2011、2012年华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛真题及详解

2011、2012年华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛真题及详解
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题A （小学组） （时间: 2011年4月16日10:00～11:30） 一、填空题（每小题 10分, 共80分） 1. 135713572468+++= . 2. 工程队的8个人用30天完成了某项工程的31, 接着增加了4个人完成其余的工程, 那么完成这项工程共用了 天. 3. 甲乙两人骑自行车同时从A 地出发去B 地, 甲的车速是乙的车速的1.2倍. 乙骑了5千米后, 自行车出现故障, 耽误的时间可以骑全程的61. 排除故障后, 乙的速度提高了60%, 结果甲乙同时到达B 地. 那么A, B 两地之间的距离为 千米. 4. 在火车站的钟楼上装有一个电子报时钟, 在圆形钟面的边界, 每分钟的刻度处都有一个小彩灯. 晚上9时35分20秒时, 在分针与时针所夹的锐角内有 个小彩灯. 5. 在边长为1厘米的正方形ABCD 中, 分别以A , B , C , D 为圆心, 1厘米为半径画四分之一圆, 交点E , F , G , H , 如图所示. 则中间阴影部分的周长为 厘米.（取圆周率 3.141π=） 6. 用40元钱购买单价分别为2元、5元和11元的三种练习本, 每种至少买一
本, 而且钱恰好花完. 则不同的购买方法有 种.
7. 已知某个几何体的三视图如右图,
根据图中标示的尺寸（单位: 厘米）,
这个几何体的体积是 （立方
厘米）.
学校____________
姓名__
_______
参赛证号
密
封
线
内
请
勿
答
题
8. 将自然数1~22分别填在下面的“□”内(每个“□”只能填一个数), 在形
成的11个分数中, 分数值为整数的最多能有 个.
二、解答下列各题（每题10分, 共40分, 要求写出简要过程）
9. 长方形ABCD 的面积是2011平方厘米. 梯形AFGE
的顶点F 在BC 上, D 是腰EG 的中点. 试求梯形
AFGE 的面积.
10. 公交车的线路号是由数字显示器显示的三位数,
其中每个数字是由横竖放置的七支荧光管显示,
如右图所示. 某公交车的数字显示器有两支坏了的荧光管不亮, 显示的线路号为“351”, 则该公交车的线路号有哪些可能?
11. 设某年中有一个月里有三个星期日的日期为奇数, 则这个月的20日可能是
星期几?
12. 以[]x 表示不超过x 的最大整数, 设自然数n 满足
201115151153152151>⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡n n , 则n 的最小值是多少?
三、解答下列各题（每小题 15分，共30分，要求写出详细过程）
13. 在右面的加法竖式中, 不同的汉字代表不同的
数字. 问: 满足要求的不同算式共有多少种?
14. 如图, 两只蜘蛛同处在一个正方体的顶点A , 而一只
爬虫处在A 的体对顶点G . 假设蜘蛛和爬虫均以同样
的速度沿正方体的棱移动, 任何时候它们都知道彼此
的位置, 蜘蛛能预判爬虫的爬行方向. 试给出一个两
只蜘蛛必定捉住爬虫的方案.
2011年“华杯赛”复赛小学组试题及详解
第16届华杯赛复赛小学组试题及详解
1. 原式=(2+4+6+8)-(1/2+1/4+1/6+1/8)=20-(1+1/24)=18+23/24。

2. 8个人用30天完成了工程的1/3，那么8个人完成剩余工程（2/3）应该用60天，
增加4个人变成12个，应该用60÷12×8=40天，共用70天。

3. 甲乙的速度比为6:5，乙提速后的速度为5×1.6=8份。

假设乙耽误的时间也在
以5的速度前进，则乙总共可以前进全程的7/6。

也就是说相当于乙在用甲的速度
的5/6和8/6两种速度来骑甲的7/6的路程，根据十字相乘法，两种速度所用的时间
之比为1:2。

也就是说，乙用5/6的速度行驶了5/6×1/3=5/18的路程，那么全程的
5/18-1/6=1/9就是5千米，全程45千米。

4. 因为35分20秒比一小时的3/5（36分钟）小一点，所以时针没有超过9后面的第
三个刻度线（即48分的刻度线）；而分针在35分和36分之间。

因此，两针所夹的
锐角内有36分~47分的刻度线，共47-36+1=12条。

5. △FAB是等边三角形，所以弧AF是六分之一圆，同理弧GC也是六分之一圆，则
弧GF是1/6+1/6-1/4=1/12圆，四条弧是1/3圆，长度为2×π×1÷3=2.094。

6. 每种先都减去1本，剩余40-2-5-11=22元。

如果再买2本11元的，恰好用完，1种方法；
如果再买1本11元的，剩余11元，可以买1本5元和3本2元，1种方法；
如果不再买11元的，22元最多买4本5元的，5元的本数可以是4，2，0，3种方法。

共有1+1+3=5种方法。

7. 该几何体是一个四棱锥，底面积为20×20=400，高为20，所以体积为
400×20÷3=8000/3（立方厘米）。

8. 大于11的质数13，17，19都只能作为分母为1的数的分母，如果它们作为同一
个分数的分子和分母，则剩余的10个可以都是整数。

下面举例说明可以只有一个
不是整数：
13/1 22/11 20/10 18/9 16/8 14/7 15/5 21/3 4/2 12/6 19/17
共9个是整数。

9. 本题很类似另一个长方形和正方形的题。

长方形的面积等于△ADF的2倍，如果
能说明梯形的面积也等于△ADF的2倍，则梯形的面积也等于2011平方厘米。

过D作DH∥AF交FG于H，把△DGH剪下来，DG边和DE边拼起来，因为∠E和∠G加起来
等于180°，所以可以拼成一个平行四边形，它和△ADF同底（AF）同高，所以面
积是△ADF的2倍。

10. 如果坏的两根就是本来不亮的，是351；
如果只有百位的不是3，则百位最多坏两根，可能是951或851；
如果只有十位的不是5，则十位最多坏两根，可能是361，391或381；
如果只有个位的不是1，则个位最多坏两根，可能是357或354；
如果百位十位都是错的，则这两位各坏一根，可能是961或991；
如果百位个位都是错的，则这两位各坏一根，可能是957；
如果十位个位都是错的，则这两位各坏一根，可能是367或397。

综上所述，可能是351，354，357，361，367，381，391，397，851，951，957，961，991。

共13种可能性。

11. 星期数相同且奇偶性相同，则相差14天。

如果是1号，15号，29号是星期日，则20号是星期五；
如果是3号，17号，31号是星期日，则20号是星期三；
一个月最多31天，所以不能再往下讨论了。

12. 这个加法算式中，从第一个大于0的项开始，依次有15个1，15个2，……如果15(1+2+3+...+n)>2011，则1+2+3+...+n至少为135，也就是说n(n+1)至少为
270，n至少为16。

15(1+2+3+...+16)=2040，减去一个16为2024，仍大于2011，再减去一个16为2008，
小于2011了。

所以最多减去一个16，还有14个16，n至少为15×16+14-1=253。

13. 显然华=1。

根据弃九法，5不能出现。

则0+1+2+3+4+6+7+8+9=40，2+0+1+1=4，减少了36=4×9，所以共进4位。

百位肯定向千位进1位，下面就十位和个位的进位
情况讨论：
如果十位向百位进2，个位向十位进1，则百位数字之和为8，十位数字之和为20，
个位数字之和为11。

剩余的数字0，2，3，4，6，7，8，9可能的分组方法如下：(0+8)，(4+7+9)，(2+3+6)；(2+6)，(3+8+9)，(0+4+7)；(2+6)，(4+7+9)，(0+3+8)。

注意0不能放在首位，所以共有1×6×6+2×6×6+2×6×6=180种。

如果十位向百位进1，个位向十位进2，则百位数字之和为9，十位数字之和为9，个位数字之和为21。

剩余的数字0，2，3，4，6，7，8，9可能的分组方法如下：(0+9)，(2+3+4)，(6+7+8)；(2+7)，(0+3+6)，(4+8+9)；(3+6)，(0+2+7)，(4+8+9)。

注意0不能放在首位，所以共有1×6×6+2×4×6+2×4×6=132种。

综上所述，共180+132=312种。

14. 根据奇偶性，如果蜘蛛和爬虫都不停移动，则蜘蛛有可能永远抓不住爬虫。

那么，两只蜘蛛一开始的时候应该选择不懂。

根据对称性，不妨设爬虫第一步移动到了F。

⑴如果蜘蛛预知爬虫下一步移动到E或B，则蜘蛛也朝着该棱移动就行了。

⑵如果蜘蛛预知爬虫下一步移动到G，则一只移动到E，一只移动到B。

无论爬虫下
一步移动到F，H，C中的哪个，总有一只蜘蛛可以移动到相应的顶点，爬虫就自投
罗网了。

第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛笔试试题A（小学高年级组）
（时间: 2012 年4 月21 日10:00～11:30）
一、填空题（每小题 10 分, 共80 分）
1. 算式 1010.5 5.214.69.2 5.2 5.4 3.7 4.6 1.5
的值为 .
2. 箱子里已有若干个红球和黑球, 放入一些黑球后, 红球占全部球数的四分之一；再放入一些红球后, 红球的数量是黑球的三分之二. 若放入的黑球和红球数量相同, 则原来箱子里的红球与黑球数量之比为______.
3. 有两个体积之比为5:8 的圆柱, 它们的侧面的展开图为相同的长方形, 如果把该长方形的长和宽同时增加6, 其面积增加了11
4. 那么这个长方形的面积为_____.
4. 甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食, 如果从甲粮库调90 袋到乙粮库, 则乙粮库存粮的袋数是甲粮库的2 倍．如果从乙粮库调若干袋到甲粮库, 则甲粮库存粮的袋数是乙粮库的6 倍．那么甲粮库原来最少存有______袋的粮食.
5. 现有211 名同学和四种不同的巧克力, 每种巧克力的数量都超过633 颗. 规定每名同学最多拿三颗巧克力, 也可以不拿. 若按照所拿巧克力的种类和数量都是否相同分组, 则人数最多的一组至少有_______名同学.
6. 张兵1953 年出生，在今年之前的某一年, 他的年龄是9 的倍数并且是这一年的各位数字之和，那么这一年他______岁.
7. 右图是一个五棱柱的平面展开图, 图中的正方形边长都为2. 按图所示数据, 这个五棱柱的体积等于______.
二、解答下列各题（每题10 分, 共40 分, 要求写出简要过程）
9. 如右图, ABCD 是平行四边形, E为AB延长
线上一点, K 为AD 延长线上一点.连接BK, DE 相交于一点O. 问: 四边形ABOD 与四边形ECKO 的面积是否相等? 请说明理由.
10. 能否用500 个右图所示的1 2的小长方形拼成一个5 200的
大长方形, 使得5 200的长方形的每一行、每一列都有偶数
个星? 请说明理由.
11. 将一个2n 位数的前n 位数和后n 位数各当成一个n 位数, 如果这两个n 位数之和的平方正好等于这个2n 位数, 则称这个2n 位数为卡布列克(Kabulek)怪数，例如， 2 (30 25) 3025 , 所以3025 是一个卡布列克怪数. 请问在四位数中有哪些卡布列克怪数?
12. 已知98 个互不相同的质数
被3 除的余数是多少？
三、解答下列各题（每小题 15 分，共30 分，要求写出详细过程）
13. 小李和小张在一个圆形跑道上匀速跑步, 两人同时同地出发, 小李顺时针跑,每72 秒跑一圈; 小张逆时针跑, 每80 秒跑一圈. 在跑道上划定以起点为
中心的圆弧区间, 那么两人同时在划定的区间内所持续的时间为多少秒? 14. 把一个棱长均为整数的长方体的表面都涂上红色, 然后切割成棱长为1 的小立方块, 其中, 两面有红色的小立方块有40 块, 一面有红色的小立方块
有66 块, 那么这个长方体的体积是多少?
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛笔试试题A 参考答案
（小学高年级组）。