现值和内部收益率概述

x = - 4, y = 5
构建的零息债券价格: xP1+yP2=34.57元
Spot Rate:
24
面值100元－票息4.625－到期日95.8.15的债 券，用折现因子表示，在94.2.15日的价格为
2.3125×d(0.5)+2.3125×d(1)+102.3125×d
(使1.用5)即期利率，则债券现值又可以表示为
比如最后一行的债券，指100元的面值，当前价 格为 99＋15/32=99.46875元
9
折现因子可以由国债价格表计算：参考表3.1 第一行
第二行 6个月后的收益：2.75 1年后收益： 100＋2.75
所以现值
可以算出d(1)=0.9621 d(1.5)=?
10
11
表3.2 ：根据表3.1计算的折现因子
5
折现因子 Discount factor
对应某特定期间的折现因子，是指该期间结束时 所收取1元的现值。将t年期的折现因子表示为d(t) 。
d(0.5) ＝0.9825 表示6个月后收取的1元，现值0.9825元。
某证券6个月后收取的105元，现值多少？ 105× d(0.5) ＝105×0.9825＝103.16元。
当前投资1元，6个月后回收 1/ d(0.5) =1.02元
6
Discount factor
国债 Bonds 在以下的讨论里都是没有信用风险 的（default－free）
对于一般的国债，现金流包含3个要素： ——面值 face value or par value ——票息 coupon rate ——到期日 maturity day
2
Present Value 现值
用 x=(x0, x1, ... , xn) 表示一个现金流 。我们需要 找到办法来比较不同的现金流。
折现因子 Discount factors 和 利率 Interest rates 可以在时间轴上移动现金流.
x1 x2
x4 x5 x6
PV
x3
time
x0
time
21
经分割的现金流：
52.5 52.5 52.5
94.2.15
94.8.15
95.2.15
1000 95.8.15
22
把票息债券组合成零息债券
这个组合要满足3个 公式:
票息: 面值: 价格:
可以组合一个 zero coupon bond, 使C0=0, F0=$100
解出x和y.组合而成的零息债券的价格 xP1+yP2
25
百度文库
以这种方式表示，说明现金流量根据发生 当时的即期利率来折现。换句话说，投资 者对于不同时期发生的现金流量，将赚取 不同的报酬率
26
远期利率 forward rate
表3.3 根据表3.2折现因子所推算的即期利 率
T
d(t)
%
0.5
0.9825
3.567
1
0.9621
3.896
1.5
0.9399
7
在94年2月15日 购买了一种国债（付息债 券），面值10000元，票息4.375%, 到期 日是96年8月15日。购买者在此之前每年 收到利息，并在到期日收到10000元的本
金。市场惯例，每年的利息分两次支付， 即每6个月付218.75元。
218.75 218.75 218.75 218.75 10218.75
42
Example：When to cut a tree？
种树为了卖木材赚钱，有两种砍伐方案:
(1) After 1 year: Cash Flow: (-1,2) (2) After 2 years: Cash Flow: (-1,0,3)
如果r1 is 10% r2 is 12%,你会选哪个?
T
d(t)
0.5
0.9825
1
0.9621
1.5
0.9399
2
0.9159
2.5
0.8920
12
d(t) 1
0
图3.1 30年之 后将收取的1元 ，现值仅有0.14 元
20 28 T 年
13
Present Value and Internal Rate of Return
Present Value (PV) Discount factor Spot and forward rate Internal Rate of Return (IRR) Cash Flow Evaluation
3、如果c<y，则P<1。债券将有折价discount 4、对于长期债券，T非常大，价格接近c/y。
永续债券 perpetuity
41
Present Value and Internal Rate of Return
Present Value (PV) Discount factor Spot and forward rate Internal Rate of Return (IRR) Cash Flow Evaluation
Solution:
(1) IRR: -1+2c=0 (2) IRR: -1+3c2=0
c=0.5 c=0.577
r=1.0 r=0.7
IRR says choose option (1)
45
三种债券的现金流量、价格与IRR
4.178
2
0.9159
4.443
2.5
0.8920
4.622
27
（一）六个月期的债券 收益率 A(1+ 3.567%÷2)
一年期的债券 前六个月的收益率 A(1+ 3.896%÷2)
（二） 一年期债券 收益率 A(1+ 3.896%÷2)2
两年期债券 第一年的收益率 A(1+ 4.443%÷2)2
31
表3.4 根据表3.3的即期利率推算远期利率
T
% r(t) %
0.5
3.567
3.567
1
3.896
4.226
1.5
4.178
4.743
2
4.443
5.239
2.5
4.622
5.342
32
图3.3 即期利率与远期利率曲线
rate
10%
远期利率
即期利率
4%
04
12
20 28 T 年
33
面值100元－票息4.625－到期日95.8.15 的债 券，在94.2.15日价格可以表示为
35
内部收益率 Internal Rate of Return 用 x=(x0, x1, ... , xn) 表示现金流. 内部收益率指能够满足下式的r
为了解出 r, 通常会设:
and solve
36
Example
对现金流 (-2,1,1,1)，它的内部收益率是多少?
Solve:
Question: 这个多项式只有惟一的正解吗? Answer: This can be a problem...
29
我们定义r(t)为目前对于由第t-0.5年起算 而至第t年之贷款所适用的年利率。
r(1.5)就是指由第1年起算的6个月期远 期年利率。
r(0.5)
r(1)
r(1.5)
r(2)
94.2.15
94.8.15
95.2.15 95.8.15 96.2.15
30
远期利率的计算方法：
(1) (2) (3) (4)
14
即期利率与远期利率
折现因子可以用来给资产定价，但使用 更多的还是利率。
重点介绍即期利率 spot rate与远期利率 forward rate，并说明如何根据债券价格 来计算这两个利率，及其功能。
15
即期利率
是指放款者在签约当时立即提供资金给借款 者，所约定的利率。
t年的即期利率定义为
，将其视为t
94.2.15 94.8.15 95.2.15
95.8.15 96.2.15 96.8.15
8
表3.1
报价日：94.2.15
票息率 ％ 6.875 5.5 4.625 4.625 4.375
到期日 94.8.15 95.2.15 95.8.15 96.2.15 96.8.15
价格 101:20 101:18 100:21 100:12 99:15
28
购买1年期债券的投资者，在前6个月获得 较高的年利率3.896%，是因为相当于承诺 在6个月结束时，继续将贷款延展半年。这 种隐含的承诺就是一个远期贷款。
远期贷款，在未来某日期开始放款的契约 。在远期贷款签约当时（而不是放款的当 时），所定的利率称为“远期利率” forward interest。
到期收益率的作用： 1、债券报价的另一种形式 2、判断债券是折价还是溢价 3、判断债券价格低估还是高估
39
由到期收益率的定义，假定T年期国债的 面值为1元，票息率为c，则价格为
上式又可以表示为，
40
1、如果 c=y，则P=1。票息利率等于到期收益 率，则债券价格等于面值。
2、如果c>y，则P>1。票息利率大于到期收益 率，则债券将有溢价 premium
年期每半年复利一次的名义利息率。
小于100元
A
A(1+r/2)2t
面值:100元
0
t
time
16
Spot rate
A
A(1+r/2)2t
0
t time
由于多数债券是每半年支付票息一次，所以 投资者关心半年一次的复利率。已知折现因 子d(t)表示t年之后的1元的现值，因此有：
17
表3.3 根据表3.2折现因子所推算的即期利 率
3
术语 Terminology
现值 present value.
x1 x2
x4 x5 x6
PV
x3
time
x0
终值 final value.
x1 x2
x4 x5 x6
x3
time
x0
time
FV time
4
Present Value and Internal Rate of Return
Present Value (PV) Discount factor Spot and forward rate Internal Rate of Return (IRR) Cash Flow Evaluation
现值和内部收益率概述
Present Value and Internal Rate of Return
Present Value (PV) Discount factor Spot and forward rate Internal Rate of Return (IRR) Cash Flow Evaluation
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Example
Bond 1: 10 year, 10% coupon, P1=98.72元
Bond 2: 10 year, 8% coupon, P2=85.89元 面值100元
Portfolio: x – Bond 1, y – Bond 2.
Create a zero:
Coupon: x(10) + y(8) = 0 Face: x(100) + y(100) = 100
37
关于 IRR的一个重要结论
如果现金流 x=(x0, x1, ..., xn) 有x0 < 0,
并且
对于 k > 0 至少有一项是正的. 那么对以下
方程式就有惟一的正解:
Proof: plot f(c)
x0
increasing... c
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内部报酬率实际上就是到期收益率 (yield to maturity)
T
d(t)
%
0.5
0.9825
3.567
1
0.9621
3.896
1.5
0.9399
4.178
2
0.9159
4.443
2.5
0.8920
4.622
18
Spot rate
10%
4%
04
12
20 28 T 年
图3.2
94.2.15的即期利率
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即期利率与到期期间的关系，通常被成为“即期利率的 期限结构” term structure of spot rate
1、 2.3125×d(0.5)+2.3125×d(1)+102.3125×d(1.5 ) 2、
3、
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Present Value and Internal Rate of Return
Present Value (PV) Discount factor Spot and forward rate Internal Rate of Return (IRR) Cash Flow Evaluation
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NPV Solution
(1) NPV = -1 + 2/1.1 = 0.82 (2) NPV = -1 + 3/(1.12)2 = 1.392
NPV says choose option (2).
44
IRR Solution
Choose the one with the greatest internal rate of return.
根据图3.2显示，即期利率最初具有斜率 向上的期限结构，但大约到第23年后，即 期利率具有斜率向下的趋势 downward sloping
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零息债券
零息债券 zero coupon bond 指只在到期日 支付面值的债券。
零息债券的价格相当于折现因子。 零息债券的收益率相当于即期利率。
零息债券可以通过票息债券 coupon bond 的组合获得