浅谈用组合数学解决汉诺塔问题
汉诺塔问题数学解法
汉诺塔问题数学解法汉诺塔问题是一个经典的数学难题，也是计算机科学中的常见算法题目。
在这个问题中，我们需要将三个塔座上的圆盘按照一定规则从一座塔移动到另一座塔，只能每次移动一个圆盘，并且在移动过程中始终保持大圆盘在小圆盘下面。
为了解决汉诺塔问题，我们首先需要了解递归的概念。
递归是一种问题解决方法，其中问题被分解为更小的子问题，直到最小的问题可以直接解决。
在汉诺塔问题中，我们可以使用递归来实现移动圆盘的步骤。
设有三个塔座，分别为A、B、C，并且初始时所有的圆盘都在A 塔上，我们的目标是将所有的圆盘移动到C塔上。
为了方便讨论，我们将最小的圆盘称为第1号圆盘，次小的圆盘称为第2号圆盘，以此类推，最大的圆盘称为第n号圆盘。
解决汉诺塔问题的数学解法如下：1. 当只有一个圆盘时，直接将它从A塔移动到C塔，移动结束。
2. 当有两个或以上的圆盘时，可以按照以下步骤进行移动：(1) 先将上面n-1个圆盘从A塔移动到B塔（借助C塔）。
(2) 将第n号圆盘从A塔移动到C塔。
(3) 最后将n-1个圆盘从B塔移动到C塔（借助A塔）。
通过以上步骤，我们可以将n个圆盘从A塔移动到C塔，完成整个汉诺塔问题的解。
这个数学解法的正确性可以通过递归的思想来解释。
当有n个圆盘时，我们需要借助第三个塔座将前n-1个圆盘移动到B塔上，然后将第n号圆盘移动到C塔上，最后再将n-1个圆盘从B塔移动到C塔上。
这个过程可以看作是一个递归过程，我们首先需要将前n-1个圆盘从A 塔移动到B塔上，然后再将第n号圆盘从A塔移动到C塔上，最后再将n-1个圆盘从B塔移动到C塔上。
通过不断缩小问题规模，我们最终可以将整个汉诺塔问题解决。
总结起来，汉诺塔问题是一个经典的数学难题，解决这个问题可以使用递归的数学解法。
通过将问题分解为更小的子问题，我们可以将n 个圆盘从一座塔移动到另一座塔上。
这个数学解法的正确性可以通过递归的思想来解释。
希望通过以上的介绍，您对汉诺塔问题的数学解法有了更深入的理解。
深入浅出学算法021-汉诺塔问题
深入浅出学算法021-汉诺塔问题汉诺塔问题是一个传统的数学问题，也是一个经典的递归问题。
它是基于以下几个规则：1. 有三根柱子，分别是A、B、C，开始时A柱上有n个从小到大叠放的圆盘。
2. 每次只能移动一个圆盘。
3. 大圆盘不能放在小圆盘上面。
目标是将A柱上的圆盘全部移动到C柱上，可以利用B柱作为辅助。
解决这个问题的一种方法是使用递归。
下面是求解汉诺塔问题的算法步骤：1. 如果只有一个圆盘，直接从A柱移动到C柱。
2. 如果有n个圆盘，可以将问题分解为三个步骤：- 将n-1个圆盘从A柱移动到B柱，可以借助C柱作为辅助。
- 将最大的圆盘从A柱移动到C柱。
- 将n-1个圆盘从B柱移动到C柱，可以借助A柱作为辅助。
递归地应用这个步骤，就可以解决任意数量的圆盘移动问题。
下面是用Python实现汉诺塔问题的代码：```pythondef hanoi(n, A, B, C):if n == 1:print("Move disk", n, "from", A, "to", C)else:hanoi(n-1, A, C, B)print("Move disk", n, "from", A, "to", C)hanoi(n-1, B, A, C)n = int(input("Enter the number of disks: "))hanoi(n, 'A', 'B', 'C')```以上代码中，`hanoi`函数接受四个参数：n表示圆盘的数量，A、B、C分别表示三根柱子的名称。
函数根据递归算法进行移动，并输出每一步的操作。
运行程序，输入圆盘的数量，即可看到详细的移动步骤。
简述戴维南定理的解题过程
简述戴维南定理的解题过程戴维南定理，又被称为汉诺塔定理，是由数学家戴维南发现的一个有趣的定理，它的正式名称为“戴维南的运动定理”。
它算是一个组合数学定理，主要描述的是在找到最优解的过程中，可以用一种思维方法来分解各种技巧流程，从而达到相同的目标。
戴维南定理的定义是，在一个有目标的搜索问题中，当可以分割出若干子问题时，若每个子问题的最优解都是对本问题的最优解，则本问题的最优解就是求出每个子问题的最优解之和。
从定义来看，戴维南定理属于分解思维的理论，我们可以将最初的复杂问题分解为相互独立的子问题，然后按照子问题解决各自的最优解，最终综合各个子问题的最优解得出原问题的最优解。
应用戴维南定理解题的一般步骤如下：首先明确问题和约束条件，其次将复杂的问题分解为若干较小的子问题，每个子问题可以分别及独立地被解决，然后针对每个子问题按顺序设计有效的算法，最后从各个子问题中选择出最优解，综合得出最终的最优解。
具体解题步骤可以分为以下五个步骤：1、分析问题：首先要正确理解问题，了解问题的大致内容，以及解决问题所涉及的内容，例如，在汉诺塔定理的解题中，要分析汉诺塔的层数，以及每一层中的棋子数等；2、确定问题规模：根据问题所涉及到的内容，确定问题的规模，这个规模决定了解题的策略，例如，在汉诺塔定理的解题中，可以确定汉诺塔的层数，就知道有多少种可能性；3、用戴维南定理分解问题：根据问题分析出来的内容，将问题进行分解，用戴维南定理将汉诺塔定理分解为若干子问题，每个子问题可以独立解决；4、利用算法解决子问题：针对每个子问题，使用合适的算法来求解，可以利用递归算法求解汉诺塔定理的问题，这是一种比较容易求得的解法；5、综合结果：将各个子问题的最优解综合起来，就可以得到本问题的最优解。
显然，戴维南定理的解题步骤完全符合其定义的思想，即将复杂的问题分解为若干子问题，每个子问题可以分别及独立地被解决，最终将各个子问题的最优解综合起来，就可以得到本问题的最优解。
汉诺塔问题求解思路
汉诺塔问题求解思路汉诺塔问题是⼀个经典的问题。
汉诺塔（Hanoi Tower），⼜称河内塔，源于印度⼀个古⽼传说。
⼤梵天创造世界的时候做了三根⾦刚⽯柱⼦，在⼀根柱⼦上从下往上按照⼤⼩顺序摞着64⽚黄⾦圆盘。
⼤梵天命令婆罗门把圆盘从下⾯开始按⼤⼩顺序重新摆放在另⼀根柱⼦上。
并且规定，任何时候，在⼩圆盘上都不能放⼤圆盘，且在三根柱⼦之间⼀次只能移动⼀个圆盘。
问应该如何操作？分析如果是初次接触类似的问题，乍看之下肯定会感觉⽆从下⼿。
要把64个圆盘从a柱⼦移动到c柱⼦上，第⼀步应该怎么做？虽然可以肯定，第⼀步唯⼀的选择是移动a最上⾯的那个圆盘，但是应该将其移到b还是c呢？很难确定。
因为接下来的第⼆步、第三步……直到最后⼀步，看起来都是很难确定的。
能⽴即确定的是最后⼀步：最后⼀步的盘⼦肯定也是a最上⾯那个圆盘，并且是由a或b移动到c——此前已经将63个圆盘移动到了c上。
也许你会说，管他呢，先随便试着移动⼀下好了。
如果你这么做，你会发现，接下来你会⾯临越来越多类似的选择，对每⼀个选择都“试”⼀下的话，你会偏离正确的道路越来越远，直到你发现你接下来⽆法进⾏为⽌。
如果将这个问题的盘⼦数量减为10个或更少，就不会有太⼤的问题了。
但盘⼦数量为64的话，你⼀共需要移动约1800亿亿步（18,446,744,073,709,551,615），才能最终完成整个过程。
这是⼀个天⽂数字，没有⼈能够在有⽣之年通过⼿动的⽅式来完成它。
即使借助于计算机，假设计算机每秒能够移动100万步，那么约需要18万亿秒，即58万年。
将计算机的速度再提⾼1000倍，即每秒10亿步，也需要584年才能够完成。
注：在我的笔记本电脑上，每秒⼤约能够移动6~8百万步。
虽然64个盘⼦超出了⼈⼒和现代计算机的能⼒，但⾄少对于计算机来说，这不是⼀个⽆法完成的任务，因为与我们⼈类不同，计算机的能⼒在不断提⾼。
分解问题⼀股脑地考虑每⼀步如何移动很困难，我们可以换个思路。
汉诺塔问题的详解课件
03 汉诺塔问题的变 种和扩展
多层汉诺塔问题
01
02
03
定义
多层汉诺塔问题是指将多 层的盘子从一个柱子移动 到另一个柱子，同时满足 汉诺塔问题的规则。
难度
随着盘子层数的增加，解 决问题的难度呈指数级增 长。
子从中间柱子移动到目标柱子。
递归解法的优点是思路简单明了，易于 理解。但是，对于较大的n值，递归解 法的时间复杂度较高，容易造成栈溢出
。
分治策略
分治策略是解决汉诺塔问题的另一种方法。它将问题分解为若干个子问题，分别求解这些子 问题，然后将子问题的解合并起来得到原问题的解。
分治策略的基本思路是将汉诺塔问题分解为三个阶段：预处理阶段、递归转移阶段和合并阶 段。预处理阶段将n-1个盘子从起始柱子移动到中间柱子，递归转移阶段将第n个盘子从起 始柱子移动到目标柱子，合并阶段将n-1个盘子从中间柱子移动到目标柱子。
制作汉诺塔问题的动画演示
除了使用Python或数学软件进行可视化演示外，还可以使 用动画制作软件来制作汉诺塔问题的动画演示。这些软件 提供了丰富的动画效果和编辑工具，可以创建生动有趣的 演示。
在动画演示中，可以使用不同的颜色和形状来表示不同的 柱子和盘子。通过添加音效和文字说明，可以增强演示的 视觉效果和互动性。最终的动画演示可以保存为视频文件 ，并在任何支持视频播放的设备上播放。
使用Python的图形库，如matplotlib或tkinter，可以创建汉诺塔的动态演示。 通过在屏幕上绘制柱子和盘子，并模拟移动过程，可以直观地展示汉诺塔问题的 解决方案。
Python代码可以编写一个函数来模拟移动盘子的过程，并在屏幕上实时更新盘 子的位置。通过递归调用该函数，可以逐步展示移动盘子的步骤，直到所有盘子 被成功移动到目标柱子上。
数学中的汉诺塔问题
数学中的汉诺塔问题一、汉诺塔问题的来历汉诺塔问题，这个名字一听就感觉很复杂，哈哈，但其实它真的没那么难。
简单来说，汉诺塔就是一堆圆盘，要从一个柱子移动到另一个柱子，而且在搬运的过程中，有一个大原则：大圆盘不能放在小圆盘上面，简单吧？这听起来像是一个很严谨的游戏规则，实际上，它就是个数学难题。
但别怕，我们一点点慢慢琢磨就能搞懂。
故事的开头是这样的：在古印度，有一个寺庙的僧人们发现了一堆大圆盘，听说这堆盘子可以通过一定的规则，一步一步搬到另一个柱子上，而且每次只能移动一个盘子。
嗯，听着是不是就有点意思？其实这个问题的背后藏着深奥的数学道理，像我们玩积木游戏那样简单，又像是在玩一场智慧的博弈。
在最初的设定中，这些圆盘从小到大排列在一个柱子上，另外两个柱子是空的。
只要遵守一个简单的规则：每次只能移动一个盘子，且在任意时刻，较大的圆盘必须放在较小的圆盘下面。
听起来很简单对吧？但随着圆盘数目的增加，问题变得越来越复杂。
如果只有两个盘子，搬来搬去，最多两步就能解决，没问题。
但是当盘子数目从3个变成4个，变成5个，哇，这下就得动动脑筋了。
二、怎么解汉诺塔？解汉诺塔问题的思路和背后藏着的数学原理并不复杂。
可以通过分治法来解决。
说白了，就是把大问题分成一个个小问题来解决。
比如，你面前有5个盘子，要把它们从A柱移动到C柱，肯定不能一步到位，不然怎么能通过规则呢？我们首先把前4个盘子从A柱搬到B柱，留一个最大盘子在A柱。
这个过程就是一个子问题，你不妨先把它当做“简化版的汉诺塔问题”，然后，解决这个子问题时，你再用同样的方法把这些小盘子一个个搬到B柱。
等到这些小盘子都在B柱上面了，接下来就是关键的一步，把最大的盘子从A柱直接移动到C柱。
哇，这个过程就像是把一颗巨大的砖头稳稳地放在一堆小砖头上。
完成了这一轮，接下来再把之前放在B柱上的那一堆盘子搬到C柱。
是不是很简单？只不过问题越来越大了，解决起来需要更多的步骤，甚至很多回合才能完成。
汉诺塔算法题
汉诺塔算法题可以这样解答：汉诺塔是一个经典的算法问题，它的目标是把所有的盘子从源柱子移动到目标柱子上，并且在移动过程中要遵守一些规则：不能把比下面的盘子大的盘子放在比它小的盘子上面。
算法的基本思想是使用递归方法，将问题分解为更小的子问题，直到达到基本情况（只有一个盘子或没有盘子），然后将这些子问题的解决方案组合起来得到最终的解决方案。
具体来说，我们可以使用三个柱子来模拟汉诺塔，将问题分解为三个步骤：1. 将源柱子上的所有盘子移动到辅助柱子上（如果辅助柱子不够大，则使用第三步将辅助柱子上的盘子移动到目标柱子上）；2. 将源柱子上的空盘子移动到目标柱子上；3. 将辅助柱子上的所有盘子移动到目标柱子上。
如果用Python来实现汉诺塔算法，可以使用递归的方法：```pythondef hanoi(n, source, helper, target):if n > 0:# 将前n-1个盘子从源柱子移动到辅助柱子hanoi(n-1, source, target, helper)# 将第n个盘子从源柱子移动到目标柱子print(f'Move disk {n} from {source} to {target}')# 将前n-1个盘子从辅助柱子移动到目标柱子hanoi(n-1, helper, source, target)# 测试代码hanoi(3, 'A', 'B', 'C') # 将3个盘子从A柱子移动到C柱子，使用B柱子作为辅助柱子```这段代码中，`hanoi`函数是一个递归函数，它接受四个参数：盘子的数量`n`、源柱子的名称`source`、辅助柱子的名称`helper`、目标柱子的名称`target`。
函数会首先将前`n-1`个盘子从源柱子移动到辅助柱子，然后将第`n`个盘子从源柱子移动到目标柱子，最后再将前`n-1`个盘子从辅助柱子移动到目标柱子。
汉诺塔问题的详解课件
04
数据结构与排序
汉诺塔问题也可以用来解释和演示不同的 数据结构和排序算法。
05
06
通过汉诺塔问题，人们可以更好地理解如 堆、栈等数据结构的应用和优劣。
在物理学中的应用
复杂系统与自组织
汉诺塔问题在物理学中常被用来研究复杂系统和自组织现 象。
通过对汉诺塔问题的深入研究，人们可以发现其在物理学 中的一些应用，如量子计算、自旋玻璃等。
人工智能与机器学习
在人工智能和机器学习中，汉诺塔问题可以被用来演示 如何使用不同的算法来解决问题。
06
总结与展望
对汉诺塔问题的总结
汉诺塔问题是一个经典的递归问题，其核心在于将一个复杂的问题分解为若干个简单的子问题来解决 。
通过解决汉诺塔问题，我们可以了解到递归算法在解决复杂问题中的重要性，以及将大问题分解为小问 题的方法。
此外，汉诺塔问题还被广泛应用于数学教育和计算机 科学教育中，成为许多课程和教材中的经典案例之一
。
02
汉诺塔问题的数学模型
建立数学模型
定义问题的基本参数
盘子的数量、柱子的数量和塔的直径 。
建立数学方程
根据问题的特点，我们可以建立如下 的数学方程。
递归算法原理
递归的基本思想
将一个复杂的问题分解成更小的子问题来解决。
通过深入研究汉诺塔问题的本质和解决方法，我们可以 为解决其他领域的问题提供有益的启示和方法。
THANKS
感谢观看
其他移动规则
除了传统的规则（盘子只能放在更大的盘子下面）之外，还 可以有其他移动规则，这会改变问题的性质和解决方案。
05
汉诺塔问题的应用场景
在计算机科学中的应用
算法设计与优化
01
与学生一起“玩”数学--“汉诺塔的奥秘”教学实录与思考
与学生一起“玩”数学——“汉诺塔的奥秘”教学实录与思考□蔡建华“汉诺塔问题”源于印度的一个古老传说：开天辟地的神在一个庙里留下了三根金刚石柱子，最左边的柱子上从下往上、由大到小依次叠放着64个圆形金片，庙里的僧侣遵照神的旨意，按照规定的方法：一次只能搬动一个金片，不管在哪根柱子上，小金片必须在大金片的上面，把金片从最左边的柱子全部搬到最右边的柱子上。
神预言说，当64个金片全部都搬到最右边柱子上时，世界就将在一声霹雳中毁于一旦。
传说显然并不可信，不过假如从数学教学的视角，将传说中的数学元素改造成综合实践课的教学活动，孩子们能否经历一次真正的数学探索之旅，感受到数学的好玩之处呢？【教学目标】1.在问题情境中理解规则，同伴互助，体验基本的数学方法和策略，感悟数学思想。
真探索，是让学生独立思考、合作交流、猜想验证，步步深入，观察发现规律，学生主动参与知识形成的全过程，如修改后的设计，这是值得提倡的。
假探索，实际上是一种注入式的教学，不利于学生探究精神和能力的培养。
真探索，一则，学生自己探索出来的东西印象深刻，利于记忆；二则，从小知道如何探索，有利于培养学生科研的精神和能力；三则，学生经过一波三折的探索发现规律，充满成功的喜悦，也有利于学生肯探索、敢探索积极情感态度的体验与培养，促使学生养成主动探索的好习惯。
二、流畅好还是卡壳好教师都喜欢追求教学的流畅，给人一种行云流水的感觉，如果知识能够真正落实，学生各方面的能力能够得到培养，这样的流畅是值得肯定的。
但如果少数好的学生一听就懂，代替了全班同学的学习，而大多数学生糊里糊涂、不懂装懂，陪着好的同学学习，这样的流畅是不可取的。
卡壳，虽然教师情感上可能难以接受，但它是课堂上学生真实情况的反映，使教师能够准确获取信息，从而对症下药，及时进行引导，以提高课堂教学效果。
困，然后知不足，知不足再进行引导，学生才有收获。
因此，卡壳也是一种很好的课堂资源，值得我们重视并想方设法驾驭之。
【算法】汉诺塔问题
【算法】汉诺塔问题汉诺塔问题是⼀个经典的问题。
汉诺塔（Hanoi Tower），⼜称河内塔，源于印度⼀个古⽼传说。
⼤梵天创造世界的时候做了三根⾦刚⽯柱⼦，在⼀根柱⼦上从下往上按照⼤⼩顺序摞着64⽚黄⾦圆盘。
⼤梵天命令婆罗门把圆盘从下⾯开始按⼤⼩顺序重新摆放在另⼀根柱⼦上。
并且规定，任何时候，在⼩圆盘上都不能放⼤圆盘，且在三根柱⼦之间⼀次只能移动⼀个圆盘。
问应该如何操作？当只有⼀个盘⼦时这是最简单的情况：只需将1号盘⼦从X塔移动到Z塔就OK于是我们可以写出如下的函数，来模拟完成这个过程。
假设盘⼦是⽤1，2，3...按照⼤⼩编码代表的，⽽塔则是⽤⼀个字符char表⽰的。
//将编号为 number 的盘⼦从 from 塔座移到 to 塔座void move(int number , char from , char to){std::cout<<"move dish "<<number<<": "<<from<<"--->"<<to<<std::endl;}有两个盘⼦时有2个盘⼦，⽬标是：将X塔上的盘⼦借助Y移动到Z盘⼦上。
特别的，为了好描述，我把X塔叫做源塔，因为盘⼦起初在这个塔上，把Y塔叫做辅助塔，因为Y塔只是起个过渡作⽤。
把Z盘叫做⽬标塔，最后所以的盘⼦都在这个塔上。
我们可以写出伪代码move(1,X,Y);move(2,X,Z);move(1,Y,Z);有三个盘⼦时在盘⼦数⼤于2的时候，⽆论有多少个盘⼦，我们眼⾥只有2个盘⼦：即最底层的最⼤的盘⼦，和它上⾯的所有盘⼦组和形成的⼀个盘，我们可以把它看做是2.5号盘。
这样考虑的好处是：⽆论有多少盘⼦，都可以⽤2个盘⼦的思路去做。
简化了思路。
因此，步骤是：1、将2.5号盘借助Z塔移动到Y塔上。
注意，处理这步操作时，X是源塔，Z是辅助塔，Y是⽬标塔2、将3盘移动到Z塔上，3、将2.5盘借助X塔移动到Z塔上。
汉诺塔解决方案(3篇)
第1篇引言汉诺塔问题是一个经典的递归问题，起源于印度的一个古老传说。
它描述了三个柱子，其中第一个柱子上放置了若干个大小不同的盘子，要求按照一定的规则将所有的盘子移动到第三个柱子上。
在这个过程中，每个盘子只能放在一个柱子上，且在移动过程中，大盘子不能放在小盘子上面。
汉诺塔问题不仅是一个有趣的数学游戏，也是一个很好的递归算法示例。
本文将详细介绍汉诺塔问题的背景、规则、递归解法以及非递归解法，并探讨一些优化策略。
一、汉诺塔问题的背景与规则1. 背景故事汉诺塔问题源于印度的一个古老传说。
相传，在古印度有一个神庙，庙中有一个由三根柱子组成的塔，塔上有64个金盘子，按照从小到大的顺序依次放置。
神庙的僧侣们每天的工作就是将盘子按照一定的规则从一根柱子移动到另一根柱子上。
当所有的盘子都移动到第三个柱子上时，世界末日就会到来。
2. 游戏规则（1）每次只能移动一个盘子；（2）大盘子不能放在小盘子上面；（3）每次移动盘子后，都要将盘子放在柱子的顶部。
二、汉诺塔问题的递归解法1. 递归思想递归是一种常用的算法设计方法，它通过将复杂问题分解为更小的子问题来求解。
汉诺塔问题的递归解法基于以下思想：（1）将n-1个盘子从第一个柱子移动到第二个柱子；（2）将最大的盘子从第一个柱子移动到第三个柱子；（3）将n-1个盘子从第二个柱子移动到第三个柱子。
2. 递归解法步骤（1）定义一个递归函数，如hanoi(n, source, target, auxiliary)，其中n表示盘子的数量，source表示源柱子，target表示目标柱子，auxiliary表示辅助柱子；（2）当n=1时，直接将盘子从source柱子移动到target柱子；（3）当n>1时，先递归调用hanoi(n-1, source, auxiliary, target)，将n-1个盘子从source柱子移动到auxiliary柱子；（4）将最大的盘子从source柱子移动到target柱子；（5）递归调用hanoi(n-1, auxiliary, target, source)，将n-1个盘子从auxiliary柱子移动到target柱子。
四柱汉诺塔问题数学公式
四柱汉诺塔问题数学公式
【最新版】
目录
1.四柱汉诺塔的概述
2.四柱汉诺塔问题的解决方法
3.数学公式在四柱汉诺塔问题中的应用
4.结论
正文
一、四柱汉诺塔的概述
四柱汉诺塔是一种数学游戏，它的目标是将若干个不同大小的圆盘从一根柱子移动到另一根柱子上，要求每次只能移动一个圆盘，并且不能将大圆盘放在小圆盘之上。
这个游戏起源于法国，并在世界范围内广泛流传。
四柱汉诺塔问题旨在求解最少需要移动多少步，才能将所有圆盘移到另一根柱子上。
二、四柱汉诺塔问题的解决方法
为了解决四柱汉诺塔问题，可以使用 framestewart 算法。
该算法可以给出一个预估最优解，适用于四根或更多柱子的情况。
另外，还可以通过递推公式来求解四柱汉诺塔问题。
三、数学公式在四柱汉诺塔问题中的应用
在四柱汉诺塔问题的求解过程中，可以运用递推公式来计算每个步骤所需的最小步数。
假设有 n 个圆盘需要从第一根柱子 (a) 移动到最后一根柱子 (d)，在移动过程中，需要经过中间的柱子 b 和 c。
根据递推公式，移动 x 个圆盘所需的最小步数 f(x) 可以表示为：
f(x) = 3 + (n-x)/2 + (n-x-1)/2 +...+ (n-2x+1)/2
其中，x表示不大于 x 的最大整数。
通过这个公式，可以计算出移动不同数量的圆盘所需的最小步数。
四、结论
四柱汉诺塔问题是一个有趣的数学游戏，通过使用 framestewart 算法和递推公式，可以求解出最小步数。
汉诺塔综合实践报告(2篇)
第1篇一、引言汉诺塔（Hanoi Tower）是一个源自古印度传说的智力游戏，最早由法国数学家库尔诺在20世纪提出。
该游戏由三根柱子和若干个大小不一的圆盘组成，玩家需要按照一定的规则将所有圆盘从一根柱子移动到另一根柱子。
汉诺塔游戏不仅具有趣味性，还能锻炼逻辑思维和解决问题的能力。
本报告旨在通过综合实践活动，深入了解汉诺塔游戏，探讨其背后的数学原理，并分析其在教育、心理和娱乐领域的应用。
二、汉诺塔游戏规则及数学原理1. 游戏规则（1）一次只能移动一个圆盘。
（2）圆盘只能放在柱子的顶部。
（3）任何时候，都不能将一个较大的圆盘放在一个较小的圆盘上面。
2. 数学原理汉诺塔问题可以用递归的方法解决。
假设有n个圆盘，初始状态为A柱子，目标状态为B柱子，辅助柱子为C柱子。
解决步骤如下：（1）将前n-1个圆盘从A柱子移动到C柱子。
（2）将第n个圆盘从A柱子移动到B柱子。
（3）将前n-1个圆盘从C柱子移动到B柱子。
根据上述步骤，可以得到汉诺塔问题的递归公式：T(n) = 2T(n-1) + 1其中，T(n)表示移动n个圆盘所需的最小步数。
三、汉诺塔在教育领域的应用1. 培养逻辑思维能力汉诺塔游戏要求玩家在移动圆盘的过程中，不断思考、推理和判断。
通过解决汉诺塔问题，可以锻炼学生的逻辑思维能力，提高其分析问题和解决问题的能力。
2. 传授数学知识汉诺塔问题涉及到递归、组合数学等数学知识。
通过学习汉诺塔问题，可以帮助学生更好地理解和掌握这些数学知识。
3. 培养团队合作精神在多人合作解决汉诺塔问题时，玩家需要相互配合、分工合作。
这有助于培养学生的团队合作精神，提高其沟通能力和协作能力。
四、汉诺塔在心理领域的应用1. 缓解压力汉诺塔游戏具有趣味性，能够帮助人们在游戏中放松心情，缓解压力。
2. 提高注意力在解决汉诺塔问题时，玩家需要集中注意力，关注圆盘的移动和位置。
这有助于提高人们的注意力水平。
3. 增强记忆力汉诺塔游戏需要玩家记住圆盘的移动顺序和位置。
关于汉诺塔问题的最终解决
问题的提出:约19世纪末，在欧州的商店中出售⼀种智⼒玩具，在⼀块铜板上有三根杆，最左边的杆上⾃上⽽下、由⼩到⼤顺序串着由64个圆盘构成的塔。
⽬的是将最左边杆上的盘全部移到右边的杆上，条件是⼀次只能移动⼀个盘，且不允许⼤盘放在⼩盘的上⾯。
*问题分析与算法设计 这是⼀个的问题，⼏乎所有的教材上都有这个问题。
由于条件是⼀次只能移动⼀个盘，且不允许⼤盘放在⼩盘上⾯，所以64个盘的移动次数是：18，446，744，073，709，551，615 这是⼀个天⽂数字，若每⼀微秒可能计算(并不输出)⼀次移动，那么也需要⼏乎⼀百万年。
我们仅能找出问题的解决⽅法并解决较⼩N值时的汉诺塔，但很难⽤计算机解决64层的汉诺塔。
分析问题，找出移动盘⼦的正确算法。
⾸先考虑a杆下⾯的盘⼦⽽⾮杆上最上⾯的盘⼦，于是任务变成了： *将上⾯的63个盘⼦移到b杆上； *将a杆上剩下的盘⼦移到c杆上； *将b杆上的全部盘⼦移到c杆上。
将这个过程继续下去，就是要先完成移动63个盘⼦、62个盘⼦、61个盘⼦....的⼯作。
为了更清楚地描述算法，可以定义⼀个函数movedisc(n,a,b,c)。
该函数的功能是：将N个盘⼦从A杆上借助C杆移动到B杆上。
这样移动N个盘⼦的⼯作就可以按照以下过程进⾏：1) movedisc(n-1,a,c,b);2) 将⼀个盘⼦从a移动到b上；3) movedisc(n-1,c,b,a)；重复以上过程，直到将全部的盘⼦移动到位时为⽌。
*程序与程序注释#includevoid movedisc(unsigned n,char fromneedle,char toneedle,char usingneedle);int i=0;void main(){unsigned n;printf("please enter the number of disc:");scanf("%d",&n); /*输⼊N值*/printf("\tneedle:\ta\t b\t c\n");movedisc(n,'a','c','b'); /*从A上借助B将N个盘⼦移动到C上*/printf("\t Total: %d\n",i);}void movedisc(unsigned n,char fromneedle,char toneedle,char usingneedle){if(n>0){movedisc(n-1,fromneedle,usingneedle,toneedle);/*从fromneedle上借助toneedle将N-1个盘⼦移动到usingneedle上*/++i;switch(fromneedle) /*将fromneedle 上的⼀个盘⼦移到toneedle上*/{case 'a': switch(toneedle){case 'b': printf("\t[%d]:\t%2d.........>%2d\n",i,n,n);break;case 'c': printf("\t[%d]:\t%2d...............>%2d\n",i,n,n);break;}break;case 'b': switch(toneedle){case 'a': printf("\t[%d]:\t%2d<...............>%2d\n",i,n,n);break;case 'c': printf("\t[%d]:\t %2d........>%2d\n",i,n,n);break;}break;case 'c': switch(toneedle){case 'a': printf("\t[%d]:\t%2d<............> break;case 'b': printf("\t[%d]:\t%2d<........> break;}break;}movedisc(n-1,usingneedle,toneedle,fromneedle);/*从usingneedle上借助fromneedle将N-1个盘⼦移动到toneedle上*/ }}。
多柱汉诺塔问题浅析
多柱汉诺塔问题浅析汉诺塔问题汉诺塔（Tower of Hanoi）是一个数学游戏：有三根柱子，其中一根柱子自底向上串着尺寸渐小的多个圆盘，遵循以下规则：1、一次只能移动一个圆盘；2、大圆盘不能放在小圆盘上面。
请问最少需要移动多少步，才能将所有圆盘移到另一根柱子上？解答：设移动N NN个圆盘所需的最少步数为F(N) F(N)F(N)。
将三根柱子分别命名为A、B、C，要把N NN个圆盘从A柱移至C柱，拆解为如下步骤：1、将N−1 N-1N−1个圆盘从A柱移至B柱，需要F(N−1) F(N-1)F(N−1)步；2、将余下的最大圆盘从A柱移至C柱，需要一步；3、将N−1 N-1N−1个圆盘从B柱移至C柱，需要F(N−1) F(N-1)F(N−1)步。
得到最少移动步数的递推公式F(N)=2F(N−1)+1 F(N)=2F(N-1)+1F(N)=2F(N−1)+1。
易知F(1)=1 F(1)=1F(1)=1，可得通项公式F(N)=2N−1 F(N)=2^N-1F(N)=2N−1。
推广：如果有四根或者更多柱子，所需的最少移动步数又是多少？Frame-Stewart算法该算法采用递推的思想来求解多柱汉诺塔问题。
设M MM根柱子、N NN个圆盘所需的最少移动步数为FM(N) F_M(N)FM(N)，将移动步骤拆解为：1、将r rr个圆盘移到另一根柱子上（非目标柱），需要FM(r) F_M(r)FM(r)步；2、将余下的N−r N-rN−r个圆盘移至目标柱，需要F M−1(N−r) F_{M-1}(N-r)FM−1(N−r)步；3、将r rr个圆盘移至目标柱，需要FM(r) F_M(r)FM(r)步。
得到递推公式FM(N)=min1≤r<N{2FM(r)+F M−1(N−r)}F_M(N)=\min\limits_{1\le r<N}\{2F_M(r)+F_{M-1}(N-r)\}FM (N)=1≤r<Nmin{2FM(r)+FM−1(N−r)}代码：#include <iostream>#include <math.h>#include <map>using namespace std;// the least number of movements for n disks, m pegsmap<pair<int, int>, double> mapLeastMoves;double LeastMoves(const int n, const int m) {if (n < 0 || m < 3)return -1;if (n == 1)return 1;const auto index = make_pair(n, m);if (mapLeastMoves.count(index) > 0)return mapLeastMoves[index];double least_moves;if (m == 3) {least_moves = pow(2., n) - 1;} else {least_moves = 2 * LeastMoves(n - 1, m) + LeastMoves(1, m - 1);for (int r = n - 2; r > 0; --r) {double moves = 2 * LeastMoves(r, m) + LeastMoves(n - r, m - 1);if (moves < least_moves)least_moves = moves;else // a little optimizationbreak;}}mapLeastMoves[index] = least_moves;return least_moves;}void main() {int M = 7, N = 10;cout << "M\\N";for (int n = 1; n <= N; ++n)cout << "\tN = " << n;cout << endl;for (int m = 3; m <= M; ++m) {cout << "M = " << m;for (int n = 1; n <= N; ++n)cout << "\t" << LeastMoves(n, m);cout << endl;}system("pause");}输出：M\N N = 1 N = 2 N = 3 N = 4 N = 5 N = 6 N = 7 N = 8 N = 9 N = 10M = 3 1 3 7 15 31 63 127 255 511 1023M = 4 1 3 5 9 13 17 25 33 41 49M = 5 1 3 5 7 11 15 19 23 2731M = 6 1 3 5 7 9 13 17 21 25 29M = 7 1 3 5 7 9 11 15 19 23 27多柱情形下的通项公式将F M−1(N−r) F_{M-1}(N-r)FM−1(N−r)继续展开，FM(N)F_M(N)FM(N)的推导公式可以改写成如下形式FM(N)=minrM,r M−1,…,r3{2[FM(rM)+F M−1(r M−1)+⋯+F3(r3 )]+1},s.t.{0≤r m<N,∀m∈[3,M]∑Mm=3rm+1=NF_M(N)=\min\limits_{r_M,r_{M-1},\dots,r_3}\{2[F_M(r_M)+F_{M-1}(r_{M-1})+\dots+F_3(r_3)]+1\},\\s.t.\quad\begin{cases}0\ler_m<N,\forallm\in[3,M]\\\sum_{m=3}^M{r_m}+1=N\end{cases}FM(N)=rM,rM−1,…,r3min{2[FM(rM)+FM−1(rM−1)+⋯+F3(r3)]+1},s.t.{0≤rm<N,∀m∈[3,M]∑m=3M rm+1=N用Δ \DeltaΔ表示N NN加一时FM(N) F_M(N)FM(N)的增量，设ΔF M(N)=FM(N)−F M(N−1) \Delta F_M(N)=F_M(N)-F_M(N-1)ΔFM(N)=FM(N)−FM(N−1)，易得⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧ΔF M(1)=1ΔF M(N+1)=2min m∈[3,M]{ΔFm(rm+1)}ΔF M(N+1)≥ΔF M(N) \begin{cases}\DeltaF_M(1)=1\\\Delta F_M(N+1)=2\min\limits_{m\in[3,M]}\{\DeltaF_m(r_m+1)\}\\\Delta F_M(N+1)\ge\Delta F_M(N)\end{cases}⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧ΔFM(1)=1ΔFM(N+1)=2m∈[3,M]min{ΔFm(rm+1)}ΔFM(N+1)≥ΔFM(N)若rm+1=1,∃m∈[3,M] r_m+1=1,\exists m\in[3,M]rm+1=1,∃m∈[3,M]，则ΔF M(N+1)=2ΔF m(1)=2 \DeltaF_M(N+1)=2\Delta F_m(1)=2ΔFM(N+1)=2ΔFm(1)=2。
组合数学中几个典型递归关系的讨论-毕业论
目录1引言 (1)2组合数学 (1)3递归关系 (2)3.1 递归思想 (2)3.2 递归关系 (2)4 FIBONACCI数列 (3)4.1问题的提出 (3)4.2问题的分析 (3)4.3问题的解答 (4)4.4 递归算法 (4)4.5 一类广义Fibonacci数列递归关系 (5)5 HANOI塔问题 (8)5.1问题的提出 (8)5.2问题的分析 (8)5.3问题的解答 (8)5.4 递归算法 (9)5.5 基于递归关系下Hanoi塔问题的推广 (10)6平面分割问题 (11)6.1问题的提出 (11)6.2问题的分析 (11)6.3问题的解答 (12)7结束语 (12)参考文献 (13)致谢 (14)组合数学中几个典型递归关系的讨论Xxxxxx系本xxxxx班xxxxxx指导教师：xxxxxxx摘要：本文对几个典型的递归关系进行了分析研究，分别为Fibonacci 数列、Hanoi塔问题、平面分割问题。
通过对问题的提出、分析、解答，从而求解出递归关系，并且对前两个问题有推广及总结，以发散性思维对Fibonacci 数列、Hanoi塔问题的一般化问题进行了研究推理，并得到其递归关系。
关键词：递归，Fibonacci数列，Hanoi塔问题，平面分割问题。
Discussion on Several Typical Recursion Relations inCombinatorial MathematicsJxxxxxxClass xxxxx, Mathematics DepartmentTutor: xxxxxxxxxAbstract: This paper mainly studies several typical recursion relations respectively, they are the Fibonacci Sequence. Hanoi Tower and Planar Segmentation Problem. The paper aims to find out the recursion relations and have a generalization and summary on the first twoproblems for them by proposing, analyzing and handling problems, then study and inference the general problems of Fibonacci Sequence and Hanoi T ower with divergent thinking, and work out the recursion relations finally.Key words: recursion, Fibonacci sequence, Hanoi tower, planar segmentation problem.1引言递归关系是数学与计算机科学的一个重要研究对象，特别是在算法分析中有着广泛的应用。
四根柱子汉诺塔问题
Hanoi:为汉诺塔问题一、运行结果二、源程序import java.util.Scanner;/*** 问题描述:* 由原来的三根柱子，变为四根柱子，最终要把a柱子上的全部移到b柱子上** 思路分析:* 假设有n个圆盘，三根柱子，a，b，c，需要把n个盘子（从下往上按照大小顺序摞着）从a柱移动到b 柱，* 再找来了一根一模一样的柱子d，通过这个柱子来更快的把所有的盘子移到第三个柱子上。
* 这道题和之前都有很大的不同，加了一根柱子，意味着有的时候可用3根柱子，有的时候可用4根柱子， * 当把j个小盘子移动到d盘上时，有四根柱子可用，而当把n-j个盘子从a移动到b时，仅有三根柱子可用。
* 这里我们就要找到j的值，使所有移动的次数和最小。
** 解决方法：* 依然采用分治法。
* 首先把j个盘子移动到d柱子上（通过四个柱子可用的算法），需要B[j]次移动，* 然后把n-j个盘子移动到b柱子上（通过三个柱子可用的算法），需要A[n-j]次移动，* 然后把d中的j个盘子移动到b柱子上，需要B[j]次移动。
* 我们可以用j的大小循环，找到移动次数最小的j。
* 首先我们先计算移动的次数：* 核心公式为：count4(4柱子时总移动次数)=2*B[j]+A[i-j]，即* j个盘子移动到第四个柱子，然后把剩下的i-j个在第四个不能用的情况下移到第三个** 补充：* 三根柱子时的次数计算* 假设移动n个盘子需要移动f(n)次，所以把n-1个盘子移动到b柱子上，需要移动f(n-1)次，* 然后把第n个盘子移动到c柱子上，需要移动1次，最后把n-1个盘子移动到c柱子上，需要移动f(n-1)次，* 综上所述，一共移动了f(n)=2f(n-1)+1次*/public class Hanoi {static int count = 0; //统计移动次数(可不需要，因为最少次数已经与n的值对应的记录在数组B中，即B[n])/*** 主函数*/public static void main(String[] args) {int n; //盘子数int flag_j; //记录找到的j的值int[] A = new int[65]; // 数组A:用来记录未加第四个柱子时候的移动次数情况int[] B = new int[65]; // 数组B:用来记录加了第四个柱子的情况/*根据三个柱子移动策略给数组A赋值(下面描述是按照将a柱上盘子移动到c柱上的问题来叙述的)，即* 假设移动n个盘子需要移动f(n)次，所以把n-1个盘子移动到c柱子上，需要移动f(n-1)次，* 然后把第n个盘子移动到c柱子上，需要移动1次，* 最后把n-1个盘子移动到c柱子上，需要移动f(n-1)次，综上所述，一共移动了f(n)=2f(n-1)+1 次*/A[1] = 1; // 即三个柱子时，当i=1的时候，表示移动一个盘子，只需要移动一次for (int i = 2; i < 65; i++) {// 从i=2开始A[i] = 2 * A[i - 1] + 1; // f(n)=2f(n-1)+1}/** 将n个盘子分为两部分，即前j个和后n-j个* 且把前 j个用四个柱子的方法，后i-j个用三个柱子的方法* 下面主要是找到使移动次数最少的j值*/int count4; //记录四根柱子时，移动的总次数int min; //移动的最少次数，以用来和四个柱子时的其他情况进行比较int[] C = new int[65]; // 数组C:用来记录当前i下找到的的j值C[1] = 0; // 设置i=1时，初始值为0，即只有一个盘子时，令j=0C[2] = 0; // 设置i=2时，初始值为0，即只有两个盘子时，令j=0//注意：此时的i相当于盘子数nfor (int i = 3; i <= 64; i++) {min = A[i]; // 假设没加第四个柱子的结果次数为min的初值B[1] = 1; //可知 i=1 时，即一个盘子从柱子a->d，移动次数为1次B[2] = 3; //i=2时，即两个盘子从柱子a->d，移动次数为3次flag_j = 0;for (int j = 1; j < i; j++) {count4 = 2 * B[j] + A[i - j]; // j个移动到第四个柱子，然后把剩下的i-j个在第四个柱子不能用的情况下，移到第三个柱子/** 如果三根柱子时的次数min 大于四根柱子时的次数flag，则用flag更新min* 并记录下此时j的值，即得到了怎么分割盘子，才能使最终的移动次数最少*/if (min > count4) {min = count4;flag_j = j;}B[i] = min; // 将min赋给B[i]，即四根柱子时，i个盘子从a->d 的次数C[i] = flag_j; // 找到了当前i下的j值}}Scanner scanner = new Scanner(System.in);while (true) {System.out.print("请输入一个n值(应为1-64之间的整数，输入0结束程序):");n = scanner.nextInt();if(n == 0) {System.out.println("ByeBye");break;}if(n > 64 || n < 1) {System.out.println("输入的n有误，请重新输入");continue;}char a = 'a', b = 'b', c = 'c', d = 'd';hanoi(n, a, b, c, d, C); // 把n个盘子从a柱子移动到b柱子System.out.println("共移动了: " + B[n] + " 次");System.out.println("共移动了: " + count + " 次");//与B[n]的值是一样的count = 0;//次数置零}}/*** 移动（使用四个柱子的移动方式）*/public static void hanoi(int n, char a, char b, char c, char d, int C[]){ int j = C[n]; //j个盘子使用四个柱子的移动方式if (n > 0) {hanoi(j, a, d, b, c, C);// 把j个盘子移动到d柱子上hanoi_basic_3(n - j, a, b, c);// 把n-j个盘子移动到b柱子上（使用三个柱子的移动方式）hanoi(j, d, b, a, c, C); // 把j个盘子移动到b柱子上}}/*** 把n-j个盘子移动到b柱子上（使用三个柱子的移动方式）*/public static void hanoi_basic_3(int n, char a, char c, char b){ if(n > 0) {hanoi_basic_3(n - 1, a, b, c);// 把n-1个盘子移动到c柱子上move(n, a, c); // 把a移动到chanoi_basic_3(n - 1, b, c, a); // 把第n个盘子移动到c柱子上 }}/*** 在控制台打印移动情况*/public static void move(int n, char a, char c){System.out.println(a + "->" + c);count++;//记录次数}}。
题解-Hanoi双塔问题
题解-Hanoi双塔问题题⾯简述给定A、B、C三根⾜够长的细柱，在A柱上放有2n个中间有孔的圆盘，共有n个不同的尺⼨，每个尺⼨都有两个相同的圆盘，注意这两个圆盘是不加区分的。
现要将这些圆盘移到C柱上，在移动过程中可放在B柱上暂存。
要求：1. 每次只能移动⼀个圆盘；2. A、B、C三根细柱上的圆盘都要保持上⼩下⼤的顺序；任务：设A_n为2n个圆盘完成上述任务所需的最少移动次数，对于输⼊的n，输出A_n。
思路这个是双塔，其实和单塔是⼀样的（两个圆盘不加区分，可以叠加，你懂得）使⽤公式：f[i] = (f[i - 1] + 1) \times 2即可。
另外我们为了简化代码，还可以这样：f[i] = (f[i - 1] + 1) \times 2 \\ \ \ = f[i - 1] * 2 + 2化简式⼦之后就可以乘完再加上，然后统⼀处理进位。
完整代码：有点懒，没⽤结构体，就让数组下标从1开始，然后ans[0]代表位数。
#include <bits/stdc++.h>using namespace std;int ans[100001];int main() {int n;cin >> n;memset(ans, 0, sizeof(ans));ans[0] = 1; // 位数ans[1] = 2;for (int i = 2; i <= n; ++i) {for (int j = 1; j <= ans[0]; ++j) {ans[j] *= 2;}ans[1] += 2;for (int j = 1; j <= ans[0]; ++j) {ans[j + 1] += ans[j] / 10;ans[j] %= 10;}if (ans[ans[0] + 1] != 0) {ans[0]++;}}for (int i = ans[0]; i >= 1; --i) {cout << ans[i];}}Processing math: 0%。
利用组合数学化简汉诺塔问题
利用组合数学化简汉诺塔问题
李萍
【期刊名称】《电脑开发与应用》
【年(卷),期】2008(21)6
【摘要】@@ 1 问题来源rn汉诺塔(Hanoi tower)问题源自一个古老的传说,相传在古印度的一座神庙前,有一根串着64个祭神用的圆盘的柱子,这些圆盘是按大小顺序叠放的,大的在下,小的在上,僧侣们要将这些圆盘借助一个柱子移到另一个柱子上,移动过程中一次只能移动一个,并且要始终保证每个柱子上的圆盘大的在下,小的在上,什么时候移完,就意味着世界末日的到来.现我们假定三根柱子A、B、C,圆盘的数量为n.问题的图形描述如图1所示.
【总页数】1页(P76)
【作者】李萍
【作者单位】运城学院计算机系
【正文语种】中文
【中图分类】TP3
【相关文献】
1.利用数的乘法功能与独立变量的组合数学建模思想证明勾股定理 [J], 张文嘉
2.利用不变量化简二次曲线方程的作图问题 [J], 甘浪舟
3.利用VB数组的方法实现汉诺塔游戏的设计 [J], 刘晓章
4.利用人工智能语言Prolog解决汉诺塔问题的研究 [J], 王苗;韩磊
5.利用Visual Basic实现汉诺塔模型演示 [J], 马莉莉;伊敏
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标题：浅谈用组合数学解决汉诺塔问题—暨对组合数学的认识
汉诺塔问题来自一个古老的传说：在世界刚被创建的时候有一座钻石宝塔（塔A），其上有64个金碟。
所有碟子按从大到小的次序从塔底堆放至塔顶。
紧挨着这座塔有另外两个钻石宝塔（塔B和塔C）。
从世界创始之日起，婆罗门的牧师们就一直在试图把塔A上的碟子移动到塔C上去，其间借助于塔B的帮助。
每次只能移动一个碟子，任何时候都不能把一个碟子放在比它小的碟子上面。
当牧师们完成任务时，世界末日也就到了。
对于这个问题，我们先来考虑盘子数为2的情形：此时，只需将上面的一个盘子从A搬到B 上，再将A柱的最下面的盘子从A搬到C柱上，最后把B上面的盘子搬到C柱上即可。
整个过程搬运次数为3次；同理，我们考虑盘子数为3，可推得搬运次数为7次；
将问题一般化，假定盘子数为n，我们现在把A上面的n-1个盘子看成一个整体，并设把A 柱上的n-1个盘子搬到B上，设需要的搬运次数为H(n-1)，则n个盘子的搬运过程类似于2个盘子，即把A柱上的n-1个盘子从A搬到B柱上，搬运次数为H(n-1)，再把A柱的最下面的盘子从A搬到C柱上，搬运次数为1次，最后把B上的盘子搬到搬到C柱上，搬运次数同样也为H(n-1)，总共的搬运次数为H(n)=2*H(n-1)+1；
对于上述问题，可能以前会无从下手。
但学过组合数学以后，我们知道，这是一个递推关系的求解过程；对于此类递推关系可有两种求解思路，下面我来一一讲述：
思路1：上式递推关系可用数列的相关思想来进行解答；
H(n)=2*H(n-1)+1；
H(n)+1=2（H(n-1)+1）；
故{H(n)-1}为以2为公比的等比数列，首项为H(2)=3；
所以H(n)+1=2*2n-1，故H(n)=2n-1；
这是用数列的思想，构造一个等比数列继而求得该递推关系。
思路2：利用组合数学中生成函数的有关内容，求出该递推关系H(n)的生成函数A(x)，进而容易得到H(n)的表达式：
其中，我们定义，对于H(n)构成的序列，H(0)，H(1)，（假设存在，此处不考虑其实际意义），H(2)，H(3)，……H(n)……，则生成函数A(x)定义如下
A(x)=H(0)+H(1)*X1+H(2)*X2+……H(n)*X n+……
那么，容易看出，只需求出A(x)这一生成函数，那么根据X n项系数即可得到递推关系H(n)的式子；
接下来就是需要重点解决A(x)函数的求法；
我们不妨H(n)+1=2*2n-1两边同乘X k，并求和H(X)-X=2*X*H(X)+X2(1-X)
化简X+X^2/(1-X)=(1-2X)H(X)
X/(1-X)(1-2X)=H(X)
H(x)=a/(1-2x)+b/(-x);
再由待定系数法得a=1,b=-1；
所以H(X)=（1+2X+2^2*X2+…）-（1+X+X2+…）
所以H(n)=2n-1；
OK,这就是著名的汉诺塔问题以及利用组合数学的思想解决该问题的方法；
那么，组合数学是一门什么学科呢？下面我结合这半个学期学习组合数学的感觉谈谈对这门学科的简单认识。
组合数学，首先，顾名思义，组合，即一些离散数据的相互组合关系；我们利用数学上的符号甚至公式，将现实问题具体数学化；以方便人们的研究及应用。
这是在网上找到的关于组合数学的一般描述：组合数学是研究离散结构的存在，计数，分析，和优化等问题的一门学科。
拿上面所述汉诺塔问题来说，这样的一个实际问题，对于盘子数很大的情况，我们是无法用类似盘子数为2,3时的枚举法得出结果的，而这时研究此问题中这些数据间的离散关系就显得尤为重要了。
而组合数学正是研究离散数据关系的强有力工具！正如上述组合法解答过程，我们可以看到，组合可以给我们提供一个简单的看问题的角度，而我们正可以通过这一简单的角度窥视到深层，进而通过某种相对简单的方法得到我们想要的解答！
现今一种说法，组合数学是也将持续是未来计算机领域发展的重要依托。
细想下，的确！现今数学可以主要分为两大类，一类是一类是研究连续对象的，如分析、方程等，另一类就是研究离散对象的组合数学。
计算机程序是计算机的大脑思维，而程序的本质就是算法，在绝大多数情况下，计算机的算法是针对离散的对象，而不是在作数值计算。
组合数学的产生恰好满足了编写计算机程序的需求。
所以，身为计算机专业的学生，组合数学的重要性就不言而喻了！而许多组合问题的解决常常需要某些特别的例证，而且有时需要结合使用一般的理论。
我们必须学会建立数学模型，研究模型，抓住问题的要害，灵活的应用智慧来解决问题。
我们必须把组合数学的学习放在一个重要的位置上来，掌握基本的组合数学原理，培养专业的数学思维，这样才能在以后的工作学习中掌握主动和先机。
才能在将来为中国的计算机软件事业做出自己的贡献。
以上即通过利用组合数学解决汉诺塔问题，浅谈对于组合数学的认识全文。
2011.11.27
参考文献
维普《利用组合数学化简汉诺塔问题》、《组合数学》等。