基于奇异值分解的MVDR谱估计

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教师所疫学院：信息工程学院
2015年11月
基于奇畀值分鮮的MVDR方法及其在信号频率估计领城的
应用
摘要：本丈主要是介绍和验证MVDR的算出，此算岀应用于信号频率估计的领城中。

我们通过使用经典的MVDR算去验证算比的可行性，再通过引用了奇异值分解的思想对MVDR方法进行了孜进，准.脸证这种改进思想的方法可行性肘，我们发现基于这种奇异值分鮮的MVDR 方岀在信号频率估计上具有提壽检测赫度的特性，这色说朗了这种思想＞4应用信号频率估计肘是可行的。

论丈题tl (English丿
MVDR method based on singular value decomposition and its application in signal frequency estimation Abstract:In this paper, the algorithm of MVDR is introduced, and the algorithm is applied to the field of signal frequency estimation. By using the classical MVDR algorithm to verify the feasibility of the algorithm, and then through the use of the idea of singular value decomposition to improve the MVDR method, in the verification of the feasibility of the method, we found that the MVDR method based on the singular value decomposition has the characteristics of improving the detection accuracy in signal frequency estimation. It also shows that this idea is feasible in the application of signal frequency estimation.
Key words：MVDR method Singular value decomposition Signal frequency estimatio n
引t
基于奇异值分解的特征提取算岀衣信号与图像处理等方面有着/•泛的应用，国外很多学者色对此进行了丸量的研兜。

奇异值分解在』、咬图像边缘检测中的应用，使得禽敬小波炙换的全局尺度选择更加彖易。

研兜在朗，奇异值分解具有理想的去相关特性，基于奇异值分解的信号分析方法可以对信号进行重构，较好的从背景噪声中分富岀有用信号的特征信息叭研兜表朗，基于奇异值分解的信号特征提取方出的关純在于奇异值特程阶数的选择，如何有效的选取特征值仍是一个有侍研克的问題。

在许多领城，所研死的信号通常後认为是具有各恚禺经性的平稳随机信号，很难用确主的数学关糸无去描述。

随机信号的功率谱能反映信号的频率成分以及各成分的相对强弱，能从频城上掲示信号的节律，是非确是性信号的重要特征。

因此、可采用给定的N个样本数据对相
应平稔随机信号的功率谱磁度进行估计，即功率谱估计(Power spectrum estimation)o近年来、基于特征分解功率谱估计方法己经在通信、雷达、导航、声纳、地震、射电天丈和生物医学工程等科枝领城中得到广泛应用。

MVDR (minimum variance distortion response)是J.Capon于1969年研兜地震咬的空间谱肘提出的也称为Capon谱。

1971, Lacoss将该方岀应用于单一肘间梓刃谱估计、并证朗了该方法得出的估计是谱分量的最小方差无偏估计，其思•想是将正孩过程看成是频率未知的确定信号、使该信号通过一个FIR糸统，而嗥声披尽量抑制，该方法症£动语音帜别(ASR)等领城已经得到广泛应用⑵。

1997年ManoharN.Murthi和BhaskerD.Rao首次将其应用到语音信号的谱包络估计中、解决了LP谱对基音周期较壽的轨音信号的频谱估计不准的问題。

和LP谱及FFT能量
谱和比、MVDR谱具有更小的方杀，并且在保绪语义信息的同肘对说话人信息有一定的抑制作用、这一特点令基于MVDR谱的MFCC (其余频率例谱糸数丿参数比传统的MFCC洪数灵加适合于关健词檢出。

(基于最小方差无失真响应谱的语音特征提取丿
由于奇异值分解的特征提取方法应用的领城越来越/•阔，本丈提岀了一种将奇异值分解的思想应用到MVDR信号频率谱估计的算岀，这种基于奇异值分解的MVDR算出与经典的MVDR算出和比较，具有朗显提爲新度的优点。

在与经典的算冻对比中，我们将观测矩阵进行了修改，从而将谱估计的推导公式也进行了改变。

通过实验仿真和捡证，可以证朗我们的这种方比是具有可行性的。

第一章相关知识及算廉流程
1.1名词鮮年
MVDR的信号频率谱估计算出的英丈全称是Minimum Variance Distortionless Response,中丈全称是最小方差无夬真响应，通常应用于信号频率估计。

奇异值分解在芷些方面与对称矩阵Hermite矩阵基于特征向量的对角化类似。

然而这两种矩阵分解尽管有其才ei关性，但还是右朗显的不同。

对称阵特征向量分解的基础是谱分析，而奇异值分解则是谱分析理论在任盘矩阵上的推广。

1.2音异值分解的知识介傅
1.2.1賀矩阵的文义
走义：役Awe"",若A满足
A,,A = AA,1 =/ ,
则称矩阵A为酉矩阵。

1.2.2夸异值的定义
是义：役A e C nxn ,且rankA = r(> 0) <>又设A〃A的特征值为
Aj > ・•・》&> &+]=…=& = 0 式2-1则称6 =丽石=1,2,…,n)为A的奇异值。

1.2.3矩阵的夸异值分解走理
龙理：设且rankA = r(>0),则存在加阶酉矩阵(/和"阶酉矩阵V • 使得
(Y 0、
U H AV=. 式2・2
(0 0丿
其中》= diag(b“b2,…、6).而s(i= 1,2,…")为A的正奇异值。

将式2-2改写为
0、
A = U V H , 式 2-3
（0 0丿
则称无2-3为矩阵A 的奇异值分解。

1.2.4矩阵的夸异值分解;t 理的证明
证：T& A 11 A 的特征值如无2-1所示，由于A n
A 是H ermite 矩阵，所以存在” 阶酉矩阵V ,使得
.. fs 2 0）
V ,I A I,AV= diag （入，儿，…,人）=
式 2-4 0 0；
将V 分块为
V=（V ；匕）（V 1eC ,,xr ,V 2eC ,,x （,,-r ＞）,
式 2-5 将无2-5带入无2-4中，可得
V^A li AV } =X\ V^A H AV 2=0,
式 2-6 于是进一步进行化简可得
S-'V/^^AV^-1 =/f , AV 2=0O
式 2-7 i^U { = AVjX -1,由上式知U ；U = ,印匕的广个列向量是两两正交的单伐.向量，
^U 2eC mx （m ~n ,使得"=（"U 2） m 阶酉矩阵，即有
叽=0, U^U 2 = I,n _r ,
则有
U U AV = 至此，也就证朗岀一个任盘的”阶方阵一定会有其对应的奇异值分解。

u ；U= o S 0、 0 0,
U^AV, U ；{AV 2
U^AV { U^AV 2 厂 WfU 玄 0 式2-8
1.3MVDR谱估计知识介绍
1.3.1MVDR幡牯计方出中常用到的标受因數关于向走的样度亦式
图2-1 M 轴头的FIR 滤妝器
假役滤波器输入信号“⑺）是复正狂信号加令噪声,为VJ(vv) = 2 ——r (c 11
w) = 0 d\v
A VJ(vv) = 2——(w"c) = 2c d\v VJ(M O = 2 二(w 〃 /?w) = 2Rw d\v
2-9
13.2 MVDR 读次毘療理
考虑有M 个权糸教（轴头丿的橫向腮波赛ftransversal filter ）（戎称FIR 腮
波器），如下图2」所示。

谑波麥的输入为随机过程x （n ）,输出为
Af-l
y5) =工 w ；x("—°
r-<)
^2-10 其中，叫在示橫向谑波容的权糸救。

定义输入信号向量和权向量分别为
x(n) = [x(n) 一 1) •…x(n-M +1)]7
w = [w° w …W M -J
则输出可表示为
y(n) = w n x(n) = x 1 (n)w'
式 2-11 信号）U ）的平均功率可以表示为
P = E{ \ y(n) \2} = E{ w H x(n)x H (n)w} = w n Rw
式2J2 其中，矩阵R^W 向量双町的M 维自柏关矩阵，即
r(0) r(l) …r(M -1)
R = E{x(n)x H (n)}= 心) r(0) 厂(1_M) r(2-M) •… r(M-2)
■
♦ ■
r(0)
其中，叩?)是加性勺噪声,匕和叫分别是第&个信号复隅度和角频率。

复隅度 a k =1 a k I e }&＞包舍
了正孩信号的振協I aj 和初始相住(p k 。

役感兴趣的期望信号是角频率为叫的复正弦信号，则选择虑咬彖权向量w 应 该遵循的原则是，使复正弦信号R””无夫真地通过谑波容，而尽量抑制其余频率 的信号和噪声。

段信号Q 严通过滤波器的响应为儿S),则y t (n)应为
y {(n) = a0Ww ； + 讹厂川+…+匕/5二呂吶⑶“)
皿严”何+45： +…+/*%二)
定义向量 a(w l ) = [\ 严 所以，当权向量满足w5(wj = l 肘，可使复正往信号冬占即无失真地通过虑波器。

同肘考虑到要使其他复正往信号和噪声尽量彼抑制，虑减器权向量W 应满足：
(\)约束屛4(叩=1,这是为了使无夫真地通过滤波乐。

(2)输出平均功率P = w u Rw 最小，达到抑制其他频率信号和嗥声的目的。

连.上面的讨论中，假是了感兴趣的期望信号频率为“1。

考虑更一般的情况， 设期望无失真通过糸统的信号频率为w,且令a(w) = [l e" ... e -jw{M -l,]r
，此 肘，腮波器权向量W 应满足
这是一个条件极值问題，应用竝格胡目乘子法，构凌代价函数为
求梯度并令梯度VJ(vr) = O,根据梯度的预备知识式2・9,可得式2・15
式2・16
)[(〃)=\v H a(w })a }e JW}n 式2・17
式2J8
式2J9
考虑到柑关矩阵R 是非奇异的，所以有
w = 2/?5(VV )
式 2-21
将上式代入到约束条件w H
a(w) = 1中.并考虑/?的共钝对称性，可解得
式2・22
于是，满足^2-18的最优权向量为
R 」a(w)
此肘，将式2・23代入式2-12,得虑波彖的最小输出功率为
注盘，/(w)ZTb(w)是正卖数。

直上面的推导中，假役可以得列理想的信号相关矩阵而在工程实际中， 通常采用N 个观测样本值x(O),x ⑴,…,x(N — l)得到相关矩阵的估计斤。

因此，用 R 春换R ,则最优权向量的估计可以表示为
而MVDR 谱估计为
在［一龙 兀］改变Wp 色出A/VDR (")曲线。

在wHw,a = l,2,…,K)处，信号和噪 声都彼滤波彖抑制，曲线会出现很低的幅度；而VV= VV Z 肘，频率W = w ｛的信 号可以无失真地通过，因此曲线呈现岀一个咬帑。

亦上面MVDR 信号频率估计方法的推导中，为了叙述方便，引入了图2-1 的滤减器结
构，在卖际进行信号频率估计肘，无需构建滤疫器，而直棲计算无 2-26就可以了。

1.3.3MVDR 传号频率估计算法流程
^2-23
代“处(w) = P(w) =
1
a ll
(w)R^a(w)
式2・24
W
MVDR
R^a(w) a fl (w)R^{a(w)
扎2・25
P M \QR (W )=
]
a H
(w)R^a(w)
式2・26
MVDR信号频率估计算法的操作步骤如下：
步骤一：由x(n)的N个观测样本x(O),x⑴,…，班"—］)估计样本相关矩阵R。

八］八步骤二：在［—兀刃改炙w,画出心咖("•) = /(⑴)右心)的曲统人⑷R")，率值住置对应的W就是信号角频率的相对强度。

基于奇异值分解的MVDR信号频率估计算法的棵作步骤如下：
步骤一：由观测信号双“)构建观测矩阵A ,其中观测矩阵A H = ［w(m) u(m + l)… “(N)］，并值得说朗的是该矩阵中的每一个元素均为一个M维的列向量。

步骤二：对观测矩阵A"进行奇异值分解，得到对应的左奇异向量U、奇异值矩阵S及右
奇异侖量V o
八1
步骤三：征［-九刃改变W,并计算出P MVDR{W}=—一-———中对应需求的a"(w)① T“(W)
数值,从而绘制出基于奇异值分解的MVDR信号频率估计算法的曲线。

第二*數据结果畏示及分析
2.1镌题题町机述及要求
假段观测信号另
3
兀⑺)=工4 exp(J2^n + j(p k) + v(z?)
其中，叩?)为零均值、方差"2 = 1的爲斯勺噪声，归一化频率分别是
/| =0.1,厶=0.25和厶=0.27,竹是相互独立并服从［0 2刃均匀分布的随机相佞。

3个复正弦信号的信嗥比分别为SNR, = 30JB, SNR】=30dB和SNR. = 2MB。

假役信号样本数为1000,
F1R腮波器的抽头个数为4。

错使用基于奇异值分解的
MVDR方去进行信号频率估计的仿真实验，荻得功率谱忿度函数的估计。

2.2程序浇程图
图3」基于奇异值分解的MVDR算比程库流程图
2.3基于课题的研究仿真及结泉
通过选取滤咬春权糸数个数M, 4 vv = 2^/,/ e[-0.5 0.5]均匀选取2048 个频率点，用MVDR频率估计算法和基于奇异值分解的MVDR方冻画出估计的MVDR功率谱。

-0 2
-
4 0
5
厚麵巔芒
M=4 的 M '/DRl
gp
癒橐军—
(a) M=4 肘MVDR 谱
M=4吋的svd的MVDR谱
(bj M=4 肘svd 的 MVDR 谱
图3.2抽头糸救为4肘，两种算出的信号频率估计图
当我们按照测试函数題目中的要求选取M=4肘，两种方比色出的MVDR 谱如图3.2所示。

可以看出，两种方法的MVDR信号的频率估计分辨率效果彳艮类似,只能够检测分辫出两个波率。

而从测试函数中对比，我们知道这样的分辨
率是不符合要求的，理论数据中包含有三个正弦欧，检测却只有两个。

-5
-
20
-2
5
30
■
5
3
心丿M = 10肘MVDR谱
M=10B寸的svd的MVDR
谱Array
(b) M=10 肘svd 的MVDR 谱
图M3抽头糸教为10肘，两种算法的信号频率估计图
从笫一纽图择结果不合理的结论中，我们对德波器的权向量阶数进行修改。

这组图样我们是采用改变滤欧器的权向量阶数进行仿真得到的，阶数取值的依据有两个要求：
1、基于奇异值的MVDR算比能够检测出3个正赧信号肘的最小虑沐器权向量阶数。

2.采用同阶教的腮波麥，比较两种算法的检测效果。

古滤波器权向量卧数M = 1O肘，基于奇异值分解的MVDR传号频率估计的
算比能够检测出三个败蜂，两种方法绘制出的MVDR谱如图3.3所示。

通过冰形分析得岀，两种方出的MVDR谱分辫率出现了不同。

用经典MVDR频率估计算出画岀的咬形仍煞只能分辨岀两个波潜,而用奇异值分解的MVDR方岀画出的波形可以分辨出三个波蜂。

这也就说朗T基于奇异值分解的MVDR算比检测
出彼汚捺的测试信号中的所有期望信号的频率。

M=18 的MVDR
谱
-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4
0.5
r
(a) M = 18 肘MVDR 谱
(bj M = 10 肘 svd 的 MVDR 谱
图3.4两种算法均检测出披污染信号中全部期望信号频率肘估计图
这组图样我们是采用改变虑咬器的权向量阶数进行仿真得到的，滤咬容权向 量的阶数取值
的依据有两个要求：
1、 经典的MVDR 算比能够检测出3个正廷信号肘的最小谑波容权向量阶
2、 采用达列同样效果肘的图样，比较两种算法的设计德败赛的阶数大小。

当逸取M=18肘，使用经典的MVDR 频率估计算法画岀的咬形如图3.4(a)
所示，此肘可以栈糊的分辨岀三个咬帑。

而使用奇异值分解的MVDR 方岀肘， 如图3.4 CbJ 所示，选取M=10画出的咬形可以很请術的分辨出三个咬率。

通过以上三组比较，可以看岀，基于奇异值分解的MVDR 谱估计法比MVDR 频率估计比要更好，分辨率更需。

而且通过比较上图，可以发现，随着谑波翠权 糸数阶数M 的增大，两种方法的分辨率都在增大，但朗显基于奇异值分鮮的 M V D R 信号频率估计算冻的分辨率更加精确。

2
M=10时的svd 的MVDR 谱
• 1 u 1
• ……：
-W/ 2
i :
I"?
\ a
6
.2
0.
第三章錯東语
信号的频率估计的意义在于：在一个彼噪声污染的信号中，我们通过算比从中寻求到可能存＞4的期望信号的频率值。

因此这种思想在现代信号处理过程中应用是具有意义的，毕竞大多数的随机信号环境不可能做列无噪声的环境，那么用信号的频率估计算法是具有卖用性的谢求。

本丈中提到的MVDR算出的核心思想就体现虑欧器权向量的设计，在这个算法提出的要求中：使得期璽信号的无失真通过以及尽量的抑制其他信号和噪声。

这就使得算法的实现能达到信号频率估计的目的。

经典的MVDR算岀提岀，我们发现其要求的赫度诲求很需，而准.奇异值的思想下，这种精度密求会下吟，这色就使得基于奇异值的MVDR算岀A应用过程中能更加/•泛。

小组成员的分工
参考丈秋
［1］段向阳，王永生等•晟于奇异值分鮮的信号特征值提取方法研克［J］•振动与冲
^,2009.28(11):30-引.
［2］程丈波•灿平•疑于両科统计传号处理算法的噪定信号锚仕计研兗［N］・师学晓•学
撤2007.26⑸:21・22・
［3］何心恰.黄,叶奇华等•沐束城MVDR爲分辨沁估计方比研克［N］.理工大学学
札2003.27(2):201-203.
［4］何子述•黄报兴•向枚成•一种有敗的MVDR波束形成期［N］•传号丈
理.2000.16 ⑷:302£03・
［5］秀足贵奇冷华•矣量水听森阵刃MVDR形成睜的性能研丸卩］・应用声
•^,2007.26(1):8-9・
［6］周诰，衰志勇•晟于MVDRf)适应欧束的高分辨方住仕计［N］.理工大学学^,200931(9):108-110.
［7］启虎.水步传号处理领城若干专題研克进展［J］.应用宗学,2001.20(1):1-5.
⑻游鸿•黄建国•徐桂氏•基于MVDR的阵刃信号波束城预丈理算法［J］・条统工程与电子技
术,200830(1):64-65.
［9］王葩汆志水•华洋厨城鮮析信号的MVDRfl迨应波束形成方出卩］•救据釆臬与丈
«,2009,24 (3):318319.
［10］茶光•马念•王易川.MVDR勺适应波束形成的一科智能算法卩］・声学技
术.201(X29⑶:340-341.
［11］付立•基于MVDR谱的语咅通信干扰效果评仕芳出硏克卩］.信息枝术.2011.6:1-2.
［12］对洁，德徐•矣量阵想干宽帚MVDR聚焦波束形成［N］.糸统仿真学
报.2010.22 ⑵：473・474・
附录
clear allzclc;
M = 14;
N = 1000;
f二［0」0.25 0.2刀；
SNR二［30 30 27］;
sigma = l;
Am=sqrt(sigma*10.八(SNR/10));
t=lin$pace(0J,N);
phi=2yc pi yf rand(size(t)); %产生随机和住
%庐生加性需斯勺嗥声
vn=sqrt(sigma/2)*randn(size(t))+i*$qrt(sigma/2)*ra ndn (size(t))；Un二vn；
for k=1:length (f)
s=Am(k)*expO*2*pi*N*f(k).*t+j*phi(k));
Un = Un+s;
end
Un 二Un.';
%构建救据矩阵A,其救据为观测信号Un
A=zeros(M,N-M+l); for n = l:N-M+l
A(:t n) = Un(M+n・1:」：n);
end
%调用svd()函数，对数据矩阵A进行奇异值分解
[U.S.V] = svd(A,): %其中U是左奇异向量，V是右奇异向量invphi=V-inv(S,ft S)-V'; %生成a(w)
P=4096;
f=linspace(-0.5>0.5>P);
omega=2yc pi yc f;
a=zeros(M,P);
for k=l:P
for m = 1：M
a (m. k)=exp (-j*omega (k) * (m-1));
end
end
%MVDR谱的计算
Pmvdr=zero$(size(omega));
for k=l:P
Pmvdr(k) = l/(a (:,k)f*invph i*a(:,k));
end
Pmvdr=ab$(Pmvdr/max(ab$(Pmvdr)));
Pmvdr=10*logl0(Pmvdr);
h=zeros(LP);
d = l/(P-l);
for i = l:P
h(i)=-0.5+(i-1)*d:
end
figure(l)
plot(h,Pmvdr,LJ)
ylabel f 归—化频谱/dB‘)；
xlabelCW/(2*pi)1);
titlefM=14 肘svd 的MVDR 许);
0 i i i i i i 1 * * *
••••••• fl1•
•••••• I ••
•••••?•!• f \ 1•
i i i i i |i ■i I i i
•••••[•% •J \ ••
•5 -- ---------- --------------------------------- ■■•■■J ---------- ---------------------------------------------- ---
V I I I I I • I I I I 1 I I。