数值分析—插值拟合复习题

第 1 章插值
§1. 填空
(1). 设 Pk(xk,yk) , k=1,2,…,5 为函数 y=x2-3x+1 上的 5 个互异的点，过 P1,…,P5 且次数不超过 4 次的插值多项式是 ______ 。 y=x2-3x+1 (2). 设 x0, x1, x3 是区间[a, b]上的互异节点，f(x)在[a, b]上具有各阶导 数，过该组节点的 2 次插值多项式的余项为： ______ . R2(x)=
令 x=xi+1/2+s(h/2) 上式化简为
kn。lk(x)是关于互异节点 x0, x1,…, xn 的 Lagrange 插值基函数 证明：由插值唯一性定理知。 (9). (a10f)设 p(x)是任意首次项系数为 1 的 n+1 次多项式，lk(x)是关于 互异节点 x0, x1,…, xn, 的 Lagrange 插值基函数 证明 p( x ) p( x k )l k ( x ) w n1 ( x )
(1). 设 x=3.214, y=3.213， 欲计算 u= x 算式 u= . u=
y , 请给出一个精度较高的
选择填空 (6). 计算 f=( 2 -1)6 , 取 2 ＝1.4 , 利用下列算式，那个得到的结果 最好？(C) (A)
x y x y
(2). 设 y=f (x1,x2) 若 x1,x2,的近似值分别为 x1*, x2*,令 y*=f(x1*,x2*)作为 y 的近似值,其绝对误差限的估计式为: | |f(x1*, x 2*) |x1-x*1|+ | f(x1*,x2*)|x2-x*2| (3). 要使 20 的近似值的相对误差限 0.1%, 应至少取 _______ 位有 效数字？
§2. 计算题
(1). (a10 分)依据下列函数值表， 建立不超过 3 次的 lagrange 插值多项 式 L3(x).
16
带入数值解得 y=4.25. (3). (c15 分)设 lk(x)是关于互异节点 x0, x1,…, xn, 的 Lagrange 插值基函 数，证明
1, j x k l k (0) 0, k 0 n ( 1) x 0 x1 ...x n
k 0
( xk x ) m lk ( x ) 0
m=1,2,…,n
证明：由插值唯一性定理知(1)。展开知（2）
17
(8). (a10f)证明对于不超过 k 次的多项式 p(x)有 p( x k )l k ( x ) p( x ),
k 0
n
f (3) ( ) f ( x) P2 ( x) ( x xi )( x xi 1/2 )( x xi 1 ) 3!
题库分类 填空题
1. 绪论部分
(5). 对 于 积 分 In=e-1

1
0
xnexdx 试 给 出 一 种 数 值 稳 定 的 递 推 公 式
_________。 In-1=(1-In)/n , In0 易知 I0=1-e-1 In=1-nIn-1 故 In-1=(1-In)/n 0<In1/(n+1)0 (n) 取 In0
.
f ( x ) P1 ( x )
f ( ) ( x a )( x b) 2!
解：考虑子区间[xi-1,xi]二次插值余项
hi2 max f // ( x ) x [a , b] 8 a x b
(13). (b10 分)已知 s(x)是[0,2]上的已知自然边界条件的三次样条函数， 试确定
k 0 n
e max ( x xi )( x xi 1/2 )( x xi 1 ) 6 xi x xi1
e h3 eh3 2 3 max ( s 1) s( s 1) 6 1 s 1 8 48 9
其中 w n1 ( x ) ( x x j )
1 ( 2 1)
6
,
(B) (3-2 2 )2,
(C)
1 (3 2 2 ) 3
, (D) 99-70 2
20 ＝0.4…10, a1=4, r
故可取 n4,
1 10-(n-1)< 0.1% 2a1
2. 方程的根 (1). 用 Newton 法求方程 f(x)=x3+10x-20=0 的根，取初值 x0= 1.5, 则 x1= (3) 【 x1=1.5970149】 2 2 (2). 迭代公式 xk+1=xk (xk +3a)/(3xk +a)是求 a1/2 的 (12) 阶方法 3. 方程组直接解法 4. 迭代解法
三次样条连续且光滑，一般分段 3 次连续不一定光滑。
(2). (b10 分)已知由插值节点(0,0),(0.5,y),(1,3)和(2,2)构造的 3 次插值多 项式 P3(x)的 x3 的系数为 6，试确定数据 y. 解：P3(x)＝ f ( x k )l k ( x )
k 0 n
(5). 插值多项式与最小二乘拟合多项式都是对某个函数 f(x)的一种逼 近，二者的侧重点分别为 ________ 。 (6). 用 n 1 个作不超过 n 次的多项值插值，分别采用 Lagrange 插值 方法与 Newton 插值方法所得多项式 相等 (相等, 不相等)
n k 0
n
f ( n ) ( ) n!
j)
故当 0jn 时，
x kj l k ( x ) =xj,
当 j=n+1 时，xn+1= f ( x)
x
k 0
n
n 1 k k
l ( x) wn 1 ( x)
将 x=0 带入 ok! (4). (c10 分)设 lk(x)是关于互异节点 x0, x1,…, xn, 的 Lagrange 插值基函
1 3 7 2 7 x + x - x+1 8 8 4 1 8 l1(x)= x 3 2 x 2 x 3 3 1 5 l2(x)= x 3 x 2 x 4 4 1 3 1 2 1 l2(x)= x x x 24 8 12 Lagrange 插值多项式
L3(x)=
(3). 设 l i ( x )
n 1 l k ( x ) 是 n 次多项式，且最高次系数为 数，证明 f ( x ) x k k 0 n
注意到 n>k 时， f(n)(x)=0， n=k 时， f(n)(x)=k!ak，ak 为 f(x)的 k 次项系数。(7f) nk-1 由差分定义递推,查 n=k-1,k-2,… (3f) ok! (6). (c10 分)设 g(x)和 h(x)分别是 f(x)关于互异节点 x1,…, xn-1 以及互异 节点 x2,…, xn 的插值多项式， 试用 g(x)和 h(x)表示 f(x)关于互异节 点 x1,…, xn 的插值多项式. 解：令 q(x)=Ag(x)(x-xn)+Bh(x)(x-x1) 为待定 n 次多项式，A,B 为待定系数，注意到 g(xk)=f(xk), k=1,…,n-1 h(xk)=f(xk), k=2,…,n -------(7f) 带入得 A=1/x1-xn,B=1/xn-x1, 带入 ok! (7). (a10f)设 lk(x)是关于互异节点 x0, x1,…, xn, 的 Lagrange 插值基函 数，证明 (1)
故可取 n3.097,
1 10-(n-1)< 0.1% 2a1
即 4 位有效数字。
15
第一次可选的主元素为 (13) ， 第二次可选的主元素为 (14) . 列主元消元法的第一次主元素为 (15) ；第二次主元素为(用小 数 表 示 ) (16) ; 记 此 方 程 组 的 高 斯 - 塞 德 尔 迭 代 矩 阵 为 BG=(aij)44， 则 a23= (17) ； -8， 或 8； 8+7/8 或-8-7/8； -8； 7 .5；
x0+…+ xn, 证：查
k 0
xk
n
n
m
l k ( x) x m
m=0,1,…,n
x n1

k 0
n
n 1 xk l k ( x)
f ( n1) ( ) w n1 ( x ) --5 分 ( n 1)!
(2)
注意余项
n f ( n1) ( ) w n1 ( x ) = w n1 ( x ) ( x x j ) ( n 1)! j 0
n
则 x k l k ( x ) ＝ ______ ,
k 0
k 0
f ( x k )l k ( x ) =
n
11 3 45 2 1 x x x 1. 4 4 2
这里（xixj , ij, n2） 。
x (4). 三次样条插值与一般分段 3 次多项式插值的区别是___பைடு நூலகம்_
(5). (c10 分)设函数 f(x)是 k 次多项式，对于互异节点 x1,…, xn,， 证明 当 n>k 时，差商 f [x, x1,…,xn]0，当 nk 时，该差商是 k-n 次多项 式。 证明：因 f [ x , x1 , , x n ]
其中，wn+1(x)=
(x x
j 0
f ( x0 ) f ( x1 ) 故最高次项系数为 ( x0 x1 )( x0 x2 )( x0 x3 ) ( x1 x0 )( x1 x2 )( x1 x3 ) f ( x3 ) f ( x2 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )( x2 x3 ) ( x3 x0 )( x3 x1 )( x3 x2 )
x 0 f(x) 1 解：基函数分别为 l0(x)=-
1 9
2 23
3 3
f ( 3) ( ) 2 ( x xk ) 3! k 0
( x x 0 ) ( x x i 1 )( x x i 1 ) ( x x n ) (i=0,1,…,n)， ( x i x 0 ) ( x i x i 1 )( x i x i 1 ) ( x i x n )
j 0
n
令
eh3 2 3 1 106 得 h0.028413 48 9 2
证明：插值余项直接计算 ok! (10). (a10f) 已知函数 y=f(x) 在点 x0 的某邻域内有 n 阶连续导数，记 xk=x0+kh (k=1,2,…,n), 证明
f ( n) ( x 0 ) h 0 n! ( n) f ( ) 证明：因 f [ x 0 , x1 , , x n ] (x0,x0+nh)注意到 n 阶导数连 n! 续性，两边取极限 ok! (11). (c10f)用等节距分段二次插值函数在区间[0,1]上近似函数 ex, 如何 lim f [ x 0 , x1 , , x n ]
n
j0 j 1,2,...,n j n 1
x n1
x
k 0
n
n+1 n 1 -wn+1(x) k l k ( x ) =x
---5 分
n 1 l k ( x) 证明： f ( x ) x k k 0
n
f ( n1) ( ) w n1 ( x ) ( n 1)!
即 4 位有效数字。
(4). 要使 17 的近似值的相对误差限0.1%, 应至少取_________位有 效数字？
2 8 (1). 设线性方程组的系数矩阵为 A= 1 7
1 4 3 4 1 3 ,全主元消元法的 3 5 1 4 8 6
17 ＝0.4…10, a1=4, r
估算节点数目使插值误差 10
1 2
-6
故子区间个数为 N=2/h70.4, 取 N=71 故插值节点数为 2N+1=143 (12). (b10 分)设 f(x) 在区间[a,b]上有二阶连续导数，P1(x)为其以 a,b 为 节点的一次插值多项式，证明
(b a ) 2 max f ( x ) x [a , b ] a x b 8 证明：利用插值余项结果可得线性插值多项式 P1(x)在子区间[a,b]上的 余项估计式，再估计最值 ok! f ( x ) P1 ( x )