＝c，∴△ABC 为等边三角形．
五、解三角形中的交汇问题
在知识交汇处命题是高考考查的热点， 体现了多考一点“想”，少考一点“算”的 理念，所以挖掘知识内的交汇是学习中的重 点。解三角形与其它知识的交汇体现与向量、 三角函数、三角变换、数列、、解析几何、 立体几何等几个方面知识的结合。
sin A sin B sinC ( 2)法一： 由正弦定理得 cos A cos B cos C tan A tan B tan C A、B、C (0, ) A B C ABC为等边三角形
法二：由余弦定理得 2bc 2ac 2ab a( 2 2 2 ) b( 2 2 2 ) c( 2 2 2 ) b c a a c b a b c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b c a a c b a b c a 2 b2 c 2 a b c ABC是等边三角形
即 A B 或 A B 2 ABC是等腰三角形或直角三
角形
法二：由余弦定理得 b2 c 2 a 2 a 2 c 2 b2 a cos A b cos B a ( ) b( ) 2bc 2ac a 2c 2 a 4 b 2c 2 b 4 0 (a 2 b 2 )( c 2 a 2 b 2 ) 0 a 2 b 2 0或c 2 a 2 b 2 0 a b或c 2 a 2 b 2 ABC是等腰三角形或直角三 角形
例5. 根据所给条件，判断 ABC 的形状
(1)a cos A b cos B a b c ( 2) cos A cos B cos C
a b 解： (1)法一：根据正弦定理有 sin A sin B a cos A b cos B sin A cos A sin B cos B sin 2 A sin 2 B 2 A 2 B或者 2( A B ) 180
（ 1）a 2 2 , b 2 3 , A 45 ;
（ 2）a 11, b 22, A 30 ;
（ 3）a 18, b 20, A 150
1 2 2 3 22 1 3 bsinAb sin A 20 2 2 解法一： (1) sin B (2) sinB 1 bsinA 5 2 (3)sinB a a 11 2 2 2 a 18 9 2 b B ,A B 或 ABC ABC 有两解 ba a BA 有一解 b a B ， A,B B 无解。 ABC 无解 3 2 3
2
b 2 a 2 c 2 2ac cos B 2 3 c 2 3 cos 45 即 c 2 6c 1 0 解之，得 c 6 2 2
点评：此类问题求解需要主要解的个数的讨论，比 较上述两种解法，解法二比较简便。
练习.根据下列条件，判定三角形解的情况.
是B=60
(6)在ABC中，A B a b sin A sin B.
(7) sin sin 或 若、是三角形的内角则有
（8）在△ABC 中，三边分别为 a，b，c(a<b<c) (1)若 a ＋b >c ，则△ABC 为锐角三角形． (2)若 a2＋b2＝c2，则△ABC 为直角三角形． (3)若 a2＋b2<c2，则△ABC 为钝角三角形.
b sin C 2 sin 75 6 2 当A 60 时， C 75 c sin B sin45 2 b sin C 2 sin 15 6 2 当A 120 时， C 15 c sin B sin45 2
方法二 用余弦定理
2 2 2
正余弦推论的应用
三角形解的个数的确定
求角
解 三 角 形
求三角形中基本量 判断三角形形状
求边 求面积
解三角形中的交汇问题
解三角形的实际应用
测量距离 测量高度 测量角度
解三角形
例1. 在ABC中，已知a 3 , b 2 , B 45 ,
求边c.
解：方法一 (用正弦定理 ) a b a sin B 3 sin45 3 sin A sin A sin B b 2 2 又 b a , B A, A 60 或120
解法二 :
a 2 b 2 c 2 2bc cos A
2 2
(1) 2 2 2 3 c 2 2 2 3 c cos 45 c 2 2 6c 4 0.解得c 6 2 ABC有两解
( 2) 112 222 c 2 2 22 c cos 30 c 22 3c 363 0. 解得 c 11 3
5 c百度文库3
2 2 2 2
a b c 5c 解：由余弦定理得 cos C 2ab 4 2 5c C是最大角钝角 0 c 5 4 a b c c 3 5 c 3
例 4．在△ABC 中，A＝60° ，b＝1，其面积为 3，则 a＋b＋c 等于 ( B ) sin A＋sin B＋sin C 2 39 A．3 3 B. 3 26 3 29 C. D. 3 2 1 1 解析 S＝ bcsin A＝ ×1×c×sin 60° ＝ 3， 2 2 ∴c＝4. 1 2 2 2 ∴a ＝b ＋c －2bc· cos A＝1＋16－2×1×4× ＝13， 2 即 a＝ 13， a＋b＋c 13 a b c ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ sin A sin B sin C sin A＋sin B＋sin C 3 2 2 39 ，故选 B.
2.余弦定理
a 2 b 2 c 2 2bc cos A b 2 c 2 a 2 2ca cos B c 2 a 2 b 2 2ab cos C
四、判断三角形形状
判定三角形形状通常有两种途径：化边为角；化角为边 具体有如下四种方法：
①通过正弦定理实施边角转换；
②通过余弦定理实施边角转换；
③通过三角变换找出角之间的关系；
④通过三角函数符号的判断及正余弦函数有界性的 讨论 已知边之间的关系 主要题型 已知角的三角函数关系 已知边与角的关系
已知边与角之间的关系
化为
3.三角形面积公式
1 (1) S aha ( ha 表示 a边上的高 ) 2
1 1 1 (2) S ab sin C ac sin B bc sin A 2 2 2
4.三角形中的常见结论
(1) A B C (2)在三角形中大边对大角，大角对大边.
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差 小于第三边 (4)有关三角形内角的三角函数式
点评：此题结合向量、三角变换的知识同时 运用余弦定理和三角形面积。三角变换和向 量与解三角形的结合是高考的重点，同时考 察学生多方面的知识。
六、解三角形在生活中的应用
1. 解三角形在生活中应用非常广泛 , 如测量、航海、物 理 几何等方面都要用到解三角形的知识.这些实际问题 基本上分成测量长度、高度、角度三种类型 . 解三角形 应用题得一般步骤及基本思路.
(1)一般步骤：
2
ABC有一解
( 3) 182 202 c 2 2 20 c cos 150 c 2 20 3c 76 0. 解得 c 10 3 4 11 10 3 4 11 0 ABC无解
例2. ABC中，已知A 60 , b 4 3 , 为使此三角形只有 一个, a满足的条件是（ A. 0 a 4 3 C. a 4 3或a 6
余弦定理的变形：
b2 c 2 a 2 a 2 c 2 b2 a2 b2 c 2 cos A ; cosB ; cosC . 2bc 2ac 2ab
当A、B、C分别为 90 时，上面的关系式分别 a 2 b2 c 2; b2 a 2 c 2; c 2 a 2 b2
c）
B. a 6 D. 0 a 4 3或a 6
点评：可通过正弦定理或几何作图很容易 看出三角形有一个解的情况有两种。这些 有些同学容易出现误区，直接令关于C的一 元二次方程有一解，很容易少考虑a>b的情 况，以后做题时要注意。
例3. 钝角 ABC中， a 1, b 2, 则最大边 c的取值 范围是
解三角形
1.正弦定理
知识点梳理
a b c 2 R(其中 R为ABC外接圆的半径 ) sin A sin B sinC
正弦定理的变形：
(1)a 2 R sin A ， b 2 R sin B , c 2 R sinC ;
(2). a : b : c sin A : sin B : sinC ;
sin(A B ) sinC ; tan( A B ) tan C ; A B C cos sin ; 2 2 cos( A B ) cos C ; A B C sin cos ; 2 2 A B C tan cot 2 2
(5) ABC中，A、B、C成等差数列的充要条件
总结：根据已知条件，适当选取适用的定理，进行边 角互化结合三角变换找出三边之间的关系或者是找出 内角之间的关系来判断形状。
练习 1．在锐角三角形 ABC 中，角 A、B、C 的对边分 别为 a、b、c，且 a＝4bsin A，则
15 cos B＝________. 4
解析 ∵a＝4bsin A 且△ABC 为锐角三角形， ∴sin A＝4· sin B· sin A. 1 ∴sin B＝ ， 4 15 ∴cos B＝ . 4
练习2
在△ABC 中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且 sin A ＝2sin Bcos C，试求（1）角 A； （2）确定△ABC 的形 状．
解 （1）由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc， 得 b2＋2bc＋c2－a2＝3bc， 2 2 2 b ＋ c － a bc 1 即 a2＝b2＋c2－bc，∴cos A＝ ＝ ＝ ， 2bc 2bc 2 π ∴A＝ . 3
得 2 sin B 1 3 1
2 B 或 . 3 3
1 3 ( 2) 由a 6, S 6 3 , 得 ac 6 3 2 2
2 2 2
c 4
1 由b a c 2ac cos 36 16 2 6 4 28 3 2 b 28 2 7 .
例6. 已知在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的 边，S是该三角形的面积，若向量m (2 sin B,1), n (1,1), 且m n 3 1. (1) 求角B的大小； (2)若角B为锐角，a 6, S 6 3 , 求b的值.
解： (1) 由 m n 3 1 3 sin B 2
（2）sin A＝2sin Bcos C. a2＋b2－c2 a2＋b2－c2 ∴a＝2b· ＝ ， 2ab a ∴b2＝c2，b＝c，∴△ABC 为等边三角形．
五、解三角形中的交汇问题
在知识交汇处命题是高考考查的热点， 体现了多考一点“想”，少考一点“算”的 理念，所以挖掘知识内的交汇是学习中的重 点。解三角形与其它知识的交汇体现与向量、 三角函数、三角变换、数列、、解析几何、 立体几何等几个方面知识的结合。
sin A sin B sinC ( 2)法一： 由正弦定理得 cos A cos B cos C tan A tan B tan C A、B、C (0, ) A B C ABC为等边三角形
法二：由余弦定理得 2bc 2ac 2ab a( 2 2 2 ) b( 2 2 2 ) c( 2 2 2 ) b c a a c b a b c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b c a a c b a b c a 2 b2 c 2 a b c ABC是等边三角形
即 A B 或 A B 2 ABC是等腰三角形或直角三
角形
法二：由余弦定理得 b2 c 2 a 2 a 2 c 2 b2 a cos A b cos B a ( ) b( ) 2bc 2ac a 2c 2 a 4 b 2c 2 b 4 0 (a 2 b 2 )( c 2 a 2 b 2 ) 0 a 2 b 2 0或c 2 a 2 b 2 0 a b或c 2 a 2 b 2 ABC是等腰三角形或直角三 角形
例5. 根据所给条件，判断 ABC 的形状
(1)a cos A b cos B a b c ( 2) cos A cos B cos C
a b 解： (1)法一：根据正弦定理有 sin A sin B a cos A b cos B sin A cos A sin B cos B sin 2 A sin 2 B 2 A 2 B或者 2( A B ) 180
（ 1）a 2 2 , b 2 3 , A 45 ;
（ 2）a 11, b 22, A 30 ;
（ 3）a 18, b 20, A 150
1 2 2 3 22 1 3 bsinAb sin A 20 2 2 解法一： (1) sin B (2) sinB 1 bsinA 5 2 (3)sinB a a 11 2 2 2 a 18 9 2 b B ,A B 或 ABC ABC 有两解 ba a BA 有一解 b a B ， A,B B 无解。 ABC 无解 3 2 3
2
b 2 a 2 c 2 2ac cos B 2 3 c 2 3 cos 45 即 c 2 6c 1 0 解之，得 c 6 2 2
点评：此类问题求解需要主要解的个数的讨论，比 较上述两种解法，解法二比较简便。
练习.根据下列条件，判定三角形解的情况.
是B=60
(6)在ABC中，A B a b sin A sin B.
(7) sin sin 或 若、是三角形的内角则有
（8）在△ABC 中，三边分别为 a，b，c(a<b<c) (1)若 a ＋b >c ，则△ABC 为锐角三角形． (2)若 a2＋b2＝c2，则△ABC 为直角三角形． (3)若 a2＋b2<c2，则△ABC 为钝角三角形.
b sin C 2 sin 75 6 2 当A 60 时， C 75 c sin B sin45 2 b sin C 2 sin 15 6 2 当A 120 时， C 15 c sin B sin45 2
方法二 用余弦定理
2 2 2
正余弦推论的应用
三角形解的个数的确定
求角
解 三 角 形
求三角形中基本量 判断三角形形状
求边 求面积
解三角形中的交汇问题
解三角形的实际应用
测量距离 测量高度 测量角度
解三角形
例1. 在ABC中，已知a 3 , b 2 , B 45 ,
求边c.
解：方法一 (用正弦定理 ) a b a sin B 3 sin45 3 sin A sin A sin B b 2 2 又 b a , B A, A 60 或120
解法二 :
a 2 b 2 c 2 2bc cos A
2 2
(1) 2 2 2 3 c 2 2 2 3 c cos 45 c 2 2 6c 4 0.解得c 6 2 ABC有两解
( 2) 112 222 c 2 2 22 c cos 30 c 22 3c 363 0. 解得 c 11 3
5 c百度文库3
2 2 2 2
a b c 5c 解：由余弦定理得 cos C 2ab 4 2 5c C是最大角钝角 0 c 5 4 a b c c 3 5 c 3
例 4．在△ABC 中，A＝60° ，b＝1，其面积为 3，则 a＋b＋c 等于 ( B ) sin A＋sin B＋sin C 2 39 A．3 3 B. 3 26 3 29 C. D. 3 2 1 1 解析 S＝ bcsin A＝ ×1×c×sin 60° ＝ 3， 2 2 ∴c＝4. 1 2 2 2 ∴a ＝b ＋c －2bc· cos A＝1＋16－2×1×4× ＝13， 2 即 a＝ 13， a＋b＋c 13 a b c ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ sin A sin B sin C sin A＋sin B＋sin C 3 2 2 39 ，故选 B.