2021年上海市春季高考数学试卷及解析

2021年上海市春季高考数学试卷

时间：120分钟；满分：150分

一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.等差数列{}n a 中，13,2a d ==，则10a = .

2.已知复数z 满足13z i =-(i 是虚数单位)，则z i -＝ .

3.不等式

25

12

x x +<-的解集为 . 4.已知圆柱的底面半径为1,母线长为2,则圆柱的侧面积为 . 5.求直线2x =-

10y -+=的夹角为________. 6.方程组111

222

a x

b y

c a x b y c +=⎧⎨

+=⎩无解，求

11

22

a b a b = . 7.()1n

x +的二项展开式中有且仅有3x 为最大值，则3x 的系数为 .

8.已知函数()()3031

x x

a

f x a =+

>+的最小值为5，则a = . 9. 在无穷等比数列{}n a 中，1lim()4n n a a →∞

-=，则2a 的取值范围是

10. 某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如下表所示，

问有几种运动方式组合

11. 已知椭圆2

2

21y x b

+=（01b <<）的左、右焦点为1F 、2F ，以O 为顶点，2F 为焦点作

抛物线交椭圆于P ，且1245PF F ∠=︒，则抛物线的准线方程是 12. 已知0θ>，对任意*n ∈N ，总存在实数ϕ，使得cos()n θϕ+<，则θ的最小值是 二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13.下列函数中,在定义域内存在反函数的是 ( )

A. 2

x B.sin x C. 2x D. 1x =

14.已知集合{

}

2

20,{1}A x x x N x x =∈--=∈>-R R ∣∣，则（ ） A. A B ⊆ B. R R C A C B ⊆ C. A B ⋂=∅ D. A B ⋃=R

15. 已知函数()y f x =的定义域为R ，下列是()f x 无最大值的充分条件是（ ） A. ()f x 为偶函数且关于直线1x =对称 B. ()f x 为偶函数且关于点(1,1)对称 C. ()f x 为奇函数且关于直线1x =对称 D. ()f x 为奇函数且关于点(1,1)对称

16. 在△ABC 中，D 为BC 中点，E 为AD 中点，则以下结论：① 存在△ABC ，使得0AB CE ⋅=；② 存在三角形△ABC ，使得CE ∥()CB CA +；成立的是（ ）

A. ①成立，②成立

B. ①成立，②不成立

C. ①不成立，②成立

D. ①不成立，②不成立 三、 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 四棱锥P ABCD -，底面为正方形ABCD ，边长为4，E 为AB 中点，PE ⊥平面ABCD . （1）若△PAB 为等边三角形，求四棱锥P ABCD -的体积； （2）若CD 的中点为F ，PF 与平面ABCD 所成角为45°， 求PD 与AC 所成角的大小.

18. 已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，a 、b 、c 是其三条边，2a =，1

cos 4

C =-.

（1）若sin 2sin A B =，求b 、c ；（2）4

cos()4

5

A π

-=

，求c .

19.（1）团队在O 点西侧、东侧20千米处设有A 、B 两站点，测量距离发现一点P 满足

||||20PA PB -=千米，可知P 在A 、B 为焦点的双曲线上，以O 点为原点，东侧为x 轴正半轴，

北侧为y 轴正半轴，建立平面直角坐标系，P 在北偏东60°处，求双曲线标准方程和P 点坐标. （2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C 、D 两站点，测量距离发现||||30QA QB -=千米，

||||10QC QD -=千米，求||OQ （精确到1米）和Q 点位置（精确到1米，1°）

20. 已知函数()f x x =. （1）若1a =，求函数的定义域；

（2）若0a ≠，若()f ax a =有2个不同实数根，求a 的取值范围；

（3）是否存在实数a ，使得函数()f x 在定义域内具有单调性？若存在，求出a 的取值范围.

21. 已知数列{}n a 满足0n a ≥，对任意2n ≥，n a 和1n a +中存在一项使其为另一项与1n a -的 等差中项

（1）已知15a =，23a =，42a =，求3a 的所有可能取值；

（2）已知1470a a a ===，2a 、5a 、8a 为正数，求证：2a 、5a 、8a 成等比数列，并求出公比q ； （3）已知数列中恰有3项为0，即0r s t a a a ===，2r s t <<<，且11a =，22a =，

求111r s t a a a +++++的最大值.

2021年上海市春季高考数学试卷 （参考答案版） 2021.01

时间：120分钟；满分：150分

一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.等差数列{}n a 中，13,2a d ==，则10a = . 【答案】21

【解析】101+921a a d ==

2.已知复数z 满足13z i =-(i 是虚数单位)，则z i -= .

【解析】12z i i -=+=3.不等式

25

12

x x +<-的解集为 . 【答案】(7,2)- 【解析】

25

1(7)(2)722

x x x x x +<⇒+-⇒-<<- 4.已知圆柱的底面半径为1,母线长为2,则圆柱的侧面积为 . 【答案】4π

【解析】24S rl ππ==

5.求直线2x =-

10y -+=的夹角为________. 【答案】

6

π 【解析】121212

3(1,0),(3,1),cos 6

n n n n n n πθθ⋅==-=

=

⇒= 6.方程组111

2

22a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩无解，求

11

22

a b a b = . 【答案】0