六年级数学培优题

六年级数学培优题

一、培优题易错题

1．“△”表示一种新的运算符号，已知：2△3=2﹣3+4，7△2=7﹣8，3△5=3﹣4+5﹣6+7，…；按此规则，计算：

（1）10△3=________.

（2）若x△7=2003，则x=________．

【答案】（1）11

（2）2000

【解析】【解答】（1）10△3=10-11+12=11；（2）∵x△7=2003，

∴x-（x+1）+（x+2）-（x+3）+（x+4）-（x+5）+（x+6）=2003，

解得x=2000．

【分析】（1）首先弄清楚定义新运算的计算法则，从题目中给出的例子来看，第一个数表示从整数几开始，后面的数表示几个连续整数相加减，根据发现的运算规则，即可由10△3列出算式，再根据有理数加减法法则，即可算出答案；

（2）根据定义新运算的计算方法，由x△7=2003，列出方程，求解即可。

2．在平面直角坐标系中，若点P（x，y）的坐标x、y均为整数，则称点P为格点．若一个多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L．例如图中△ABC 是格点三角形，对应的S＝1，N＝0，L＝4．

（1）写出图中格点四边形DEFG对应的S，N，L．

（2）已知任意格点多边形的面积公式为S＝N＋aL＋b，其中a，b为常数．当某格点多边形对应的N＝82，L＝38，求S的值．

【答案】（1）解：根据图形可得：S=3，N=1，L=6

（2）解：根据格点三角形ABC及格点四边形DEFG中的S、N、L的值可得，

，

解得a ，

∴S=N+ L﹣1，

将N=82，L=38代入可得S=82+ ×38﹣1=100

【解析】【分析】（1）按照所给定义在图中输出S，N，L的值即可；（2）先根据（1）中三角形与四边形中的S，N，L的值列出关于a，b的二元一次方程组，解方程组求得a，b的值，从而求得任意格点多边形的面积公式，代入所给N，L的值即可求得相应的S的值.

3．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16，…这样的数称为“正方形数”.

（1）第5个“三角形数”是________，第n个“三角形数”是________，第5个“正方形数”是________，第n个“正方形数”是________.

（2）除“1”以外，请再写一个既是“三角形数”，又是“正方形数”的数________.

（3）经探究我们发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看做两个相邻“三角形数”之和. 例如：①4=1+3；②9=3+6；③16=6+10；④________；⑤________；…请写出上面第4个和第5个等式.

（4）在（3）中，请探究n2=________+________。

【答案】（1）15；；25；n2

（2）36

（3）25=10+15；36=15+21

（4）2n；1

【解析】【解答】解：（1）15，，25，n2；（2）1+2+3+4+5+6+7+8=36，62=36，所以36是三角形数，也是正方形数。（3）25=10+15，36=15+21；（4）

，

∵右边=

=

=n2+2n+1=（n+1）2=左边，

∴原等式成立．

故答案为15，，25，n2；25=10+15，36=15+21．

【分析】（1）由“三角形数”得意义可得规律：第n个数为，把n=5代入计算即可求解；根据“正方形数”的意义可得：第n个数为，把n=5代入计算即可求解；

（2）通过计算可知，36既是三角形数，也是正方形数；

（3）由题意可得④25=10+15，⑤36=15+21；

（4）由（3）中的计算可得：；，，

。

4．、、三个试管中各盛有克、克、克水．把某种浓度的盐水克倒入中，充分混合后从中取出克倒入中，再充分混合后从中取出克倒入中，最后得到的盐水的浓度是．问开始倒入试管中的盐水浓度是百分之几？

【答案】解：0.5%÷÷÷

=0.5%×2×3×4

=12%

答：一开始倒入A中盐水的浓度是12%。

【解析】【分析】整个过程中盐水浓度在下降．倒入中后，浓度变为原来

的；倒入中后，浓度变为中的；倒入中后，浓度变为中

的。根据分数除法的意义计算原来A中盐水浓度即可。

5．有两种溶液，甲溶液的酒精浓度为，盐浓度为，乙溶液中的酒精浓度为，盐浓度为．现在有甲溶液千克，那么需要多少千克乙溶液，将它与甲溶液混和后所得的溶液的酒精浓度和盐浓度相等?

【答案】解：甲溶液中酒精：1×10%=0.1（千克），盐：1×30%=0.3（千克），0.3-0.1=0.2（千克）；

0.2÷40%=0.5（千克）

答：需要加入0.5千克乙溶液，将它与甲溶液混和后所得的溶液的酒精浓度和盐浓度相等。

【解析】【分析】由于乙溶液中不含盐，所以只需要计算出甲溶液中酒精比盐少多少千克，用酒精少的重量除以乙溶液的酒精浓度即可求出需要加入乙溶液的质量。

6．一项工程，甲独做天完成，甲天的工作量，乙要天完成．两队合做天后由乙队独做，还要几天才能完成？

【答案】解：乙的工作效率：，

=

=（天）

答：还要天才能完成。

【解析】【分析】用甲的工作效率乘3再除以4即可求出乙的工作效率，用总工作量减去两队合作2天的工作量即可求出还剩的工作量，还剩的工作量由乙来做，用剩下的工作量除以乙的工作效率即可求出还需要的时间。

7．一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可以完成；如果甲先做20天，那么乙接着做8天可以完成．如果甲、乙合作，那么多少天可以完成？

【答案】解：甲做5天的工作量乙需要4天，乙独做需要：20+4=24（天），

甲的工作效率：，

合做：（天）。

答：如果甲、乙合作，天可以完成。

【解析】【分析】如图：

从图中可以直观地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量。于是可用“乙工作4天”等量替换题中“甲工作5天”这一条件。这样这项工程就相当于乙独做需要（20+4）天。用乙的工作效率乘4再除以5即可求出甲的工作效率，用总工作量除以工作效率和即可求出合作完成的天数。

8．甲、乙、丙三人同时分别在3个条件和工作量相同的仓库工作，搬完货物甲用10小时，乙用12小时，丙用15小时．第二天三人又到两个大仓库工作，这两个仓库的工作量相同．甲在仓库，乙在仓库，丙先帮甲后帮乙，用了16个小时将两个仓库同时搬完．丙在仓库搬了多长时间？

【答案】解：三人工作效率的比：；

搬完一个大仓库需要的时间：16÷2=8（小时），