静电场习题答案

解：(1) (2)
b A1 F d S qEab cos90o 0
a
c a
d
Ⅲ
A2
A3
F d S qEac cos180o ＝－1×10-3 J
F d S qEad sin 45o ＝ 2.3×10-3 J
45° b
a
Ⅱ Ⅰ
c
d
+q O -3q x x d x'
E
可得 解出 (2) 设坐标x处U＝0，则 得
q 3q i i 0 2 2 4 0 x 4 0 x d
1 1 3 d 2
2 x 2 2dx d 2 0
x


另有一解不符合题意，舍去．
U
q 3q q 4 0 x 4 0 d x 4 0
静电场答案
一、选择题
y
1.（0388） 在坐标原点放一正电荷 Q，它在P点(x=+1,y=0)产生的电场强 度为 E ．现在，另外有一个负电荷-2Q，试问应将它放在什 么位置才能使P点的电场强度等于零？ (A) x轴上x>1． (B) x轴上0<x<1． (C) x轴上x<0． (D) y轴上y>0． (E) y轴上y<0． ［C ］
O
a a
x
a 4.(1025) 电荷面密度分别为+δ和－δ的两块“无限大”均匀带电平行平面，分别与x x 轴垂直相交于x1＝a，x2＝－a 两点．设坐标原点O处电势为零，试求空间 - 的电势分布表示式并画出其曲线．
z
a
+
解：由高斯定理可得场强分布为： E =-δ/ ε0 (－a＜x＜a) E=0 (－∞＜x＜－a ，a＜x＜＋∞) 由此可求电势分布：在－∞＜x≤－a区间
Rb Rc Ra A BC
E1=λ1 / 2πε0r，方向由B指向A
B、C间场强分布为 B、A 间电势差
E2=λ2 / 2πε0r，方向由B指向C
1 U BA E1 d r Rb 2 0
Ra
Rb dr 1 Rb r 2 0 ln Ra
Ra
C
B A
E2 E1
V．小球从A→B过程中球、槽组成的系统水平方向动量守恒，
A m,q M B C
mv＋MV＝0
对该系统，由动能定理 ①、②两式联立解出
①
②
mgR－EqR＝(mv2＋MV2)/2
mv 2mRmg qE V M M M m
小球通过B点后，可以到达C点
2MRmg qE v mM m
q0
d
d

l
dx
O d+ x x x l
dE
4 0 d x
l
dx
2
整个杆上电荷在该点的场强为：
q0
E 4 0
dx l 0 d x 2 4 0d d l
点电荷q0所受的电场力为：
q0 l F ＝0.90 N 4 0 d d l
方向水平向右
方向水平向左
7.(1081)一均匀电场，场强大小为E＝5×104 N/C，方向竖直朝上，把一电荷 为q＝ 2.5×10-8 C的点电荷，置于此电场中的a点，如图所示．求此点电荷在 下列过程中电场力作的功． (1) 沿半圆路径Ⅰ移到右方同高度的b点， ab ＝45 cm； (2) 沿直线路径Ⅱ向下移到c点， ac ＝80 cm； (3) 沿曲线路径Ⅲ朝右斜上方向移到d点， ad ＝260 cm(与水平方向成45° 角)．
+Q
R O
－Q
x
4 0 R 2
2 2 0 R 2
按θ角变化，将dE分解成二个分量：
d E x d E sin
Q
2 0 R
2
2
sin d
dq
y
d E y d E cos
Q 2 2 0 R 2
cos d
d

对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷
3.（1059） 图中虚线所示为一立方形的高斯面，已知空间的场强分布为:Ex＝bx, Ey＝0, Ez＝0． 高斯面边长a＝0.1 m，常量b＝1000 N/(C· m)．试求该闭合面中包含的净电荷．(真空介电 常数ε0＝8.85×10-12 C2· N-1· m-2 ) y 解：设闭合面内包含净电荷为Q．因场强只有x分量不 为零，故只是二个垂直于x轴的平面上电场强度通量不 为零．由高斯定理得： -E1S1+ E2S2=Q / ε0 ( S1 = S2 =S ) 则 Q = ε0S(E2- E1) = ε0Sb(x2- x1) = ε0ba2(2a－a) =ε0ba3 = 8.85×10-12 C
沿x轴负向
10.（1245）如图所示，有一高为h 的直角形光滑斜面, 斜面倾角为a．在直角顶点A处有 一电荷为－q 的点电荷．另有一质量为m、电荷＋q 的小球在斜面的顶点B 由静止下 滑．设小球可看作质点，试求小球到达斜面底部C点时的速率． 解：因重力和电场力都是保守力，小球从顶点B 到达底部 C点过程中能量守恒．
D C
二、填空题 1.（1042） A、B为真空中两个平行的“无限大”均匀带电平面，已知两平 面间的电场强度大小为E0，两平面外侧电场强度大小都为E0/3， 方向如图．则A、B两平面上的电荷面密度分别为δA＝ －2ε0E0 / 3 4ε0E0 / 3 _______________, δB＝____________________ ．
x
3.（1047） 如图所示，边长为 0.3 m的正三角形abc，在顶点a处有一电荷为10-8 C的正点电荷，顶点 b处有一电荷为-10-8 C的负点电荷，则顶点c处的电场强度的大小E和电势U为： 1 ( =9×10-9 N m /C2)
4Hale Waihona Puke Baidu0
c
(A) E＝0，U＝0． (B) E＝1000 V/m，U＝0． (C) E＝1000 V/m，U＝600 V． (D) E＝2000 V/m，U＝600 V．
B、C 间电势差
U BC
2 E2 d r Rb 2 0
Rc
因UBA＝UBC ,得到
1 lnRc / Rb 2 lnRb / Ra
Rc dr 2 Rb r 2 0 ln Rb
Rc
-1
+1
+2
-2
9.(1072) 在真空中一长为l＝10 cm的细杆上均匀分布着电荷，其电荷线密度λ＝ 1.0×10-5 C/m．在 杆的延长线上，距杆的一端距离d＝10 cm的一点上，有一点电荷q0＝ 2.0×10-5 C，如图 所示．试求该点电荷所受的电场力．(真空介电常量ε0＝8.85×10-12 C2· N-1· m-2 ) 解：选杆的左端为坐标原点，x轴沿杆的方向 ．在x处取 一电荷元λdx，它在点电荷所在处产生场强为：
Q
2.（1010） 带电细线弯成半径为R的半圆形，电荷线密度为λ=λ0sinφ，式中λ0为一常数，φ为半 y 径R与x轴所成的夹角，如图所示．试求环心O处的电场强度． 解：在φ处取电荷元，其电荷为: dq =λdl = λ0Rsinφ dφ 它在O点产生的场强为 在x、y轴上的二个分量
0 sin d dq dE 2 4 0 R 4 0 R
R O
x
/ 2 Ex 2 sin d sin d 0 2 2π 0 R 0 所以 /2 /2 Q Q Q E y 2 2 cos d cos d 2 2 E Ex i E y j 2 j 2 2 0 R 0 R 0 /2 0R
［ B ］
a
b
4.（1076） 点电荷-q位于圆心O处，A、B、C、D为同一圆周上的四点，如图所示．现将一 试验电荷从A点分别移动到B、C、D各点，则 (A) 从A到B，电场力作功最大． (B) 从A到C，电场力作功最大． (C) 从A到D，电场力作功最大． -q (D) 从A到各点，电场力作功相等． ［D ］ A B O
d 4x x( d x) 0
d- 4x = 0, x = d/4
6.(0250)在强度的大小为E，方向竖直向上的匀强电场中，有一半径为R的半球形 光滑绝缘槽放在光滑水平面上(如图所示)．槽的质量为M，一质量为m带有电荷＋q 的小球从槽的顶点A处由静止释放．如果忽略空气阻力且质点受到的重力大于其所 受电场力，求： (1) 小球由顶点A滑至半球最低点Ｂ时相对地面的速度； (2) 小球 通过B点时，槽相对地面的速度； (3) 小球通过B点后，能不能再上升到右端最高 点C？ E E 解：设小球滑到B点时相对地的速度为v，槽相对地的速度为
+q
S
0 斯面的电场强度通量 SE d S ＝_____________ ，式中
高斯面上各点 为_________________ 处的场强．
E
-q
4.（1194） 把一个均匀带有电荷+Q的球形肥皂泡由半径r1吹胀到r2，则半径为R(r1＜R＜r2)的 Q/(4πε0r22) 2) Q /(4π ε R 0 球面上任一点的场强大小E由______________ 变为______________；电势U由 Q/(4πε0R) Q/(4πε0r2) __________________________ 变为________________( 选无穷远处为电势零点)．
-a
O +a
x
U E d x 0 d x d x / 0 a / 0
x x a
0
a
0
在－a≤x≤a区间
在a≤x＜∞区间
x U Edx dx x x 0 0 0 a 0 a U E d x 0d x dx
A
B
E0/3 E0
E0/3
2.（1050） 两根相互平行的“无限长”均匀带正电直线1、2，相距为d， 其电荷线密度分别为λ1和λ2如图所示，则场强等于零的点 1 d 与直线1的距离a为_____________ ． 1 2
1
2
a d 1 2
E
3.（1498） 如图，点电荷q 和－q被包围在高斯面S内，则通过该高
(3)
a
8.(1276) 如图所示，三个“无限长”的同轴导体圆柱面A、B和C，半径分别为Ra、Rb、 Rc．圆柱面B上带电荷，A和C都接地．求Ｂ的内表面上电荷线密度λ1和外表面上电荷 线密度λ2之比值λ1/ λ2． 解：设B上带正电荷，内表面上电荷线密度为λ1，外表面上 电荷线密度为λ2，而A、C上相应地感应等量负电荷，如图所 示．则A、B间场强分布为
0 0

U
-a
O +a
x
x
x
a
0
0
5.(1179)如图所示，两个点电荷＋q 和－3q，相距为d. 试求： (1) 在它们的连线上电场强度的点与电荷为＋q 的点电荷相距多远？ (2) 若选无穷远处电势为零，两点电荷之间电势U=0的点与电荷为＋q的点电荷相距多远？ 解：设点电荷q所在处为坐标原点O，x轴沿两点电荷的连线 (1) 设的点的坐标为，则
计算题 1.（1009） 一个细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电荷+Q，沿其下 半部分均匀分布有电荷－Q，如图所示．试求圆心O处的电场强度． y 解：把所有电荷都当作正电荷处理. 在θ处取微小电荷 dq = λdl = 2Qdθ/ π dq Q 它在O处产生场强 d E d
R dEx
dq
d
x

dE
O dEy
dEx=－dEcosf , dEy=－dEsinf 对各分量分别求和
0 Ex sin cos d 0 4 0 R
0 0 2 Ey sin d 0 4 0 R 8 0 R
所以
0 E Ex i E y j j 8 0 R
O +Q
(1,0) P
x
2.（1034） 有两个电荷都是＋q 的点电荷，相距为2a．今以左边的点电荷所在处为球心，以a 为半径作一球形高斯面 ． 在球面上取两块相等的小面积S1和S2，其位置如图所 示． 设通过S1和S2的电场强度通量分别为φ1和φ2，通过整个球面的电场强度通量 为φS，则 S2 S1 q (A) φ1＞φ2φS＝q /ε0． q (B) φ1＜φ2，φS＝2q /ε0． 2a O (C) φ1＝φ2，φS＝q /ε0． D (D) φ1＜φ2，φS＝q /ε0． ［ ］