2017年福建省初中数学竞赛试题及解析
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2017年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案 考试时间 2017年3月19日 9∶00－11∶00 满分150分
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．设2323a =++-，则1
a a
+
的整数部分为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
2．方程2
2(
)32
x x x +=-的所有实数根之和为（ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．7
3．如图，A 、B 、C 三点均在二次函数2y x =的图像上，M 为线段AC 的中点，BM y ∥轴，且2MB =。设A 、C 两点的横坐标分别为1t 、2t （21t t >），则21t t -的值为（ ）
A ．3
B ．23
C ．22±
D ．22
4．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，D 为线段BC 的中点，E 在线段AB 内，
CE 与AD 交于点F 。若AE EF =，且7AC =，3FC =，则cos ACB ∠的值为（ ）
A ．37
B ．2107
C ．3
14
D ．107
5．如图，O 为ABC △的外接圆的圆心，R 为外接圆半径，且
4R =。直线AO 、BO 、CO 分别交ABC △的边于D 、E 、F ，则
111
AD BE CF
++的值为（ ） A ．14 B ．13 C ．12 D ．23
F
D
B
A E
F
E
O
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．记函数223y x x =-+（12x -≤≤）的最大值为M ，最小值为m ，则M m +的值为 。
7．已知二次函数2y ax bx c =++（0a >）的图像与x 轴交于不同的两点A 、B ， C 为二次函数图像的顶点，2AB =。若ABC △是边长为2的等边三角形，则a = 。
8．如图，在ABC △中，AD 为BC 边上的高，M 为线段
BC 的中点，且BAD DAM MAC ∠=∠=∠。若2AB =，则ABC △内切圆的半径为 。
【答案】
1
9．若二次函数2(43)3y x a x a =+-+（2
3
a ≥
）的图像与直线2y x =-在y 轴左侧恰有1个交点，则符合条件的所有a 的值的和为 。
10．若正整数n 恰有90个不同的正因数（含1和本身），且在n 的正因数中有7个连续整数，则正整数n 的最小值为 。
三、解答题（共4题，每小题20分，共80分） 11．求方程2220172018x y x +=的正整数解。
B
12．如图，在等腰三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，M 是边AC 的中点，D 是边BC 上一点，直线AD 、BM 交于点E ，且ME MA =。求证：
（1）BE CD =； （2）AC DE
AD DB
=
。
13．若存在正整数n ，p （6p >）使得3246n n n n p ⎧⎫
⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭
成立，其中
{}[]x x x =-，[]x 为不超过x 的最大整数。
（1）求p 的最小值；
（2）当p 取最小值时，求使3246n n n n p ⎧⎫
⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭成立，且2017n ≤的正整数n
的个数。
14．将平面上每个点都以红、蓝两色之一染色。证明：
（1）对任意正数a ，无论如何染色平面上总存在两个端点同色且长度为a 的线段； （2）无论如何染色平面上总存在三个顶点同色的直角三角形；
（3）无论如何染色，平面上是否总存在三个顶点同色且面积为2017的直角三角形？
2017年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案 考试时间 2017年3月19日 9∶00－11∶00 满分150分
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．设2323a =++-，则1
a a
+
的整数部分为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】 B
【解答】由22322323236a =+++⋅-+-=，知6a =。 于是1166
a a +
=+，2111()62866a a +=++=+，214()9a a <+<。 因此，1
a a
+
的整数部分为2。 （注：4234233131
232362222
a +-+-=++-=+=+=） 2．方程2
2(
)32
x x x +=-的所有实数根之和为（ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．7 【答案】 A 【解答】方程2
2(
)32
x x x +=-化为2222(2)3(2)x x x x -+=-。 即3251060x x x -+-=，2(1)(46)0x x x --+=。 解得1x =。经检验1x =是原方程的根。 ∴ 原方程所有实数根之和为1。
3．如图，A 、B 、C 三点均在二次函数2y x =的图像上，M 为线段AC 的中点，BM y ∥轴，且2MB =。设A 、C 两点的横坐标分别为1t 、2t （21t t >），则21t t -的值为（ ）
A ．3
B ．23
C ．22±
D ．22 【答案】 D
【解答】依题意线段AC 的中点M 的坐标为22
1212
()22
t t t t ++，。 （第3题）