正弦函数与余弦函数的图像与性质

2018年全国卷数学文科第一轮复习资料

第三节 正弦函数与余弦函数的图像与性质

A 组

1．已知函数f (x )＝sin(x －π

2

)(x ∈R )，下面结论错误的是．

①函数f (x )的最小正周期为2π②函数f (x )在区间[0，π

2

]上是增函数

③函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称④函数f (x )是奇函数

2．函数y ＝2cos 2

(x －π4

)－1是________．

①最小正周期为π的奇函数 ②最小正周期为π的偶函数

③最小正周期为π2的奇函数 ④最小正周期为π

2

的偶函数

3．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x ，0≤x <π

2

，则f (x )的最大值为________．

4．已知函数f (x )＝a sin2x ＋cos2x (a ∈R )图象的一条对称轴方程为x ＝π

12

，则a 的值为

________．

5．(原创题)设f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象关于直线x ＝π

3

对称，它的最小正

周期是π，则f (x )图象上的一个对称中心是________(写出一个即可)．

6．设函数f (x )＝3cos 2

x ＋sin x cos x －32

.

(1)求函数f (x )的最小正周期T ，并求出函数f (x )的单调递增区间； (2)求在[0,3π)使f (x )取到最大值的所有x 的和．

B 组

1．函数f (x )＝sin(23x ＋π2)＋sin 2

3

x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________．

2．给定性质：a 最小正周期为π；b 图象关于直线x ＝

π

3

对称．则下列四个函数中，同时具有性质ab 的是________．

①y ＝sin(x 2＋π6) ②y ＝sin(2x ＋π6) ③y ＝sin|x | ④y ＝sin(2x －π

6)

3．若π4

x 的最大值为__．

4．函数f (x )＝sin 2

x ＋2cos x 在区间[－23

π，θ]上的最大值为1，则θ的值是________．

5．若函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在[－2π3，2π

3

]上单调递增，则ω的最大值为________．

6．设函数y ＝2sin(2x ＋π3)的图象关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈[－π

2

，0]，则x 0＝

________.

7．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π

2

，直线x ＝

π

3

是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是________． ①y ＝4sin(4x ＋π6)②y ＝2sin(2x ＋π3)＋2③y ＝2sin(4x ＋π3)＋2 ④y ＝2sin(4x ＋π

6

)＋2

8．有一种波，其波形为函数y ＝sin π

2

x 的图象，若在区间[0，t ]上至少有2个波峰(图象的

最高点)，则正整数t 的最小值是________． 9．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是________．

10．已知向量a ＝(2sin ωx ，cos 2

ωx )，向量b ＝(cos ωx,23)，其中ω>0，函数f (x )＝a ·b ，若f (x )图象的相邻两对称轴间的距离为π.

(1)求f (x )的解析式；(2)若对任意实数x ∈[π6，π

3]，恒有|f (x )－m |<2成立，数m 的取值

围

11．设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin2x ＋m )．

(1)求函数f (x )的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间；

(2)当x ∈[0，π

6

]时，f (x )的最大值为4，求m 的值．

12．已知函数f (x )＝3sin ωx －2sin

2

ωx

2

＋m (ω>0)的最小正周期为3π，且当x ∈[0，π]

时，函数 f (x )的最小值为0. (1)求函数f (x )的表达式；

(2)在△ABC 中，若f (C )＝1，且2sin 2

B ＝cos B ＋cos(A －

C )，求sin A 的值．

第四节 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图像

A 组

1．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是________．

2．年高考卷改编)将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y ＝

sin(x －π

6

)的图象，则φ等于________．

3．将函数f (x )＝3sin x －cos x 的图象向右平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为________．

4．如图是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<π)，x ∈R 的部分图象，则下列命题中，正确命题的序号为________．

①函数f (x )的最小正周期为π

2

；

②函数f (x )的振幅为23；

③函数f (x )的一条对称轴方程为x ＝7

12π；

④函数f (x )的单调递增区间为[π12，7

12

π]；

⑤函数的解析式为f (x )＝3sin(2x －2

3

π)．

5．(原创题)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ，如果存在实数x 1，使得对任意的实数x ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 1＋2010)成立，则ω的最小值为________．

6．已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx ·sin(ωx ＋π2

)＋2cos 2

ωx ，x ∈R (ω>0)，在y 轴

右侧的第一个最高点的横坐标为π

6

.

(1)求ω；

(2)若将函数f (x )的图象向右平移π

6

个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的

4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )的最大值及单调递减区间．