2012年高考总复习一轮《名师一号-数学》第42讲

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解析：对于A，由l⊥α，l⊥β知，α∥β或α与β重合；对于B，由 A l α l β α β α β B γ∥α，γ∥β知α∥β；对于C，由γ⊥α，γ⊥β知，α与β平行或相交；都不符 合要求，排除．选择D. 答案：D
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4．直线a，b是不互相垂直的异面直线，平面α，β满足a⊂α，b⊂β ，且α⊥β，则这样的平面α，β( A．有无数对 C．只有一对 ) B．有有限对 D．不存在
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(7)垂直关系的转化
其中线⊥面是线⊥线、面⊥面转化关系的枢纽，在证题过程中关 键要寻求“三级”转化的条件，确定转化目标．
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2．三垂线定理及逆定理 (1)三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直 ，那么它也和这条斜线垂直． PO，PA分别为α的垂线，斜线，OA是PA在α内的射影，a⊂α‰ß a⊥OA⇒a⊥PA.
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3．平面与平面垂直的有关定理 (1)判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直． AB⊥α，AB⊂β⇒α⊥β. (2)性质定理 ①若α⊥β，α∩β＝l，m⊂α m l α β α∩β l m α m⊥l，则m⊥β. m β. ②若α⊥β，点P∈α，P∈m且m⊥β，则m⊂α. ③若β⊥α，γ⊥α，β∩γ＝m，则m⊥α.
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【典例2】
如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE
，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证： (1)DE＝DA； (2)平面BDM⊥平面ECA； (3)平面DEA⊥平面ECA.
[分析]
(1)要证明DE＝DA，只需证明Rt△DFE≌Rt△DBA；
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(2)直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这 条直线垂直于这个平面． m⊂α，n⊂α，且m∩n＝A ⇒l⊥α l⊥m，l⊥n
(3)直线与平面垂直的性质定理 ①a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；②a⊥α，b⊥α⇒a∥b； ③a⊥α，b∥α⇒a⊥b. (4)点到平面的距离的定义 从平面外一点引这个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这 个点到这个平面的距离．
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[点评]
证线面垂直的方法有：
(1)利用定义，即证直线垂直于平面内任一直线． (2)利用线面垂直的判定定理，它是判定线面垂直的最常用思路． (3)利用线面垂直的性质，即两平行线之一垂直于平面，则另一条 线必垂直于该平面． (4)利用面面垂直的性质定理，即两平面互相垂直，在一个面内垂 直于交线的直线垂直于另一平面． (5)用面面平行的性质，即一直线垂直于两平行平面之一，则必垂 直于另一平面． (6)用面面垂直的性质，即两相交平面都垂直于第三个平面，则它 们的交线垂直于第三个平面．
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考点陪练 1.已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，P∈l，则给出下面四个结论( ①过P和l垂直的直线在α内； ②过P和β垂直的直线在α内； ③过P和l垂直的直线必与β垂直； ④过P和β垂直的平面必与l垂直． 其中正确的命题是 A．② C．①④ B．③ D．②③ )
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∵Q为△PBC的垂心，∴Q∈PE，即OQ⊂平面PAE， ∴BC⊥OQ. 连结BO并延长交AC于F，连结BQ并延长交PC于H，连结FH. ∵O为△ABC的垂心，∴BF⊥AC. 又∵PA⊥BF，AC⊥BF，PA∩AC＝A， ∴BF⊥平面PAC. BF PAC. 而PC⊂平面PAC，∴BF⊥PC. 又∵BH⊥PC，BF∩BH＝B，∴PC⊥平面BFH. 而OQ⊂平面BFH，∴PC⊥OQ. 又∵BC⊥OQ，PC∩BC＝C，∴OQ⊥平面PBC.
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∵SA＝SB，∴△SAB为等腰三角形， ∴SE⊥AB. ∵SE⊥BA，DE⊥AB，SE∩DE＝E， ∴AB⊥面SDE. 而SD⊂面SDE，∴AB⊥SD. 在△SAC中，SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC. ∵SD⊥AC，SD⊥AB，AC∩AB＝A， ∴SD⊥平面ABC. (2)若AB＝BC，则BD⊥AC， 由(1)可知，SD⊥面ABC，而BD⊂面ABC，∴SD⊥BD. ∵SD⊥BD，BD⊥AC，SD∩AC＝D， ∴BD⊥平面SAC.
5．(2011·荆州质量检查)如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1 ，E、F分别是棱BC、DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则点E、F满足 的条件一定是( )
A．CE＝D1F＝
1 2
B．CE＋DF＝1 C．BE＋DF＝1 D．E、F 为棱 BC、DD 1 上的任意位置
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(5)直线和平面的距离的定义 一条直线和一个平面平行，这条直线上任一点到这个平面的距离 叫做这条直线和平面的距离． 线到平面的距离是用点到平面的距离来度量的． (6)判定直线与平面垂直的方法 ①定义； ②判定定理； ③a∥b，a⊥α⇒b⊥α； ④α∥β，a⊥α⇒a⊥β； ⑤α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ.
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∴MN∥BD，∴N点在平面BDM内． ∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN，又CA⊥BN， ∴BN⊥平面ECA. ∵BN在平面MNBD内， ∴平面MNBD⊥平面ECA. 即平面BDM⊥平面ECA. BDM ECA. (3)∵DM∥BN，BN⊥平面ECA， ∴DM⊥平面ECA，又DM⊂平面DEA. ∴平面DEA⊥平面ECA. [点评]
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【典例1】 边AC的中点．
Rt△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，D为斜
(1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC.求证：BD⊥平面SAC. [分析] 利用线面垂直的判定定理即可得证．
[证明] (1)取AB中点E，连结SE，DE， 在Rt△ABC中，D、E分别为AC、AB的中点， 故DE∥BC，且DE⊥AB，
第四十三讲( ))直线和 第四十二讲 (第四十三讲(文))直线和 平面垂直与平面和平面垂直
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回归课本 1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直 线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直． 这条直线——平面的垂线 平面——直线的垂面 交点——垂足——垂线在平面内的射影 直线l垂直于平面α，记作l⊥α.
(2)注意M为EA的中点，可取CA的中点N，先证明N点在平面BDM 内，再证明平面BDMN经过平面ECA的一条垂线即可； (3)仍需证明平面DEA经过平面ECA的一条垂线．
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[证明]
(1)证明：取 EC 的中点 F，连结 DF，
∵EC⊥BC，易知 DF∥BC，∴DF⊥EC. 在 Rt△EFD 和 Rt△DBA 中， 1 ∵EF＝ EC＝BD，FD＝BC＝AB， 2 ∴Rt△EFD≌Rt△DBA，∴DE＝DA. 1 (2)证明：取 CA 的中点 N，连结 MN、B高考总复习（文、理）
4．方法 (1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义法； ②定理：m⊂α，m⊥β，则α⊥β；
③m∥α，m⊥β，则α⊥β. (2)“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”的相互转化在证 明两平面垂直时，一般先从现有直线中寻找平面的垂线．若这样的直线 图中不存在，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论依据， 并有利于证明，不能随意添加．如有平面垂直时，一般要用性质定理， 在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为 线线垂直，故要熟练掌握“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直” 间的转化条件和转化作用．正确进行它们之间的转化是解决这类问题的 关键．
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类型二
面面垂直的判定与性质
解题准备：利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方法 ：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在图中存在，则可 通过线面垂直来证明面面垂直；若这样的直线在图中不存在，则可通过 作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并有利于证明，不能随意 添加．
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A．①②③④ C．①③④
B．②③④ D．①②④
解析：△SDQ在面ABD上的射影为图④，△SDQ在面ABC上的射影 为图①，△SDQ在面BDC上的射影为图②，因此选D. 答案：D
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3．平面α⊥平面β的一个充分条件是( A．存在一条直线l，l⊥α，l⊥β B．存在一个平面γ，γ∥α，γ∥β C．存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β D．存在一条直线l，l⊥α，l∥β
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探究1：P为△ABC所在平面外一点，且PA⊥平面ABC，若O、Q分 别为△ABC和△PBC的垂心，求证：OQ⊥平面PCB. 证明：如图，连结AO并延长交BC于E，连结PE. ∵O为△ABC的垂心，∴AE⊥BC. ∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴PA⊥BC. ∵PA∩AE＝A，∴BC⊥平面PAE. ∵PE⊂平面PAE，∴BC⊥PE.
解析：过直线a作任意一个平面α，则直线b∩α＝B，且b⊄α，在b上 取异于B的点C，作CD⊥α于D，则平面BCD⊥α. 答案：A 点评：α⊥β就是教室里黑板面和地面垂直的模型，这是高考的热 门话题．因此，记住一些有用的模型，对于快速解答有关问题是大有帮 助的．