一阶微分方程的解法

一阶微分方程的解法

高数论文

小组成员：张鹏

学院班级：商学院工商管理（

微分方程解法的研究

窦文博孙洪毅余雷 2）班第一节微分方程的基本概念

【考研大纲要求解读】

了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念。

【重点及常考点突破】

1.一阶微分方程初值问题的几何意义：F(x，y，y’）=0 y（x0）=y0 寻求过点（X0 ,Y0) 且在该点出的切线斜率为y’的满足方程的那条积分曲

线。 2.带有未知函数的变上（下）限积分的方程称为积分方程，它通常可以通过一次或

多次求导化为微分方程求解。

3.验证函数是否是微分方程解的方法，可以由相应微分方程的阶数，求至n阶导数，

代入方程看是否恒等，若恒等，再进一步验证初始条件。

【典型例题解析】

基本题型一：验证所给函数是相应微分方程的通解或解.

【例1】判断y=x（∫e^x/xdx+C）是方程xy’- y=xe^x的通解。解：由y=x

（∫e^x/xdx+C），两边对x求导得；y’=∫e^x/xdx+C+x*e^x/x，即

y’=∫e^x/xdx+C+e^x，两边同乘以x，得xy’=x（∫e^x/xdx+C）+xe^x=y+xe^x，将原

式代入即得即xy’- y=xe^x.

故y=x（∫e^x/xdx+C）是原方程的通解. 基本类型二：化积分方程为微分方程. 【例

2】设f(x)=sinx-?x0（x-t）f（t）dt，其中f为连续函数，求f（x）所

满足的微分方程.

【思路探索】如遇到积分方程，其求解问题可化为相应的微分方程初值问题求解方

法是对变上（下)线积分求导来确定微分方程，再利用原积分方程进一步确定初始条件解：对原积分方程关于x求导，得

F’（x）=cosx-?x0f（t）dt，①

对①式关于x求导得f“（x）=-sinx-f(x),即f“（x）+f（x）=-sinx 又有f（0）

=0，f’（0）=1，记y=f（x），则f（x）满足的微分方程为y”+ y=-sinx Y|x=0，y’|x=0=1 基本类型三：求初值问题的解【例3】求以下初值问题的解

y”=x

y（0）=a0，y’（0）=a1，y”（0）=a2. 解：由y”=x，得

y”=1/2x^2+C1，

y’=1/6x^3+C1x+C2，y=1/24x^4+1/2C1x^2+C2x+C3,

1

其中C1，C2,C3为待定的常数，将初值y”（0）=a2，y’（0）=a1，y（0）=a0代入

以上三式得C1=a2，C2=a1，C3=a0，故初值问题的解为y=1/24 x^4+1/2 a2x^2+a1x+a0.

基本类型四：由微分方程通解求微分方程

【例4】求以y=C1e^x+C2e^-x-X (C1，C2为任意常数)为通解的微分方程.

解：由 y=C1e^x+C2e^-x-X ，①

两边关于x求导得y’=C1e^x- C2e^-x -1② 上式两边再关于x求导得

Y”=C1e^x+C2e^-x③

由①式与③式得y=y”-x,即所求微分方程为y”-y-x=0

第二节可分离变量的微分方程

【考研大纲要求解读】

掌握可分离变量的微分方程

【重点及常考点突破】

1. 可分离变量方程的通解形式为：∫1/g(y)dy=∫f(x)dx，由于将g(y)作为分母，故

若g(y)=0

有解y1,y2,y3,....ym,则变量可分离方程还有特解 y=yi(i=1,2,...,m). 故注意在分

离变量的同时，

经常在两边要同除以某一函数，此时往往会遗漏该函数的某些特解，而这些特解通常

并不能由通解得到，因此要及时补全。 2. 在解微分方程时变量代换是重点也是难点，应

根据具体问题尽量简化方程，选好代换变量，使得变换后的方程式比较熟悉的方程类型，

求解后，应还原为原变量。

【典型例题分析】

基本类型Ⅰ：求解可直接变量分离型微分方程

【例1】求解下列微分方程（1）ydy+(x^2-4x)dy=0; (2)

xyy’=(x+a)(x+b); (a,b为常数) （3）1+y’=e^y

解:(1) 分离变量得dx/x^2-4x + dy/y=0,即1/4（1/x-4 �C 1/x）dx+dy/y=0,积分

得

1/4（ln|x-4|- ln|x|）+ln|y|=C1 故原方程通解为（x-4）y^2=Cx(C为任意常数)，

特解y=0 包含在通解之中。（2）用x（y+b）去除方程，则有y/y+b dy=x+a/a dx.积分

得y-bln|y+b|=x+aln|x|+C1

故通解为x^a(y+b)^b=Ce^y-x(C为任意常数)，特解y=-b包含在通解之中。（3）由

原方程可得dy/dx=e^y -1

分离变量得 dy/e^y-1=dx, 积分得∫dy/e^y-1=∫dx，∫（1/e^y -1 �C 1/e^y）de^y =∫dx,ln|e^y -1/e^y|=x+lnC1 则通解为ln|1-e^-y|=x+ lnC1 即1-e^-y=Ce^x(C为任意常数)。

方法点击:变量分离的同时，有时会漏掉一些解，最后要补上，这一点一定

2

要注意！

基本类型Ⅱ:求初值问题的解

【例2】微分方程xy‘+y(lnx-lny)=0 满足条件y(1)=e^3 的解为y=___ 解：

xy’+y（lnx-lny）=0，y’+y/xlnx/y=0,u=y/x 则y’=u’x+u. 所以

u’x+u=ulnu,u’/ulnu-u=1/x, ∫u’/ulnu-u=∫1/x dx,ln|lnu-1|=ln|x|+C1,lnu-1=cx

即y=xe^cx+1. 又y(1)=e^3, 所以e^3=e^x+1 所以c=2 所以y=xe^2x+1. 【例3】

若可导函数f（x）满足关系式f（x）=∫（0,2x）f（2/t）dt+ln2,

则f(x)=__

解：由题设条件求导得f’(x)=2f(x),解方程得f(x)=Ce^2x. 又当x=0时，f(0)=ln2,所以C=