4因式分解方法(七年级)
浙教版七年级数学下册因式分解(无答案)
第八讲 因式分解思维导图重难点分析重点分析：1.因式分解的实质是多项式的恒等变形，是将多项式转化为几个整式的积的形式，和整式乘法是互逆关系.2.提取公因式法是因式分解的基本方法，关键在于找公因式.找公因式的方法是：一看系数，二看相同的字母或因式.3.平方差公式：a 2-b 2=（a+b ）（a-b ）；完全平方公式：a 2±2ab+b 2=（a±b）2是常用的两个公式，平方差公式适用于二项式，完全平方公式适用于三项式.4.因式分解的一般步骤：（1）若多项式有公因式，先提取公因式；（2）若多项式没有公因式，对于二项式，可以考虑应用平方差公式；对于三项式可以考虑应用完全平方公式或十字相乘法［x 2+（a+b ）x+ab=（x+a ）（x+b ）］；（3）当多项式不能应用公式或者项数多于三项时，也就是既没有公因式也不能用公式分解时，可以尝试用分组分解法，项数较少时可通过拆项或添项后再分组.难点分析：1.因式分解的对象是多项式.2.因式分解的两种常见错误：一是“提不净”，即有公因式没提干净；二是“分不清”，即分解不彻底，因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止.3.十字相乘法和分组分解法虽然是课本上不作要求的方法，但对于整式的变形有很大的作用，建议学会这两种方法.4.配方法、换元法、待定系数法、求根法、拆（添）项法等都是因式分解的常用方法.例题精析例1、下列从左到右的变形：①15x 2y=3x·5xy；②（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2；③a 2-2a+1=（a-1）2；④3x 3-6x 2+4=3x 2（x-2）+4；⑤a 2-21b =(a+b 1)(a-b1)，其中是因式分解的个数是（ ）. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个思路点拨：因式分解就是把多项式分解成几个整式的积的形式，根据定义即可进行判断.①⑤分解的对象不是多项式，所以不是因式分解；②是整式的乘法；④没有完全分解成整式的乘积形式；只有③是因式分解.参考答案：B方法归纳：因式分解的几个特点：（1）“和差化积”，即等式右边是整式的乘积形式；（2）分解的对象是多项式；（3）恒等变形，即等式两边恒相等.易错误区：注意a 2-21b =(a+b 1)(a-b1)虽然是利用平方差公式将代数式分解成乘积形式，但由于分解的对象不是多项式，所以不能称为因式分解.例2、分解因式：（1）-4+x2；（2）-4x2y+4xy2-y3；（3）9（a-b）2-4（a+b）2；（4）3a2+bc-3ac-ab；（5）16x4-8x2y2+y4.思路点拨：（1）交换两个加数的位置，即可运用平方差公式；（2）提取公因式-y，即可运用完全平方公式；（3）首先运用平方差公式，再对括号内的式子进行整理即可；（4）首先要合理分组，再运用提公因式法完成因式分解；（5）先运用完全平方公式因式分解，再运用平方差公式因式分解.解题过程：（1）原式=x2-4=（x+2）（x-2）.（2）原式=-y（4x2-4xy+y2）=-y（2x-y）2.（3）原式=（3a-3b+2a+2b）（3a-3b-2a-2b）=（5a-b）（a-5b）.（4）原式=（3a2-3ac）+（bc-ab）=3a（a-c）-b（a-c）=（3a-b）（a-c）.（5）原式=（4x2-y2）2=（2x+y）2（2x-y）2.方法归纳：本题考查了用公式法、分组分解法分解因式，熟练掌握公式结构是解答本题的关键，合理分组也很重要.易错误区：第（2）题要先提取公因式，第（4）题要合理分组，第（5）题要分解彻底.例3、分解因式：x2-120x+3456.分析：由于常数项数值较大，则采用将x2-120x变为差的平方的形式进行分解，这样简便易行：原式=x2-2×60x+3600-3600+3456=（x-60）2-144=（x-60+12）（x-60-12）=（x-48）（x-72）.请按照上面的方法分解因式：x2+42x-3528.思路点拨：先把x2+42x-3528转化为x2+2×21x+441-441-3528，因为前三项符合完全平方公式，将x2+2×21x+441作为一组，然后进一步分解.解题过程：原式=x2+2×21x+441-441-3528=（x+21）2-3969=（x+21+63）（x+21-63）=（x+84）（x-42）.方法归纳：本题考查的是用分组分解法分解因式，关键是将原式转化为完全平方的形式，然后分组分解.解题时要求同学们要有构造意识和想象力.易错误区：本题主要方法是配方法，关键是将x2+42x配成完全平方式，配上的数应该是42的一半的平方，不要配成42的平方.例4、阅读下列材料并解答问题：因为（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，所以对于二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式分解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两个数的和等于p，即若有a，b两数满足a·b=q 且a+b=p，则有x2+px+q=（x+a）（x+b）.例如：分解因式x2+5x+6.解：∵2×3=6，2+3=5，∴x2+5x+6=（x+2）（x+3）.再如:分解因式x2-5x-6.解：∵-6×1=-6，-6+1=-5，∴x2-5x-6=（x-6）（x+1）.同学们，阅读完上述文字后，你能完成下面的题目吗？试试看.分解因式：（1）x2+7x+12；（2）x2-7x+12；（3）x2+4x-12；（4）x2-x-12.思路点拨：发现规律：二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式分解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两个数的和等于p，则x2+px+q=（x+a）（x+b）.解题过程：（1）∵3×4=12，3+4=7，∴原式=（x+3）（x+4）.（2）∵（-3）×(-4)=12,-3+(-4)=-7,∴原式=（x-3）（x-4）.（3）∵6×(-2)=-12，6+（-2）=4，∴原式=（x+6）（x-2）.（4）∵（-4）×3=-12，-4+3=-1，∴原式=（x-4）（x+3）.方法归纳：本题考查用十字相乘法分解因式，是x2+（a+b）x+ab型式子的因式分解的应用，应掌握x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）.易错误区：注意系数的符号，将常数项分解成两个数的积的时候要将符号考虑周全.例5、阅读下面的材料，解答下列问题：材料1：公式法（平方差公式、完全平方公式）是因式分解的一种基本方法.如对于二次三项式a2+2ab+b2，可以逆用乘法公式将它分解成（a+b）2的形式，我们称a2+2ab+b2为完全平方式.但是对于一般的二次三项式，就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其配成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是有：x2+2ax-3a2=x2+2ax+a2-a2-3a2=（x+a）2-（2a）2=（x+3a）（x-a）.材料2：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1.解：将“x+y”看成一个整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=（A+1）2.再将“A”还原，得：原式=（x+y+1）2.上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）根据材料1，把c2-6c+8分解因式；（2）结合材料1和材料2完成下面各题：①分解因式：（a-b）2+2（a-b）+1；②分解因式：（m+n）（m+n-4）+3.思路点拨：（1）利用已知结合完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案；（2）①直接利用完全平方公式分解因式得出答案；②利用已知结合完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案.解题过程：（1）c2-6c+8=c2-6c+32-32+8=（c-3）2-1=（c-3+1）（c-3-1）=（c-2）（c-4）. （2）①（a-b）2+2（a-b）+1=（a-b+1）2.②设m+n=t，则t（t-4）+3=t2-4t+3=t2-4t+22-22+3=（t-2）2-1=（t-1）（t-3），∴（m+n）（m+n-4）+3=（m+n-1）（m+n-3）.方法归纳：本题主要考查了用公式法分解因式以及整体换元思想，熟练应用公式是解题关键. 易错误区：完全平方公式是配方的基本公式，特别注意配方是根据a2+2ab+b2来配常数，即若二次项系数是1，则常数项配一次项系数一半的平方，不是一次项系数的平方.探究提升例、分解因式：（1）4x3-31x+15；（2）x3+5x2+3x-9；（3）2a4-a3-6a2-a+2.思路点拨：（1）需把-31x拆项成-x-30x，再分组分解；（2）把x3+5x2+3x-9拆项成（x3-x2）+（6x2-6x）+（9x-9），再提取公因式因式分解；（3）先分组分解因式，再用拆项法把因式分解彻底.解题过程：（1）原式=4x3-x-30x+15=x（2x+1）（2x-1）-15（2x-1）=（2x-1）（2x2+x-15）=（2x-1）（2x-5）（x+3）.（2）原式=（x3-x2）+（6x2-6x）+（9x-9）=x2（x-1）+6x（x-1）+9（x-1）=(x-1)(x2+6x+9)=（x-1）（x+3）2.（3）原式=a3（2a-1）-（2a-1）（3a+2）=（2a-1）（a3-3a-2）=（2a-1）（a3+a2-a2-a-2a-2）=（2a-1）［a 2（a+1）-a （a+1）-2（a+1）］=（2a-1）（a+1）（a 2-a-2）=（a+1）2（a-2）（2a-1）.方法归纳：本题考查用公式法、分组分解法、十字相乘法、提取公因式法等方法进行因式分解，同时都应用了“拆项”、“添项”，所以难度较大.易错误区：本题是通过拆项法因式分解，拆项要围绕因式分解的基本方法进行，主要是为了出现公因式或可以应用公式，不能盲目去拆.走进重高1.【潍坊】将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（）. A.a 2-1 B.a 2+a C.a 2+a-2 D.（a+2）2-2（a+2）+12.【贺州】将m 3（x-2）+m （2-x ）分解因式的结果是 .3.【大庆】已知a+b=3，ab=2，求代数式a 3b+2a 2b 2+ab 3的值.4.先阅读第（1）题的解答过程，再解答第（2）题.（1）已知多项式2x 3-x 2+m 有一个因式是2x+1，求m 的值.解法一：设2x 3-x 2+m=（2x+1）（x 2+ax+b ），则2x 3-x 2+m=2x 3+（2a+1）x 2+（a+2b ）x+b.比较系数得⎪⎩⎪⎨⎧==+=+m,b 0,2b a -1,12a 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===.21m ,21b -1,a ∴m=21.解法二：设2x 3-x 2+m=A·（2x+1）（A 为整式）.由于上式为恒等式，为方便计算取x=-21，2×-(21)3-(-21)2+m=0，故m=21.（2）已知x 4+mx 3+nx-16有因式x-1和x-2，求m ，n 的值.高分夺冠1.分解因式：（1）x4-1-4x2-4x；（2）x5+x+1；（3）a2-b2+4a+2b+3.2.因为（x+2）（x-1）=x2+x-2，所以（x2+x-2）÷（x-1）=x+2，这说明x2+x-2能被x-1整除，同时也说明多项式x2+x-2有一个因式为x-1，另外当x=1时，多项式x2+x-2的值为0.利用上述阅读材料求解：（1）已知x-2能整除x2+kx-16，求k的值；（2）已知（x+2）（x-1）能整除2x4-4x3+ax2+7x+b，试求a,b的值.无答案）4.已知x，y为正整数，并且xy+x+y=71，x2y+xy2=880，求3x2+8xy+3y2的值.。
七年级下《因式分解》(苏科版)-课件
一元二次方程的求解
求解一元二次方程
因式分解法是求解一元二次方程的一种常用方法。通过将方程$ax^2 + bx + c = 0$因 式分解为$(x - x_1)(x - x_2) = 0$，可以得到方程的解$x_1$和$x_2$。
判断解的合理性
在得到一元二次方程的解后，可以通过因式分解法判断解的合理性。例如，对于方程 $x^2 - 4 = 0$，因式分解为$(x + 2)(x - 2) = 0$，得到解$x = 2$和$x = -2$，这两
因式分解的历史与发展
古代数学中的因式分解
01
在古代数学中，因式分解就已经有了一些初步的应用，如中国
的《九章算术》等。
近现代因式分解的发展
02
ห้องสมุดไป่ตู้
随着数学的发展，因式分解的方法和技巧也得到了不断的完善
和发展，出现了许多新的方法和技巧。
因式分解在现代数学中的应用
03
因式分解是代数中的基本技能之一，它在代数学、几何学、方
例子
$2x^2 + 5x - 3 = (2x - 1)(x + 3)$
03
因式分解的应用与 实例
代数式的化简
代数式化简
通过因式分解，可以将复杂的代数式简化，使其更易于计算 和理解。例如，将多项式$x^2 - 4$因式分解为$(x + 2)(x 2)$，可以更方便地处理后续的运算。
简化计算过程
因式分解可以简化计算过程，减少不必要的复杂运算。例如 ，在计算$(x + 3y)(x - y)$时，通过因式分解可以快速得到结 果$x^2 + 2xy - 3y^2$。
因式分解的重要性
01
02
专题4.1 因式分解(提公因式法与运用公式法)(学生版)
专题4.1 因式分解（提公因式法与运用公式法）1.了解整式乘法与因式分解之间的互逆关系；2.会用提公因式法分解因式；3.会用运用公式法分解因式。
知识点01 因式分解的概念【知识点】因式分解的定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
【知识拓展1】辨别因式分解与整式乘法例1．（2024·江苏常州·期中）下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A ．2(1)(1)1a a a +-=- B ．43222186?3x y x y x y -=- C ．221(2)1x x x x ++=++ D ．2269(3)a a a -+=-【即学即练】1．（2024·广东禅城·期末）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）． A ．()x a b ax bx -=- B ．()()222111x y x x y -+=-++C ．()()2111x x x -=+-D ．()ax bx c x a b c ++=+【知识拓展2】应用因式分解的概念求参数例2．（2024·山东中区·初二期中）已知多项式x 2+ax ﹣6因式分解的结果为（x +2）（x +b ），则a +b 的值为（ ） A ．﹣4 B ．﹣2C ．2D ．4【即学即练】1．（2024·贵州铜仁·初二期末）多项式26x mx ++可因式分解为()()23x x --，则m 的值为 （ ） A ．6B ．5±C ．5D ．5-2．（2024·江西昌江·景德镇一中初一期末）已知,,m n p 为实数，若1,4x x -+均为多项式32x mx nx p+++的因式，则2286m n p --+=__________.【知识拓展3】错题正解例3．（2024·上海市八年级期中）甲乙两个同学分解因式x 2+ax +b 时，甲看错了b ，分解结果为（x +2）（x +4），乙看错了a ，分解结果为（x +1）（x +9），则2a +b ＝_____． 【即学即练】1．（2024·张家界市初二期中）甲、乙两个同学分解因式x 2+ax+b 时，甲看错了b ，分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a ，分解结果为(x+1)(x+9)，则a -b 的值是__________．知识点02 因式分解的方法（一）提公因式法【知识点】①提公因式法：pa +pb +pc =p (a +b +c )；注意:挖掘隐含公因式;有时，公因式有显性完全相同类型，也有隐性互为相反数的类型。
上海初中七上因式分解260题(学生版)
【因式分解方法总览】版块一 基本方法因式分解的四种基本方法：一提二代三组四叉1. 【提】提公因式法：一次提净，注意符号确定公因式的方法：系数——取多项式各项系数的最大公约数；字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂. 2. 【代】公式法因式分解中常用的公式：⑴平方差公式：22()()a b a b a b −=+− ⑵完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±⑶三元平方公式：2222222()a b c ab ac bc a b c +++++=++ ⑷三次方公式：①3322()()a b a b a ab b +=+−+；3322()()a b a b a ab b −=−++ ②3223333()a a b ab b a b +++=+；3223333()a a b ab b a b −+−=− ③()()3332223a b c abc a b c a b c ab bc ca ++−=++++−−− ⑸n 次方公式：①()()12321n n n n n n n a b a b a a b a b ab b −−−−−−=−+++++（n 为正整数） ②()()12321n n n n n n n a b a b a a b a b ab b −−−−−−=+−+−+−（n 为正偶数） ③()()12321n n n n n n n a b a b a a b a b ab b −−−−−+=+−+−−+（n 为正奇数）3. 【组】分组分解法分组分解法：通过分组，各组内可以用提公因式法或者公式法进行因式分解. 4. 【叉】十字相乘法与双十字相乘法⑴十字相乘法：适用范围：形如2ax bx c ++的二次三项式设()()21122ax bx c a x c a x c ++=++，则：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=； 写成十字交叉的形式，即：12a x a x 12c c ； 口诀：降幂排列，首尾分解，交叉相乘，求和凑中.【注】若24b ac −不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解.⑵双十字相乘法适用范围：形如22Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++的二次多项式 条件：①12A a a =，12C c c =，12F f f =②1221a c a c B +=，1221c f c f E +=，1221a f a f D += 即： 1a x 1c y 1f2a x 2c y 2f则()()22111222Ax Bxy Cy Dx Ey F a x c y f a x c f +++++=++++步骤：①用十字相乘法分解二次三项式()()221122Ax Bxy Cy a x c y a x c y ++=++，用十字交叉线表示（共两列）；②用十字相乘法分解二次三项式()()21122Cy Ey F c y f c y f ++=++，继续用十字交叉线表示，即把常数项F 分解成两个因式填在第三列上；③用十字相乘法分解二次三项式2Ax Dx F ++，检验是否等于()()1122a x f a x f ++，若相等，则双十字相乘法分解因式成功.应用情况：⑴二元二次式（22Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++）；⑵三元二次齐次式（222Ax Bxy Cy Dxz Eyz Fz +++++）； ⑶四次五项式（43243210a x a x a x a x a ++++）.版块二 拓展方法因式分解的六种拓展方法：拆添项与配方、主元、换元、试根、待定系数、轮换对称式 1. 拆添项与配方法⑴拆、添项⇒分组⇒提、代； ⑵配方法⇒配完全平方式⇒平方差公式 2. 主元法步骤：选（二次三项式）→排（降幂排列）→叉（十字相乘法） 3. 换元法整体思想：化繁为简，本质不变4. 因式定理与试根法⑴余数定理：x c −除()f x ，余数为()f c ；⑵因式定理：若()0f c =，则x c −为()f x 的因式；若x c −为()f x 的因式，则()0f c =；⑶试根法：设()1110n n n n f x a x a x a x a −−=++++为整系数多项式若存在有理数c 满足()0f c =，则pc q=；其中：p 为0a 的因数，q 为n a 的因数；()f x 含有因式()qx p −；特别地，当1n a =时，c p =为整数.【注】常见技巧：若多项式各项系数和为0，则1一定为根. 5. 待定系数法步骤：设（待定系数）→（展）→等（对应项系数相等） 【注】待定系数法往往会有多种情况，需逐一验证. 6. 轮换对称式⑴判定多项式是否为轮换对称式；⑵试根：选定一个字母为主元，利用因式定理确定因式，并写出相关同型式 对于关于x ，y ，z 的轮换对称式，最常见的试根情况有：常见的齐次轮换对称式：【基础篇】1. 分解因式：22462x xy y +−2. 分解因式：242ab a b a bm an −++3. 分解因式：26312m mn mn −−4. 分解因式：()()32226a b c a c b −−−5. 分解因式：22223a b abc ab c −+−6. 分解因式：44332232722436x y z x y z x y z +−7. 分解因式：()()23262x a b xy a b +−+8. 分解因式：()()221n n x a b y b a +−+−9. 解方程：()()()()45303315453033160x x x x ++−++=11. 分解因式：()()()()22x y x y x y x y +−++−12. 分解因式：23361412abc a b a b −−+13. 分解因式：32461512a a a −+−14. 分解因式：4325286x y z x y −15. 分解因式：322618m m m −+−16. 分解因式：22224()x a x a x +−−17. 分解因式：2316()56()m m n n m −+−18. 分解因式：3223224612x y x y x y −+−20. 分解因式：(23)(2)(32)(2)a b a b a b b a +−−+−21. 分解因式：()()()213223x x x −−+− 22. 分解因式：2121()()m m p q q p +−−+−23. 分解因式：429ax ay −24. 分解因式：322x x x ++25. 分解因式：()2m p q p q −−+26. 分解因式：()()229m n m n +−−27. 分解因式：2229166824a b c ab ac bc ++−+−28. 分解因式：322333x x y xy y +++29. 分解因式：()222224a b a b +−30. 计算：2221999100033⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31. 计算：()22221052100595−⨯−+32. 计算：22221111111123410⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−−− ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭33. 分解因式：()()()33x y x y xy y x −−−−−34. 已知5a b +=，3ab =，求代数式32232a b a b ab −+的值.35. 分解因式：()()22924a b a b +−−36. 分解因式：53182a a −+37. 分解因式：()()22229a a b x y +−+38. 分解因式：8881a b −39. 分解因式：322206045x x y xy −+−40. 分解因式：()2222224x y z x y +−−41. 分解因式：338a b +42. 分解因式：75()()a b b a −+−43. 分解因式：2243()27()x x y y x −−−44. 分解因式：22(5)2(5)(3)(3)m n n m n m n m +−+−+−45. 分解因式：44244()4p q p q +−46. 分解因式：222()4()4x x x x +−++47. 分解因式：22(23)9(1)x x +−−48. 分解因式：22223(2)27a a b a b +−49. 分解因式：222222(35)(53)a b a b −−+−50. 分解因式：22222(91)36a b a b +−−51. 分解因式：1xy x y −+−52. 分解因式：2ma mb m mn na nb −+++−53. 分解因式：434164a a a +−−54. 分解因式：26432xy yz x xz −+−55. 分解因式：322288a a b b a −+−56. 分解因式：3223636x x y x z xyz +−−57. 分解因式：ax by bx ay −−+58. 分解因式：32acx bcx adx bd +++59. 分解因式：42244a x ax a −+−60. 分解因式：()()22ax by bx ay ++−61. 分解因式：()()2221ab x x a b +++62.分解因式：()()()211y y m m −−−+63.分解因式：32232x x xy y y −+−−64.分解因式：3254222x x x x x −−++−65. 分解因式：()()2222ab x y xy a b −+−66. 已知3210x x x +++=，求20082000199625x x x ++的值.67. 分解因式：()()22114m n mn −−+68. 分解因式：()()()222222a b b c c a a b c +++++−−−69. 分解因式：22(1)12a b b b −−+−70. 分解因式：(1)(2)6x x x −−−72. 分解因式：241194n n m x x y +−+73. 分解因式：5544()x y x y xy +−+74. 分解因式：2222()()()()a b a c c d b d +++−+−+75. 分解因式：325153x x x −−+76. 分解因式：2226923ax a xy xy ay −+−77. 分解因式：222221x y z x z y z −−+78. 分解因式：22221a b a b −−+79. 分解因式：251539a m am abm bm −+−81. 分解因式：2910x x −−82. 分解因式：()238x x −−83. 分解因式：2367928x x −+84. 分解因式：21166x x −−+85. 分解因式：()()222211224x x x x −−−+86. 分解因式：2222360x y xyz z −+87. 分解因式：222536x y xyz z −−89. 分解因式：22310x xy y +−90. 分解因式：2672x x −+91. 分解因式：2121115x x −−92. 分解因式：256x x −++93. 分解因式：26136x x −+94. 分解因式：2273x x ++95. 分解因式：2253x x −+96. 分解因式：222064xy y x −++98. 分解因式：2273320x x −−99. 分解因式：2612x x −+−100. 分解因式：2214425x y xy +−101. 分解因式：22672x xy y −+102. 分解因式：22121115x xy y −−103. 分解因式：2358x x +−104. 分解因式：2212197x xy y −+105. 分解因式：2212()11()()2()x y x y x y x y +++−+−107. 分解因式：2(2)8(2)12a b a b −−−+108. 分解因式：222()14()24x x x x +−++109. 分解因式：()233x m n x mn +++110. 分解因式：2()()x a b c x a b c +++++【提高篇】1. 分解因式：321246n n n y y y +++−+−2. 分解因式：222232284163915a b x a x a b −−3. 分解因式：()()()()2223326a b x y b c a b x y b c ++−++4.分解因式：()()()()56m x y a b c n y x b a c −−++−−−5.分解因式：()()()()()()22322132212123x x x x x x x −+−−+++−6.计算：20.1737 2.017530201.7⨯+⨯+7.分解因式：()()()()()21222n n n x y x z x y y x y z +−−−−+−−8. 分解因式：8684279a a −9. 分解因式：32233111248x y x y x y −+−10. 分解因式：()()2232p p q p p q +−+11. 分解因式：()()()()322522322n n x y x y −−−−−12. 分解因式：()()()1232n n n a x y b y x c y x ++−−−+−13. 分解因式：()()13122n n n x x x x +−−−14. 分解因式：23229632x y x y xy ++15.分解因式：3222524261352xy z xy z x y z −++16.分解因式：212146n m n m a b a b ++−−(m 、n 为大于1的自然数)17.分解因式：23423232545224()20()8()x y z a b x y z a b x y z a b −−−+−18.分解因式：()()2121510n n a a b ab b a +−−−（n 为正整数）19.分解因式：2122()()()2()()n n n x y x z x y y x y z +−−−−+−−（n 为正整数）20. 分解因式：322()()()()()x x y z y z a x z z x y x y z x y x z a +−+−+−−+−−−−21. 分解因式：229312554a ab b −+22. 分解因式：2222()4()4()m n m n m n +−−+−23. 分解因式：()()()24c a b c a b −−−−24. 分解因式：()()24422a a b c b c −+++25. 分解因式：()()222122x x x x −++−26. 分解因式：()()24222222x a b x a b −++−27. 分解因式：77x y xy −28. 分解因式：5131214242n n n n n n x y x y x y −−+−+−+−29. 分解因式：3333a b c abc ++−30. 分解因式：3223332x x y xy y +++31. 分解因式：()()()()333333ax by ay bx a b x y +++−++32. 分解因式：()()2222224c b d a ab cd −+−−−33. 已知2471−可被40到50之间的两个整数整除，求这两个数.34. 求证：22823x xy y −−是两个整系数多项式的平方差.35. 分解因式：222139x xy y −+−36. 分解因式：444222222222a b c a b b c c a ++−−−37. 分解因式：81644x −38. 计算：()12351721n −⨯⨯⨯+39.分解因式：44()()a x a x +−−40.分解因式：2224244a b c ab ac bc +++−−41.分解因式：()()()()ab c d c d cd a b a b +−++−42.分解因式：()()3211x y xy x y ++−−−43.分解因式：2222x yz axyz yz xy xz az ++−−−44. 分解因式：()()222x b c d y d b c c d b +−−−−−+−45. 分解因式：322222422x x z x y xyz xy y z −−++−46. 分解因式：()()3322332a b a b a b ++++++47. 分解因式：432234a a a b ab b b ++++−48. 分解因式：()()()bc b c ca c a ab a b ++−++49. 分解因式：()222231b a x ab x +−−50. 分解因式：224632x xy ax a x y +−+−−51. 分解因式：222221x y z xy z +−−−−52. 分解因式：()222223691x y x y −+−53.分解因式：2222224x y x z y z z −−+54.分解因式：232232a b abc d ab cd c d −+−55.分解因式：22224946a b c d ac bd −+−++56.分解因式：221x ax x ax a +++−−57.分解因式：222332154810ac cx ax c +−−58.分解因式：22abx bxy axy y +−−59.分解因式：()()x x z y y z +−+60. 分解因式：333333()()()a b b c c a a b c ++++++++61.分解因式：3322()()ax y b by bx a y +++62.分解因式：2231()b a x abx +−−63.分解因式：22(3)(43)x ab x a b −+−64.分解因式：2222()()ab c d a b cd −−−65.分解因式：3254222x x x x x −−++−66.分解因式：222(1)()ab x x a b +++67.分解因式：222222()()ax by ay bx c x c y ++−++68.分解因式：()()()bc b c ca c a ab a b ++−−+69. 分解因式：()222124m x mx m −−−+70.分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++71.分解因式：2222()abcx a b c x abc +++72.分解因式：2222(4)8(4)15x x x x x x ++++++73.分解因式：2222222(61)5(61)(1)2(1)x x x x x x ++++++++74.分解因式：2()2a b x ax a b −+++75.分解因式：2222()3103x a b x a ab b ++−+−76.分解因式：()221999199911999x x −−−77.分解因式：22276212x xy y x y −++−−78.分解因式：22121021152x xy y x y −++−+79.分解因式：22534x y x y −+++80.分解因式：226731385x xy y x y −−++−81.分解因式：224434103x xy y x y −−−+−82.分解因式：22344883x xy y x y +−+−−83.分解因式：2265622320x xy y x y −−++−84.分解因式：226136222320x xy y x y −++−+85.分解因式：22223345a b c ab ac bc +++++86.分解因式：222311642x xy y xz yz z −+−−−87.分解因式：222695156x xy y xz yz z −+−++88.分解因式：2222372x y z xy yz xz −−+++89.分解因式：22265622320x xy y xz yz z −−−−−90.分解因式：222695156x xy y xz yz z −+−++91.分解因式：332x x ++92.分解因式：3234x x +−93.分解因式：9633x x x ++−94.分解因式：432433x x x x ++++95. 分解因式：432234232a a b a b ab b ++++96. 分解因式：444a b +97. 分解因式：44x +98. 分解因式：12631x x −+99. 分解因式：841x x ++100. 分解因式：422411x x y y −+101. 分解因式：4224(1)(1)(1)x x x ++−+−102. 分解因式：22(1)(1)4m n mn −−+103. 分解因式：412323x x −+104. 分解因式：42511x x −+105. 分解因式：444m n +106. 分解因式：422241x x ax a −++−107. 分解因式：2284025a ax xy y −−−108. 分解因式：22a ax xy y ++−109. 分解因式：2232x mx mx x −+−+110. 分解因式：()2232x a x a b b −−+−111. 分解因式：()()()2212121a a b a a b −−+−−112. 分解因式：22226x ax bx a ab b +−−−+113. 分解因式：4222x ax x a a −++−114. 分解因式：()32322x x a x a −++−115. 分解因式：222232x y x y xy xy x y ++++++116. 分解因式：22222a b ab ab a b ++−−−117. 分解因式：3222222x x y x z xz xyz y z yz −+−−++118. 分解因式：()()()2222abc a b c b c a c a b ++++++119. 分解因式：32539x x x ++−120. 分解因式：32256x x x +−−121. 分解因式：32694x x x −+−122. 分解因式：3210x x x +−−123. 分解因式：3487x x −−124. 分解因式：432262x x x x −−−+125. 分解因式：343115x x −+126. 分解因式：3292624x x x +++127. 分解因式：32252x x x −−−128. 分解因式：22(1)(2)12x x x x ++++−129. 分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++130. 分解因式：222(231)22331x x x x −+−+−131. 分解因式：2(2)(3)(4)(6)42x x x x x ++++−132. 分解因式：4(1)(21)(31)(41)6x x x x x ++−−+133. 分解因式：()()22216112a a a a a ++−++134. 分解因式：()()2254272x x x x −+−−−135. 分解因式：2244661124864x y x y x y −+−136. 分解因式：168243528x x y y −−137. 分解因式：()()222224x xy y xy x y ++−+138. 求证：(2016)(2017)(2018)(2019)1n n n n +++++是一个完全平方数.139. 计算：(472)(692)(8112)...(199419972)(362)(582)(7102) (199319962)⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+140. 计算：44444444(1064)(1864)(2664)(3464)(664)(1464)(2264)(3064)++++++++141. 分解因式：432227447x x x x −−−+142. 分解因式：435159x x x ++−143. 多项式32226x x x k +−+有一个因式是21x +，求k 的值.144. 若()()x a x b k −−−中含有因式x b +，求用a 、b 表示k 的式子.145. 21y x −+是2244xy x y k −−−的一个因式，求k 的值.146. 设多项式324715ax bx x +−−含有因式31x +、23x −，试试将此多项式因式分解.147. 已知关于x 、y 的二次式22754324x xy my x y ++−+−可分解为两个一次因式的乘积，求m 的值.148. 多项式2256x axy by x y ++−++的一个因式是2x y +−，试确定a b +的值.149. 已知225x x ++是42x ax b ++的一个因式，求a b +的值.150. 若多项式432511x x x mx n −+++能被2(1)x −整除，求m n +的值.。
七年级数学：因式分解精讲,建议收藏
七年级数学：因式分解精讲，建议收藏七年级数学中，因式分解是一个非常重要的知识点，它涉及到整式的运算、方程的解法、计算规律的探究等等，因此十分值得我们重视。
本文将详细介绍因式分解的概念、方法和技巧，并给出一些练习建议，帮助同学们深入理解这一知识点。
一、因式分解的概念及意义因式分解指将一个多项式拆分成乘积的形式，其中每一项被称为因式。
例如，$6x^2+9x$可以分解为$3x(2x+3)$，其中$3x$和$2x+3$为因式。
因式分解的意义主要有以下几个方面：1.方便进行乘法和约简运算。
通过因式分解，我们可以将一个式子化简为形式更简洁、易于计算的形式，从而更便于进行乘法和约简运算。
2.解决方程和不等式。
在解方程和不等式的时候，需要将复杂的多项式转化为等式或不等式的形式，此时因式分解可以派上用场，将式子转化为乘积形式后更易于解决。
3.发现规律和应用。
在一些求和、计算公式等问题中，由于形式过于复杂，我们难以直接进行分析和求解，此时可以采用因式分解的方法，将式子变形为更易于分析和计算的形式，帮助我们发现规律和应用。
二、因式分解的方法和技巧因式分解的方法和技巧有很多种，下面将介绍一些常见的方法和技巧。
1.公因式法。
公因式法是最基础的因式分解方法，即找出多项式中所有项的公因式，并将其提取出来。
例如，$4x^2-12x=4x(x-3)$，其中4x是公因式。
2.配方法。
在多项式中，有些项之间存在着一些值得注意的关系，例如$ab+ac$中的$a$可以因式分解成公因式$a(b+c)$。
此外，常用的配方法还有平方差公式和差平方公式等。
3.分组分解法。
分组分解法指将多项式中的项按一定的方法分组，然后再分别因式分解，并试图将各组得到的乘积合并。
这种方法在多项式中具有广泛的应用。
4.因式定理。
因式定理是在分组分解的基础上得到的一种方法，它可以直接得到多项式的因式拆分结果，是一种快捷有力的因式分解方法。
三、练习建议掌握任何一门学科都需要多加练习，数学也不例外。
第4章 因式分解-开放与探究：因式分解的六种常见方法习题课件
分类训练 9．分解因式：x4＋14. 【点拨】本题直接分解因式很困难，考虑到添加辅助项使其符合 公式特征，因此将原式添上 x2 与－x2 两项后，便可通过分组使 其符合平方差公式的结构特征，从而将原多项式进行因式分解．
浙教版 七年级下
第四章 因式分解
开放与探究(四) 因式分解的六种常见方法
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分类训练 6．分解因式：(x＋3)(x＋4)＋(x2－9)．
解：原式＝(x＋3)(x＋4)＋(x＋3)(x－3) ＝(x＋3)[(x＋4)＋(x－3)] ＝(x＋3)(2x＋1)．
【点拨】解此题时，表面上看不能分解因式，但通过局部分解后， 发现有公因式可以提取，从而将原多项式分解因式．
分类训练 7．把下列各式分解因式： (1)x(x＋4)＋4；
分类训练 13．分解因式：x2－y2－4x＋6y－5.
【点拨】这里巧妙地把－5 拆成 4－9.“凑”成(x2－4x＋4)和 (y2－6y＋9)两个整体，从而运用公式法分解因式．
解：原式＝(x2－4x＋4)－(y2－6y＋9) ＝(x－2)2－(y－3)2 ＝(x＋y－5)(x－y＋1)．
分类训练
解：原式＝(x＋y)2－4(x＋y)＋4＝(x＋y－2)2.
苏教版数学七年级下期末复习三---因式分解
苏教版数学七年级下期末复习三---因式分解一、知识点：1、因式分解：（1）把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做多项式的因式分解。
（2）多项式的乘法与多项式因式分解的区别，简单地说：乘法是积．化和．，因式分解是和．化积．。
（3）因式分解的方法：①提公因式法；②运用公式法。
2、因式分解的应用：（1）提公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来。
把多项式化成公因式与另一个多项式的积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
（2）公因式：多项式ab＋ac＋ad的各项ab、ac、ad都含有相同的因式a，a称为多项式各项的公因式。
（3）用提公因式法时的注意点：①公因式要提尽，考虑的顺序是，先系数，再单独字母，最后多项式。
如：4a2(a-2b)-18ab(a-2b)=2a(a-2b)(2a-9b)；②当多项式的第一项的系数为负数时，把“－”号作为公因式的负号写在括号外，使括号内的第一项的系数为正。
如：-2m3+8m2-12m= -2．m(m2-4m+6)；③提公因式后，另一个多项式的求法是用原多项式除以公因式。
（4）运用公式法的公式：①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)②完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2（5）因式分解的步骤和要求：把一个多项式分解因式时，应先提公因式．．．，注意公因式要提尽．．，然后再应用公式，如果是二项式考虑用平方差公式，如果是三项式考虑用完全平方公式，直到把每一个因式都分解到不能再分解为止。
如：-2x5y+4x3y3-2xy5=-2xy(x4-2x2y2+y4) =-2xy(x2-y2)(x2+y2)=-2xy(x+y)(x-y)(x2+y2) 二、举例：例1：分解因式：（1）(a+b)2－2(a+b) （2）a(x－y)+b(y－x)+c(x－y) （3）(x+2)2－9 （4）4(a+b)2－9(a－b)2（5）80a2(a＋b)－45b2(a＋b)（6）(x2－2xy)2＋2y2(x2－2xy)＋y4（7）(m＋n)2－4(m＋n)＋4 （8）x4-81 （9）(x＋y)2－4(x2－y2)＋4(x－y)2（10）16a4－8a2＋1 （11）(x2+4)2-16x2（12）12422---yyx例2：计算：（1）20042-4008×2005+20052（2）9.92－9.9×0.2＋0.01（3）22200120031001-（4）(1－221)(1－231)(1－241) (1)291)(1－2101) 例3：观察下列算式回答问题：32－1=8×1 52－1=24=8×3 72－1=48=8×692－1=80=8×10 ………问：根据上述的式子，你发现了什么？你能用数学式子来说明你的结论是正确的吗？例4：解答题：（1）已知x2－y2=－1 ，x+y=21，求x－y 的值。
12.2因式分解的方法(第1课时 提公因式法)(课件)七年级数学上册(沪教版2024)
＝4 a ( x － y )＋2 b ( x － y )
＝2( x － y )(2 a ＋ b ).
7.先分解因式，再计算求值：
(1)4 x ( m －2)－3 x ( m －2)2，其中 x ＝1， m ＝3；
【解】4 x ( m －2)－3 x ( m －2)2
＝(2 x ＋ y )(2 x －3 y ＋3 x )＝(2 x ＋ y )(5 x －3 y ).
＋ ＝ ，
＋ = ，
∵
∴
∴原式＝3×(－2)＝－6.
− ＝ − .
+ = ，
14. 试说明817－279－913能被45整除.
【解】因为817－279－913＝328－327－326
2)( a ＋4).将 a ＝－2代入，得原式＝(－2－2)×(－2＋
4)＝－8.
分层练习-巩固
8. 计算320－318×6的值是( A
)
A. 319
B. 318
C. 3 2
D. 0
9. [新考法 数形结合法]△ ABC 的三边长分别为 a ， b ， c ，
且 a ＋2 ab ＝ c ＋2 bc ，则△ ABC 是(
提取公因式法.
新知探究
如何将6 2 + 9因式分解？
先找出6 2 + 9各项的公因式，再用提取公因式法因式分解. 这个整式有两项
6 2 与9, 这两项的系数6与9有最大公因数3，这两项的字母部分 2 与都含
有字母和, 且和的最低次数都是1，因此可提取公因式3，得
− = ，
= ，
所以
解得
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第4讲因式分解方法
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲是对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．
1．运用公式法
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：
(1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2；
(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．
下面再补充几个常用的公式：
(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2
(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；
(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；
(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；
(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．
运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．
例1 分解因式：
(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz；
(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab； (4)a7-a5b2+a2b5-b7．
例2分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．
2．拆项、添项法
因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．
例3 分解因式：(1)x3-9x+8 (2) a5+a+1
例4 分解因式：
(1)x9+x6+x3-3； (2)(m2-1)(n2-1)+4mn；
例5：分解因式：
(1)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4； (2)a3b-ab3+a2+b2+1．
换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．
例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．
例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．
例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．
例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．
例10 分解因式：(1)x3-4x2+6x-4． (2)x3－5x2+9x－6
例11分解因式：(1)9x4-3x3+7x2-3x-2． (2)2x3－13x2+3
例12求一个关于x的二次多项式，它的二次项系数为1，它被x-3除余1，且它被x-1除和被x-2除所得的余数相同。
5．双十字相乘法
例13 分解因式：
(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2； (2)x2-y2+5x+3y+4；
(3)xy+y2+x-y-2； (4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．
6．待定系数法
待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．
例14 分解因式：
(1)x2+3xy+2y2+4x+5y+3． (2)x4-2x3-27x2-44x+7．
7．分组分解法：
例15 4x4+4x3-9x2-x+2；。