4因式分解方法(七年级)

第4讲因式分解方法

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲是对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．

1．运用公式法

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

(1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2；

(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．

下面再补充几个常用的公式：

(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2

(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；

(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；

(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；

(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．

运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．

例1 分解因式：

(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz；

(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab； (4)a7-a5b2+a2b5-b7．

例2分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．

2．拆项、添项法

因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．

例3 分解因式：(1)x3-9x+8 (2) a5+a+1

例4 分解因式：

(1)x9+x6+x3-3； (2)(m2-1)(n2-1)+4mn；

例5：分解因式：

(1)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4； (2)a3b-ab3+a2+b2+1．

换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．

例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．

例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．

例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．

例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．

例10 分解因式：(1)x3-4x2+6x-4． (2)x3－5x2+9x－6

例11分解因式：(1)9x4-3x3+7x2-3x-2． (2)2x3－13x2+3

例12求一个关于x的二次多项式，它的二次项系数为1，它被x-3除余1，且它被x-1除和被x-2除所得的余数相同。

5．双十字相乘法

例13 分解因式：

(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2； (2)x2-y2+5x+3y+4；

(3)xy+y2+x-y-2； (4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．

6．待定系数法

待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．

例14 分解因式：

(1)x2+3xy+2y2+4x+5y+3． (2)x4-2x3-27x2-44x+7．

7．分组分解法：

例15 4x4+4x3-9x2-x+2；