塑性力学第四章塑性本构关系

ii

1 2
E
ii
eij

1 2G
Sij
第二个式子是六个方程,但因为有 Sii 0, 所以有5个是独立的. 从第二式可以看到在弹性范围内应力主轴和应变主轴是一致 的. 应变偏量的分量和相应的应力偏量的分量成正比.
第二式也可以写成 Sij 2Geij ,把它代入应力强度的表达式
就可以得到下面的第二式, 然后有 G i / 3i 再代回上面第
(1) 荷载(包括体力)按比例增长.如有位移边界条件应为零.
(2) 材料是不可压缩的.
(3)应力强度和应变强度之间幂指数关系,
即
i

A
m i
这就是Il’yushin简单加载定律.有人认为只有第(1)条就可以了.
塑性成形力学基础－－韩志仁
4-6 卸载定律

• 从单向拉伸实验的应力应变曲线
A
看:加载至过弹性极限达到A点,然后
ij

1 E
1
ij
ij kk

• 也可以表示为:
ii

1 2
E
ii
eij

1 2G
Sij
我们来证明一下:
由应力和应变的分解式,即 ij Sij ij m , ij eij ijm
代入上面广义Hooke定律的公式,考虑到 G E / 21
法则就得到弹塑性硬化材料的增量型本构方程:
dii

1 2
E
d ii
deij
在线性强化时 H 时常数.由把Levy-Mises流动法则代入塑性
应变增量强度
d
p i
的公式得到
d
p i

d
2 3
Sij Sij

2 3
d

i
所以
d

3d

p i

3d i
2 i 2H i
塑性成形力学基础－－韩志仁
• 将上面得到的 d代入Prandtl-Reuss（普朗特－劳斯）流动
上式第一项是体积比能增量,第二项为形状变形比能,记为 Wd 这样考虑Prandtl-Reuss（普朗特－劳斯）流动法则有:
dWd

Sij deij

Sij

1 2G
dSij

d Sij


d Sij Sij

d


2 3

2 i

所以有
d

3dWd
2
2 i
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的各个应力分量按比例增长. 即
ij


t

0 ij
其中
0 ij
是某一非零的参考应力状态,
t 是单调增加的参数.
这样定义的简单加载说明, 在加载时物体内应变和应力的主方
向都保持不变.
• 但是物体内的内力是不能事先确定的, 那么如何判断加载过 程是简单加载? Il’yushin指出, 在符合下列三个条件时, 可以 证明物体内所有各点是处于简单加载过程:
程, 它时服从增量Hooke定律.
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4-4 全量理论的基本方程及边值问题的提法
设在物体 V 内给定体力 Fi , 在应力边界 S 上给定面
S : pi
力 pi , 在位移边界 Su 上给 定位移为 ui , 要求确定物 体内处于塑性变形状态的各
z
V
Fi
点的应力 ij , 应变 ij 和位
式中的比例系数决定于质点的位置和荷载的水平. 这一理论是 Levy和Mises分别在1871年和1931年独立提出的, 所以被称为 Levy-Mises流动法则.
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2. Prandtl-Reuss（普朗特－劳斯）流动法则 这个理论考虑 了塑性状态变形中的弹性变形部分, 并认为弹性变形服从广义 Hooke定律; 而对于塑性变形部分, 被认为塑性应变增量的主 轴和应力偏量的主轴重合（塑性应变增量与应力的关系和 Levy-Mises方程相同）. 即
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简单加载（简单变形）：各应力分量按同一比例增加，此时应 力主轴方向固定不变。由于应变增量的主轴方向和应力主轴方 向重合，应变主轴也始终不变。 1924年汉基提出了不包括硬化的全量关系。

ij


m

1
1
2G
2
E

m
ij

deij

deiej

deiepj

1 2G
dSij

d Sij
又由塑性不可压缩性, 体积变化是弹性的,有
dii

1 2
E
d ii
这就是
PrandtlReuss流 动法则
塑性成形力学基础－－韩志仁
4-8 理想弹塑性材料的增量本构方程
• 对于理想弹塑性材料, 后继屈服面和初始屈服面是重合的. 若
eij
ijm

1 E

1
Sij ij m ij kk

1 E
1

Sij ij m

3 ij
m


1 2G
Sij

1 2
E
ij
m
所以可以写成两个相应分解张量之间的关系.
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这是七个方程
i H
d

p i
(对于理想弹塑性Mises条件为 i s )
i S
i
去掉弹性
i tg H 11 S
H
d

p i
理想弹塑性
o
i
o

p i

d

p i
上式微分得到 d i H d
d

p i

H
d

p i
H 是函数 H 对自变量的导数, 有简单的物理意义, 见上图.
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1. Levy-Mises流动法则 假设： （1）材料为理想刚塑性材料，即弹性增量为0； （2）材料符合Mises屈服准则； （3）塑性变形时体积不变； （4）应变增量主轴和应力主轴重合； （5）应变增量分量与相应的应力偏量分量成比例, 即
dij dSij d 0
•形式上和广义Hooke定律相似, 但这里的比例系数不是一个常 数.这是一个非线性关系.下面我们来看一下这个系数等于什么?
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因为应力强度和应变强度的公式为:
i
3 2
Sij Sij
i
2 3
eij eij
把
eij Sij 代入上面右式并考虑上面左式得到

3i 2 i
4-1 建立塑性本构关系的基本要素 Shield和Ziegler指出, 建立塑性本构关系需要考虑三个基本要素: (1.
其中(1)和(3) 在第二章已经解决, 本章要解决第(2)点.
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4-2 广义Hooke定律
• 在弹性范围内, 广义Hooke定律可以表达为
4-7 Levy-Mises流动法则和Prandtl-Reuss流动法则
塑性应力应变关系的重要特点是它的非线性和不唯一性. 全 量理论则企图直接建立全量形式表示的与加载路径无关的本 构关系, 一般是不正确的. 所以作为描述本构关系应该是它们 的增量之间的关系. 这就是增量理论, 也就是流动法则. 这里 介绍两个增量理论. 即Levy-Mises流动法则和Prandtl-Reuss 流动法则.
d 0
得到
1
d
3 2
dijdij s
现在定义应变 增量强度为
di
2 3
dijd ij
那么 d 3di 2 S
• 理想刚塑性材料的增量型本构方程为:
dij

3di 2 S
Sij
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4-10 弹塑性硬化材料的增量型本构方程
• 对于弹塑性硬化材料, 采用等向硬化模型, 取Mises屈服条件, 即
i
2 3 eijeij
这就是对于全量 理论的塑性力学
边界条件 S : ijl j pi , Su : ui ui
的边值问题.
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4-5 全量理论的适用范围 简单加载定律 • 全量理论适用小变形并且是简单加载.
• 那么上面是简单加载? 理论上指在加载过程中物体每一点
(1)全量理论, 又称为形变理论, 它认为在塑性状态下仍有应力 和应变全量之间的关系. 有Hencky(亨奇)理论和Il’yushin (伊柳 辛)理论.
(2)增量理论, 又称为流动理论, 它认为在塑性状态下是塑性应 变增量和应力及应力增量之间有关系.有Levy-Mises(莱维-米泽 斯)理论和Prandtl-Reuss(普朗特-罗伊斯)理论.
• 理想弹塑性材料的增量型本构方程可以写为
dii

1 2
E
d ii
deij

1 2G
dSij

3dWd
2
2 s
Sij
4-9 理想刚塑性材料的增量型本构方程
• 理想刚塑性材料的Levy-Mises流动法则为 dij dSij
把它代入Mises屈服条件
i
3 2
Sij Sij s
(3)应力强度是应变强度的函数 i i , 即按单一曲线假
定的硬化条件.
综上所述, 全量型塑性本构方程为
ii

1 2
E
ii
eij

3i 2 i
Sij
i i
注意的是上式只是描述了加载过程中的弹塑性变形规律. 加
载的标志是应力强度 i 成单调增长. i 下降时为卸载过
一式得到下面的第二式.
• 所以也可i 写成32 e如ije下ij 形式
eij
i
3i 2 i
23SSij ij
Sij
i

3Gi
• 当应力从加载面卸载, 也服从广义Hooke定律,写成增量形式
dii

1 2
E
d ii
deij

1 2G
dSij
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4-3 全量型本构方程
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• 使用卸载定律要注意两点:
(1) 卸载过程必须是简单加载, 即卸载过程中各点的应力分量 时按比例减少的;
(2) 卸载过程中不发生第二次塑性变形, 即卸载不引起应力改 变符号而达到新的屈服.
• 由卸载定律可以看出, 全部卸载后,在物体内不仅留下残余应 变, 而且还有残余应力.
卸载至B点, 此时总应变 的弹性

部分 e 中的部分应变 得到恢复,塑 性应变部分 p要被保留下来.此时
的应力和应变的改变量, 即B点的应
B


力和应变为
,
o p e

因为卸载要服从弹性本构关系,
即 E.这就是说,我们可以
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第四章 塑性本构关系—全量理论 和增量理论
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塑性模型三要素
屈服条件 流动法则
硬化规律
判断何时 达到屈服
屈服后塑性应变 增量的方向，也 即各分量的比值
决定给定的应力 增量引起的塑性 应变增量大小
本章内容
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第四章 塑性本构关系—全量理论和增量理论 引言:塑性变形规律的复杂性, 到目前为止这个塑性本构关系问 题还没有得到满意的解决.现在广范采用的理论分为两大类:

由因为卸载引起的荷载的改变

量 P P P 按弹性计算得到.
• 推广到复杂应力的卸载情况(即应力强度 i 减小)得到:
卸载定律 . 即: 卸载后的应力或应变等于卸载前的应力或应变
减去卸载时的荷载改变量 P P P 为假想荷载按弹性计算所
得之应力或应变(即卸载过程中应力或应变的改变量.
移 ui .按照全量理论,确定这 O
y
些基本未知量的基本方程有
x
Su : ui
平衡方程 ij, j Fi 0
几何方程
ij

1 2
ui. j u j,i
本构方程
ii

1 2
E
ii
eij

3i 2 i
Sij
i i
其中
i
3 2
Sij Sij
采用Mises条件, 则应有
i
3 2
求微分有
Sij Sij s
SijdSij 0
又因为应变比能的增量为
dW ijdij mij Sij dmij deij
mdmijij dm Sijij mdeijij Sij deij 3 mdm Sij deij
Il’yushin在1943年提出的硬化材料在弹塑性小变形情况下的本 构关系, 这是一个全量型的关系, 类似于广义Hooke定律. 在小 变形的情况下作出下列关于基本要素的假定:
(1) 体积变形是弹性的, 即
ii

1 2
E
ii
(2) 应变偏张量和应力偏张量成比例 eij Sij
• 这个假定就是应力和应变的定性关系, 即方向关系和 分配关系. 方向关系指应变偏量主轴和应力偏量主轴 重合, 也即应变主轴和应力主轴重合,而分配关系是指 应变偏量和应力偏量成正比。