差错控制编码

加性噪声、码间串扰都会产生误码。为提高 系统抗干扰性能，可以加大发射功率，降低接收 设备本身的噪声，合理选择调制、解调方法等。 差错控制编码即是减少加性干扰造成错误判 决的措施之一。
差错控制编码：是在信息序列上附加上一些 监督码元，利用这些冗余的码元，使原来不规律 的或规律性不强的原始数字信号变为有规律的数 字信号； 差错控制译码则利用这些规律性来鉴别传输 过程是否发生错误，或进而纠正错误。 一般说来，编码中增加的监督码元越多，检 (纠)错的能力就越强。 采用差错控制编码，即使仅能纠正（或检测） 这种码组中1~2个错误，也可以使误码率下降几个 数量级。
试求
（1）n=?，k=?， ?
（2）验证1111001和0101011是否有错，若 有错，请纠正之。 （3）若信息码元为1001，写出其相应的汉 明码字 。
(1)n=7，k=4， 4 / 7
S=BHT=(A+E)HT= EHT
(3) 1111001
1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
码距
纠错码的抗干扰能力完全取决于许用码字之间的 距离，码的最小距离越大，抗干扰能力就越强。 (1)检测错误时，如果要检测e个错误，则 dmin ≥ e+1； (2)纠正错误时，如果要纠正t个错误，则 dmin ≥ 2t+1； (3)纠t个错误，同时检e个错误时(e>t)，则dmin≥t+e+1。
10110010
1 0 1 0 0 0 1 0 有错 1 0 1 0 0 1 1 0 不能确定
如果是奇监督，则要求整个码字中“ 1” 的个数为奇数，例 如 10110011
奇偶监督码的编码可以用软件实现，也 可用硬件电路实现。
编码输出 A a4 a3 a2 a1 信息组 a4 a3 a2 a1 a0 S 检错信号 M 接收码组 B b0 b1 b2 b3 b4
1 0 1 1 1 0 0 P I H 0 1 1 1 0 1 0 r 1 1 1 0 0 0 1
S=
S1= a6a4a3a2 S2= a5a4a3a1 S3= a6a5a4a0
a3错误，正确的序列为1110001
当0101011，a2错误，正确的序列为0100011
S1S2S3 错码位置 101 110 111 000 a6 a5 a4
汉明码校验和与错误码元位置对应关系为： S1S2S3 错码位置 001 010 100 011 a0无错
已知某汉明码监督矩阵：
1 0 1 1 1 0 0 P I H 0 1 1 1 0 1 0 r 1 1 1 0 0 0 1
7.3 线性分组码和汉明码
7.3.1 线性分组码的定义及性质
所谓线性分组码，是指信息位和监督位满足一组 线性方程，编码规则用一组线性方程来描述的分组码。 线性码有一个重要性质，就是它具有封闭性。即 线性码中的任意两个码组之各仍为该码中的一个码组。 分组码是一组固定长度的码组，可表示为(n,k)， k个信息位被编为n位码组长度，而r=n-k个监督位的 作用就是实现检错与纠错。
G=[Ik Q] Q = PT
1 0 0 0 1 1 1 生成矩阵G 0100110 0010101 0001011
可以根据生成矩阵写出编码 1 0 1 1 0 0 1
6.7.3 汉明码
对于(n,k)线性分组码，由于它的监督码元数 为r=n-k，只发生一位错误时，监督码元的应能指 出所有n个码元位置上出错及全对共(n+1)中情况。
按照编码的用途不同，差错控制编码可分为检 错码、纠错码、纠删码。 按照监督码元和信息码元的不同关系，差错控 制编码可分为线性码和非线性码。 按照对信息码元的处理方式不同，差错控制编 码可分为分组码和卷积码。 按照码组中的信息码元在编码前后的位置是否 发生变化，差错控制编码分为系统码、非系统码。 按照编码针对的不同干扰类型，差错控制编码 可分为纠(检)随机(独立)错误码、纠(检)突发错误 码和既能纠(检)随机错误，有纠(检)突发错误码。
A e B d0 (a) A t 1 t B A t 1 e B
d0 (b)
d0 (c)
5. 编码效率η是指码字的信息码元个数k与总的码长 n的比值，即： k nr
n n
7.2 简单控制编码
7.7.2 奇偶监督码
偶监督码规则:在信息位后加上一位监督位， 要求整个码字中“1”的个数为偶数，例如
T
线性分组码的生成矩阵和监督矩阵
a6= a6 a5= a5 a4= a4 a3= a2= a6 a5 a4 1110100 H= 1 1 0 1 0 1 0 =[P Ir] 1011001
a3
a1= a6 a5 a3 a0= a6 a4 a3
[a6a5a4a3a2a1a0]=[a6a5a4a3] A M G a6 a5 a4 a3 G
为了进行差错控制，必须对传送数据帧进行校验。 在局域网中广泛使用的校验方法是(1)校验。CRC—16标 准规定的生成多项式为G(x)=X16+X15+X2+l，它产生的校 验码是(2)位，接收端发现错误后采取的措施是(3)。如 果(9,5)CRC的生成多项式为G(X)=X4+X+1，信息码字为 10110，则计算出的CRC校验码是(4)。 D (1)A．奇偶(Parity) B．海明(Hamming) C．格雷 (Gray) D ．循环冗余 (CyclicRedundancy) C (2)A．2 B．4 C．16 D．32 C (3)A. 自动纠错 B．报告上层协议 C．自动请求重发 D．重新生成原始数据 D (4)A．0100 B．1010 C．0111 D．1111
写成矩阵形式
1 1 1 1 1 0 1 0 1
监督矩阵H
0 1 1 1 0 0
简记作 H· AT = 0 T 或 A· HT 接收端 H· AT ≠ 0T 说明有错
a6 a5 0 0 a 4 0 1 0 a3 0 0 1 0 a 2 a1 = 0 a0
如果码组B无错，B＝A，则M＝0；如果 码组B有单个（或奇数个）错误，则M＝1。
7.2.2 二维奇偶监督码 二维奇偶监督码，它是将若干个信息码字按 每个码字一行排列成矩阵形式，然后在每一行和 每一列的码元后面附加一位奇（偶）监督码元。
信息码元 1011000 1101001 0010011 0110110 1001100 监督码元 1 0 1 1 0 0 0 监督码元 1 0 1 0 1 1 信息码元 1011000 1101001 0110011 0110110 1001100 1011000 监督码元 1 0 1 0 1 1
纠错编码分类示意图
纠错编码
非线性码
线性码
卷积码
分组码
非循环码
循环码
纠随机 错误码
纠突发 错误码
纠随机突发错 误码
纠同步 错误码
3.差错控制编码的基本方法
4 码间距离d及检错纠错能力 码长:码字中码元的数目； 码重:码字中非0数字的数目； 码组11010 码长N=5，码重w=3 码距：两个等长码字之间对应位不同的数目， 有时也称作这两个码字的汉明距离，用d表示。 码组11010 和10100，码距d= 3 10100⊕11010=01110 两个码组的模二相加得到的新码组的重量就 是这两个码组之间的距离。 最小码距：在码字集合中全体码字之间距 离的最小数值用d0 表示 。 码组集合000 011 101 110的最小码距d0为 2
第7章 差错控制编码
7.1差错控制编码的基本原理 7.2 简单控制编码 7.3 线性分组码和汉明码 7.4循环码 7.5 卷积码 7.6 turbo码
7.1差错控制编码的基本原理
传输ASCII码 01000111 I 01000111 I 01001100 L 01000110 H 01011010 Y 01011010 Y
(7,4)线性 分组码
a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0
1 0 1 1 0 0
信息位(n) 监督位(r=n-k) 1 编码效率η=k/n
线性分组码的生成矩阵和监督矩阵
(7,4)线性分组码
a6
输入： 1
a5
0
a4
1
a3
1
a2
0
a1
0
a0
1
a2= a6 a5 a4 a 1= a 6 a 5 a3 a0= a6 a 4 a3
监督关系： 误码
不满足监督 关系(纠错)
1 0 1 1 0 0 1
1 1 1 1 0 0 1 => a5错
a2 a6 a5 a4 = 1 a1 a6 a5 a3 = 1 a0 a6 a4 a3 = 0
线性分组码的生成矩阵和监督矩阵 a2= a6 a5 a4 a 1= a 6 a 5 a3 a0= a6 a 4 a3
前向纠错 FEC
发端
纠错码
收端
检错重发 ARQ
检错码 发端 判决信号 检错和纠错码 发端 判决信号 收端 收端
混合纠错 HEC
2.差错控制编码的类别
随机错误:错误的位置是随机,且统计独立高斯 白噪声)。以随机错误为主的信道称为随机信道。 突发错误：错码成串出现，在短促的时间区间 内错误密集成群，而在这些短促的时间区间之间却 又存在较长的无错码区间。以突发错误为的信道称 为突发信道。（脉冲干扰、信道中的衰落现象）。 既存在随机错误又存在突发错误的信道称 为混合信道。
一对码字之间的海明距离是(A) A.码字之间不同的位数 B.两个码字之间相同的位数 C.两个码字的校验和之和 D.两个码字的校验和之差 一个码的最小码距是所有不同码字的码距的(C) A．平均值 B．最大值 C．最小值 D．任意值 如果要检查出d位错，那么码的最小码距是( B) A．d-1 B．d+1 C．2d-1 D．2d+l 如果信息长度为5位，要求纠正1位错，按照海明编码， 需要增加的校验位是( ) B A．3 B．4 C．5 D．6 以太网中使用的校验码标准是( D ) A．CRC-12 B．CRC-CCITT C．CRC-16 D．CRC-32
(2) 信息码元1001，由监督矩阵H：
1011100 H= 0 1 1 1 0 1 0 =[P Ir] 1110001
对应的生成矩阵为
G=[Ik Q]= [Ik PT]=
1000101 0100011 0010111 0001110
A=M· G=[1001]G= [1001011]
1.差错控制的工作方式
检错重发(ARQ)：接收端在收到的信码中检测出 (发现)错码时，即设法通知发送端重发，直到正确收 到为止。 前向纠错法：接收端不仅能在收到的信码中发现 有错码，还能够解定错码的位置，纠正错码。 混合纠错(HEC)：当收到少量的错码时，就在接 收端直接纠正，当错码太多超过其纠错能力时，则采 用差错重发方式。 反馈校验法：接收端将收到的信码原封不动地 转发回发送端，发送端将其与原发送信码比较，如 果发现错误，则重发。
2n-k
≧
n+1
如果信息长度为5位，要求纠正1位错，需要增 加的校验位是( )。 汉明码是一种能够纠正单个错误的线性分组 码。它有以下特点： (1)最小码距dmin＝3，可纠正一位错误； (2)码长n与监督元个数r之间满足关系式：
n 2 1
r
假设某汉明码的监督关系为
S1= a6a5a4a2 S2= a5a4a3a1 S3= a6a4a3a0
7.4 循环码
属于线性分组码，应用：局域网数据传输。
7.4.1 循环码的基本概念及码多项式
所谓循环码，是指任何一个码字循环右移一位后 所得到的仍是一个合法码字。 0000000 0010111→1001011→1100101→1110010 —0101110←1011100← 0111001← 循环码特点：编码电路简单，可以很容易的用带 有反馈的移位寄存器来实现。