§6.4.3正弦级数和余弦级数

(2)当 f (x) 为偶函数时,它的傅里叶系数为
2 π a n = ∫ f ( x) cos nxdx(n = 1,2,3,) , π 0
bn = 0(n =1,2,) .
②
定理说明: 若 f (x) 为奇函数,则其傅里叶级数是只含正弦项的 正弦级数
∑bn sin nx .
n =1
∞
③
若 f (x) 为偶函数,则其傅里叶级数是只含常数项和 余弦项的余弦级数 余弦级数
E π 1 1 = ∫ [sin(n + )t sin(n )t ]dt π 0 2 2 1 1 cos(n + )t cos(n )t E 2 + 2 ]π = E[ 1 1 ] = [ 0 π 1 1 1 1 π n+ n n+ n 2 2 2 2
=
4E (4n 1)π
2
(n = 0,1,2,)
2 2 xsin nx cos nx sin nx π = [ + + ] 0 = 2 (cos nπ 1) 2 n n π n π n 4 2 2 , n =1,3,5,, n = [(1) 1] = n π n2π 0, n = 2,4,6,.
π 4 1 1 ∴ x +1 = +1 [(cos x + 2 cos 3 x + 2 cos 5 x +] ( 0 ≤ x ≤ π ) . 2 π 3 5
1 π 1 l nπx bn = ∫ F (t ) sin ntdt = ∫ f ( x) sin dx . π π l l l
a0 ∞ F (t ) ~ + ∑ (a n cos nt + bn sin nt ) , 2 n=1
a0 ∞ nπx nπx 从而 f ( x) ~ + ∑ (a n cos + bn sin ). 2 n=1 l l
便得 f (x) 的正弦级数展开式,其中
a n = 0(n = 0,1,2,) ,
2 π 2 π bn = ∫ F ( x) sin nxdx = ∫ f ( x) sin nxdx(n = 1,2,3,) . π 0 π 0
2.将 f (x) 在[0,π] 上 开 余 级 : 展 成 弦 数
f ( x) , x∈[0, π], 令 F ( x) = f ( x) , x∈[π, 0).
a n = 0(n = 0,1,2,) ,
2 π 2 π bn = ∫ f ( x) sin nxdx = ∫ ( x +1) sin nxdx π 0 π 0 2 x cos nx sin nx cos nx π 2 = [ + 2 ] 0 = (1 πcos nπ cos nπ) nπ π n n n
∞ a + ∑ a n cos nx . 2 n=1
④
t 例 1.将周期函数 u (t ) = E sin ( E 是正常数)展开成 2 傅里叶级数.
解:∵ u (t ) 是周期为 2π 的偶函数, ∴ bn = 0(n = 1,2,) . 2 π 2 π t 而 a n = ∫ u (t ) cos ntdt = ∫ E sin cos ntdt π 0 π 0 2
2 2 l nπx x nπx 2 , bn = ∫ f ( x) sin dx = ∫ (1 ) sin dx = 0 l 0 l 2 2 nπ
x 2 ∞ 1 n πx 故 1 = ∑ sin , x ∈ ( 0, 2 ) . 2 π n=1 n 2
0 < x ≤ 2, f ( x), 和函数 S ( x) = f ( x), 2 ≤ x < 0, 0, x = 0.
f ( x), x∈(0,π], 令 F ( x) = 0 , x = 0, f ( x), x∈(π, 0). 则 F (x) 是 (π, π) 上的奇函数,称为 f (x) 的奇式延拓 奇式延拓. 奇式延拓
将 F (x) 在 (π, π] 上展开成傅里叶级数,这个级数必定 是正弦级数,再将 x 限 制在 (0, π] 上,此时 F ( x) ≡ f ( x) ,
y
6
4
2
o
y
2
4
x
f ( x)的图象.
6
4
2
o
2
4
x
S ( x)的图象.
x 例 4.把 f ( x) = 1 在 (0, 2) 上展开成以 4 为周期的 2 正弦级数,并作出其和函数在 [4,4] 上的图形.
解:将 f (x ) 先作奇式延拓,再作周期延拓, l = 2 ,周期为 4.
an = 0 ,
�
y
1
4
2
x 0 < x ≤ 2, 1 2 , x 即 S ( x) = 1 , 2 ≤ x < 0, 2 0, x = 0.
o
Leabharlann Baidu
2
4
x
1
S ( x)在[4, 4]上的图象.
作
业
习 题 八 (P57)
4 ,5 ,8 ,9 , 12( 12 参见《习题课教程》P208 例4).
《习题课教程》P210 习题课教程》 课内练习题 1,2.(做在书上)
2 π+ 2 π n ,n =1,3,5,, = 2 , n = 2,4,6,. n
2 π 1 π ∴ x +1 = [(π + 2) sin x sin x + (π + 2) sin 3 x sin 4 x +] π 2 3 4
(0< x<π)
当 x = 0 和 x = π 时,级数收敛于 0,它不代表原来函数
∞
0, 2 ≤ x < 0, 例 3.将以 4 为周期的函数 f ( x) = 1, 0 ≤ x < 2.
展开成傅里叶级数.
解:周期为 4, l = 2 .
1 2 1 2 a 0 = ∫ f ( x) dx = ∫ dx = 1 , 2 2 2 0
1 2 nπx 1 2 nπx 1 nπx 2 a n = ∫ f ( x) cos dx = ∫ cos ]0 = 0 , dx = [sin 2 2 2 2 0 2 nπ 2 1 2 nπx 1 2 nπx bn = ∫ f ( x)sin dx = ∫ sin dx 2 2 2 2 0 2
y
y
π
o
F ( x)的图象.
π
x
π
o
S ( x)的图象.
π
x
6.4.4 以2 l 为周期的 函数的傅 里叶级数
设周期为 2l 的函数 f (x) 在 [l , l ] 上满足狄氏条件,
lt πx 令 t = ,则 x = , l ≤ x ≤ l 变为 π ≤ t ≤ π , l π lt f ( x) = f ( ) = F (t ) , π
4E 1 1 1 1 得 u (t ) = ( cos 3t cos 5t cos nt ) 2 π 2 3 15 4n 1
l
E
(∞ < t < +∞) .
2π
π
o
π
2π
3π
4π
t
二,函数展开成正弦级数或余弦级数
设 f (x) 在 [0, π] 上满足收敛定理的条件,
1. f (x) 在[0,π] 上 开 正 级 : 展 成 弦 数 . 将
则 F (t ) 以 2π 为周期,在 [ π, π] 上 F (t ) 的傅里叶系数为
1 π 1 l a 0 = ∫ F (t )dt = ∫ f ( x)dx , π π l l
1 π 1 l nπx a n = ∫ F (t ) cos ntdt = ∫ f ( x) cos dx , π π l l l
2 1 nπx 2 1 n , n =1,3,5,, = [cos ] 0 = [1 (1) ]= nπ nπ 2 nπ 0, n = 2,4,6,.
故当 x ∈(2,0) ∪ (0,2) 时,
2 πx 1 3πx 1 5πx f ( x) =1+ (sin + sin + sin +) ; π 2 3 2 5 2 1 当 x = 0 , x = ±2 时,级数收敛于 . 2
则 F (x) 是 [ π, π] 上的偶函数,称为 f (x) 的偶式延拓 偶式延拓. 偶式延拓 将 F (x) 在 [π, π] 上展开成傅里叶级数,再 将 x 限制在
[0, π] 上,便得 f (x) 的余弦级数展开式,其中
2 π 2 π a n = ∫ F ( x) cos nxdx = ∫ f ( x) cos nxdx(n = 0,1,2,3,) , π 0 π 0
1 l nπx 其中 a n = ∫ f ( x) cos dx(n = 0,1,2,) , l l l 1 l nπx bn = ∫ f ( x) sin dx(n = 1,2,) . l l l
若 f (x) 为 [l , l ] 上的奇函数时,
nπx , f (x) ～ ∑ bn sin l n =1
bn = 0( n = 1,2,3,) .
例 2.将函数 f x) bx 时,只用到 )分别展开成正弦级数 注:具体计算 a n( 和= n +1 ( 0 ≤ x ≤ π f ( x) cos nx 和 f ( x) sin nx
在和余弦级数. [0, π] 上的积分,故不必写出延拓函数 F (x) . 解:求正弦级数,应对 f (x) 作奇式延拓,此时
定理 2 设周期为 2l 的函数 f (x ) 在 [ l , l ] 上满足狄氏条件,
a0 ∞ nπx nπx ) + ∑(an cos + bn sin 则 2 n=1 l l f ( x), x为f ( x)的连续点, f ( x + 0) + f ( x 0) = , x为f ( x)的第一类间断点, 2 f (l + 0) + f (l 0) , x = ±l . 2
f (x) 的值.
y
y
π
y
π
o
x π o
x
π
o
π
x
f ( x)的图象.
F ( x)的图象.
S ( x)的图象.
求余弦级数,应对 f (x) 作偶式延拓,此时
bn = 0 (n =1, 2, 3, ) ,
2 π a 0 = ∫ ( x +1)dx = π + 2 , π 0
2 π 2 π a n = ∫ f ( x) cos nxdx = ∫ ( x +1) cos nxdx π 0 π 0
2 l nπx 其中 bn = ∫ f ( x) sin dx(n =1,2,3,) ; l 0 l
若 f (x) 为 [l , l ] 上的偶函数,
a0 ∞ nπx , f (x) ～ + ∑ a n cos 2 n =1 l
2 l nπx 其中 bn = ∫ f ( x) cos dx(n = 0,1,2,) . l 0 l
6.4.3 正弦级数和余弦级数
一,奇函数和偶函数的傅里叶级数
定理 设 f (x) 是周期为 2π 的函数,在一个周期上可积,则 (1)当 f (x) 为奇函数时,它的傅里叶系数为
a n = 0(n = 0,1,2,) ,
①
2 π bn = ∫ f ( x) sin nxdx(n = 1,2,3,) . π 0