第五章 第一节 Jacobi迭代法

(0) n
X ( k 1) BX ( k ) F , k 0,1,
(1.2)
此格式称为 Jacobi 迭代格式，称 B 为迭代矩阵。 由此迭代格式可构造出一个向量序列：
X 0 , X1 , X 2 ,, X k ,
显然，若
k
lim X ( k ) X *
存在，则有
X * BX * F
依 定 理 2 可知，当
B 1 max bij 1
j n
或
B

i 1
max bij 1
i j 1
n
时， Jacobi 迭代法收敛。 例2、用 Jacobi 迭代法解方程组
20 x1 2 x2 3x3 24, x1 8 x2 x3 12, 2 x 3x 15 x 30 2 3 1
X
(k )
X
*

B 1 B
X ( k ) X ( k 1) ,
（1.7）
或
X (k ) X * B
k
1 B
X (1) X (0) ,
(1.8)
证明
因为 ( B) B 1 ，所以迭代格式 （1.2）收敛。其次，由关系式
X ( k ) X * B( X ( k 1) X * )
（1.9）
其迭代矩阵为
0.06 0.02 0 B 0.03 0 0.05 0.01 0.02 0
从条件 B 0.08 1, 中，也可以看出，对任意 初始向量 X (0) ， Jacobi 迭代法收敛。取
X (0) (2,3,5)T ,
第一节
一、引言
Jacobi
迭代法
二、 迭代格式的构造 三 、 Jacobi 迭代法的收敛性
四、小结
一、引言
迭代法是解线性代数方程组的另一类重要方法，特别
适于求解系数矩阵为稀疏阵的大型线性代数方程组。它 的
基本思想是，从任一初始向量 X (0) 出发，按某一规则，逐 次构造一个向量序列
(k ) X ( k ) ，当 X 收敛于 X *
4 0.09 0.04 0.24 3 0.08 0.08 x1 8 0.15 x2 9 x 20 4 3
解、显然，系数矩阵A是一个严格对角占优矩阵， 所以Jacobi迭代法收敛。
三 、 Jacobi 迭代法的收敛性
若由迭代格式
X ( k 1) BX ( k ) F , k 0,1,
(k )
(1.2)
所构成的向量序列 X 收敛，则称 迭代格式 (1.2)收敛，或称 Jacobi 迭代法收敛。 由关系式：
X ( k 1) BX ( k ) F , * * X BX F
有
X ( k ) X * B . X ( k 1) X *
B .( X ( k ) X ( k 1) X ( k ) X * )
B . X ( k ) X ( k 1) B . X ( k ) X * ,
从而有
X ( k ) X * (1 B ) B . X ( k ) X ( k 1) ,
A
先将方程组化成（1.1）的形式。 以4，3，4分别除三个方程两边得
0.06 0.02 x1 2 1 0.03 1 0.05 x2 3 0.01 0.02 1 x3 5
从而有Jacobi迭代格式：
所以
X ( k ) X ( k 1) B
k 1
. X (1) X (0) .
将此式代入（1.7）式，便有
X
(k )
X
*

B 1 B B 1 B B
k
X ( k ) X ( k 1) B
k 1
X X
1 0
0
1 B
X X
1
这就证明了定理2。
(1.3)
即 X * 为（1.1）的解。
注：若方程组由下面形式给出
AX b
1.4
则需要把它改写成便于迭代的形 式（1.1）， 其 方 法是多种多样的，最一般的方法是将 A 分 解为两个矩阵之差
AM N
1.5
其中矩阵M可逆，于是(1.4)成为
X M 1 NX M 1b
(1.6)
因此有
X
(k )
X
*

B 1 B
X ( k ) X ( k 1) ,
（1.7）
又从迭代格式
X ( k 1) BX ( k ) F , k 0,1, 有
X ( k ) X ( k 1) B( X ( k 1) X ( k 2) ) Bk 1 ( X (1) X (0) ),
在具 体问 题 中 ， 谱 半 径 是 很 难计算的， 但由于有 ( B) B ，所 以可以 用 B 来 作 为 ( B ) 的 一种估计。 当 B 1 时迭代格式一定收 敛，不 过这 只是 收敛 的充分条件。
定理 2 若 B 1 则迭代格式（1.2）收敛于 （1.1）的解 X * , 且有误差估计
则利用Jacobi迭代格式（1.9），可得
X (1) (1.92,3.19,5.04)T X (2) (1.909,3.194,5.045)T X (3) (1.909,3.194,5.045)T

1
1
1

T
于是有，
1
3 , 2 2

T
X X
0
2
由误差估计式
X (k ) X * B
k
1 B
X (1) X (0) ,
可知，若使
Xk X

106
只须
B
k
1 B
X (1) X (0) 106 k ln B ln
106 1 B X X
1 1 令 B M N , F M b ，即得（1.1）.
M 必须指出，(1.5)中的 M 应是便于求逆的， 的最简单选择是把它选为对角阵，通常，当 A 的 对角线元素全不为 零时，就把 M 选为 A 的对角 线，于是
A DE
其中 D 是具有 A 的对角线元素的对角阵 ，而 E 在对角线上的元素为零。此时关系式(1.6)成为
AX b :
取 X 0 0, 0, 0 T ,问Jacobi迭代法是否收敛？ 若收敛，需要迭代多少次，才能保证各分量的 误差绝对值小于 106 ？ 解： 由例1知，此方程组可改写为
0 x1 x 1 2 8 x 3 2 15 1 10 0 1 5 3 5 20 x 4 1 1 3 x2 8 2 x3 2 0
1 0

亦只须
ln k
106 1 B X X
1 0

ln B
由于
B

1

1 1 3
0
X X
2
故
1 106 1 3 ln 2 k 1 ln 3 13
所以，要保证各分量误差绝对值小于 106 ，
化成便于迭代的形式 X BX F . 最直观的方法是，将方程组改写为：
2 3 24 x1 0 x1 20 x2 20 x3 20 , 1 1 12 x2 x1 0 x2 x3 , 8 8 8 2 3 30 x3 x1 x2 0 x3 15 15 15 0 x1 1 x2 8 x 3 2 15 1 10 0 1 5 3 5 20 x 4 1 1 3 x2 8 2 x3 2 0
时，使 X
*
是所给方程组的解。于是，就有下列问题需要计论： (1) 构造迭代格式；
(2) 收敛性及误差估计。
二、 迭代格式的构造
设所给方程组为
X BX F
（1.1）
其中，B 是 n 阶方阵，F 是已知身量, X 是未知向量。
任取 X R 代入（1.1）的右端，算得的结果记为 (1) X (1) ，再以 X 代入（1.1）的右端，算得的结果记为 X (2) ， 如此进行下去，便得到迭代格式
x1 k 1 0 x1 k 2 0.06 0.02 k 1 x k 3 0 0.05 2 x2 0.03 k 1 k 5 0 x3 x3 0.01 0.02
X D 1 EX D 1b
式中，D 1 是简单的对角阵， 它的对角线元 素是 D 的元素的倒数。
例1、将方程组：
AX b :
20 x1 2 x2 3x3 24, x1 8 x2 x3 12, 2 x 3x 15 x 30 2 3 1
其迭代格式为
1 k 3 k 6 k 1 k x1 0 x1 x2 x3 , 10 20 5 1 k k 1 k 1 k 3 x1 0 x2 x3 , x2 8 8 2 2 k 1 k k 1 k x3 x1 x2 0 x3 2 15 5
由于迭代矩阵：
0 1 B 8 2 15 1 10 0 1 5 3 20 1 8 0
的范数
B

1 1 3
，所以用Jacobi迭代法解此方程组一定收敛。
经一次迭代得：
X
1
x1 , x2 , x3 6 , 5
a11 a 2 D A 21 an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
Jacobi
也ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ对称正定矩阵，则
迭代法收敛；
若A 为对称正定阵而 2D A 为非正定阵，则 Jacobi 迭代法不收敛。 ( 其中 D 为 A 的对角元组成的对角阵，所以 2D A 与 A 只是非对角元的符号不同 ）。 例3 用Jacobi迭代法解下列方程组（精确到 103 ）
需要迭代14次。
除了用定理1、定理2来判别迭代法的 收敛性外，还可根据方程组的系数矩阵的特 点给出一些收敛性的判别条件。 设线性代数方程组的形式为 AX b ,则 1) 若 A 是严格对角占优阵（各行非对角元 绝对值之和小于对角元绝对值的矩阵），则 Jacobi 迭代法收敛。 2）若A为对称正定矩阵，
可得
X ( k 1) X * B ( X ( k ) X ) B 2 ( X ( k 1) X * ) B ( k 1) ( X (0) X * )
所以，为使 Jacobi迭代法收敛，即要使
X (k ) X *
k
必要且只要 Bk 0(k ) 。而 B k 0 的 充要条件是矩阵B的谱半径 ( B ) 1 ，故有 定理 对任意右端向量F和初始向量 X (0) ， 迭代格式(1.2)收敛于（1.1）的解 X * 的充要条 件是 ( B ) 1 . 由定理1可以看出，迭代是否收敛只与迭代矩阵 的谱半径有关，而迭代矩阵 B 是由系数矩阵 A 演变过 来的，所以迭代是否收敛是与系数矩阵 A 以及演变的 方式有关， 与 右 端向量和初始迭代向量的选择无关。