连续小波变换

第二章 连续小波变换
2.1连续小波基函数
小波，即小区域的波，是一种特殊的长度 有限、平均值为零的波形。 小波的可容许条件：

| ( ) | C | | R
2
^
小波特点：
（一）“小”。即在时域都具有紧
支集或近似紧支集。 （二）正负交替的“波动性”。即 直流分量为零。 信号可分解为一系列由同一个母小 波函数经平移与尺度伸缩得到的小 波函数的叠加。
WTz (a, ) k1WTx (a, ) k2WT y (a, )
（2）时移不变性
设 x(t ) 的 CWT 为WTx (a, ) ，则 x(t t0 ) 的 CWT 为WTx (a, t0 ) ，即延时后的信号的
x(t t0 ) 的小波系数可将原信号 x(t ) 的小波系数在
K (a, ; a, ) C 1 a , (t ) a , (t )dt R
（2.11）
K 表征了连续尺度、时移半平面 (a, ) (由于 a 0 所以称半平面)的两个不同点之
间的 CWT 系数的相关关系， 也称它为再生核或重建核 （再生和重建的含义是指 由尺度—平移相平面上的已知点，根据再生核公式可再生和重构出某一点） ，其 结构取决于小波选取。
从上面的时频域的讨论可见，连续小波的 时频域窗口中心及其宽度都随a的变化而伸 缩，如果我们称△t· ω为窗口函数的窗口 △ 1 ta , a , a t 面积，则： a 可见：连续小波基函数的窗口面积不随参 数的变化而变化。

几点结论：
（1）尺度的倒数1/a在一定意义上对应于频 率ω。即尺度越小，对应的频率越高。如果 我们将尺度理解为时间窗口的话，则小尺度 信号为短时间信号，大尺度信号为长时间信 号。 （2）在任何τ值上，小波的时频窗口大小△t 和△ ω都随频率ω（或a）的变化而变化。 g , (t ) g (t )e jt 与短时傅立叶变换中的基 不同。
（4）内积定理
WT 设 x1 (t ), x2 (t ) L2 ( R) 空间， 它们的 CWT 分别为WTx (a, ) ， x (a, ) ，
1
2
即
WTx1 (a, ) x1 (t ), a , (t ) WTx2 (a, ) x2 (t ), a , (t )
2.2.2 连续小波变换的一些性质
连续小波变换是一种线性变换，它具有以下几方面的性质： （1）叠加性 设 x1 (t ), y1 (t ) L2 ( R) 空间， k1 , k2 为任意常数，且 x1 (t ) 的 CWT 为
WTx (a, ) ，且 y1 (t ) 的
CWT 为WT y (a, ) ，则 z(t ) k1 x1 (t ) k2 y1 (t ) 的 CWT 为 （2.12）

Haar小波
1 ( t ) 1 0
1
0 t 1/ 2 1/ 2 t 1 其它
ˆ ( ) i
4

ei / 2 sin 2 / 4
(t )
1 2
0
1
1
定量分析-时域
假定小波母函数窗口宽度为△t，窗
口中心为t0，则相应可求出连续小波 1 t (t ) ( ) 的窗口中心为at0+τ，窗 a a 口宽度为a·△t。 即信号限制在时间窗内：[at0+τ△t ·a/2, at0+τ+△t ·a/2]
2.2 连续小波变换的概念与性质
2.2. l 连续小波变换的概念
将任意 L2 ( R) 空间中的函数 f (t ) 在小波基下进行展开，称这种展开 为函数 f (t ) 的连续小波变换（CWT） ，其表达式为
t WT f a, f (t ), a , (t ) a 1 / 2 f (t ) R a dt
2.3 连续小波变换的逆变换
2.3.1 连续小波变换的逆变换（ICWT） 任何变换都必须存在逆变换（反变换）才有实际意义。对小波变换而言， 我们可证明，若采用的小波满足可容许性条件（公式 2.1） ，则其逆变换存在。 即根据信号的小波变换系数可以精确的恢复原信号，并满足下述连续小波变 换的逆变换公式：
a ,
定量分析-频域

同样，对于小波母函数的频域变换，其频域 窗口中心为ω0，窗口宽度为△ ω，则相应的 连续小波的傅立叶变换为：
a , ( ) a 2 e j (a )
1
其频域窗口中心为： a , 1 窗口宽度为：

1 0 a
a 1 1 1 1 [ , 0 ] 信号在频域窗内： 0 a 2a a 2a
则有 Moyal 定理：
WTx1 (a, ),WTx2 (a, ) C x1 (t ), x2 (t )
（2.14） 其中
C
0
( )
2

d
当 x1 (t ) x2 (t ) x(t ) 时，由 Moyal 公式可推出：
da 2 2 WTx (a, ) d C x(t ) dt a 0

(t )和 (t )
但在众多小波基函数(也称核函数)的家族中， 有一些小波函数被实践证明是非常 有用的。我们可以通过 waveinfo 函数获得工具箱中的小波函数的主要性质，小 波函数 和尺度函数 可以通过 wavefun 函数计算，滤波器可以通过 wfilters 函 数产生。在本节中，我们主要介绍一下 MATLAB 中常用到的小波函数。
时域波形 2 1 0 -1 -2
0
0.005 STFT大 时 窗
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035 STFT小 时 窗
0.04
STFT中 时 窗 400
Frequency Frequency
4000
Frequency
400
2000
200
200
0
0
0.01 Time
0
0 0.05 0.1 0.15 Time
也发生变化。 a
0
a
a
、
STFT：窗口固定不变（即不随 的变化而变化） 。 二者不同之处：CWT 是一种变分辨率的时频联合分析方法。低 频（大尺度） ，对应大时窗；高频（小尺度） ，对应小时窗。
举例说明。 信号 f (t ) sin(2 500t ) sin(2 1000 t ) 1.5 (t 165) 1.5 (t 207 ) ， 在不同时窗 下的 STFT 和 CWT 的展开系数图，如图 2.1 所示。

（3）在任何尺度a，时间点τ上，窗口面积 保持不变，也可以说时间、尺度分辨率是 相互制约的，不可能同时得到提高。 Q （4）品质因素 不随尺度变化而变化。

0
“恒Q性质”：

假设(t)的中心为t0，有效宽度为Dt； ()的中 心为0，有效宽度为D；则a,b(t)提取的是f(t)在 窗口[b+at0-aDt/2, b+at0+aDt/2]|中的性质，相应 地从频域上说a,b()提取地是F()在窗口[0/aD/(2a), 0/a+D/(2a)]中的性质，因此对于小波 来说时域窗口宽度和频域窗口宽度的乘积始终为 DtD。
0
0 0.05 0.1 0.15 Time
与傅里叶基不同，尺度和位移均连续变化的连续小波基函数形成了一组非 正交的过度完全基。 这意味着其任意函数的小波展开系数之间有一个相关关系。 若用 K (a, ; a, ) 描述两个基函数 a, (t ) 和 a , (t ) 的相关度的大小，则
x(t ) 1 C


0
da WTx (a, ) a , (t )d a 2
da t WTx (a, )a 2 d a 2 a 1
1 C
（2.20）
0
其中 C
0

( a ) da ，对 (t ) 提出的容许条件。 a
（2.9）
由 CWT 定义可知，小波变换与傅里叶变换的相同之处： （1） 一种积分变换。 （2） 称 WT f a, 为小波变换系数。 小波变换与傅里叶变换的不同之处： （1） 小波基具有尺度和平移两个参数。
函数在小波基下展开， 意味着将一个时间函数投影到二维的时间—尺 度相平面上。
若令
2.4 几种常用的连续小波基函数与 常用信号的连续小波变换
与标准傅里叶变换相比，小波分析中所用到的小波函数具有不唯一性，即 小波函数 (t ) 具有多样性。 但小波分析在工程应用中的一个十分重要的问题是最 优小波基的选择问题，这是因为用不同的小波基分析同一个问题会产生不同的 结果。目前，主要是通过用小波分析方法处理信号的结果与理论结果的误差来 判定小波基的好坏，并由此选定小波基。
（2.19）
由于小波变换幅度平方的积分同信号的能量成正比，我们又称式（2.14）为 能量关系。
（5）自相关性：对应不同尺度参数 a 和不同平移参数 b 的连续小波变换之间是 自相关的。 （6）冗余性：连续小波变换把一维信号变换到二维空间，因此在连续小波变换 中存在信息表述的冗余度(redundancy)。小波变换的逆变换公式不是唯一的。
2
2.3.2 重建核方程（再生核方程） 尺度及位移均连续变化的连续小波基是一种过度完全基，再生核公式 （2.11）描述了连续半平面 (a, ) （其中 a 0 ）上的两个不同点 (a, ) 和 (a, ) 之 间的 CWT 系数的相关关系。 由于任意信号小波变换的值在 (a, )(a R , R) 半 平面上是相关的， 因此某一点 (a0 , 0 ) 处的小波变换值WTx (a0 , 0 ) 可以表示成半平 面上其他各处小波变换系数的总贡献，即