MATLAB数学建模1自行车的运动

1
φ = arctan[f '(x0)]
(5)
饰物的轨迹方程为
x xC r sin( ) x0
f (x0 ) R r sin( ) 1 [ f (x0 )]2
(6a)
y yC r cos( ) f (x0 )
1
R r cos( )
于f ''(x) = 1/p，根据曲率半径的公式
(1 y2 )3/ 2 y
6
可得抛物线在底部的半径为p，因此p/R不得小于1，如M1_3d图所示。
[解析](4)正弦线可设为
f(x) = Asinkx
(15)
路面是波浪形曲线，A 是正弦线的幅度，k 是系数。幅度和系数决定了正弦线的形状。由于
5
(11) (12)
(13) (14a) (14b) (11*) (14a*) (14b*) (12*) (13*)
phi=atan(x0/p);
%仰角
th=p*(xx0.*sqrt(1+xx0.^2)+log(xx0+sqrt(1+xx0.^2)))/2;%圆心角
x=x0-xx0./sqrt(1+xx0.^2)-r*sin(th-phi);%横坐标
圆心角为
1 x0 1 (x / p)2 dx p x0 / p 1 y2 dy
R0
R0
根据积分公式可得
p { x0 1 ( x0 )2 ln[ x0 1 ( x0 )2 ]}
2R p
p
p
p
饰物的轨迹方程为
x x0
x0 / p R r sin( ) 1 (x0 / p)2
其中 x0* = x0/R，y0* = y0/R。圆心角可表示为
(10*)
x0* cos
(9*)
x0*是自变量，r*和α是可调节的参数。 [程序]zqy1_2bicycle.m
%自行车沿着斜坡运动时饰物的轨迹
clear
%清除变量
r=input('请输入相对半径r/R:');
%键盘输入相对半径
hold on
%保持图像
plot([0,th(end)],[0,0])
%画横线
[解析](2)设 f(x) = kx，路面是一个斜坡，k 是斜坡的斜率，则 f '(x) = k。设 k = tanα，α是 斜坡的角度，可得
φ = arctan(k) = α
(8)
1 x0
R0
1 k 2 dx 1 R
%半径比向量
th=linspace(0,2*2*pi,1000);
%参数向量
[R,TH]=meshgrid(r,th);
%化为矩阵
X=TH-R.*sin(TH);
%横坐标向量
Y=1-R.*cos(TH);
%纵坐标向量
figure
%建立图形窗口
plot(X,Y)
%画摆线
axis equal
%使坐标间隔相等
1 [ f (x0 )]2
(6b)
[解析](1)设 y = 0，路面是一条直线，则 f '(x) = 0，φ = 0，θ = x0/R，饰物的轨迹方程为
x = x0 – rsin(x0/R)，y = R – rcos(x0/R)
(7a)
或
x = Rθ – rsinθ，y = R – rcosθ
时，摆线在x/R = 2nπ处出现尖点。如M1_1_1c图所示，当r > R时，即：饰物在车轮之外(例
如火车车轮边缘的情况)，摆线在x/R = 2nπ附近出现回旋。
M1_1_1a图 [程序]zqy1_1_1bicycle.m %摆线的轨迹 clear r=input('请输入半径r/R:'); th=linspace(0,2*2*pi,1000); x=th-r*sin(th); y=1-r*cos(th); figure plot([0,th(end)],[0,0]) hold on plot(x,y) axis equal grid on fs=16;
%显示字符串
M1_3a 图
M1_3b 图
M1_3c 图
M1_3d 图
[图示](3)如M1_3a图所示，当p > 0时，抛物线开口向上。如M1_3b图所示，当p < 0时，
抛物线开口向下。如M1_3c图所示，p越小，在同一高度处，抛物线开口就越小。抛物线在
底部的曲率半径最小，但不得小球自行车轮的半径，否则，自行车就无法与抛物线相切。由
M1_2b图
[图示](2)如M1_2a图所示，当α > 0时，自行车上坡。如M1_2b图所示，当α < 0时，自行
车下坡。
4
[解析](3)抛物线的标准方程为 f(x) = x2/2p
路面是一条抛物线，p 是抛物线的准焦距。由于 f '(x) = x/p，因此仰角为 φ = arctan(x0/p)
M1_1_1b图
%清除变量 %键盘输入半径比 %参数向量 %横坐标向量 %纵坐标向量 %建立图形窗口 %画横线 %保持图像 %画摆线 %使坐标间隔相等 %加网格 %字体大小
2
title('摆线的轨迹','FontSize',fs)
%显示标题
xlabel('\itx/R','FontSize',fs)
y=y0+1./sqrt(1+xx0.^2)-r*cos(th-phi); %纵坐标
figure
%建立图形窗口
plot(x0,y0)
%画抛物线
hold on
%保持图像
plot(x,y)
%画摆线
axis equal
%使坐标间隔相等
grid on
%加网格
fs=16;
%字体大小
title('自行车沿着抛物线运动时饰物的轨迹','FontSize',fs)%显示标题
y x02
1
R r cos( )
2 p 1 (x0 / p)2
[算法](3)取R为长度单位，则抛物线方程可化为 y0* = x0*2/2p*
其中p* = p/R，x0* = x0/R，y0* = y0/R。 饰物的方程可化为
x* x0*
x0* / p*
r* sin( )
设 P'的坐标为(x，y)，则 x = xC – rsin(θ - φ)，y = yC + rcos(θ - φ)
其中θ是圆心角，φ是法线与竖直方向的夹角，也是切线与水平方向的夹角，称为仰角。由(1) 式可得圆心角
1 x0 1 [ f (x)]2 dx
R0
(4)
根据导数的定义可得仰角
1 ( x0* / p* )2
y*

x0*2 2 p*

1
r* cos( )
1 ( x0* / p* )2
仰角为 圆心角为
φ = arctan(x0*/p*)


p* 2
{
x0* p*
1 (
x0* p*
)2
ln[
x0* p*

1

(
x0* p*
)2
]}
x0*是自变量，r*和p*是可调节的参数。 [程序]zqy1_3bicycle.m 如下。
%x标签
ylabel('\ity/R','FontSize',fs)
%y标签
txt=['\itr/R\rm=',num2str(r),',\it\alpha\rm=',num2str(alpha),'\circ'];%字符串
text(0,0,txt,'FontSize',fs)
%显示字符串
M1_2a图
xlabel('\itx/R','FontSize',fs)
%x标签
ylabel('\ity/R','FontSize',fs)
%y标签
txt=['\itr/R\rm=',num2stபைடு நூலகம்(r),',\itp/R\rm=',num2str(p)];%参数字符串
text(0,0,txt,'FontSize',fs)
alpha=input('请输入斜坡的度数alpha:'); %键盘输入角度
a=alpha*pi/180;
%化为弧度
x0=0:0.001:20;
%自变量向量
y0=x0*tan(a);
%坡度的纵坐标
th=x0/cos(a);
%参数向量
x=x0-sin(a)-r*sin(th-a);
%横坐标向量
y=y0+cos(a)-r*cos(th-a);
1
tan2
x0

x0 R cos
(9)
饰物的轨迹方程为
x = x0 – Rsinα - rsin(θ – α)，y = x0tanα + Rcosα – rcos(θ – α)
(10)
当α = 0时，斜坡变成平地，由上式可得(7)中两式。
3
[算法](2)取R为长度单位，则饰物的方程可化为 x* = x0* – sinα - r*sin(θ – α)，y* = x0*tanα + cosα – r*cos(θ – α)
)
(
xC

x0 )
y
(x0 xC )2 [ f (x0 ) yC ]2 R2
解得圆心坐标
xC x0
f (x0 ) R 1 [ f (x0 )]2
(2)
yC f (x0 )
1
R
1 [ f (x0 )]2
(3)
R
C'
C P' θ
r P
φ A'
OA A1图
φ x
(7b)
当 r < R 时，上式是短摆线方程；如果 r = R，上式就是典型的摆线方程。
[算法](1)取R为长度单位，则短摆线方程可化为
x* = θ – r*sinθ，y* = 1 – r*cosθ
(7*)
其中x* = x/R，y* = y/R，r* = r/R。θ是自变量，r*是可调节的参数。
[图示](1)如M1_1_1a图所示，当r < R时，短摆线处处光滑。如M1_1_1b图所示，当r = R
%x标签
ylabel('\ity/R','FontSize',fs)
%y标签
text(0,0,['\itr/R\rm=',num2str(r)],'FontSize',fs)%显示字符串
M1_1_1c图
M1_1_2图
[程序]zqy1_1_2bicycle.m
%摆线的轨迹族
clear
%清除变量
r=[0.5,1,1.5];
%纵坐标向量
figure
%建立图形窗口
plot(x0,y0)
%画斜坡
hold on
%保持图像
plot(x,y)
%画轨迹
axis equal
%使坐标间隔相等
grid on
%加网格
fs=16;
%字体大小
title('自行车轮饰物在斜坡上的轨迹','FontSize',fs)%显示标题
xlabel('\itx/R','FontSize',fs)
grid on
%加网格
fs=16;
%字体大小
title('自行车轮饰物的摆线族','FontSize',fs)%显示标题
xlabel('\itx/R','FontSize',fs)
%x标签
ylabel('\ity/R','FontSize',fs)
%y标签
legend([repmat('\itr/R\rm=',length(r),1),num2str(r')])%显示图例
%自行车沿着抛物线运动时饰物的轨迹 clear r=input('请输入相对半径r/R:'); p=input('请输入相对准焦距p/R:'); x0=-20:0.001:20; xx0=x0/p; y0=x0.*xx0/2;
%清除变量 %键盘输入相对半径 %键盘输入相对准焦距 %自变量向量 %中间变量 %抛物线纵坐标
自行车轮装饰物的运动轨迹
{问题 1} 为了使平淡的自行车增添一份美感，同时，也为了增加自行车的安全系数，一些骑自行 车的人及自行车厂家在自行车的辐条上安装一款亮丽夺目的饰物。当有这种饰物的自行车在 马路上驶过时，这种饰物就像游龙一样，对街边的行人闪过一道波浪形的轨迹。 (1)当自行车在平地上运动时。这个轨迹是什么曲线？试画其图形。 (2)当自行车在斜坡上运动时。这个轨迹是什么曲线？试画其图形。 (3)当自行车在一个抛物线型的拱桥上通过时。这个轨迹是什么曲线？试画其图形。 (4)当自行车在一拱一拱的正弦曲线上通过时，这个轨迹是什么曲线？试画其图形。 [数学模型] 假设路面曲线是 y = f(x)，自行车在运动过程中，车轮在路面上作无滑动的滚动，与路 面只有一个接触点。车轮可当作一个半径为 R 的圆，运动时与地面相切。饰物 P 离圆心的 距离为 r。如 A1 图所示，CP 与圆相交于 A，A 是初始接触点。当圆滚过θ角之后，接触点 移到 A'处，圆从 C 移到 C'处，饰物从 P 移到 P'处。 曲线弧元为
ds dx2 dy2 1 y2 dx 1 [ f (x)]2 dx
设 A'点的坐标为(x0，y0)，则有弧长关系
x0
R 1 [ f (x)]2 dx
(1)
0
设圆心 C'的坐标为(xC，yC)，C'在曲线的法线上，因此联立方程
yC

f
(x0 )


f
1 ( x0