心理和教育统计学第4章 差异量数
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百分数
60 40 20 0 60 63 66 69 72 75 78 81 84 87 90 93 96
分数
4.1.5 四分位差
• 四分位差(quartile deviation)，指在一个 次数分布中，中间50%的次数的距离的一 半。 • 通常用Q来表示。 • 第一四分位：Q1——P25 • 第二四分位：Q2——P50（中数） • 第三四分位：Q3——P75
2 2
2 2
2
2
(16 18.6) (18 18.6) (17 18.6) 23.20
（3）方差与标准差： 2 x 23.20 2 s 4.64 N 5 s s 2 4.64 2.15
（3）根据原始数据算方差：
s2
2 ( X X )
• 5名被试的错觉实验数据如下，求 其方差和标准差。
被试 错觉量(ms) 1 16 2 18 3 20 4 22 5 17
16 18 17 （1）平均数： X 18.6 5
（2）离均差的平方和：
x
2
( X1 X ) ( X 2 X ) ( X 5 X )
• 标准差（standard deviation），方差的平 均根。 • 样本统计量用s或SD表示； • 总体参数用 表示。
（1）总体方差与标准差公式
总体方差：
2
2 ( X )
N
（4.8）
2
总体标准差：
(X )
N
（4.9）
2 式中： ——总体方差；
——总体标准差；
12 15 15 16 7 8 9 10
P50即中数，位于第5号数据和6号数 据之间。 P10位于第1号数据和第2号数据之间
SPSS计算百分位数的方法：
求累加次数： (n 1) P% j g
n 表示数据的个数; P 表示百分位数; j 表示整数部分; g 表示小数部分
（4.2）
求百分位数：Pp (1 g ) X j gX j 1 （4.3） Xj表示第j个数据值;
A
B
4.1 全距与百分位数
• 4.1.1 全距
• 全距（range）又称为两极差，用符号R 表示。 • 用最大值（maximum)减去最小值 （minimum)得到全距。
R X max X min
（4.1）
全距的特点： • 全距是最粗糙的差异量数，只利用了数据 中的极端值； • 容易受极端值的影响； 全距的应用： • 主要用于对数据作预备性检查，了解数据 的大概分布范围； • 确定统计分组，编制次数分布表。
心理与教育统计学
第4章 差异量数
• • • • 4.1 全距与百分位数 4.2 平均差、方差与标准差 4.3 标准差的应用 4.4 差异量数的选用
• 差异量数是对一组数据的变异性，即 离中趋势特点进行度量和描述的统计 量，也称为离散量数（measures of dispersion) • 差异量越大，表明数据越分散、不集 中；差异量越小，表明数据越集中， 变动范围越小。
百分位差的应用
• 百分位差可以有效地避免极端数据的影响，这种 思想常常应用于日常生活中。 • 例如，在跳水比赛中，有7位裁判员，他们会一起 对跳水运动员的表现进行打分。虽然裁判本着客 观公正的标准去对待每一位运动员，但也难免存 在主观判断上偏颇。为了避免主观因素给运动员 带来的不公正性，比赛规定：从7名裁判员的分数 中．先舍去一个最高分和一个最低分，余下5名裁 判员的分数相加后，再乘以运动员所跳动作的难 度系数，便得出该动作的实得分。
成绩 95－ 90－ 85－ 80－ 75－ 70－ 65－ 60－ 55－ 50－ 45－
合计
频数f 2 3 6 7 8 11 9 5 4 2 1 58
累加频数
58 56 53 47 40 32 21 12 7 3 1
首先计算P10和P90对 应的累加次数
58×10/100=5.80 58×90/100=52.20
（1）计算平均值
X
1 fX C N
（2）计算平均差
f |X A.D.
C
X |
n 1 | 61 79.84 | 1 | 64 79.84 | n 5.60
4.2.2 方差与标准差
• 方差（variance）也称变异数、均方。离均 差平方后的平均数，是每个数据与该组数据 平均数之差乘方后的均值。 • 样本统计量用符号 s 2表示 2 • 总体参数用符号 表示
P i PP Lb N Fb 100 fP 10 5 P 58 3 58 10 54.5 100 4 90 5 P90 84.5 58 47 88.83 100 6
P 90 P 10 88.83 58 30.83
P i PP Lb N Fb 100 fP 25 5 P25 64.5 58 12 65.89 100 9 75 5 P75 79.5 58 40 67 100 7
P75 P25 82 65.89 16.11
• 5名被试的错觉实验数据如下，求其平均差。
被试 错觉量(ms) 1 16 2 18 3 20 4 22 5 17
解：n=5,
| 16 18.6 | | 18 18.6 | | 17 18.6 | A.D. 5 1.92
16 18 17 X 18.6 5
4.2 平均差、方差与标准差
• 4.2.1 平均差 • 平均差（average deviation)或 mean deviation)原始数据与平均数 绝对离差的平均值。 • 用符号A.D.或M.D.表示
（1）原始数据计算公式：
|X A.D.
i
X |
n
|x |
i
（4.7a）
n
式中：A.D.——平均差； Xi——数据值； X ——平均值； xi ——离均差。
精确组限 79.5~84.49
5/7=0.71
采用次数分布表计算百分位数
P i PP Lb N Fb 100 fP
（4.4）
Pp为所求的第P个百分位数； Lb为百分数所在组的精确下限； fp为百分数所在组的次数； Fp为小于Lb的各组次数的和； N为总次数； i为组距。
N 2 2 ( X 2X X X )
N 2 2 X 2X X X ) N
N 2 X ( X ) 2 2 2 X N X N( N ) N 2 2 2 X 2 ( X ) ( X ) 2 s 2 N N N2 2 X X 2 2 ( ) 所以： s N N
7 6 5 4 3 2 1
58×0.8=46.4 46.4-40=6.4 6.4×0.71=4.54 4.54+79.5=84.04
成绩 95－ 90－ 85－ 80－ 75－ 70－ 65－ 60－ 55－ 50－ 45－
合计
频数 2 3 6 7 8 11 9 5 4 2 1 58
58 56 53 47 40 32 21 12 7 3 1
Q3 Q1 四分位差： Q 2
25 i 其中： Q P L N Fb 1 25 b 100 f 25 N i Lb Fb 4 f 25
（4.6）
75 i Q3 P75 Lb N Fb 100 f 75 3N i Lb Fb 4 f 75
累加频数
58 56 53 47 40 32 21 12 7 3 1
求73对应的百分等级
100 fP PR [ Fb ( X Lb ) ] N i 100 11 [21 (73 69 .5) ] 58 5 49.48
利用累加次数分布图求百分等级和百分位数
100 80
4.1.2 百分位数
• 百分位数又称为百分位点，指两量尺 上的一个点，在此点以下，包括数据 分布中全部数据个数的一定百分比。 • P百分位数将所有数据分为两部分，小 于该数值的个数与总的个数的比值为 P%。
(1)根据原始数据计算百分位数
数值： 2 次序： 1
3 2
P10
5 3
5 4
7 5
9 6
P50
用次数分布表计算四分位差
成绩 95－ 90－ 85－ 80－ 75－ 70－ 65－ 60－ 55－ 50－ 45－
合计
频数f 2 3 6 7 8 11 9 5 4 2 1 58
累加频数
58 56 53 47 40 32 21 12 7 3 1
首先计算P25和P75对 应的累加次数。 58×25/100=14.5 58×75/100=43.5
——总体平均值； N ——总体的个数；
（2）样本方差与标准差公式
样本方差：
s2
2 ( X X )
n 1
（4.10） （4.11）
样本标准差：s
s
2 ( X X )
n 1
2 s 式中： ——样本方差；
——样本标准差； X ——样本平均值； N ——样本的个数；
当样本数量非常大时，总体和样 本方差的值差不多，本书并未区分总 体和样本方差的不同。
参考文献：虞仁和, 胡国清, 孙振球, & 黄正南. (2010). 关于百分位 数直接计算法的进一步探讨. 中国卫生统计, 27(3), 307-308.
数值： 2 次序： 1
3
5
5
7
9
12 15 15 16
2
P10
3
4
5
6
7
8
9
10
(n 1) P% j g Pp (1 g ) X j gX j 1
4.1.3 百分位差
• 由于全距表示一组数据的离散程度时， 受极端数据的影响。 • 可用百分位差表示离散程度，百分位 差是指两个百分位数之差。 • 如： P90－P10，P93 －P7 。 • 百分位差不能很好地反应中间数据的 分布情况，常作为辅助差异量数
用次数分布表计算百分位差 (P90—P10)
20
20
15
15
Frequency
Frequency
Mean = 160.479 Std. Dev. = 8.68513 N = 100
10
10
5
5
Mean = 159.6089 Std. Dev. = 4.78489 N = 100 0 130 140 150 160 170 180 190
0 130 140 150 160 170 180 190
4.1.4 百分等级
• 某一数值在一组数据中所处的百分位置， 称为该数值的百分等级（percentile rank） • 符号为PR
100 fP PR [ Fb ( X Lb ) ] N i
（4.5）
PR 百分等级； X 给定的原始分数。
成绩 频数f 95－ 2 90－ 3 85－ 6 80－ 7 75－ 8 70－ 11 65－ 9 60－ 5 55－ 4 50－ 2 45－ 1 58 合计
求P10：(10 1)10% 1 0.1
j=1；g=0.1
P 10 (1 0.1) 2 0.1 3 2.1
(2)采用次数分布表计算百分位数 （ P80百分位数） 累积频数 f
84.50
84.04
83.79
83.07 82.36 81.64 80.93 80.21 79.50
25% Q1
25% 25% Q2
25% Q3
25% 25% 25% 25% Q1 Q2 Q3 四分Biblioteka Baidu差与Q1、Q2和Q3之间的关系
• 优点： • 四分位差通常与中数联系起来应用。与全 距相比，用百分位差表述数据的离散情况 稍微好一些。
• 缺点： • 没有把全部数据考虑在内，其稳定性会差 一些。 • 不适合代数运算 • 反应不够灵敏
（2）分组数据计算公式：
f |X A.D.
C
X |
n
f |x n
C
|
（4.7b）
式中：f——各组次数； XC——各组的组中值； xc ——各组中值与平均数的差。
分组数据计算平均差
1 X fX C N 61 1 64 1 97 2 1 1 2 79.84
60 40 20 0 60 63 66 69 72 75 78 81 84 87 90 93 96
分数
4.1.5 四分位差
• 四分位差(quartile deviation)，指在一个 次数分布中，中间50%的次数的距离的一 半。 • 通常用Q来表示。 • 第一四分位：Q1——P25 • 第二四分位：Q2——P50（中数） • 第三四分位：Q3——P75
2 2
2 2
2
2
(16 18.6) (18 18.6) (17 18.6) 23.20
（3）方差与标准差： 2 x 23.20 2 s 4.64 N 5 s s 2 4.64 2.15
（3）根据原始数据算方差：
s2
2 ( X X )
• 5名被试的错觉实验数据如下，求 其方差和标准差。
被试 错觉量(ms) 1 16 2 18 3 20 4 22 5 17
16 18 17 （1）平均数： X 18.6 5
（2）离均差的平方和：
x
2
( X1 X ) ( X 2 X ) ( X 5 X )
• 标准差（standard deviation），方差的平 均根。 • 样本统计量用s或SD表示； • 总体参数用 表示。
（1）总体方差与标准差公式
总体方差：
2
2 ( X )
N
（4.8）
2
总体标准差：
(X )
N
（4.9）
2 式中： ——总体方差；
——总体标准差；
12 15 15 16 7 8 9 10
P50即中数，位于第5号数据和6号数 据之间。 P10位于第1号数据和第2号数据之间
SPSS计算百分位数的方法：
求累加次数： (n 1) P% j g
n 表示数据的个数; P 表示百分位数; j 表示整数部分; g 表示小数部分
（4.2）
求百分位数：Pp (1 g ) X j gX j 1 （4.3） Xj表示第j个数据值;
A
B
4.1 全距与百分位数
• 4.1.1 全距
• 全距（range）又称为两极差，用符号R 表示。 • 用最大值（maximum)减去最小值 （minimum)得到全距。
R X max X min
（4.1）
全距的特点： • 全距是最粗糙的差异量数，只利用了数据 中的极端值； • 容易受极端值的影响； 全距的应用： • 主要用于对数据作预备性检查，了解数据 的大概分布范围； • 确定统计分组，编制次数分布表。
心理与教育统计学
第4章 差异量数
• • • • 4.1 全距与百分位数 4.2 平均差、方差与标准差 4.3 标准差的应用 4.4 差异量数的选用
• 差异量数是对一组数据的变异性，即 离中趋势特点进行度量和描述的统计 量，也称为离散量数（measures of dispersion) • 差异量越大，表明数据越分散、不集 中；差异量越小，表明数据越集中， 变动范围越小。
百分位差的应用
• 百分位差可以有效地避免极端数据的影响，这种 思想常常应用于日常生活中。 • 例如，在跳水比赛中，有7位裁判员，他们会一起 对跳水运动员的表现进行打分。虽然裁判本着客 观公正的标准去对待每一位运动员，但也难免存 在主观判断上偏颇。为了避免主观因素给运动员 带来的不公正性，比赛规定：从7名裁判员的分数 中．先舍去一个最高分和一个最低分，余下5名裁 判员的分数相加后，再乘以运动员所跳动作的难 度系数，便得出该动作的实得分。
成绩 95－ 90－ 85－ 80－ 75－ 70－ 65－ 60－ 55－ 50－ 45－
合计
频数f 2 3 6 7 8 11 9 5 4 2 1 58
累加频数
58 56 53 47 40 32 21 12 7 3 1
首先计算P10和P90对 应的累加次数
58×10/100=5.80 58×90/100=52.20
（1）计算平均值
X
1 fX C N
（2）计算平均差
f |X A.D.
C
X |
n 1 | 61 79.84 | 1 | 64 79.84 | n 5.60
4.2.2 方差与标准差
• 方差（variance）也称变异数、均方。离均 差平方后的平均数，是每个数据与该组数据 平均数之差乘方后的均值。 • 样本统计量用符号 s 2表示 2 • 总体参数用符号 表示
P i PP Lb N Fb 100 fP 10 5 P 58 3 58 10 54.5 100 4 90 5 P90 84.5 58 47 88.83 100 6
P 90 P 10 88.83 58 30.83
P i PP Lb N Fb 100 fP 25 5 P25 64.5 58 12 65.89 100 9 75 5 P75 79.5 58 40 67 100 7
P75 P25 82 65.89 16.11
• 5名被试的错觉实验数据如下，求其平均差。
被试 错觉量(ms) 1 16 2 18 3 20 4 22 5 17
解：n=5,
| 16 18.6 | | 18 18.6 | | 17 18.6 | A.D. 5 1.92
16 18 17 X 18.6 5
4.2 平均差、方差与标准差
• 4.2.1 平均差 • 平均差（average deviation)或 mean deviation)原始数据与平均数 绝对离差的平均值。 • 用符号A.D.或M.D.表示
（1）原始数据计算公式：
|X A.D.
i
X |
n
|x |
i
（4.7a）
n
式中：A.D.——平均差； Xi——数据值； X ——平均值； xi ——离均差。
精确组限 79.5~84.49
5/7=0.71
采用次数分布表计算百分位数
P i PP Lb N Fb 100 fP
（4.4）
Pp为所求的第P个百分位数； Lb为百分数所在组的精确下限； fp为百分数所在组的次数； Fp为小于Lb的各组次数的和； N为总次数； i为组距。
N 2 2 ( X 2X X X )
N 2 2 X 2X X X ) N
N 2 X ( X ) 2 2 2 X N X N( N ) N 2 2 2 X 2 ( X ) ( X ) 2 s 2 N N N2 2 X X 2 2 ( ) 所以： s N N
7 6 5 4 3 2 1
58×0.8=46.4 46.4-40=6.4 6.4×0.71=4.54 4.54+79.5=84.04
成绩 95－ 90－ 85－ 80－ 75－ 70－ 65－ 60－ 55－ 50－ 45－
合计
频数 2 3 6 7 8 11 9 5 4 2 1 58
58 56 53 47 40 32 21 12 7 3 1
Q3 Q1 四分位差： Q 2
25 i 其中： Q P L N Fb 1 25 b 100 f 25 N i Lb Fb 4 f 25
（4.6）
75 i Q3 P75 Lb N Fb 100 f 75 3N i Lb Fb 4 f 75
累加频数
58 56 53 47 40 32 21 12 7 3 1
求73对应的百分等级
100 fP PR [ Fb ( X Lb ) ] N i 100 11 [21 (73 69 .5) ] 58 5 49.48
利用累加次数分布图求百分等级和百分位数
100 80
4.1.2 百分位数
• 百分位数又称为百分位点，指两量尺 上的一个点，在此点以下，包括数据 分布中全部数据个数的一定百分比。 • P百分位数将所有数据分为两部分，小 于该数值的个数与总的个数的比值为 P%。
(1)根据原始数据计算百分位数
数值： 2 次序： 1
3 2
P10
5 3
5 4
7 5
9 6
P50
用次数分布表计算四分位差
成绩 95－ 90－ 85－ 80－ 75－ 70－ 65－ 60－ 55－ 50－ 45－
合计
频数f 2 3 6 7 8 11 9 5 4 2 1 58
累加频数
58 56 53 47 40 32 21 12 7 3 1
首先计算P25和P75对 应的累加次数。 58×25/100=14.5 58×75/100=43.5
——总体平均值； N ——总体的个数；
（2）样本方差与标准差公式
样本方差：
s2
2 ( X X )
n 1
（4.10） （4.11）
样本标准差：s
s
2 ( X X )
n 1
2 s 式中： ——样本方差；
——样本标准差； X ——样本平均值； N ——样本的个数；
当样本数量非常大时，总体和样 本方差的值差不多，本书并未区分总 体和样本方差的不同。
参考文献：虞仁和, 胡国清, 孙振球, & 黄正南. (2010). 关于百分位 数直接计算法的进一步探讨. 中国卫生统计, 27(3), 307-308.
数值： 2 次序： 1
3
5
5
7
9
12 15 15 16
2
P10
3
4
5
6
7
8
9
10
(n 1) P% j g Pp (1 g ) X j gX j 1
4.1.3 百分位差
• 由于全距表示一组数据的离散程度时， 受极端数据的影响。 • 可用百分位差表示离散程度，百分位 差是指两个百分位数之差。 • 如： P90－P10，P93 －P7 。 • 百分位差不能很好地反应中间数据的 分布情况，常作为辅助差异量数
用次数分布表计算百分位差 (P90—P10)
20
20
15
15
Frequency
Frequency
Mean = 160.479 Std. Dev. = 8.68513 N = 100
10
10
5
5
Mean = 159.6089 Std. Dev. = 4.78489 N = 100 0 130 140 150 160 170 180 190
0 130 140 150 160 170 180 190
4.1.4 百分等级
• 某一数值在一组数据中所处的百分位置， 称为该数值的百分等级（percentile rank） • 符号为PR
100 fP PR [ Fb ( X Lb ) ] N i
（4.5）
PR 百分等级； X 给定的原始分数。
成绩 频数f 95－ 2 90－ 3 85－ 6 80－ 7 75－ 8 70－ 11 65－ 9 60－ 5 55－ 4 50－ 2 45－ 1 58 合计
求P10：(10 1)10% 1 0.1
j=1；g=0.1
P 10 (1 0.1) 2 0.1 3 2.1
(2)采用次数分布表计算百分位数 （ P80百分位数） 累积频数 f
84.50
84.04
83.79
83.07 82.36 81.64 80.93 80.21 79.50
25% Q1
25% 25% Q2
25% Q3
25% 25% 25% 25% Q1 Q2 Q3 四分Biblioteka Baidu差与Q1、Q2和Q3之间的关系
• 优点： • 四分位差通常与中数联系起来应用。与全 距相比，用百分位差表述数据的离散情况 稍微好一些。
• 缺点： • 没有把全部数据考虑在内，其稳定性会差 一些。 • 不适合代数运算 • 反应不够灵敏
（2）分组数据计算公式：
f |X A.D.
C
X |
n
f |x n
C
|
（4.7b）
式中：f——各组次数； XC——各组的组中值； xc ——各组中值与平均数的差。
分组数据计算平均差
1 X fX C N 61 1 64 1 97 2 1 1 2 79.84