线性代数克拉默法则

1 3 2 4
5 0 1 7
8 9 5 0
D 81 x1 1 3, D 27
x3 D3 27 1, D 27
10
x2
D2 108 4, D 27
D4 27 1. D 27
x4
a11 x1 a12 x2 a1 n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 线性方程组 an1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn
其中D j是把系数行列式 D中第 j 列的元素用方程组右端的
常数项代替后所得到的
a11 Dj a n1
n
阶行列式，即
a1, j 1 a n , j 1 b1 bn a1, j 1 an , j 1 a1 n ann
5
定理中包含着三个结论： •方程组有解；（解的存在性） •解是唯一的；（解的唯一性）
5 1 7
8 9 5 0
3 0 27 0 2
5 0 1 7 1 6 2 6
8 D1 9 5 0 81
1 3 2 4
5 0 1 7
= 108
9
2 D3 1 0 1 27
1 3 2 4
8 9 5 0
1 6 2 6 D4
2 1 0 1 27
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§4 克拉默法则
主讲教师：张友
1
第四节
主要内容
ห้องสมุดไป่ตู้
克拉默法则
克拉默法则 线性方程组有解的条件 举例
2
二元线性方程组 若令
D1 b1 b2
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2 D a12 a11 a21 a12 a22 D2
(方程组的系数行列式)
a11 a21 b1 b2
a22
则上述二元线性方程组的解可表示为
x1 b1a22 a12b2 D 1 a11a22 a12a21 D
x2
a11b2 b1a21 D 2 a11a22 a12a21 D
3
一、克拉默法则
如果线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1 n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 a nn x n bn (1)
常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组，否则 称为非齐次线性方程组. 齐次线性方程组总是有解的，因为(0,0,…, 0)就是一个 解，称为零解. 因此，齐次线性方程组一定有零解，但 不一定有非零解. 我们关心的问题是，齐次线性方程组除零解以外是否存 在着非零解.
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齐次线性方程组的相关定理
定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式 D 0 ，则齐次 线性方程组只有零解，没有非零解. 定理5′ 如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必 为零. 备注 1. 这两个结论说明系数行列式等于零是齐次线性方程组有 非零解的必要条件.
2. 在第三章还将证明这个条件也是充分的. 即：
齐次线性方程组有非零解
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系数行列式等于零
练习题：问 取何值时，齐次方程组 1 x1 2 x2 4 x3 0, 2 x1 3 x2 x3 0, x1 x2 1 x3 0,
有非零解？
1 2 3 1 4 1 ( 2)( 3) 1
解
D
2 1
如果齐次方程组有非零解，则必有 D 0 .
2 3 时齐次方程组有非零解. 所以 0、、
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思考题
当线性方程组的系数行列式为零时，能否用克拉默法则 解方程组？为什么？此时方程组的解为何？ 答：当线性方程组的系数行列式为零时，不能用克拉默法 则解方程组，因为此时方程组的解为无解或有无穷多解.
•解可以由公式(2)给出. 这三个结论是有联系的. 应该注意，该定理所讨论的只是系
数行列式不为零的方程组，至于系数行列式等于零的情形， 将在第三章的一般情形中一并讨论.
6
7
例
解线性方程组
2 x1 x2 5 x3 x4 8, x 3x 6 x4 9, 1 2 2 x2 x3 2 x4 5, x1 4 x2 7 x3 6 x4 0.
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三、小结
1. 用克拉默法则解线性方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数； (2)系数行列式不等于零. 2. 克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解 和已知的系数以及常数项之间的关系．它主要适用于 理论推导．
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LOGO
16
解
2 1 D 0 1
1 3 2 4
5 0 1 7
1 6 2 6
r1 2r2
r4 r2
0 1 0 0
7 3 2 7
5 0 1 7
13 6 2 12
8
7 2 7
5 1 7
13 2 12
c1 2c2
c3 2c2
1 6 2 6
3 0 7
2 D2 1 0 1
a11
a12

a1 n
的系数行列式不等于零，即
a21 a22 a2 n D 0 a n1 an 2 ann
4
那么线性方程组(1)有解并且解是唯一的，解可以表示成
Dn D1 D2 D2 x1 , x2 , x3 , , xn . D D D D (2)