正弦和余弦_2
正弦函数和余弦函数的图像与性质
例2.求下列函数的最大值与最小值，及取到最值 时的自变量 x 的值. (2) y 3sin x cos x (1) y sin(2 x )
4 解:(1)视为 y sin u , u 2 x 4
8 3 当 u 2k ，即 x k , k Z 时， 2 8 ymin 1 2
二、正弦函数与余弦函数的周期
对于任意 x R 都有
sin( x 2k ) sin x, k Z cos( x 2k ) cos x, k Z
正弦函数是周期函数， k , k Z , k 0 都是它的 2
周期，最小正周期是 2 余弦函数是周期函数， k , k Z , k 0 都是它的 2 周期，最小正周期是 2
注：一般三角函数的周期都是指最小正周期
1 (1) f ( x) cos 2 x (2) f ( x) sin( x ) 2 6 解: (1)设 f ( x)的周期为 T f ( x T ) f ( x)
即 cos[2( x T )] cos 2 x 即 cos(2 x 2T ) cos 2 x 即 对任意 u 都成立：cos(u 2T ) cos u 因此 2T 2 ，从而 T 解毕
第六章 三角函数
5.6.4 正弦定理、余弦定理和解斜三角形
6.1.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质
一、正弦函数和余弦函数的概念 实数集与角的集合可以建立一一对应的关系， 每一个确定的角都对应唯一的正弦(余弦)值. 因此，任意给定一个实数 x ，有唯一确定的值
sin x(cos x) 与之对应.
函数 y sin x 叫做正弦函数 函数 y cos x 叫做余弦函数 正弦函数和余弦函数的定义域是 R 正弦函数和余弦函数的值域是[1,1]
【课件】正弦函数、余弦函数的性质+(2)+课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
23
33
4.变式:求函数y sin( 1 x ), x [ , ]的单调递增区间.
23
解 : y sin( 1 x ) sin(1 x ),
23
23
令z 1 x , x [2 ,2 ], 则z [ 4 , 2 ].
23
33
因为y
sin
z,
z
[
4
,
2
]的单调递减区间是[
4
时取得最小值
1;
7.最大值与最小值
由余弦函数的图象知
y1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
余弦函数当且仅当 x _2_k__,_k____Z__ 时取得最大值1,
当且仅当x _____2_k__,_k___Z_时取得最小值 1.
8. 正弦函数、余弦函数的图象和性质
函 数 y sin x, x R
在每个闭区间 [2k , 2k ](k Z ) 上都单调递减,
其值从1减小到－1.
7.最大值与最小值
正弦函数图象知
y1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
正弦函数当且仅当
x
2k , k Z
_2__________
时取得最大值 1,
当且仅当
x
2k , k Z
___2__________
5
)在区间[0,
]上的单调递增区间为(
)
3
A.[5 ,11 ]
12 12
5
、B.[0, 12 ]
正弦公式和余弦公式
正弦公式和余弦公式正弦公式和余弦公式是数学中的两个重要的公式，它们是用来研究正弦和余弦的函数关系的重要工具。
它们描述的正弦和余弦的函数关系可以用来解决许多不同种类的数学问题，也可以应用于物理学，化学，机械等许多科目。
正弦公式和余弦公式的概念源自三角学，是一种表达描述三角形内点和某直线之间关系的数学工具。
通常，正弦和余弦函数关系都是从平面坐标中，给定一个点(x,y)，根据这个点可以求出正弦和余弦函数之间的关系。
特别地，如果x=0，那么正弦公式的结果为y=0，而余弦公式的结果为y=1。
而正弦公式和余弦公式的定义则是以直线做为基础形成的，即通过从给定点推导出正弦和余弦函数之间的关系，来求解出给定点和直线之间的距离。
正弦公式和余弦公式都是以弧度为单位进行计算的，而在数学中，弧度是指一个圆心和一条弧之间需要经过的角度，而这个角度也可以用圆周长来表示，即一个圆的周长等于2π倍这个角度，其中π为圆周率，它的值大约为3.14159。
因此，通过求解弧度和弧长之间的关系，可以定义出正弦公式和余弦公式。
正弦公式的定义为：y=sin(x)，其中y代表的是弧上的某个点的纵坐标，而x代表的是这个点在弧上的角度，也就是说，正弦函数的值等于这个角度的正弦值，所以通过这个公式可以得出，给定角度，正弦函数值等于这个角度的正弦值。
余弦公式定义为：y=cos(x)，其中y是某点在弧上的纵坐标，而x则是这个点在弧上的角度，而余弦函数的值等于这个角度的余弦值，所以通过这个公式可以得出，给定角度，余弦函数值等于这个角度的余弦值。
正弦公式和余弦公式都有很多的应用，例如正弦公式可以被用来求解矩形三角形的外接圆的半径，也可以用来求解正弦函数在一段区间内的变化曲线；而余弦公式则可以用来计算直角三角形的内切圆的半径，以及求解余弦函数在一段区间内的变化曲线。
正弦公式和余弦公式在解决数学问题和实际应用中的作用非常重要，因为它们定义了正弦函数和余弦函数之间的关系，而正弦函数和余弦函数则是解决现实生活中许多问题所不可缺少的一种函数，因此研究这两个公式的基础原理和实际应用对于更好地理解以及解决问题都是非常重要的。
正弦余弦转换公式大全
正弦余弦转换公式大全正弦余弦转换公式是数学中非常重要的内容，它在三角函数的运算中起着至关重要的作用。
正弦余弦转换公式可以帮助我们在计算中更加方便快捷地进行转换，从而简化计算步骤，提高计算效率。
下面我们将介绍一些常见的正弦余弦转换公式，希望能够帮助大家更好地理解和运用这些公式。
1. 正弦余弦基本关系。
在介绍正弦余弦转换公式之前，我们首先需要了解正弦余弦的基本关系。
在直角三角形中，正弦、余弦和正切分别是三角形的对边、邻边和斜边的比值。
根据勾股定理，我们可以得到正弦余弦的基本关系：sin²θ + cos²θ = 1。
这是正弦余弦的基本关系，我们可以根据这个关系推导出许多正弦余弦转换公式。
2. 正弦余弦的互余关系。
正弦余弦的互余关系是指正弦和余弦在一个周期内互为余弦。
具体来说，如果两个角的和为90°，那么它们的正弦互为余弦，余弦互为正弦。
因此，我们可以得到正弦余弦的互余关系：sin(90°θ) = cosθ。
cos(90°θ) = sinθ。
这个关系可以帮助我们在计算中快速地进行正弦余弦的转换。
3. 正弦余弦的偶奇性。
正弦余弦函数具有一定的奇偶性，这也是正弦余弦转换公式的重要内容之一。
具体来说，正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
这意味着当角度取反时，正弦函数的值取负，而余弦函数的值保持不变。
因此，我们可以得到正弦余弦的偶奇性关系：sin(-θ) = -sinθ。
cos(-θ) = cosθ。
这个关系在计算中也经常会用到，特别是在对称性问题上。
4. 正弦余弦的和差化积公式。
正弦余弦的和差化积公式是正弦余弦转换公式中的重要内容之一。
它可以帮助我们将正弦余弦的和差形式转换为乘积形式，从而简化计算。
具体来说，我们可以得到正弦余弦的和差化积公式：sin(α±β) = sinαcosβ± cosαsinβ。
cos(α±β) = cosαcosβ∓ sinαsinβ。
正弦和余弦公式
正弦和余弦公式正弦和余弦公式是一种广泛应用于三角函数中的基本运算法则。
正弦函数(sin)和余弦函数(cos)是一对基本的数学公式，广泛应用于各类数学计算中，包括解三角形问题、优化问题、计算复杂数学表达式等。
它们的关系可以通过单位圆来直观地理解：正弦函数表示单位圆上点的纵坐标，余弦函数表示单位圆上点的横坐标。
正弦公式sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβ、sin2α = 2sinαcosα、sinαsinβ =1/2[cos(α - β) - cos(α + β)]都是正弦函数的固有运算法则。
余弦公式cos(α±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ、cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α、cosαcosβ = 1/2[cos(α + β) + cos(α - β)]都是余弦函数的固有运算规则。
正弦和余弦公式在物理、工程、经济等众多领域都有着广泛的应用。
例如，在物理学中，振动和波动问题常常需要用到正弦和余弦公式进行描述和计算。
在工程学中，许多复杂的力学问题也会通过正弦和余弦公式进行化简和求解。
值得注意的是，正弦和余弦公式在运算过程中，往往需要注意角度的转换问题。
在实际应用中，角度一般有两种表示方式：度数制和弧度制。
当我们在使用正弦和余弦公式时，需要根据具体的情况，清楚地知道角度是以何种形式表示的，否则可能会导致计算错误。
总的来说，正弦和余弦公式是数学的基础知识，良好的掌握和理解能够帮助我们更好的解决各类数学相关问题。
同时，它们作为一种普遍的数学语言，也是我们理解世界的重要工具。
正弦定理余弦定理二级结论
正弦定理、余弦定理及其二级结论一、正弦定理概念和适用情况1、正弦定理（law of sines ）概念在任何一个三角形ABC ∆中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c A B C==。
【注】其中号a 、b 、c 分别为ABC ∆中角A 、B 、C 的对边。
2、正弦定理适用情况（1）已知两角和一边，解三角形。
（2）已知两边和其中一边的对角，解三角形。
【注】ABC ∆的三个角和三个边叫做ABC ∆的元素，已知ABC ∆的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形（solving triangles ）。
二、正弦定理的相关推论和二级结论1、（1）2sin sin sin a b c R A B C===。
（2）sin sin a A b B =，sin sin a A c C =，sin sin b B c C=。
（3）2sin sin sin sin sin sin sin a b a c b c a R A B A C B C A+++====+++。
（4）2sin sin sin a b c R A B C ++=++。
（5）“边化角”公式：2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =。
（6）“角化边”公式：sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R=。
（7）“边角互化”公式：::sin :sin :sin a b c A B C=【注】其中R 为ABC ∆的外接圆半径。
2、（1）sin sin a B b A =，sin sin a C c A =，sin sin b C c B =。
（2）sin sin b A a B =，sin sin a B b A =，sin sin a C c A=，sin sin c A a C =，sin sin c B b C =，sin sin b C c B=。
（3）sin sin a B A b =，sin sin b C B c =等。
正弦定理与余弦定理在解三角形中的运用
正弦定理与余弦定理在解三角形中的运用正弦定理和余弦定理是解三角形中非常常用的定理。
它们可以帮助我们在已知一些边长或角度的情况下，求解出其他未知边长或角度。
在本文中，我们将详细介绍正弦定理和余弦定理的概念，并阐述它们在解三角形中的运用。
一、正弦定理正弦定理是解三角形中最为基础和常用的定理之一、它可以用来求解三角形的任意一个角度或边长。
正弦定理的表达形式如下：a / sinA =b / sinB =c / sinC其中，a，b，c表示三角形的三条边，A，B，C表示三个对应的角度。
在应用正弦定理求解问题时，需要注意以下几个方面：1.已知两边和它们对应的夹角，求第三边：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 a = b * sinA / sinB 或 a = c * sinA / sinC。
2.已知两边和它们对应的夹角，求第三个角度：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 sinA = a * sinC / c 或 sinA = b * sinC / c，然后通过求反函数 sin^-1 求解出 A 的值。
3.已知两个角度和一个对边，求第三边：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 b = a * sinB / sinA 或 b = c * sinB / sinC。
4.已知两个角度和一个对边，求第三个角度：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 sinB = b * sinA / a 或 sinB = b * sinC / c，然后通过求反函数 sin^-1 求解出 B 的值。
由于正弦定理可以用来求解任意一个角度或边长，因此它非常灵活和实用。
二、余弦定理余弦定理是解三角形中另一个重要的定理。
它可以用来求解三角形的边长或角度。
余弦定理的表达形式如下：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc * cosAb^2 = c^2 + a^2 - 2ac * cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC其中，a，b，c表示三角形的三条边，A，B，C表示三个对应的角度。
直角三角形的正弦与余弦
直角三角形的正弦与余弦直角三角形的正弦与余弦是三角函数中的重要概念。
在直角三角形中，正弦和余弦可以帮助我们计算角度和边长之间的关系。
本文将详细介绍直角三角形的正弦和余弦的定义、计算方法以及它们的几何和物理应用。
一、正弦和余弦的定义在直角三角形中，正弦和余弦是由角度和边长之间的比例关系定义的。
假设我们有一个直角三角形，其中一个锐角为θ，定义如下：1. 正弦（Sine）：正弦表示一个角的对边与斜边之比，用sinθ表示。
可以用如下公式计算正弦：sinθ = 对边 / 斜边2. 余弦（Cosine）：余弦表示一个角的邻边与斜边之比，用cosθ表示。
可以用如下公式计算余弦：cosθ = 邻边 / 斜边二、正弦和余弦的计算方法在计算正弦和余弦时，我们需要知道两个重要的长度，即对边和邻边。
斜边的长度可以通过勾股定理（a² + b² = c²）来计算，其中c表示斜边的长度。
根据直角三角形的性质，斜边的长度也等于斜边上的任意一边长度。
计算正弦和余弦的步骤如下：1. 确定角度：在直角三角形中，我们需要知道所关注的角度。
2. 确定对边和邻边：根据所关注的角度，确定对应的对边和邻边。
3. 计算斜边长度：使用勾股定理计算斜边的长度。
4. 计算正弦和余弦：根据上述定义的公式，计算正弦和余弦值。
三、正弦和余弦的几何应用正弦和余弦的几何应用主要涉及角度和边长之间的关系。
1. 计算缺失的边长：如果我们已知一个角的正弦或余弦值，以及另外两边的长度，可以使用三角函数的反函数来计算缺失的边长。
2. 测量高度：在实际测量中，我们可以使用三角函数来测量无法直接测量的高度。
例如，在测量房子的高度时，我们可以利用一个三角形和测得的某个角的正弦或余弦值，以及已知的边长，来计算出房子的高度。
3. 角度的计算：如果已知两边的长度，可以利用正弦和余弦的反函数来计算出角度的值。
四、正弦和余弦的物理应用正弦和余弦函数在物理学中也有广泛的应用。
高中数学必修五-正弦定理与余弦定理
正弦定理与余弦定理知识集结知识元正弦定理公式知识讲解1．正弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bc cos A，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c2＝a2+b2﹣2ab cos C变形形式①a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；②sin A＝，sin B＝，sin C＝；③a：b：c＝sin A：sin B：sin C；④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A cos A＝，cos B＝，cos C＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b一解两解一解一解解的个数由上表可知，当A为锐角时，a＜b sin A，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．2、三角形常用面积公式1．S＝a•h a（h a表示边a上的高）；2．S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A．3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．例题精讲正弦定理公式例1.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若A=45°，B=30°，a=，则b=（）A．B．1 C．2 D．例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B=（）A．B．C．D．或例3.在△ABC中，已知三个内角为A，B，C满足sin A：sin B：sin C=3：5：7，则C=（）A．90°B．120°C．135°D．150°利用正弦定理解三角形知识讲解【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识例题精讲利用正弦定理解三角形例1.在△ABC中，a，b，c是内角A，B，C所对的边．若a>b，则下列结论不一定成立的（）A．A>B B．sin A>sin BC．cos A<cos B D．sin2A>sin2B例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则角A的大小为（）A．B．C．D．例3.在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin B =b sin A，则a=（）A ．B ．C．1 D．三角形面积公式的简单应用知识讲解1．余弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bc cos A，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c2＝a2+b2﹣2ab cos C变形形式①a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；②sin A＝，sin B＝，sin C＝；③a：b：c＝sin A：sin B：sin C；④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A cos A＝，cos B＝，cos C＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A为锐角时，a＜b sin A，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．例题精讲三角形面积公式的简单应用例1.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a+b）2=c2+ab，B=30°，a=4，则△ABC的面积为（）A．4 B．3C．4D．6例2.设△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其外接圆半径为2，且有，则三角形的面积为（）A．B．C．或D．或例3.在△ABC中角ABC的对边分别为a、b、c，cos C=，且a cos B+b cos A=2，则△ABC面积的最大值为（）A．B．C．D．利用余弦定理解三角形当堂练习填空题练习1.如图，O在△ABC的内部，且++3=，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为_____．练习2.锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c2-8=（a-b）2，a=2c sin A，则△ABC的面积为____．练习3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的最大值是____．解答题练习1.'在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角B的大小；（2）若D为AC的中点，且BD=1，求S△ABC的最大值．'练习2.'在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若（a+c）sin B-b sin C=b cos A．（1）求角A；（2）若△ABC的面积为4，a=6，求△ABC的周长．'练习3.'△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若。
5.4.2正弦函数、余弦函数性质第2课时课件(人教版)
总结升华
1.正余弦函数的图象和性质
2．体会整体，熟知将复合函数转化初等函数问 题 3．注意易错问题
课后作业
教材P207练习T1-5 P213习题5.4T4,T5，T16
9
5
9
5
例3.求函数y
解：令u 2x
3
,
sin(2 x
则y
3
)
探究应用3：单调性
单调递增区间.
sin u u 2 x 在R上是增函数， 3
由复合函数“同增异减”原则知，y sin u 是增函数.
2k
u
2k , (k Z )，
2
2
即 2k 2x 2k ,(k Z)，
解析 由π2<x<π，ω>0 得ω2π＋π4<ωx＋π4<ωπ＋π4，
又 y＝sin x 的单调递减区间为2kπ＋π2，2kπ＋32π，k∈Z， 所以ωω2ππ＋ ＋ππ44≥ ≤π322π＋＋2k2πkπ，，k∈Z，
解得 4k＋12≤ω≤2k＋54，k∈Z. 又由 4k＋12－2k＋54≤0，k∈Z 且 2k＋45>0，k∈Z， 得 k＝0，所以 ω∈12，54.
(2) 当 sin 2 x 1，即 2x 2k x k (k Z )时，
2
4
y 取得最大值 ymax 1 .
∴函数的最大值为1，取最大值时的x集合为
x
x
k
4
，k
Z
（3）y a sin（2 x ） b .
6
解：① 若 a 0 ，则当sin（2 x ） 1时， 6
12
12
(k∈Z)为所求．
又∵y＝或sin：ｕ令在u［＝2k3π－－2x，，则2uk是π＋x的减］函(k数∈Z)上为增函数，
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 课件(人教A版必修4)
第一章 三角函数
单调减区间为[34π＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)． 所以原函数 y＝2sin(π4－x)的单调增区间为[34π ＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)； 单调减区间为[－π4＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)．
栏目 导引
第一章 三角函数
变式训练
3.求函数 y＝2sin(x＋π4)的单调区间． 解：y＝sinx 的单调增区间为[－π2＋2kπ，π2＋ 2kπ]，k∈Z；单调减区间为[π2＋2kπ，32π＋2kπ]， k∈Z. 由－π2＋2kπ≤x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，
栏目 导引
第一章 三角函数
由－π2＋2kπ≤x－π4≤π2＋2kπ，k∈Z， 得－π4＋2kπ≤x≤34π＋2kπ，k∈Z； 由π2＋2kπ≤x－π4≤32π＋2kπ，k∈Z， 得34π＋2kπ≤x≤74π＋2kπ，k∈Z. 所以函数 y＝sin(x－π4)的单调增区间为[－π4 ＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)；
∴y＝sin12x 的周期是 4π.
(2)∵2sinx3－π6＋2π＝2sinx3－π6， 即 2sin13（x＋6π）－π6
栏目 导引
＝2sinx3－π6， ∴y＝2sinx3－π6的周期是 6π.
(3)y＝|sinx|的图象如图所示．
第一章 三角函数
∴周期T＝π.
∴|φ|的最小值|φ|min＝2π＋π2－83π＝π6.
栏目 导引
归纳总结
第一章 三角函数
栏目 导引
函 数 y= sinx (k∈z)
性质
y= cosx 第(k一∈章z) 三角函数
定义域 值域
最值及相应的 x的 集合
单调性
对称轴 对称中心
正弦余弦换算公式
正弦余弦换算公式正弦和余弦是三角函数中的两个重要概念，它们广泛应用于数学、物理、工程和其他科学领域。
正弦函数和余弦函数之间存在着一定的关系，可以通过一些换算公式进行转换。
本文将介绍正弦余弦换算公式，并讨论它们的应用。
首先，我们来定义一下正弦和余弦函数。
在一个直角三角形中，正弦和余弦分别定义为：正弦θ=对边/斜边余弦θ=邻边/斜边根据这个定义，我们可以得到正弦和余弦的换算公式。
换算公式1：正弦函数与余弦函数关系根据三角恒等式sin²θ + cos²θ = 1，可以得到正弦和余弦之间的换算公式：sinθ = √(1 - cos²θ)cosθ = √(1 - sin²θ)通过这个换算公式，我们可以通过已知的一个三角函数值来求解另一个三角函数值。
这对于解题和计算来说非常有用。
换算公式2：正弦余弦换算为直角三角形除了上面的换算公式，我们还可以通过正弦和余弦的换算来进一步求解直角三角形中的边长和角度。
假设已知一个直角三角形（ABC），其中∠B是直角，边BC是斜边。
假设我们已知∠B的角度和BC的长度。
那么我们可以通过正弦余弦换算公式来求解其他边的长度。
1. 如果已知∠B的角度和BC的长度，我们可以通过余弦来求解∠C 的角度。
根据余弦函数cosθ = 邻边/斜边，我们可以得到∠C的角度：∠C = arccos(邻边/斜边) = arccos(AC/BC)2. 通过∠C的角度我们也可以求解其余边的长度。
根据正弦函数sinθ = 对边/斜边，我们可以得到边AC的长度：AC = sin(∠C) * BC通过这两个公式，我们可以根据已知的角度和边长来求解直角三角形中其他未知量。
换算公式3：反余弦函数和反正弦函数除了正弦和余弦之间的换算公式，我们还可以使用反余弦和反正弦函数来求解角度。
例如，已知一个直角三角形中的两个边的长度，我们可以使用反余弦函数来求解夹角的角度。
假设已知两边的长度分别为AC和BC，我们可以使用反余弦函数解出∠C的角度：∠C = arccos(AC/BC)同样地，如果我们已知一个直角三角形中的一边和一个角度，我们可以使用反正弦函数来求解另一个角度。
常用正弦余弦正切值表
常用正弦余弦正切值表常用正弦余弦正切值表在数学学习中，我们经常需要使用三角函数中的正弦、余弦、正切值进行计算。
以下是常用的正弦余弦正切值表，希望对读者有所帮助。
正弦值表：角度正弦值0° 030° 0.545°0.707160° 0.86690° 1120° 0.866135° 0.7071150° 0.5180° 0余弦值表：角度余弦值0° 130° 0.86645°0.707160° 0.590° 0120° -0.5135° -0.7071150° -0.866180° -1正切值表：角度正切值0° 030° 1.73245° 160° 0.577490°无穷大（不存在）120° -0.5774135° -1150° -1.732180° 0上述表格中，为了方便记忆，我们可以把特定角度上的正弦、余弦、正切值（例如0、30、45、60、90）记住，由此可以推知其他角度上的值。
同时，需要注意的是，在计算过程中，若是角度不属于含有特殊值的角度，则需要借助计算器使用三角函数求出在计算的角度上的三角函数值。
除了正弦、余弦、正切函数之外，还有它们的倒数函数、余割函数和正割函数等，它们在数学的应用领域中有着广泛的应用。
对于初学者来说，要把握好三角函数的基础知识，理解其定义和性质，才能更好地应用到实际计算中去。
总之，掌握常用三角函数的正弦、余弦、正切值表对于数学学习和实际应用都非常重要。
我们要不断地巩固和深入理解，以提高自己的数学素养。
正弦余弦2
7.2 正弦、余弦（2）【教学目标】1．会根据直角三角形的两边求其中一个锐角的正弦、余弦值。
2．会利用正弦、余弦的与有关知识解决一些简单的与直角三角形有关的实际问题。
【教学重点】会利用正弦、余弦的有关知识解决一些简单的与直角三角形有关的实际问题。
【教学难点】从实际问题中抽象出数学模型。
【复习引入】已知如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°,怎样表示∠A 、∠B 的三角函数。
【设计意图】从学生原有的知识出发，为后续知识的学习作铺垫。
【活动一】如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝5．sinA ＝_________，cosA ＝_________，tanA ＝_________；sinB ＝_________，cosB ＝_________，tanB ＝_________。
请认真观察上述结果，你有何发现？【设计意图】通过活动，主要让学生认识到，在直角三角形中，知道两条边就能确定其锐角的三角函数值． 【试一试】1.小明正在放风筝，风筝线与水平线成35°角时，小明的手离地面1m ，若把放出的风筝线看成一条线段，长95m ，求风筝此时的高度（精确到1m ）。
（参考数据：sin35°≈0.5736，cos35°≈0.8192，tan35°≈0.7002）【设计意图】落实本节内容与生活实际的联系，感受正弦、余弦的相关知识与方法在实际问题中的应用。
2.一把梯子靠在一堵墙上，若梯子与地面的夹角是68°，而梯子底部离墙脚1.5m ，求梯子的长度。
（精确到0.1m ）（参考数据：sin68°≈0.9272，cos68°≈0.3746，tan68°≈2.475）。
【设计意图】落实本节内容与生活实际的联系，感受正弦、余弦的相关知识与方法在实际问题中的应用。
3．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，cosB=54，AC ＝9，求△ABC 的周长。
正弦定理和余弦定理2
思考2：设△ABC的外接圆半径为R,则其
面积公式 S
S = 1 4R
= 1 2 ab sin C
可以作哪些变形？
abc = 2R sin A sin B sin C
2
探究：正弦定理的变式拓展
思考3：在△ABC中,设∠A的平分线
交BC边Hale Waihona Puke 点D,则AB AC=
BD CD
(内角平
分线定理),你能证明这个结论吗？
作业布置
P10习题1.1A组：2. B组：2.
A
1 2
B
D
C
理论迁移
例1 在钝角△ABC中,已知AB= AC=1,B=300,求△ABC的面积. C
1
3,
A
300
3
B
理论迁移
例2 在△ABC中,已知 ab 60 sinB=sinC,且△ABC面积是 15 求c边的长.
3， 3，
A
c b 300
B
a
C
理论迁移
例3 在△ABC中,已知A>B,试比 较sinA与sinB的大小. 解法一:利用大角对大边及正弦 定理比较.
已知“角角边”或“角边角”解三角 形；已知“边边角”解三角形. 3.利用正弦定理可以得到哪些相关结 论？有哪些重要应用？这需要我们作 进一步了解和探究,加深对正弦定理 的理性认识.
探究：正弦定理的变式拓展
思考1：利用正弦定理如何求三角形的 周长？
a + b + c = 2R sin A + sin B + sin C ） （
解法二:利用正弦函数的单调性.
理论迁移
例4 在△ABC中,已知acosB=bcosA,
第一节 正弦定理和余弦定理(知识梳理)
第一节 正弦定理和余弦定理复习目标学法指导1.会证明正弦定理、余弦定理.2.理解正弦定理、余弦定理在讨论三角形边角关系时的作用.3.能用正弦定理、余弦定理解斜三角形.4.会用正弦定理、余弦定理讨论三角形解的情形.5.了解正弦定理与三角形外接圆半径的关系.1.正弦定理和余弦定理是解三角形的基础,熟记定理内容及变形公式,在解决问题时注重数形结合.2.在给定方程的化简和变形上要注重“统一”“消元”思想的运用.统一:统一角度或边长.消元:多个角度利用A+B+C=π进行消元.一、正弦定理正弦定理内容:sin a A =sin b B =sin c C=2R(R 为△ABC 外接圆半径). 变形形式:①a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C. ②sin A=2a R ,sin B=2b R ,sin C=2c R . ③a ∶b ∶c=sin A ∶sin B ∶sin C.④sin a A =sin sin a b A B ++=sin sin sin a b c A B C++++.1.概念理解(1)正弦定理主要解决两类三角形问题:①知两角和一边;②知两边和其中一边所对应的角.在第②类中要注意会出现两组解的特殊情况. (2)正弦定理中边角互化公式:a=2Rsin A 和sin A=2a R 是表达式变形中常用公式,在统一角度或统一长度上发挥作用. 2.与正弦定理有关的结论(1)三角形中:A+B+C=π,sin(A+B)=sin C, cos(A+B)=-cos C.(2)在△ABC 中,已知a,b 和A 时,解的情况如下:A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a=bsin Absin A<a<ba ≥ba>b解的个数 一解两解一解一解二、余弦定理余弦定理内容:a 2=b 2+c 2-2bc ·cos A, b 2=a 2+c 2-2ac ·cos B, c 2=a 2+b 2-2ab ·cos C.变形形式:cos A=2222bc a bc+-,cos B=2222ac b ac+-,cos C=2222a b c ab+-.1.概念理解(1)余弦定理解决两类三角形问题:一是知两边及其夹角的三角形,二是知三边的三角形.(2)利用余弦定理来解决三角形问题时,要注意角的取值范围.通常求解三角形的内角度数时,不是解该角的正弦,而是解该角的余弦. 2.与余弦定理有关的结论 由cos A=2222b c a bc+-(设A 为最大内角)若b 2+c 2>a 2,则该三角形为锐角三角形. b 2+c 2=a 2,则该三角形为直角三角形. b 2+c 2<a 2,则该三角形为钝角三角形.1.在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若asin Bcos C+csin Bcos A=12b,且a>b,则∠B 等于( A ) (A)π6 (B)π3(C)2π3 (D)5π6 解析:由正弦定理得sin Asin Bcos C+sin Csin Bcos A=12sin B, 所以sin Bsin(A+C)=12sin B. 因为sin B ≠0, 所以sin(A+C)=12,即sin B=12,所以B=π6或5π6.又因为a>b, 所以A>B, 所以B=π6.故选A.2.在△ABC 中,已知b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是( C ) (A)有一解 (B)有两解 (C)无解(D)有解但解的个数不确定解析:由正弦定理得sin b B =sin cC,所以sin B=sin b Cc=40220>1.所以角B 不存在,即满足条件的三角形不存在.故选C. 3.在△ABC 中,A=60°则△ABC 的面积等于 .解析:=4sin B, 所以sin B=1, 所以B=90°, 所以AB=2,所以S △ABC =12×2×23=23.答案:234.(2019·临海高三检测)设△ABC 的内角A,B,C 所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C= . 解析:由3sin A=5sin B,得3a=5b.又因为b+c=2a, 所以a=53b,c=73b,所以cos C=2222a b c ab +-=22257()()33523b b b b b +-⨯⨯=-12. 因为C ∈(0,π), 所以C=2π3. 答案:2π3考点一 利用正弦定理解三角形 [例1] (1)在△ABC 中32°,求角A,C 和边c;(2)已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边,若3求角A 的大小.解:(1)由正弦定理sin a A =sin bB , 得sin A=sin a B b3,所以A=60°或120°. ①当A=60°时,C=75°,由sin a A =sin c C ,得c=sin sin a C A⋅=2·sin 75°62+②当A=120°时,C=15°,c=2·sin 15°62-解:(2)由A+C=2B,A+C+B=180°得B=60°.所以由正弦定理得3=1sin A, 所以sin A=12.所以A=30°或150°. 又因为b>a, 所以B>A. 所以A=30°.利用正弦定理解三角形(1)注重条件和图形的结合;(2)知两边及一边对应的角时,要区分三角形解的情况,通常情况下先利用正弦定理求角,再利用“大边对大角”的条件排除; (3)正弦定理的变形公式.1.(2019·浙江卷)在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D 在线段AC 上.若∠BDC=45°,则BD= ,cos ∠ABD= .解析:如图,易知sin C=45, cos C=35.在△BDC 中,由正弦定理可得sin BD C=sin BC BDC∠, 所以BD=sin sin BC C BDC⋅∠4352⨯122.由∠ABC=∠ABD+∠CBD=90°,可得cos ∠ABD=cos(90°-∠CBD)=sin ∠CBD=sin[π-(∠C+∠BDC)] =sin(∠C+∠BDC)=sin C ·cos ∠BDC+cos C ·sin ∠BDC=45×2+35×2=72.答案122722.在△ABC 中,B=60°3则AB+2BC 的最大值为 .解析:在△ABC 中,由正弦定理得sin AB C =sin BCA 3所以AB+2BC=2sin C+4sin A =2sin(120°-A)+4sin A 7ϕ),其中,tan ϕ3,又因为A ∈(0°,120°), 所以最大值为7答案7考点二 利用余弦定理解三角形[例2] 若△ABC 的内角A,B,C 所对的边a,b,c 满足(a+b)2-c 2=4,且C=60°,则ab 的值为( ) (A)433(C)1 (D)23解析:由已知得a 2+b 2-c 2+2ab=4, 由于C=60°,所以cos C=2222a b c ab+-=12, 即a 2+b 2-c 2=ab,因此ab+2ab=4,ab=43,故选A.利用余弦定理解三角形:一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次关系时,考虑使用余弦定理.△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c,已知b=c,a 2=2b 2(1-sin A),则A 等于( C )(A)3π4 (B)π3 (C)π4 (D)π6解析:在△ABC 中,由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccos A, 因为b=c,所以a 2=2b 2(1-cos A), 又因为a 2=2b 2(1-sin A), 所以cos A=sin A,所以tan A=1, 因为A ∈(0,π),所以A=π4,故选C. 考点三 正、余弦定理的综合应用[例3] 设△ABC 的内角A,B,C 所对应的边分别为a,b,c, 已知()sin a bA B ++=sin sin a c AB --.(1)求角B; (2)若6,求△ABC 的面积.解:(1)因为()sin a bA B ++=sin sin a c AB --,所以a b c+=a ca b --, 所以a 2-b 2=ac-c 2, 所以cos B=2222a c b ac+-=2ac ac =12, 又因为0<B<π,所以B=π3.解:(2)由cos A=63可得sin A=33,由sin a A =sin b B可得a=2, 而sin C=sin(A+B) =sin Acos B+cos Asin B =3326+,所以△ABC 的面积S=12absin C=3322+.(1)利用正、余弦定理解三角形的关键是根据已知条件及所求结论确定三角形及所需应用的定理.(2)对于面积公式S=12absin C=12acsin B=12bcsin A,一般是已知哪一个角就选用哪一个公式.(2017·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为23sin a A .(1)求sin Bsin C;(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC 的周长. 解:(1)由题设得12acsin B=23sin a A ,即12csin B=3sin aA . 由正弦定理得12sin Csin B=sin 3sin A A ,故sin Bsin C=23.解:(2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-12,即cos(B+C)=- 12.所以B+C=2π3,故A=π3.由题设得12bcsin A=23sinaA,即bc=8,由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=33.故△ABC的周长为3+33.类型一利用正弦定理解三角形1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,则cos C等于( A )(A)725 (B)-725(C)±725(D)2425解析:因为8b=5c,所以由正弦定理,得8sin B=5sin C.又因为C=2B,所以8sin B=5sin 2B,所以8sin B=10sin Bcos B.因为sin B≠0,所以cos B=45,所以cos C=cos 2B=2cos2B-1=725.故选A.2.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,向量p=(1,-∥q,且bcos C+ccos B=2asin A,则C等于( A )(A)30°(B)60°(C)120° (D)150°解析:因为p∥q,cos B=sin B,所以即得所以B=120°.又因为bcos C+ccos B=2asin A,所以由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=2sin2A,即sin A=sin(B+C)=2sin2A,,又由sin A≠0,得sin A=12所以A=30°,C=180°-A-B=30°.故选A.类型二利用余弦定理解三角形3.已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+ cos 2A=0,a=7,c=6,则b等于( D )(A)10 (B)9 (C)8 (D)5解析:由23cos2A+cos 2A=0,得25cos2A=1,因为A为锐角,所以cos A=1.5b,又由a2=b2+c2-2bccos A,得49=b2+36-125整理得5b2-12b-65=0,解得b=-135(舍)或b=5.即b=5. 故选D.4.若锐角△ABC 的面积为,且AB=5,AC=8,则BC 等于 .解析:设内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.由已知及12得因为A 为锐角,所以A=60°,cos A=12.由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccos A =64+25-2×40×12 =49,故a=7,即BC=7. 答案:7类型三 正弦定理和余弦定理的综合应用 5.在△ABC 中,∠B=120°∠BAC的平分线则AC 等于( D )(C)2解析:如图,在△ABD 中,由正弦定理,得sin ∠ADB=sin AB BAD .由题意知0°<∠ADB<60°, 所以∠ADB=45°,则∠BAD=180°-∠B-∠ADB=15°, 所以∠BAC=2∠BAD=30°, 所以∠C=180°-∠BAC-∠B=30°, 所以于是由余弦定理,得AC=222cos120AB BC AB BC ︒+-⨯=()()221222222⎛⎫+-⨯⨯- ⎪⎝⎭=6.故选D.。
正弦和余弦函数的图像及性质
4 ,2
o ……与y=cosx,x∈图x[0象,2π的]的最图低象点相同 简(y1图) 列作表法(列(五出点对-图1作象图形法状)起关键作用6的五点3坐标)
(0,0 ) ( ,0) 0(2, ,20)
图象的最低点
(
3 2,
1)
2
2 3
5 6
,
7 6
-1 -
y cos x, x R
余弦函数
的图象
-
-
思考题；用五点发作出下面函数的图象（只画出一 个周期）
( 1). y=2sinx (2).y=2sinx+1 (3).y=sin2x
授课教师：谷元芳
正弦函数.余弦函数的图象和性质
想一想?
1. sinα、cosα、tanα的几何意义.
y
T
1 P
oA M1
x
正弦线MP 余弦线OM 正切线AT
三角问题
几何问题
正弦函数.余弦函数的图象和性质
新课:
. . . . 1.函数 y sin x, x 0,2 图象的几何作法
利用三角函数线 作三角函数图象
0
2
3 2
2
cosx
1
0 1
0
1
-cosx 1 0 1
01
y
21-
o
2
3
2
2
x
1 -
作函数
y=
1 2
sinx +
3 2
cosx草图，求y的最大值和最
小值
解：用辅角公式化简函数
y=
1
2 sinx+
3 2
cosx
高中数学《正弦函数、余弦函数的性质(2)》课件
课前预习
课堂互动
课堂反馈
预习教材 P37－38 完成下面问题： 知识点 正弦函数、余弦函数的图象和性质
正弦函数
余弦函数
图象
值域
__[_－__1_,_1_] __
__[_－__1_,1_]___
课前预习
课堂互动
课堂反馈
正弦函数
余弦函数
单 调 性
在[_－__π2_＋__2_k_π_，__π2_＋__2_k_π_] (k∈Z) 上递增，在_[π2_＋__2_k_π_，__3_2π_＋__2_kπ]
课前预习
课堂互动
课堂反馈
解得a＝12， b＝1.
∴y＝－4acos bx＝－2cos x，
∴ymax＝2，ymin＝－2，T＝2π．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
规律方法 求三角函数值域或最值的常用方法 (1)可化为单一函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋ k，其最大值为|A|＋k，最小值－|A|＋k(其中A，ω，k，φ为 常数，A≠0，ω≠0)． (2)可化为y＝Asin2x＋Bsin x＋C或y＝Acos2x＋Bcos x＋C (A≠0)，最大值、最小值可利用二次函数在定义域上的最大 值、最小值的求法来求(换元法)．
课前预习
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方向 3 含参数的最值问题 【例 3-3】 若函数 y＝a－bcos x(b>0)的最大值为32，最小值为
－12，求函数 y＝－4acos bx 的最值和最小正周期． 解 ∵y＝a－bcos x(b>0)， ∴ymax＝a＋b＝32，ymin＝a－b＝－12． 由aa＋－bb＝＝32－，12，
课前预习
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正弦定理和余弦定理
解析 1 5×3 a b 5 2 根据正弦定理sin A＝sin B，得 a＝ ＝ 3 . 2 2
3．△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c. 若 a、b、c 成等比数列，且 c＝2a，则 cosB 等于( 1 A. 4 2 C. 4
答案 B
)
3 B. 4 2 D. 3
b2＋c2－a2 －bc 1 【解析】 (1)∵cosA＝ ＝ ＝－ ， 2bc 2bc 2 ∴A＝120° . (2)由 a＝ 3，得 b2＋c2＝3－bc， 又∵b2＋c2≥2bc(当且仅当 c＝b 时取等号)， ∴3－bc≥2bc(当且仅当 c＝b 时取等号)． 即当且仅当 c＝b＝1 时，bc 取得最大值为 1.
【思路】 (1)由 b2＋c2－a2＋bc＝0 的结构形式，可 联想余弦定理，求出 cosA，从而求出 A 的值． (2)由 a＝ 3及 b2＋c2－a2＋bc＝0，可求出关于 b，c 的关系式，利用不等式，即可求出 bc 的最大值，进而求 出 S△ABC 的最大值． (3)由正弦定理可实现将边化为角的功能，从而达到 化简求值的目的．
思考题 1 (2012· 山东师大附中)在△ABC 中，a，b， cosB b c 分别是角 A、B、C 对边的长，且满足 ＝－ . cosC 2a＋c (1)求角 B 的值； (2)若 b＝ 19，a＋c＝5，求 a，c 的值．
【解析】 (1)由正弦定理得 a b c sinA＝sinB＝sinC＝2R ∴a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC. cosB －b cosB sinB 代入cosC＝ 得cosC＝－ . 2a＋c 2sinA＋sinC 即 2sinAcosB＋sinCcosB＋sinBcosC＝0. 2sinAcosB＋sin(B＋C)＝0.
正弦定理与余弦定理的应用(优秀课件)
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其对应的角的正弦值的比等于三角形的外接圆直径与另一条边 与其对应的角的正弦值的比。数学公式表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R，其中a、b、c分别代表 三角形的三边，A、B、C分别代表与边a、b、c相对的角，R代表三角形的外接圆半径。
三角函数值的计算
总结词
利用正弦定理和余弦定理解三 角形，进而计算三角函数值。
详细描述
通过已知的边长和角度，利用 正弦定理和余弦定理解三角形 ，进而计算三角函数值。
总结词
利用正弦定理和余弦定理解决 三角形中的角度问题。
详细描述
通过已知的边长和角度，利用 正弦定理和余弦定理解三角形 ，进而解决三角形中的角度问
总结词
利用正弦定理和余弦定理解决经济学中的供需关系和价格波动问题，如预测商品价格、 分析供需平衡等。
详细描述
在经济学中，供需关系决定了商品的价格。通过正弦定理和余弦定理，我们可以分析供 需双方的周期性变化，预测商品价格的波动趋势，为企业制定生产和销售策略提供依据。
05
正弦定理与余弦定理的综 合应用
详细描述
利用正弦定理和余弦定理，可以 推导出海伦公式，从而方便地计 算出三角形的面积。
三角形形状的判断
总结词
通过比较三角形的边长和角度，可以利用正弦定理和余弦定理来判断三角形的 形状。
详细描述
根据正弦定理和余弦定理的性质，可以判断出三角形是否为等腰三角形、直角 三角形或等边三角形等。
03
正弦定理与余弦定理在三 角函数问题中的应用
THANKS
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正弦和余弦教学建议1．知识结构：本小节主要学习正弦、余弦的概念，30°、45°、60°角的正弦、余弦值，一个锐角的正弦（余弦）值与它的余角的余弦（正弦）值之间的关系，以及应用上述知识解决一些简单问题（包括引言中的问题）等. 2．重点、难点分析（1）正弦、余弦函数的定义是本节的重点，因为它是全章乃至整个三角学的预备知识.有了正弦、余弦函数的定义，再学习正切和余切、解直角三角形、引入任意角三角函数便都有了基础. （2）正弦、余弦的概念隐含着角度与数值之间有一一对应关系的函数思想，并且用含有几个字母的符号组sinA，cosA来表示，学生过去未接触过，所以正弦、余弦的概念是难点. 3．理解一个锐角的正弦、余弦值的唯一性，是理解三角函数的核心. 锐角的正弦、余弦值是这样规定的：当一个锐角确定了，那么这个锐角所在的直角三角形虽然有无穷多个，但它们都是彼此相似的.如上图，当确定时，包含的直角三角形有无穷多个，但它们彼此相似：∽∽∽……因此，由于相似三角形的对应边成比例，所以这些三角形的对应边的比都是相等的. 这就是说，每当一个锐角确定了，包含这个角的直角三角形的上述2种比值也就唯一确定了，它们有确定不变的对应关系.为了简单地表达这些对应关系，我们引入了正（余）弦的说法，创造了sin 和cos这样的符号. 应当注意：单独写出三角函数的符号或cos等是没有意义的.因为它们离开了确定的锐角是无法显示出它的含义；另一方面，这些符号和角写在一起时（如），它表示的就不再是角，而是一个特定的三角形的两条边的比值了（如）.真正理解并掌握这些，才真正掌握了这些符号的含义，才能正确地运用它们. 4．我们应当学会认识任何位置的直角三角形中的一个锐角的正弦、余弦的表达式. 我们不仅应当熟练掌握如图那样的标准位置的直角三角形的正弦、余弦的表达式，而且能熟练地写出无论怎样放置的直角三角形的正弦、余弦的表达式.如，如图所示，若，则有有的直角三角形隐藏在更复杂的图形中，我们也应能正确地写出所需要的三角函数表达式，如图中，ABCD是梯形，，作，我们应正确地写出如下的三角函数关系式：很显然，这些表达式提供给我们丰富的边与角间的数量关系. 5．特殊角的正弦、余弦值既容易导出，也便于记忆，应当熟悉掌握它们. 利用勾股定理，很容易求出含有或角的直角三角形三边的比；如图（1）和图（2）所示. 根据定义，有另一方面，可以想像，当时，边与AC重合（即），所以当时，边AB与CB重合（即AB=CB），AC的长缩小为0，于是，有把以上结果可以集中列出下面的表：116．教法建议：（1）联系实际，提出问题通过修建扬水站时，要沿斜坡铺设水管而提出要求水管最顶端离地面高度的问题，第一步把这问题归结于直角三角形中，第二步，再把这个问题归于直角三角形中，已知一个锐角和斜边的长，求这个锐角所对直角边的一个几何问题．同时指出在这种情况下，用已学过的勾股定理是解决不了的．激发学生的学习兴趣，调动学生探索新途径，迫切需要学习新知识的积极性．在这章的第一节课，应抓住这个具有教育性，富于启发性的有利开端，为引进本章的重要内容：锐角三角函数作了十分必要的准备．(2) 动手度量、总结规律、给出定义以含的三角板为例让学生对大小不同的三角板进行度量，并引导学生得出规律：，再进一步对含的三角板进行度量，在探索同样的内容时，要用到勾股定理，又类似地得到，所有的这种等腰直角三角形中，都会得到,这时，应当即给出的正弦的定义及符号，即，再对照图形，分别用a、b、c 表示、、的对边，得出及，就这样非常简洁地得到锐角三角函数的第一个定义，应充分利用课本中这种简练的处理手段，使学生建立起锐角三角函数的概念. (3)加强数形结合思想的教学“解直角三角形”编在几何教材中，突出了它的几何特点，但这只是从知识的系统性方面讲的，使它与几何前后知识可关系更紧密，便于学生理解和掌握，并没有改变它形数结合的本质，因此教学中要充分利用这部分教材，帮助学生掌握用代数方法解决几何问题的方法，提高在几何问题中注意运用代数知识的能力．第一课时一、教学目标1. 使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实。
2.逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力。
3.引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯。
二、学法引导1．教学方法：引导发现和探索研究相结合，尝试成功教法。
2．学生学法：在教师的指导下，积极思维，相互讨论，动手感知，探索新知。
三、重点、难点、疑点及解决办法1．重点：使学生知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实。
2．难点：学生很难想到对任意锐角，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实，关键在于教师引导学生比较、分析，得出结论。
3．疑点：无论直角三角形的锐角为何值，它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的。
4．解决办法：教师引导学生比较、分析、讨论，解决重难点和疑点。
四、教具准备自制投影片，一副三角板五、教学步骤（一）明确目标1．如图，长5米的梯子架在高为3米的墙上，则、间距离为多少米？2．长5米的梯子以倾斜角为30°靠在墙上，则、间的距离为多少？3．若长5米的梯子以倾斜角40°架在墙上，则、间距离为多少？4．若长5米的梯子靠在墙上，使、间距离为2米，则倾斜角为多少度？前两个问题学生很容易回答，这两个问题的设计主要是引起学生的回忆，并使学生意识到，本章要用到这些知识，但后两个问题的设计却使学生感到疑惑，这对初三年级这些好奇、好胜的学生来说，起到激起学生的学习兴趣的作用，同时使学生对本章所要学习的内容的特点有一个初步的了解，有些问题单靠勾股定理或含30°角的直角三角形和等腰直角三角形的知识是不能解决的，解决这类问题，关键在于找到一种新方法，求出一条边或一个未知锐角，只要做到这一点，有关直角三角形的其他未知边角就可用学过的知识全部求出来。
通过四个例子引出课题。
（二）整体感知1．请每一位同学拿出自己的三角板，分别测量并计算30°、45°、60°角的对边、邻边与斜边的比值。
学生很快便会回答结果：无论三角尺大小如何，其比值是一个固定的值，程度较好的学生还会想到，以后在这些特殊直角三角形中，只要知道其中一边长，就可求出其他未知边的长。
2．请同学画一个含40°角的直角三角形，并测量、计算40°角的对边、邻边与斜边的比值，学生又高兴地发现，不论三角形大小如何，所求的比值是固定的，大部分学生可能会想到，当锐角取其他固定值时，其对边、邻边与斜边的比值也是固定的吗？这样做，在培养学生动手能力的同时，也使学生对本节课要研究的知识有了整体感知，唤起学生的求知欲，大胆地探索新知。
（三）教学过程1．通过动手实验，学生会猜想到“无论直角三角形的锐角为何值，它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的”，但是怎样证明这个命题呢？学生这时的思维很活跃，对于这个问题，部分学生可能能解决它，因此教师此时应让学生展开讨论，独立完成。
2．学生经过研究，也许能解决这个问题．若不能解决，教师可适当引导：若一组直角三角形有一个锐角相等，可以把其顶点，，重合在一起，记作，并使直角边，，……落在同一条直线上，则斜边，，……落在另一条直线上，这样同学们能解决这个问题吗？引导学生独立证明：易知，……，∴∽∽∽……，∴，，因此，在这些直角三角形中，的对边、邻边与斜边的比值，是一个固定值。
通过引导，使学生自己独立掌握了重点，达到知识教学目标，同时培养学生能力，进行了德育渗透。
而前面导课中动手实验的设计，实际上为突破难点而设计。
这一设计同时起到培养学生思维能力的作用。
3．练习：教科书P3练习。
此题为作了孕伏，同时使学生知道任意锐角的对边与斜边的比值都能求出来。
（四）总结、扩展1．引导学生作知识总结：本节课在复习勾股定理及含30°角直角三角形的性质基础上，通过动手实验、证明，我们发现，只要直角三角形的锐角固定，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的。
教师可适当补充：本节课经过同学们自己动手实验，大胆猜测和积极思考，我们发现了一个新的结论，相信大家的逻辑思维能力又有所提高，希望大家发扬这种创新精神，变被动学知识为主动发现问题，培养自己的创新意识。
2．扩展：当锐角为30°时，它的对边与斜边比值我们知道，今天我们又发现，锐角任意时，它的对边与斜边的比值也是固定的，如果知道这个比值，已知一边求其他未知边的问题就迎刃而解了，看来这个比值很重要，下节课我们就着重研究这个“比值”，有兴趣的同学可以提前预习一下，通过这种扩展，不仅对下、余弦概念有了初步印象，同时又激发了学生的兴趣。
六、布置作业本节课内容较少，而且是为正、余弦概念打基础的，因此课后应要求学生预习正余弦概念。
七、板书设计第二课时一、教学目标1．使学生初步了解正弦、余弦概念；能够较正确地用、表示直角三角形中两边的比；熟记特殊角30°、45°、60°角的正、余弦值，并能根据这些值说出对应的锐角度数. 2．逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力. 3．渗透教学内容中普遍存在的运动变化、相互联系、相互转化等观点. 二、学法引导1．教学方法：指导发现探索法. 2．学生学法：自主、合作、探究式学习. 三、重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：使学生了解正弦、余弦概念. 2．教学难点：用含有几个字母的符号组、表示正弦、余弦；正弦、余弦概念. 3．疑点：锐角的正弦、余弦值的范围. 4．解决办法：通过旧知创设情境，采用从特殊到一般的方法，引导学生进行探究式学习，从而解决重难点及疑点. 四、教具准备三角板一副五、教学步骤（一）明确目标1．引导学生回忆“直角三角形锐角固定时，它的对与斜边的比值、邻边与斜边的比值也是固定的.”2．明确目标：这节课我们将研究直角三角形一锐角的对边、邻边与斜边的比值—. （二）整体感知当直角三角形有一锐角为30°时，它的对边与斜边的比值为，只要知道三角形任一边长，其他两边就可知. 而上节课我们发现，只要直角三角形的锐角固定，它的对边与斜边、邻边与斜边的比值也固定，这样只要能求出这个比值，那么求直角三角形未知边的问题也就迎刃而解了. 通过与“30°角所对的直角边等于斜边的一半”相类比，学生自然产生想学习的欲望，产生浓厚的学习兴趣，同时对以下要研究的内容有了大体印象. （三）教学过程正弦、余弦的要领是全章知识的基础，对学生今后的学习与工作都十分重要，因此确定它为本课重点，同时正、余弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想，又用含几个字母的符号组来表示，因此概念也是难点. 在上节课研究的基础上，引入正、余弦，“把对边、邻边与斜边的比值称做正弦、余弦”.如图请学生结合图形叙述正弦、余弦定义，以培养学生概括能力及语言表达能力，教师板书：在中，为直角，我们把锐角的对边与余边的比叫做的正弦，记作，锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作. . 若把的对边记作，邻边记作，斜边记作，则，. 引导学生思考：当为锐角时，、的值会在什么范围内？得结论，（为锐角），这个问题对于较差学生来说有些难度，应给学生充分思考时间，同时这个问题也使学生将数与形结合起来. 教材例1的设置是为了巩固正弦概念，通过教师示范，使学生会求正弦，这里不妨增问“、”，经过反复强化，使全体学生都达到目标，更加突出重点. 【例1】求出如下图所示的中的、和、的值. 解：（1）∵斜边，∴，．，．（2），．，∴，．学生练习教材P6～7中1、2、3题．让每个学生画含30°、45°的直角三角形，分别求、、和、、.这一练习既用到以前的知识，又巩固正弦、余弦的概念，经过学习亲自动笔计算后，对特殊角三角函数值印象很深刻. ，，．，，．【例2】求下列各式的值：（1）；（2）．解：（1）．（2）．这了使学生熟练掌握特殊角三角函数值，这里还应安排六个小题：（1）；（2）；（3）；（4）．（5）若，则锐角. （6）若，则锐角. 在确定每个学生都牢记特殊角的三角函数值后，引导学生思考，“请大家观察特殊角的值，猜测一下，大概在什么范围内，呢？”这样的引导不仅培养学生的观察力、注意力，而且培养学生勇于思考、大胆创新的精神，还可以进一步请成绩较好的同学用语言来叙述“锐角的正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小”. （四）总结、扩展首先请学生作小结，教师适当补充，“主要研究了锐角的正弦、余弦概念，已知直角三角形的两边可求其锐角的正、余弦值，知道任意锐角A的正、余弦值都在0～1之间，即，（为锐角）．还发现的两锐角、，，，正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小”. 六、布置作业教材P10中2，3. 预习下一课内容. 补充：（1）若，则锐角．（2）若，则锐角．七、板书设计11————来源网络整理，仅供供参考。