高中数学 1.1正弦定理和余弦定理教案(4) 新人教A版必修5

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最新正弦定理余弦定理说课稿优秀5篇

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高中数学正弦定理教案5篇

高中数学正弦定理教案5篇

高中数学正弦定理教案5篇高中数学正弦定理教案篇1一、教材分析《正弦定理》是人教版教材必修五第一章《解三角形》的第一节内容,也是三角形理论中的一个重要内容,与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系。

在此之前,学生已经学习过了正弦函数和余弦函数,知识储备已足够。

它是后续课程中解三角形的理论依据,也是解决实际生活中许多测量问题的工具。

因此熟练掌握正弦定理能为接下来学习解三角形打下坚实基础,并能在实际应用中灵活变通。

二、教学目标根据上述教材内容分析,考虑到学生已有的认知结构心理特征及原有知识水平,制定如下教学目标:知识目标:理解并掌握正弦定理的证明,运用正弦定理解三角形。

能力目标:探索正弦定理的证明过程,用归纳法得出结论,并能掌握多种证明方法。

情感目标:通过推导得出正弦定理,让学生感受数学公式的整洁对称美和数学的实际应用价值。

三、教学重难点教学重点:正弦定理的内容,正弦定理的证明及基本应用。

教学难点:正弦定理的探索及证明,已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

四、教法分析依据本节课内容的特点,学生的认识规律,本节知识遵循以教师为主导,以学生为主体的指导思想,采用与学生共同探索的教学方法,命题教学的发生型模式,以问题实际为参照对象,激发学生学习数学的好奇心和求知欲,让学生的思维由问题开始,到猜想的得出,猜想的探究,定理的推导,并逐步得到深化,并且运用例题和习题来强化内容的掌握,突破重难点。

即指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法。

学生采用自主式、合作式、探讨式的学习方法,这样能使学生积极参与数学学习活动,培养学生的合作意识和探究精神。

五、教学过程本节知识教学采用发生型模式:1、问题情境有一个旅游景点,为了吸引更多的游客,想在风景区两座相邻的山之间搭建一条观光索道。

已知一座山A到山脚C的上面斜距离是1500米,在山脚测得两座山顶之间的夹角是450,在另一座山顶B测得山脚与A山顶之间的夹角是300。

正弦定理教案优秀5篇

正弦定理教案优秀5篇

正弦定理教案优秀5篇《正弦定理、余弦定理》教学设计篇一一、教学内容:本节课主要通过对实际问题的探索,构建数学模型,利用数学实验猜想发现正弦定理,并从理论上加以证实,最后进行简单的应用。

二、教材分析:1、教材地位与作用:本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书。

数学必修5》(A 版)第一章中,是在高二学生学习了三角等知识之后安排的,显然是对三角知识的应用;同时,作为三角形中的一个定理,也是对初中解直角三角形内容的直接延伸,而定理本身的应用(定理应用放在下一节专门研究)又十分广泛,因此做好该节内容的教学,使学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证实,感受“类比--猜想--证实”的科学研究问题的思路和方法,体会由“定性研究到定量研究”这种数学地思考问题和研究问题的思想,养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。

2、教学重点和难点:重点是正弦定理的发现和证实;难点是三角形外接圆法证实。

三、教学目标:1、知识目标:把握正弦定理,理解证实过程。

2、能力目标:(1)通过对实际问题的探索,培养学生数学地观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。

(2)增强学生的协作能力和数学交流能力。

(3)发展学生的创新意识和创新能力。

3、情感态度与价值观:(1)通过学生自主探索、合作交流,亲身体验数学规律的发现,培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质,增强学习的成功心理,激发学习数学的爱好。

(2)通过实例的社会意义,培养学生的爱国主义情感和为祖国努力学习的责任心。

四、教学设想:本节课采用探究式课堂教学模式,即在教学过程中,在教师的启发引导下,以学生独立自主和合作交流为前提,以“正弦定理的发现”为基本探究内容,以四周世界和生活实际为参照对象,为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会,让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动,将自己→←所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。

让学生在“活动”中学习,在“主动”中发展,在“合作”中增知,在“探究”中创新。

高中数学 第一章 解三角形全套教案 新人教A版必修5

高中数学 第一章 解三角形全套教案 新人教A版必修5

高中数学:新人教A 版必修5全套教案第一章 解三角形课题: 1.1.1正弦定理●教学目标 知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。

情感态度与价值观:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力,通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。

●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

●教学过程 Ⅰ.课题导入如图1.1-1,固定∆ABC 的边CB 及∠B ,使边AC 绕着顶点C 转动。

A 思考:∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系? 显然,边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。

能否用一个等式把这种关系精确地表示出来? C B Ⅱ.讲授新课[探索研究] (图1.1-1)在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系。

如图1.1-2,在Rt ∆ABC 中,设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义,有sin a A c =,sin b B c =,又sin 1cC c==, A则sin sin sin abcc ABC=== b c 从而在直角三角形ABC 中,sin sin sin abcABC==C a B(图1.1-2)思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立?(由学生讨论、分析)可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:如图1.1-3,当∆ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ,根据任意角三角函数的定义,有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=, C同理可得sin sin cbC B =, b a从而sin sin a b A B=sin cC=A cB (图1.1-3)思考:是否可以用其它方法证明这一等式?由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题。

人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理》优质课教案_19

人教A版高中数学必修5《一章 解三角形  1.1 正弦定理和余弦定理  1.1.1 正弦定理》优质课教案_19

必修5《1.1.1 正弦定理》教学设计一、教学内容分析本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5》(人教A版)第一章,正弦定理第一课时,是在高一学生学习了三角等知识之后,显然是对三角知识的应用;同时,作为三角形中的一个定理,也是对初中解直角三角形内容的直接延伸,因而定理本身的应用十分广泛。

根据实际教学处理,正弦定理这部分内容共分为三个层次:第一层次教师通过引导学生对实际问题的探索,并大胆提出猜想;第二层次由猜想入手,带着疑问,以及特殊三角形中边角的关系的验证,通过“作高法”证明正弦定理,验证猜想的正确性;第三层次利用正弦定理解决引例,最后进行简单的应用。

学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证明,感受“观察——实验——猜想——证明——应用”这一思维方法,养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。

二、学情分析对高一的学生来说,已经学习平面几何,解直角三角形,三角函数,向量等知识,有一定观察分析、解决问题的能力,但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度,因此思维灵活性受到制约。

根据以上特点,教师恰当引导,提高学生学习主动性,多加以前后知识间的联系,带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦。

三、设计思想本节课采用探究式课堂教学模式,即在教学过程中,在教师的启发引导下,以学生独立自主和合作交流为前提,以问题为导向设计教学情境,以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容,为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会,让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动,在知识的形成、发展过程中展开思维,逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。

四、教学目标1.知识与技能初步掌握正弦定理及其证明;会初步运用正弦定理解三角形;培养数学应用意识。

2.过程与方法(1) 通过实际问题,激发学生的学习兴趣;(2) 通过应用分析、问题解决来培养学生良好的学习思维习惯,增强学生学习的自信心。

高中数学正余弦定理教案模板(精选7篇)-最新

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高中数学正余弦定理教案模板(精选7篇)作为一位杰出的老师,时常要开展教案准备工作,编写教案有利于我们准确把握教材的重点与难点,进而选择恰当的教学方法。

如何把教案做到重点突出呢?这里给大家分享一些关于高中数学余弦定理教案,方便大家学习。

下面是的为您带来的7篇《高中数学正余弦定理教案模板》,希望能够对困扰您的问题有一定的启迪作用。

余弦定理教案篇一今天我说课的内容是余弦定理,本节内容共分3课时,今天我将就第1课时的余弦定理的证明与简单应用进行说课。

下面我分别从教材分析。

教学目标的确定。

教学方法的选择和教学过程的设计这四个方面来阐述我对这节课的教学设想。

一、教材分析本节内容是江苏教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书《数学》必修五的第一章第2节,在此之前学生已经学习过了勾股定理。

平面向量、正弦定理等相关知识,这为过渡到本节内容的学习起着铺垫作用。

本节内容实质是学生已经学习的勾股定理的延伸和推广,它描述了三角形重要的边角关系,将三角形的“边”与“角”有机的联系起来,实现边角关系的互化,为解决斜三角形中的边角求解问题提供了一个重要的工具,同时也为在日后学习中判断三角形形状,证明三角形有关的等式与不等式提供了重要的依据。

在本节课中教学重点是余弦定理的内容和公式的掌握,余弦定理在三角形边角计算中的运用;教学难点是余弦定理的发现及证明;教学关键是余弦定理在三角形边角计算中的运用。

二、教学目标的确定基于以上对教材的认识,根据数学课程标准的“学生是数学学习的主人,教师是数学学习的组织者。

引导者与合作者”这一基本理念,考虑到学生已有的认知结构和心理特征,我认为本节课的教学目标有:1、知识与技能:熟练掌握余弦定理的内容及公式,能初步应用余弦定理解决一些有关三角形边角计算的问题;2、过程与方法:掌握余弦定理的两种证明方法,通过探究余弦定理的过程学会分析问题从特殊到一般的过程与方法,提高运用已有知识分析、解决问题的能力;3、情感态度与价值观:在探究余弦定理的过程中培养学生探索精神和创新意识,形成严谨的数学思维方式,培养用数学观点解决问题的能力和意识、三、教学方法的选择基于本节课是属于新授课中的数学命题教学,根据《学记》中启发诱导的思想和布鲁纳的发现学习理论,我将主要采用“启发式教学”和“探究性教学”的教学方法即从一个实际问题出发,发现无法使用刚学习的正弦定理解决,造成学生在认知上的冲突,产生疑惑,从而激发学生的探索新知的欲望,之后进一步启发诱导学生分析,综合,概括从而得出原理解决问题,最终形成概念,获得方法,培养能力。

高中数学余弦定理教案(优秀5篇)

高中数学余弦定理教案(优秀5篇)

高中数学余弦定理教案(优秀5篇)高中数学余弦定理教案篇一一、说教材(一)教材地位与作用《余弦定理》是必修5第一章《解三角形》的第一节内容,前面已经学习了正弦定理以及必修4中的任意角、诱导公式以及恒等变换,为后面学习三角函数奠定了基础,因此本节课有承上启下的作用。

本节课是解决有关斜三角形问题以及应用问题的一个重要定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,实现了边与角的互化,从而使三角与几何产生联系,为求与三角形有关的量提供了理论依据,同时也为判断三角形形状,证明三角形中的有关等式提供了重要依据。

(二)教学目标根据上述教材内容分析以及新课程标准,考虑到学生已有的认知结构,心理特征及原有知识水平,我将本课的教学目标定为:⒈知识与技能:掌握余弦定理的内容及公式;能初步运用余弦定理解决一些斜三角形⒈过程与方法:在探究学习的过程中,认识到余弦定理可以解决某些与测量和几何计算有关的实际问题,帮助学生提高运用有关知识解决实际问题的能力。

⒈情感、态度与价值观:培养学生的探索精神和创新意识;在运用余弦定理的过程中,让学生逐步养成实事求是,扎实严谨的科学态度,学习用数学的思维方式解决问题,认识世界;通过本节的运用实践,体会数学的科学价值,应用价值;(三)本节课的重难点教学重点是:运用余弦定理探求任意三角形的边角关系,解决与之有关的计算问题,运用余弦定理解决一些与测量以及几何计算有关的实际问题。

教学难点是:灵活运用余弦定理解决相关的实际问题。

教学关键是:熟练掌握并灵活应用余弦定理解决相关的实际问题。

下面为了讲清重点、难点,使学生能达到本节设定的教学目标,我再从教法和学法上谈谈:二、说学情从知识层面上看,高中学生通过前一节课的学习已经掌握了余弦定理及其推导过程;从能力层面上看,学生初步掌握运用余弦定理解决一些简单的斜三角形问题的技能;从情感层面上看,学生对教学新内容的学习有相当的兴趣和积极性,但在探究问题的能力以及合作交流等方面的发展不够均衡。

高中数学《正弦定理》教案4篇

高中数学《正弦定理》教案4篇

高中数学《正弦定理》教案4篇高中数学《正弦定理》教案1教材地位与作用:本节学问是必修五第一章《解三角形》的第一节内容,与学校学习的三角形的边和角的基本关系有亲密的联系与判定三角形的全等也有亲密联系,在日常生活和工业生产中也时常有解三角形的问题,而且解三角形和三角函数联系在高考当中也时常考一些解答题。

因此,正弦定理的学问特别重要。

学情分析:作为高一同学,同学们已经把握了基本的三角函数,特殊是在一些特别三角形中,而同学们在解决任意三角形的边与角问题,就比较困难。

教学重点:正弦定理的内容,正弦定理的证明及基本应用。

教学难点:正弦定理的探究及证明,已知两边和其中一边的对角解三角形时推断解的个数。

(依据我的教学内容与学情分析以及教学重难点,我制定了如下几点教学目标)教学目标分析:学问目标:理解并把握正弦定理的证明,运用正弦定理解三角形。

力量目标:探究正弦定理的证明过程,用归纳法得出结论。

情感目标:通过推导得出正弦定理,让同学感受数学公式的干净对称美和数学的实际应用价值。

教法学法分析:教法:采纳探究式课堂教学模式,在老师的启发引导下,以同学自主和合作沟通为前提,以“正弦定理的发觉”为基本探究内容,以生活实际为参照对象,让同学的思维由问题开头,到猜测的得出,猜测的探究,定理的推导,并逐步得到深化。

学法:指导同学把握“观看——猜测——证明——应用”这一思维方法,实行个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动,将自己所学学问应用于对任意三角形性质的探究。

让同学在问题情景中学习,观看,类比,思索,探究,动手尝试相结合,增添同学由特别到一般的数学思维力量,锲而不舍的求学精神。

教学过程(一)创设情境,布疑激趣“爱好是最好的老师”,假如一节课有个好的开头,那就意味着胜利了一半,本节课由一个实际问题引入,“工人师傅的一个三角形的模型坏了,只剩下如右图所示的部分,∠a=47°,∠b=53°,ab 长为1m,想修好这个零件,但他不知道ac和bc的长度是多少好去截料,你能帮师傅这个忙吗?”激发同学关心别人的热忱和学习的爱好,从而进入今日的学习课题。

人教A版高中数学必修5第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理教案

人教A版高中数学必修5第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理教案

专题22正弦定理和余弦定理1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题;1.正、余弦定理在△ABC 中,若角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,R 为△ABC 外接圆半径,则 定理正弦定理余弦定理内容a sin A =b sin B =csin C=2R a 2=b 2+c 22bc cos__A ;b 2=c 2+a 22ca cos__B ; c 2=a 2+b 2-2ab cos__C常见变形(1)a =2R sin A ,b =2R sin__B ,c =2R sin_C ;(2)sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C =c2R ;(3)a ∶b ∶c =sin__A ∶sin__B ∶sin__C ;(4)a sin B =b sin A ,b sin C =c sin B ,a sin C =c sin Acos A =b 2+c 2-a 22bc ;cos B =c 2+a 2-b 22ac ;cos C =a 2+b 2-c 22ab2.S △ABC =12ab sin C =12bc sin A =12ac sin B =4R =12(a +b +c )·r (r 是三角形内切圆的半径),并可由此计算R ,r .高频考点一 利用正弦定理、余弦定理解三角形例1、(1)在△ABC 中,已知a =2,b =6,A =45°,则满足条件的三角形有( ) A .1个 B .2个 C .0个D .无法确定(2)在△ABC 中,已知sin A ∶sin B =2∶1,c 2=b 2+2bc ,则三内角A ,B ,C 的度数依次是________.(3)设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若a =3,sin B =12,C =π6,则b =________.答案 (1)B (2)45°,30°,105° (3)1 解析 (1)∵b sin A =6×22=3,∴b sin A <a <b .解得b =1.【感悟提升】(1)判断三角形解的个数的两种方法①代数法:根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断. ②几何图形法:根据条件画出图形,通过图形直观判断解的个数.(2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理,也可用余弦定理.用正弦定理时,需判断其解的个数,用余弦定理时,可根据一元二次方程根的情况判断解的个数. 【变式探究】(1)已知在△ABC 中,a =x ,b =2,B =45°,若三角形有两解,则x 的取值范围是( ) A .x >2 B .x <2 C .2<x <2 2D .2<x <2 3(2)在△ABC 中,A =60°,AC =2,BC =3,则AB =________. 答案 (1)C (2)1解析 (1)若三角形有两解,则必有a >b ,∴x >2,又由sin A =a b sin B =x 2×22<1,可得x <22,∴x 的取值范围是2<x <2 2. (2)∵A =60°,AC =2,BC =3, 设AB =x ,由余弦定理,得BC 2=AC 2+AB 2-2AC ·AB cos A ,化简得x 2-2x +1=0, ∴x =1,即AB =1.高频考点二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状例2、(2015·浙江)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知A =π4,b 2-a2=12c 2. (1)求tan C 的值;(2)若△ABC 的面积为3,求b 的值. 解 (1)由b 2-a 2=12c 2及正弦定理得(2)由tan C =2,C ∈(0,π)得 sin C =255,cos C =55,因为sin B =sin(A +C )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+C ,所以sin B =31010,由正弦定理得c =223b ,又因为A =π4,12bc sin A =3,所以bc =62,故b =3. 【感悟提升】(1)对于面积公式S =12ab sin C =12ac sin B =12bc sin A ,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. 【变式探究】四边形ABCD 的内角A 与C 互补,AB =1,BC =3,CD =DA =2. (1)求C 和BD ;(2)求四边形ABCD 的面积.解 (1)由题设A 与C 互补及余弦定理得BD 2=BC 2+CD 2-2BC ·CD cos C =13-12cos C ,① BD 2=AB 2+DA 2-2AB ·DA cos A =5+4cos C .②由①②得cos C =12,BD =7,因为C 为三角形内角,故C =60°. (2)四边形ABCD 的面积S =12AB ·DA sin A +12BC ·CD sin C=⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2+12×3×2sin60° =2 3.高频考点三 正弦、余弦定理的简单应用例3、设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若b cos C +c cos B =a sin A ,则△ABC 的形状为( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定答案 B【感悟提升】(1)判断三角形形状的方法①化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.②化角:通过三角恒等变形,得出内角的关系,从而判断三角形的形状,此时要注意应用A +B +C =π这个结论. (2)求解几何计算问题要注意①根据已知的边角画出图形并在图中标示; ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理.【变式探究】(1)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边长分别是a ,b ,c ,若c -a cos B =(2a -b )cos A ,则△ABC 的形状为( ) A .等腰三角形B .直角三角形C .等腰直角三角形D .等腰或直角三角形(2)如图,在△ABC 中,已知点D 在BC 边上,AD ⊥AC ,sin∠BAC =223,AB =32,AD =3,则BD 的长为______.答案 (1)D (2) 3∴△ABC 为等腰或直角三角形.(2)sin∠BAC =sin(π2+∠BAD )=cos∠BAD ,∴cos∠BAD =223.BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·AD cos∠BAD=(32)2+32-2×32×3×223,即BD 2=3,BD = 3.高频考点三 和三角形面积有关的问题【例3】 (2016·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos C (a cosB +b cos A )=c .(1)求C ;(2)若c =7,△ABC 的面积为332,求△ABC 的周长. 解 (1)由已知及正弦定理得,2cos C (sin A cos B +sin B ·cos A )=sin C ,2cos C sin(A +B )=sinC ,故2sin C cos C =sin C . 由C ∈(0,π)知sin C ≠0, 可得cos C =12,所以C =π3.(2)由已知,12ab sin C =332,又C =π3,所以ab =6,由已知及余弦定理得,a 2+b 2-2ab cos C =7,故a 2+b 2=13, 从而(a +b )2=25.所以△ABC 的周长为5+7. 【方法规律】三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S =12ab sin C =12ac sin B =12bc sin A ,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.【变式探究】在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,满足(2a -b )cos C -c cos B =0.(1)求角C 的值;(2)若三边a ,b ,c 满足a +b =13,c =7,求△ABC 的面积.1.【2016高考新课标3理数】在ABC △中,π4B =,BC 边上的高等于13BC ,则cos A =( ) (A )310 (B )10 (C )10- (D )310-【答案】C【解析】设BC 边上的高为AD ,则3BC AD =,所以225AC AD DC AD =+=,2AB AD=.由余弦定理,知22222210cos 210225AB AC BC A AB AC AD AD+-===-⋅⨯⨯,故选C . 2.【2016高考新课标2理数】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若4cos 5A =,5cos 13C =,1a =,则b = . 【答案】21133.【2016高考天津理数】在△ABC 中,若AB ,120C ∠=o ,则AC = ( ) (A )1(B )2(C )3(D )4【答案】A【解析】由余弦定理得213931AC AC AC =++⇒=,选A.4.【2016高考江苏卷】在锐角三角形ABC 中,若sin 2sin sin A B C =,则tan tan tan A B C 的最小值是 ▲ . 【答案】8. 【解析】sin sin()2sin sin tan tan 2tan tan A B+C B C B C B C==⇒+=,又tan tan tan tan tan 1B+CA=B C -,因tan tan tan tan tan tan tan 2tan tan tan tan tan 8,A B C A B C A B C A B C =++=+≥≥即最小值为8.5.(2016·山东卷)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,已知b =c ,a 2=2b 2(1-sinA ),则A =( )A.3π4 B.π3 C.π4 D.π6解析 在△ABC 中,由b =c ,得cos A =b 2+c 2-a 22bc =2b 2-a 22b 2,又a 2=2b 2(1-sin A ),所以cos A =sin A ,即tan A =1,又知A ∈(0,π),所以A =π4,故选C.答案 C【2015高考天津,理13】在ABC ∆ 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知ABC ∆的面积为 ,12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 . 【答案】【解析】因为0A π<<,所以sin 4A ==,又1sin 242ABC S bc A bc ∆===∴=,解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩得6,4b c ==,由余弦定理得2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭,所以8a =.【2015高考北京,理12】在ABC △中,4a =,5b =,6c =,则sin 2sin AC= .【答案】1【解析】222sin 22sin cos 2sin sin 2A A A a b c a C C c bc +-==⋅2425361616256⨯+-=⋅=⨯⨯【2015高考新课标1,理16】在平面四边形ABCD 中,∠A =∠B =∠C =75°,BC =2,则AB 的取值范围是 . 【答案】(62-,6+2)AB 的取值范围为(62-,6+2).【2015江苏高考,15】(本小题满分14分) 在ABC ∆中,已知ο60,3,2===A AC AB . (1)求BC 的长; (2)求C 2sin 的值 【答案】(17(243【2015高考湖南,理17】设ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,,tan a b A =,且B 为钝角. (1)证明:2B A π-=;(2)求sin sin A C +的取值范围. 【答案】(1)详见解析;(2)29,]28. 【解析】(1)由tan a b A =及正弦定理,得sin sin cos sin A a AA bB ==,∴sin cos B A =,即sin sin()2B A π=+,又B 为钝角,因此(,)22A πππ+∈,故2B A π=+,即2B A π-=; (2)由(1)知,()C A B π=-+(2)2022A A πππ-+=->,∴(0,)4A π∈,于是sin sin sin sin(2)2A C A A π+=+-2219sin cos 22sin sin 12(sin )48A A A A A =+=-++=--+,∵04A π<<,∴20sin A <<221992(sin )488A <--+≤,由此可知sin sin A C +的取值范围是29]28.(2014·湖北卷)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t (单位:h)的变化近似满足函数关系:f (t )=10-3cos π12t -sin π12t ,t ∈[0,24).(1)求实验室这一天的最大温差.(2)若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温?即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t +π3<-12.又0≤t <24,因此7π6<π12t +π3<11π6,即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温.(2014·江西卷)已知函数f (x )=sin(x +θ)+a cos(x +2θ),其中a ∈R,θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2.(1)当a =2,θ=π4时,求f (x )在区间[0,π]上的最大值与最小值;(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2=0,f (π)=1,求a ,θ的值.【解析】(1)f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4+2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x +π2=22(sin x +cos x )-2sin x =22cos x -22sin x =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-x .因为x ∈[0,π],所以π4-x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-3π4,π4,故f (x )在区间[0,π]上的最大值为22,最小值为-1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2=0,f (π)=1,得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ(1-2a sin θ)=0,2a sin 2θ-sin θ-a =1. 又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2,知cos θ≠0, 所以⎩⎪⎨⎪⎧1-2a sin θ=0,(2a sin θ-1)sin θ-a =1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,θ=-π6.(2014·四川卷)已知函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x +π4.(1)求f (x )的单调递增区间;(2)若α是第二象限角,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3=45cos ⎝⎛⎭⎪⎫α+π4cos 2α,求cos α-sin α的值.当sin α+cos α=0时,由α是第二象限角,得α=3π4+2k π,k ∈Z,此时,cos α-sin α=- 2.当sin α+cos α≠0时,(cos α-sin α)2=54.由α是第二象限角,得cos α-sin α<0,此时cos α-sin α=-52. 综上所述,cos α-sin α=-2或-52. (2013·北京卷)在△ABC 中,a =3,b =2 6,∠B=2∠A. (1)求cos A 的值; (2)求c 的值.【解析】(1)因为a =3,b =2 6,∠B=2∠A, 所以在△ABC 中,由正弦定理得3sin A =2 6sin 2A .所以2sin Acos A sin A =2 63.故cos A =63. (2)由(1)知cos A =63,所以sin A =1-cos 2A =33. 又因为∠B=2∠A,所以cos B =2cos 2A -1=13.所以sin B =1-cos 2B =2 23.在△ABC 中,sin C =sin(A +B) =sin AcosB +cos Asin B =5 39. 所以c =a sin Csin A=5.(2013·全国卷)设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,(a +b +c)(a -b +c)=ac. (1)求B ; (2)若sin Asin C =3-14,求C.=32, 故A -C =30°或A -C =-30°,因此C =15°或C =45°. (2013·浙江卷)已知α∈R,sin α+2cos α=102,则tan 2α=( ) A.43 B.34 C .-34 D .-43 【答案】C【解析】由(sin α+2cos α)2=1022'得sin 2α+4sin αcos α+4cos 2α=104=52,4sin αcos α+1+3cos 2α=52,2sin 2α+1+3×1+cos 2α2=52,故2sin 2α=-3cos 2α2,所以tan2α=-34,选择C.(2013·重庆卷)4cos 50°-tan 40°=( ) A. 2 B.2+32C. 3 D .2 2-1 【答案】C1.在△ABC 中,AB =3,AC =1,B =30°,△ABC 的面积为32,则C =( ) A.30° B.45°C.60°D.75°解析 法一 ∵S △ABC =12·AB ·AC ·sin A =32,即12×3×1×sin A =32,∴sin A =1, 由A ∈(0°,180°),∴A =90°,∴C =60°.故选C. 法二 由正弦定理,得sin B AC =sin C AB ,即12=sin C 3,sin C =32,又C ∈(0°,180°),∴C =60°或C =120°. 当C =120°时,A =30°,S △ABC =34≠32(舍去).而当C =60°时,A =90°, S △ABC =32,符合条件,故C =60°.故选C. 答案 C2.在△ABC 中,角A ,B ,C 对应的边分别为a ,b ,c ,若A =2π3,a =2,b =233,则B 等于( )A.π3B.5π6C.π6或5π6D.π6解析∵A=2π3,a=2,b=233,∴由正弦定理asin A=bsin B可得,sin B=basin A=2332×32=12.∵A=2π3,∴B=π6.答案 D3.在△ABC中,cos2B2=a+c2c(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为( ) A.等边三角形 B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形答案 B4.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则“a>b”是“cos 2A<cos 2B”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析因为在△ABC中,a>b⇔sin A>sin B⇔sin2A>sin2B⇔2sin2A>2sin2B⇔1-2sin2A<1-2sin2B⇔cos 2A<cos 2B.所以“a>b”是“cos 2A<cos 2B”的充分必要条件.答案 C5.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c-bc-a=sin Asin C+sin B,则B等于( ) A.π6B.π4C.π3D.3π4答案 C解析 根据正弦定理a sin A =b sin B =csin C =2R ,得c -b c -a =sin A sin C +sin B =ac +b, 即a 2+c 2-b 2=ac ,得cos B =a 2+c 2-b 22ac =12,故B =π3,故选C.6.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,则角B 的值为________. 答案π3或2π3解析 由余弦定理,得a 2+c 2-b 22ac=cos B ,结合已知等式得cos B ·tan B =32, ∴sin B =32,∴B =π3或2π3. 7.在△ABC 中,若b =5,B =π4,tan A =2,则a =______.答案 2108.已知a ,b ,c 分别为△ABC 三个内角A ,B ,C 的对边,a =2,且(2+b )(sin A -sin B )=(c -b )sin C ,则△ABC 面积的最大值为________. 答案3解析 由正弦定理,可得(2+b )(a -b )=(c -b )·c . ∵a =2,∴a 2-b 2=c 2-bc ,即b 2+c 2-a 2=bc .由余弦定理,得cos A =b 2+c 2-a 22bc =12.∴sin A =32. 由b 2+c 2-bc =4,得b 2+c 2=4+bc . ∵b 2+c 2≥2bc ,即4+bc ≥2bc ,∴bc ≤4. ∴S △ABC =12bc ·sin A ≤3,即(S △ABC )max = 3.9.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知a ≠b ,c =3,cos 2A -cos 2B =3sin A cos A -3sin B cos B . (1)求角C 的大小;(2)若sin A =45,求△ABC 的面积.由a <c ,得A <C ,从而cos A =35,故sin B =sin(A +C )=sin A cos C +cos A sin C=4+3310, 所以,△ABC 的面积为S =12ac sin B =83+1825.10.如图,在△ABC 中,B =π3,AB =8,点D 在BC 边上,且CD =2,cos∠ADC =17.(1)求sin∠BAD ; (2)求BD 、AC 的长.在△ABD 中,由正弦定理得 BD =AB ·sin∠BADsin∠ADB =8×3314437=3.在△ABC 中,由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC ·cos B=82+(2+3)2-2×8×5×12=49.所以AC =7.11.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a 2-(b -c )2=(2-3)bc ,sin A sin B =cos 2C2,BC 边上的中线AM 的长为7.(1)求角A 和角B 的大小; (2)求△ABC 的面积.解 (1)由a 2-(b -c )2=(2-3)bc , 得a 2-b 2-c 2=-3bc ,∴cos A =b 2+c 2-a 22bc =32,(2)由(1)知,a =b ,由余弦定理得AM 2=b 2+(a2)2-2b ·a2·cos C =b 2+b 24+b 22=(7)2,解得b=2,故S △ABC =12ab sin C =12×2×2×32= 3.12.设f (x )=sin x cos x -cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4.(1)求f (x )的单调区间;精品文档. (2)在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2=0,a =1,求△ABC 面积的最大值.解 (1)由题意知f (x )=sin 2x 2-1+cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π22=sin 2x 2-1-sin 2x 2=sin 2x -12. 由-π2+2k π≤2x ≤π2+2k π,k ∈Z, 可得-π4+k π≤x ≤π4+k π,k ∈Z ; 由π2+2k π≤2x ≤3π2+2k π,k ∈Z, 可得π4+k π≤x ≤3π4+k π,k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4+k π,π4+k π(k ∈Z ); 单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4+k π,3π4+k π(k ∈Z ). (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2=sin A -12=0,得sin A =12, 由题意知A 为锐角,所以cos A =32. 由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,可得1+3bc =b 2+c 2≥2bc ,即bc ≤2+3,且当b =c 时等号成立. 因此12bc sin A ≤2+34.所以△ABC 面积的最大值为2+34.。

人教版高中数学必修5-1.1《正弦定理和余弦定理(第2课时)》教学设计

人教版高中数学必修5-1.1《正弦定理和余弦定理(第2课时)》教学设计

名师示范课第一章 解三角形1.1.2 余弦定理(名师:王历权)一、教学目标1.核心素养通过学习余弦定理,初步形成基本的数学抽象和逻辑推理能力.2.学习目标(1)了解余弦定理能解决的求三角形问题的类型;(2)能证明余弦定理;(3)应用余弦定理解决三角形相应问题.3.学习重点理解余弦定理,会用余弦定理解三角形问题.4.学习难点余弦定理的证明.二、教学设计(一)课前设计1.预习任务任务阅读教材P5-P7,思考:余弦定理的内容是什么?你还有哪些方法可以证明余弦定理?余弦定理有哪些应用?2.预习自测1.结论:2a =_________________;2b =___________________;2c =_______________. 变式:A cos =__________;B cos =________________;C cos =_________________. 解:A bc c b a cos 2222-+=,B ac a c b cos 2222-+=,C ab b a c cos 2222-+=.bc a c b A 2cos 222-+=,ca b a c B 2cos 222-+=,abc b a C 2cos 222-+=.2.已知3,4,a b ==a 和b 的夹角为60º,求c .解:13,1360cos 432169cos 2222==︒⨯⨯-+=-+=c C ab b a c .(二)课堂设计1.知识回顾(1)在三角形中大边对大角,大角对大边.(2)三角形的面积:C ab S sin 21=. (3)正弦定理:sin sin sin a b c A B C ==. 2.问题探究问题探究一 另一类解三角形问题●活动一 回顾旧知理论上正弦定理可解决两类问题:(1)已知两角和任意一边,求其它两边和一角;(2)两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角.●活动二 整合旧知,探求边角新关系如果已知某个三角形的两条边和它们的夹角,则显然三角形的形状与大小唯一确定,能求出未知的边与角吗?应用正弦定理显然无法求解三角形.Rt ABC V 中,90C ∠=︒,,,A B C ∠∠∠的对边依次为a b c 、、,若已知边b c 、,显然很容易得到222=+c a b ,那么对于任意一个三角形ABC ,若已知两边及夹角,第三边与另外两边及夹角之间有怎样的数量关系呢?问题探究二 余弦定理的证明. ●活动一 集思广益,证明余弦定理在一般的三角形中若已知A c b 、、,你能证明A bc c b a cos 2222-+=这个结论吗? 在锐角△ABC 中,过点C 作CD AB ⊥,垂足为D ,则=AB AD DB +.因而,有2222222(sin )(cos )2cos a CD BD b A c b A b c bc A =+=+-=+-,同理,我们可以得到:2222222cos ,2cos b c a ac B c a b ab C =+-=+-,. 或者222222222cos ,cos ,cos 222b c a c a b a b c A B C bc ca ab+-+-+-===. 在钝角三角形中是否也能用类似方法证明呢?不妨设∠B 为钝角,如图,22222(sin )(cos )a CD BD b A b A c =+=+-A bc c b cos 222-+=, 若△ABC 中∠A 为直角呢?我们可以得到A bc c b c b a cos 222222-+=+=. 余弦定理:对于任意的一个三角形,都有2222222222cos ,2cos ,2cos a b c bc A b c a ac B c a b ab C =+-=+-=+-.公式还可以变形为:bc a c b A 2cos 222-+=,ca b a c B 2cos 222-+=,ab c b a C 2cos 222-+=. ●活动二 发现公式证明新方法,反思过程结合问题条件与结论涉及边长与角度,能否用向量的办法证明余弦定理?A B如图在ABC ∆中,AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b .∵AC AB BC =+u u u r u u u r u u u r ,∴()()AC AC AB BC AB BC ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 222AB AB BC BC =+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r222||||cos(180)AB AB BC B BC =+⋅-+o u u u r u u u r u u u r u u u r 22cos 2a B ac c +-=.即B ac a c b cos 2222-+=同理可证A bc c b a cos 2222-+=,C ab b a c cos 2222-+=.反思:对向量等式+=平方法即得B ac a c b cos 2222-+=,过程中哪些方法值得总结?另外向量等式BC AB AC +=有哪些丰富的内涵?等式中隐藏了哪些信息?问题探究三 利用余弦定理能解决哪些三角形的问题? ●活动一 初步运用,运用定理解三角形例1 在ΔABC 中,已知a =7,b =10,c =6,求A 、B 和C.【知识点:余弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】详解:∵222cos 0.7252b c a A bc+-==,∴A≈44° ∵222cos 0.80712a b c C ab+-==,∴C≈36°, ∴B =180°-(A +C)≈100°.点拨:知道三边利用余弦定理可以求任意一个内角的余弦值.例2 在ΔABC 中,已知a =2.730,b =3.696,C =82°28′,解这个三角形.【知识点:余弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】详解:由C ab b a c cos 2222-+=,得c ≈4.297∵222cos 0.77672b c a A bc+-=≈,∴A≈39°2′, ∴B =180°-(A +C)=58°30′(∵sin sin 0.6299a C A c=≈,∴A=39°或141°(舍))点拨:在已知两边和夹角的条件下,用余弦定理求出另一边,再用余弦定理或正弦定理可以求解整个三角形.例3 在ABC ∆中,cos cos b A a B =,则三角形为( )A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形【知识点:余弦定理】详解:选C,由正弦定理有sin cos sin cos B A A B =,即sin()0A B -=,所以ABC ∆是等腰三角形.又解,由余弦定理知acb c a a bc a c b b 22222222-+=-+,整理得a b = 点拨:灵活使用正余弦定理是解题关键.●活动二 对比提升,判断三角形解的个数余弦定理非常对称美观,三角函数把几何中关于三角形的定性结果都变成了可定量计算的公式了,它可以求解如下两类解三角形的问题:(1)已知三边,求三个角;(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.利用余弦定理解三角形时会出现无解、一解或多解等多种情况吗?3.课堂总结【知识梳理】余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍,即2222222cos cos 2b c a a b c bc A A bc +-=+-⇔=, 2222222cos cos 2c a b b c a ac B B ca +-=+-⇔=, 2222222cos cos 2a b c c a b ab C C ab +-=+-⇔=. 【重难点突破】(1)余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例,它揭示的是三角形中边角之间的关系,是解三角形的重要工具之一.(2)在余弦定理中含三边和一边的对角这四个元素,利用方程的思想,知三可求一.(3)解三角形问题时,一般先画出示意图,根据题目的结构特征,灵活运用正弦定理或余弦定理及其变式,这不仅是解决有关问题的切入点,更是找到解题捷径所在.4.随堂检测1.已知在ABC ∆中,sin :sin :sin 3:2:4A B C =,那么cos C 的值为( )A.-41B.41C.- 32D.32 【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:A2.在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°,则塔高为( ) A.3400米33400米 C.2003米米【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:A3.在ABC ∆中,cos cos b A a B =,则三角形为( )A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:C4.三角形的两边分别为5和3,它们夹角的余弦是方程25760x x --=的根,则三角形的另一边长为( )A. 52B. 132C. 16D. 4 【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:B5. 在ABC ∆中,等式C b a B A b a s in )()s in ()2222-=-+(成立的充要条件是( )A.b a =B.090=∠CC.90a b C =∠=︒且D. 90a b C =∠=︒或【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:A(三)课后作业基础型 自主突破1.长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( )A.90°B.120°C.135°D.150°【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:B2. 已知b a ,为ABC ∆的边,,A B 分别是b a ,的对角,且32sin sin =B A ,求a b b+的值. 【知识点:余弦定理;正弦定理】解:25 3.已知三角形的一个角为60°,面积为310,周长为20,求此三角形的各边长.【知识点:余弦定理,三角形面积;数学思想:数形结合】解:5,7,8 .4.已知锐角三角形三边分别为3,4,a ,则a 的取值范围为( )A.15a <<B.17a << 5a << 7a <<【知识点:余弦定理;数学思想:分类讨论、数形结合】解:C5.如图,在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15︒,向山顶前进100m 后,又从点B 测得斜度为45︒,假设建筑物高50m,求此山对于地平面的斜度θ.【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:θ = 4294︒6.在ABC ∆中,=53AB AC =,,D 为BC 中点,且4=AD ,求BC 边长.【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:2能力型 师生共研7. 如图,在四边形ABCD 中,已知A D C D ⊥, 10,14AD AB ==,60BDA ∠=︒, 135BCD ∠=︒,求BC 的长.【知识点:余弦定理】解:288.在ABC ∆中,求证: 0)sin (sin )sin (sin )sin (sin =-+-+-B A c A C b C B a .【知识点:正弦定理、余弦定理】解:左边=)sin (sin sin 2)sin (sin sin 2)sin (sin sin 2B A C R A C B R C B A R -+-+- =]sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin [sin 2B C A C A B C B C A B A R -+-+-=0=右边.9.在ABC ∆中,三边长为连续的自然数,且最大角是最小角的2倍,求此三角形的三边长.【知识点:余弦定理】解:三边长为4,5,6.10.在ABC ∆中,证明下列各式:(1)0tan )(tan )(222222=+-+--B c b a A c b a .(2) 2222112cos 2cos ba b B a A -=-. 【知识点:正弦定理、余弦定理】证明:(1)左边=)(222c b a --B B c b a A A cos sin )(cos sin 222+-+ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-++-+-+-=-+⋅⋅+-+-+⋅⋅--=222222222222222222222222)(2222)(22)(b c a b c a a c b a c b R a b c b c a ac R b c b a a c b bc R a c b a 右边==+-=0)11(Rabc 故原命题得证右边左边=-=+--=+--=---=22222222222222222211)2(2)2(211sin )2(sin 2sin )2(sin 2)11(sin 21sin 21)2(ba R Rb a B R B A R A b a b B a A 故原命题得证探究型 多维突破11.在ABC ∆中,30A ︒=,sin C2sin B B C =. (1) 求证:ABC ∆为等腰三角形;(2) 设D 为ABC ∆外接圆的直径BE 与AC 的交点,且2AB =,求:AD DC 的值.【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:(1)略 ;(2)3:112.ABC ∆中,若已知三边为连续正整数,最大角为钝角.(1)求最大角;(2)求以此最大角为内角,夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积.【知识点:余弦定理;数学思想:分类讨论】解:(1) 109,41cos ,4,3,2=-====C C c b a . (2)设夹C 角的两边为y x ,,4=+y x ,)4(415415)4(sin 2x x x x C xy S +-⋅=⋅-==, 当2=x 时15max =S .自助餐1. 在ABC ∆中,已知60A ︒=,1b =,,则sin sin sin a b c A B c ++++为( )A. B. C. D. 【知识点:正弦定理、余弦定理、三角形面积;数学思想:数形结合】 解:B.2. 在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .若c 2=(a -b )2+6,C =π3,则ABC ∆的面积是( )A.3B.9 32C.3 32D.3 3【知识点:余弦定理、三角形面积】解:C.3. 在ABC ∆中,π4B =,BC 边上的高等于13BC ,则cos A =( )C.-D.- 【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:C.4.设ABC ∆的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若cos cos sin b C c B a A +=,则ABC ∆的形状为( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:B.5.已知ABC ∆中,A b B a c cb ac b a cos cos 2222==-+-+且,试判断ABC ∆的形状. 【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:等边三角形.6.一货轮航行到M 处,测得灯塔S 在货轮的北偏东15°相距20里处,随后货轮按北偏西30°的方向航行,半小时后,又测得灯塔在货轮的北偏东45°,求货轮的速度.【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:7.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=.(1)求B ;(2)若sin sin A C =,求C . 【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】 解:(1)120︒;(2)15︒或45︒8. 在ABC ∆中,若22299190a b c +-=,试求tan tan (tan tan )tan A B A B C+的值. 【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】 解:59。

高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理课件新人教A版必修5

高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理课件新人教A版必修5

第二十六页,共36页。
探究(tànjiū)



探究
(tànjiū)二
探究(tànjiū)

变式训练3

探究四
在△ABC中,A,B,C的对边分别是a,b,c,
sin cos cos
=
= ,则判断△ABC的形状是(



A.等边三角形
B.有一内角是30°的直角三角形
C.等腰直角三角形
D.有一内角是30°的等腰三角形
(2)已知三角形的几个(jǐ ɡè)元素求其他元素的过程叫做解三角形.
第八页,共36页。
1
2
练一练 3
在△ABC 中,a=3,b=5,sin

解析:由正弦定理
sin
=
1
A= ,则
3

,得
sin
sin B=
sin
sin B=

5
9
答案:
第九页,共36页。
.
1
=
5× 3
3
=
5
.
9
1
2
练一练 4
断三角形的形状.
第二十三页,共36页。
探究(tànjiū)

探究(tànjiū)

探究(tànjiū)
三ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

解法一:设
sin
=
探究四

sin
=

=k,
sin
则 a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.
∵sin2A=sin2B+sin2C,∴
2

=
2

+

余弦定理教案

余弦定理教案

余弦定理教案余弦定理教案一、教材分析《余弦定理》选自人教A版高中数学必修五第一章第一节第一课时。

本节课的主要教学内容是余弦定理的内容及证明,以及运用余弦定理解决“两边一夹角”“三边”的解三角形问题。

余弦定理的学习有充分的基础,初中的勾股定理、必修一中的向量知识、上一课时的正弦定理都是本节课内容学习的知识基础,同时又对本节课的学习提供了一定的方法指导。

其次,余弦定理在高中解三角形问题中有着重要的地位,是解决各种解三角形问题的常用方法,余弦定理也经常运用于空间几何中,所以余弦定理是高中数学学习的一个十分重要的内容。

二、教学目标知识与技能:1、理解并掌握余弦定理和余弦定理的推论。

2、掌握余弦定理的推导、证明过程。

3、能运用余弦定理及其推论解决“两边一夹角”“三边”问题。

过程与方法:1、通过从实际问题中抽象出数学问题,培养学生知识的迁移能力。

2、通过直角三角形到一般三角形的过渡,培养学生归纳总结能力。

3、通过余弦定理推导证明的过程,培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。

情感态度与价值观:1、在交流合作的过程中增强合作探究、团结协作精神,体验解决问题的成功喜悦。

2、感受数学一般规律的美感,培养数学学习的兴趣。

三、教学重难点重点:余弦定理及其推论和余弦定理的运用。

难点:余弦定理的发现和推导过程以及多解情况的判断。

四、教学用具普通教学工具、多媒体工具(以上均为命题教学的准备)余弦定理教案2016-09-09 14:26 | #2楼教案设计:余弦定理【教材】湘教版必修4第9页至12页.【教学对象】高二(上)学生【学情分析】学生已经会用正弦定理解决三角形相关问题,了解三角形边角之间存在着一定的数量关系,这为本节课的学习奠定了基础。

对于正弦定理解决已知两边及夹角问题学生有一定的求知欲,这就促使学生去探索如何求解该类问题.【教学目标】知识与技能(1)掌握余弦定理的证明方法,牢记公式.(2)掌握余弦定理公式的变式,会灵活应用余弦定理. 过程与方法(1)使学生经历公式的推导过程,培养严谨的逻辑思维.(2)培养学生数形结合的能力.(3)培养学生的问题解决能力.情感态度价值观经历余弦定理的推导过程,感受数学思维的严谨美,通过比较余弦定理公式感受数学公式的对称美,通过比较勾股定理以及余弦定理体会一般与特殊的关系.【教学重点】余弦定理推导【教学难点】余弦定理推导及应用【教法学法】教法:一、情景教学法:创设问题情境,以学生感兴趣的,并容易理解的情景为开端,让学生在各自熟悉的场景中轻松、愉快地学习.二、启发性教学法:启发性原则是永恒的。

人教版高中必修51.1正弦定理和余弦定理课程设计

人教版高中必修51.1正弦定理和余弦定理课程设计

人教版高中必修5-1.1 正弦定理和余弦定理课程设计一、引言正弦定理和余弦定理是高中数学中的基础概念,在解决三角形相关问题时经常会用到。

本课程设计将围绕正弦定理和余弦定理展开,旨在通过讲解和丰富的实例,帮助学生深入理解这两个概念,提高学生解决实际问题的能力。

二、教学目标本课程设计主要的教学目标包括:1.理解正弦定理和余弦定理的定义和含义,并能运用正确公式计算相关量;2.能解决使用正弦定理和余弦定理求解三角形中各角度和边长的问题,并能熟练运用所学知识解决类似问题;3.培养学生对数学概念的深刻理解,提高数学分析、解题和推理的能力。

三、教学重点和难点1. 教学重点•正弦定理和余弦定理的定义和含义;•正弦定理和余弦定理的公式和运用;•求解三角形相关问题的思路和方法。

2. 教学难点•正弦定理和余弦定理的理解与运用;•正弦定理和余弦定理的推导过程说明;•如何分析实际问题,确定合适的求解方法。

四、教学内容和方法1. 教学内容1) 正弦定理•正弦定理的概念和含义;•正弦定理的公式和运用;•正弦定理的推导过程说明;•正弦定理的实际应用。

2) 余弦定理•余弦定理的概念和含义;•余弦定理的公式和运用;•余弦定理的推导过程说明;•余弦定理的实际应用。

2. 教学方法本课程设计将采用以下教学方法:•讲授法:通过对正弦定理和余弦定理的原理、公式和运用的讲解,向学生阐述相关概念并理解其原理;•实例分析法:通过较为典型的实例分析、讨论问题,帮助学生理解正弦定理和余弦定理的实际应用;•独立思考法:通过举例让学生通过自己的思考和分析实际问题,确定求解方法解决问题,培养学生分析问题、解决问题的能力。

五、教学评价教学评价主要从以下方面进行:•学生课堂发言和问题讨论表现;•学生课后作业完成情况;•学生课后课程练习题完成情况以及参与竞赛、奥数活动表现;•学生在考试中的表现。

六、教学资源为了更好地实行授课过程中,需要准备以下资源:•课程讲义;•课件尠存储设备:如电脑、U盘等;•相关参考资料:如教材、习题集等。

人教课标版高中数学必修五《正弦定理和余弦定理(第1课时)》教案(1)-新版

人教课标版高中数学必修五《正弦定理和余弦定理(第1课时)》教案(1)-新版

第一章解三角形1.1.1正弦定理一、教学目标1.核心素养通过学习正弦定理,初步形成基本的数学抽象和逻辑推理能力.2.学习目标(1)通过特殊三角形,了解三角形的边与角的对应关系.(2)能证明正弦定理.(3)应用正弦定理解决三角形相应问题.3.学习重点理解正弦定理,会用正弦定理解两类三角形问题.4.学习难点正弦定理的证明与三角形解的个数的判断.二、教学设计(一)课前设计1.预习任务任务1阅读教材P1-P4.思考:正弦定理的内容是什么?你还有哪些方法可以证明正弦定理?正弦定理有哪些应用?任务2默写正弦定理的具体内容,查阅三角形面积的计算公式并进行整理.2.预习自测1.在一个三角形中,各边和它对角的()的比相等.A.正弦B.余弦C.正切D.角度答案:A.解析:考查正弦定理的定义: 一个三角形中,各边和所对角的正弦之比相等,且该比值等于该三角形 外接圆的直径长度.2.下列各式可以表示△ABC 的面积的是( ) A.12ab sin A B.12ab sin B C.12ab sin C D.ab sin C 答案:C.3.在正弦定理中asin A 的值表示△ABC 的( ) A.内切圆半径 B.内切圆直径 C.外接圆半径 D.外接圆直径 答案:D.解析:一个三角形中,各边和所对角的正弦之比相等,且该比值等于该三角形外接圆的直径长度. (二)课堂设计 1.知识回顾(1)三角形内角和为180o .(2)三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边. (3)在三角形中大边对大角.(4)三角形的面积:S =111222a b c ah bh ch ==(其中h a ,h b ,h c 分别为边a ,b ,c 上的高). (5)我们预习本课的正弦定理是什么?有哪些方法可以证明呢? 2.问题探究问题探究一 直角三角形的边角有哪些关系? ●活动一 回顾旧知,回忆边角关系在初中,我们已经学习过如何解直角三角形,那么在直角三角形中的边角关系有哪些呢?通过作出直角三角形,寻找直角三角形中的边角关系. 在直角三角形中,若C 为直角,锐角A 的正弦sin A ==ac对边斜边.同理,sin B =b c .●活动二 整合旧知,探求边角新关系 结合三角函数,你有哪些与众不同的发现? 在以上直角△ABC 中,根据正弦函数的定义有:sin a A c =,sin b B c =,sin 1C =,即sin a c A =,sin b c B =,sin c c C=. ∴sin sin sin a b cA B C==.问题探究二 上述边角关系对任意三角形都成立吗?试证明. ●活动一 大胆猜想,几何画板来帮忙 我们猜想在任意三角形中,都有sin a A =sin bB =sin c C. 为提高直观认识,我们先利用几何画板先作出一个三角形,度量出三个内角大小及三边的长度, 分别计算,,sin sin sin a b cA B C的值,并观察三个值的关系. 然后,再改变三角形形状,再观察三个比值的变化情况. 可以看到,不论三角形如何变化,sin a A =sin bB =sin c C. ●活动二 集思广益,证明正弦定理 你能在一般的三角形中证明sin a A =sin b B =sin c C这个结论吗? 在锐角△ABC 中,你能找出a sin B ,b sin A 表示的具体线段吗?它们的几何意义是什么?在锐角△ABC 中,sin ,sin a B b A 表示的线段都是AB 边上的高CD . 因而,有a sin B =b sin A ,则sin sin a b A B=,同理,我们可以得到sin a A =sin bB =sin cC . 在钝角三角形中是否也能用类似方法证明呢?不妨设∠B 为钝角,如图,()sin 180sin CD a B b A =-=o ,因而,有sin sin a B b A =,则sin aA =sin b B, 同理,我们可以得到sin a A =sin bB =sin c C. 正弦定理:对于任意的一个三角形,都有sin a A =sin bB =sin c C. ●活动三 反思过程,发现面积新公式结合a sin B ,b sin A 的几何意义,你能不能得到三角形的面积公式的另外一种形式? 由以上探究活动,a sin B ,b sin A 的几何意义为AB 边上的高CD ,则由三角形面积111222a b c S ah bh ch ===, 有11sin 22c S ch ac B ==,或11sin 22c S ch bc A ==,以此类推,还有1sin 2S ab C =.所以111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===.●活动四 利用外接圆,重新认识正弦定理 结合△ABC 的外接圆,试探究sin aA的几何意义.设⊙O 为△ABC 的外接圆,连接CO 并延长交⊙O 于点A ′,连接A ′B ,则∠A =∠A ′, 在△A ′BC 中,A ′C 为直径,则∠A ′BC 为直角,2sin a A C R A '==',故2sin aR A=,其中R 为三角形外接圆的半径.通过转化与化归的思想,将∠A 转化为∠A ′,最关键的是将一般三角形中a 与∠A 的关系转化为直角三角形中的a 与∠A ′的关系,不难得到sin aA=2R ,则2sin sin sin a b cR A B C===. 以上过程也是证明正弦定理的另一种方法,你还能想出哪些证明正弦定理的方法?结合活动三得到的三角形的面积公式,我们还可以哪些形式多样的面积公式? 我们可以得到21sin 2sin sin sin 24abc S ab C R A B C R===等形式. 问题探究三 利用正弦定理能解决哪些三角形的问题?●活动一 初步运用,运用定理解三角形一般地,我们把三角形的三个角A ,B ,C 和它们的对边a ,b ,c 叫做三角形的元素,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题? 例1 在△ABC 中,已知A =30°,B =45°,a =2,解此三角形. 【知识点:正弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】 详解:根据三角形内角和定理,C =180°-(A +B )=105°,根据正弦定理,b =sin sin a B A =c =sin sin a CA. 点拨:正弦定理是对边对角的关系,在已知一内角的条件下,找出该角的对边,或知道一边的情况下,寻求该边的对角,注意三角形内角和为180°这个条件的运用.在解三角形时,我们在知道三角形的三个元素(至少有一边)时,可以求出另三个元素,称“知三求三”.例2 在△ABC 中,已知A =60°,a =3,b 解三角形. 【知识点:正弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】详解:根据正弦定理,sin sin b A B a ==,且b <a ,则B <A ,故B =45°,所以C =75°,sin sin a C c A ==. 点拨:在已知一角和两边(其中一边为该角的对边)的条件下,用正弦定理求出另一边对角的正弦值,一般可以运用大边对大角或三角形内角和定理对结果进行筛选或排除,当然可以两者结合使用.例3在△ABC 中,已知A =45°,a =2,b 解三角形.【知识点:正弦定理,解三角形;数学思想:分类讨论、数形结合】详解:根据正弦定理,sin B =sin b Aa,且b >a ,则B >A ,故B =60°或120°,当B =60°时,C =75°,解得sin c=1sin a CA;当B =120°时,C =15°,解得sinc=1sin a CA. 点拨:和例2类似,已知两边和其中一边的对角,用正弦定理求出另一边对角的正弦值,此时这个角有锐角和钝角两种情况,注意分类讨论,切不可先入为主的认为B =60°而造成漏解.●活动二 对比提升,判断三角形解的个数比较例2和例3,对于任意给定两边和其中一边的对角,三角形唯一确定吗?如何讨论满足条件的三角形的解的个数?在△ABC 中,已知a ,b ,A ,结合例2、例3分析,在求出sin B 后,B 的解的个数决定了三角形解的个数.不难看到,当A 为直角或钝角时,a >b ,B 必为锐角,有唯一解;a ≤b ,无解. 当A 为锐角时,我们可以用以下方法判断解的个数.A以C 为圆心,a 为半径作圆弧,观察该圆弧能否与c 边相交,(1)当a <b sin A 时,无解; (2)当a =b sin A 时,一解; (3)当b sin A <a <b 时,两解; (4)当a≥b 时,一解.通过这个方法,我们进一步可以验证当A 为直角或钝角时的情形,(1)当a ≤b 时,无解; (2)当a >b 时,一解.●活动三 归纳提升,综合应用新知识利用正弦定理,我们可以解哪些已知条件下的三角形? 1.已知两角和任意一边,求其他的边和角; 2.已知两边和其中一边的对角,求其他的边和角.例4 在△ABC 中,已知A=60°,b =2,c =3,求△ABC 的面积S . 【知识点:正弦定理】 详解:1sin 2S bc A ==. 点拨:直接应用三角形的面积公式即可.例5在△ABC 中,已知A =120°,a =3,b 判断三角形的解的个数,如有解,求△ABC 的面积S .【知识点:正弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】 详解:由A 为钝角,且a >b ,故此三角形有唯一解.根据正弦定理,sin 1sin 2b A B a ==,则B =30°,C =180°-(A +B )=30°,所以1sin 2S ab C ==. 点拨:三角形的面积求解需要两边及夹角,因此要先通过正弦定理求B ,再用内角和定理求C ,再用公式即可.例6 已知△ABC 的外接圆半径为1,41sin ,cos 53A B ==-,求△ABC 的面积S . 【知识点:正弦定理,两角和的正弦公式;数学思想:转化与化归】详解:由()113sin sin sin cos cos sin 535C A B A B A B ⎛⎫=+=+=⋅-+= ⎪⎝⎭则242sin sin sin 25S R A B C ==⋅=点拨:在已知三角形外接圆半径时,通过正弦定理转化面积公式显得更快一些,当然也可以利用a =2R sin A ,b =2R sin B 求出C 的两条夹边再求面积,是一样的道理. 3.课堂总结 【知识梳理】 (1)在△ABC 中,2sin sin sin a b c R A B C===(R 为△ABC 的外接圆半径). (2)在△ABC 中,111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===. (3)设A 为△ABC 的最大角,已知a ,b ,A ,解三角形时解的个数判定为:若A 为锐角,①a <b sin A ,无解;②a =b sin A ,一解;③b sin A <a <b ,两解;④a ≥b ,一解.若A 为直角或钝角,①a ≤b ,无解;②a >b ,一解. 【重难点突破】(1)运用正弦定理时,有时需对它进行变形,如::sin :sin :sin a b c A B C =等,不论怎么变形,最终都需要将2R 约去.(2)运用正弦定理求解三角形时,若已知条件是两边和其中一边的对角,则可能无解、一解或两解,判断方法是三角形中大角对大边,大边对大角.(3)用正弦定理来解边角关系问题时,基本思路是统一角或统一边,这是三角形的变形问题常用的方法. 4.随堂检测1.在△ABC 中,A =45°,a =则sin sin sin a b cA B C++++等于( )A.1C.2D.4【知识点:正弦定理;数学思想:数形结合】 解:D 根据s i n a A =sin b B =sin cC=2R ,a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C ,则sin sin sin a b c A B C ++++=2R =sin aA=4,故选D.2.在△ABC 中,已知b c =1,B =45°,则a =( )11【知识点:正弦定理;数学思想:数形结合】 解:B 根据正弦定理,sin C =sin c B b =12,因为c <b ,则C <B ,故C =30°,则A =105°,所以a =sin sin c AC,故选B.3.在△ABC 中,已知b cos A =a cos B ,则△ABC 的形状为( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形【知识点:正弦定理的应用,两角差的正弦公式;数学思想:数形结合】 解:B 根据sin a A =sin b B=2R ,a =2R sin A ,b =2R sin B ,则2R sin B cos A =2R sin A cos B ,即sin(A -B )=0,得A =B ,故△ABC 为等腰三角形,故选B.4.在△ABC 中,A =30°,B =105°,c =4,则△ABC 的外接圆的面积为( ) A.4πB.8πC.16πD.32π【知识点:正弦定理的应用;数学思想:数形结合】解:B 由C =180°-(A +B )=45°,得2R =sin cC=R =圆面积S =πR 2=8π,故选B.5.在△ABC 中,若a =C =13,S △ABC =则b =_________ . 【知识点:正弦定理的应用;数学思想:数形结合】解 由cos C =13,得sin C ,根据S =12ab sin C =得b =(三)课后作业基础型 自主突破1.已知在10,45,30,,ABC c A C a b B ∆==︒=︒中,求和. 【知识点:正弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】 解:由A a sin =B b sin =sin cC,180()105B A C =︒-+=︒,解得210=a ,2565+=b .2.在60,1,ABC b B c a ∆=︒=中,求.【知识点:正弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】 解:由B b sin =sin cC,得sin C =12,因为c <b ,所以C <B ,则C =30°,则A =90°,故△ABC 为直角三角形,所以222=+=c b a .3.45,2,,ABC c A a b B C ∆==︒=中,求和.【知识点:正弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】解:sin ,sin sin sin a c c A C A C a =∴===Qsin ,60c A a c C <<∴=︒Q 或120︒.sin6075,1sin c BC B b C ∴=︒=︒===当时,,sin12015,1sin c B C B b C ∴=︒=︒===当时,,1,75,60b B C ∴==︒=︒或1,15,120b B C =︒=︒.4.ABC ∆中,222sin sin sin A B C =+,则ABC ∆为( )A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形【知识点:正弦定理;数学思想:转化与化归】解:A 由正弦定理得a 2=b 2+c 2,则故△ABC 为直角三角形,故选A.5.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若a cos A =b sin B ,则sin A cos A +cos 2B =( )A.-12B.12C.-1D.1【知识点:正弦定理,同角三角函数间的基本关系】解:D 由正弦定理及a cos A =b sin B ,得sin A cos A =sin 2B .则sin A cos A +cos 2B =sin 2B +cos 2B =1.6.在△ABC 中,C =120°,c 2-c 2cos 2A =3,则a =________.【知识点:正弦定理,同角三角函数间的基本关系】解:2 由c 2-c 2cos 2A =c 2sin 2A =3,故c sin A ,由正弦定理,a =sin sin c A C=2. 能力型 师生共研7.在ABC ∆中,B A sin sin >是B A >的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【知识点:必要条件、充分条件与充要条件的判断,正弦定理】解:C 首先,由正弦定理得2R sin A >2R sin C ,故a >c ,由大边对大角,有A >C ;其次,由A >C ,得a >c ,即2R sin A >2R sin C ,故sin A >sin C .故选C.8.在锐角ABC ∆中,若2,1==b a ,则边c 的取值范围是( ) A.)5,0( B.)5,1( C.)5,3(D.(1,3)【知识点:正弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】解:C 应用极端原理,当B 为直角时,c = 3 ,当C 为直角时,c =5,因△ABC 为锐角三角形,故 3 <c <5,故选C.9.在ABC ∆中,已知︒===45,2,B b x a ,如果利用正弦定理解三角形时有两解,则x 的取值范围是( ) A.222<<x B.222≤<xC.2>xD.2<x【知识点:正弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】解:A 因三角形有两解,则a sin B <b <a ,x <2<x ,解得2<x <故选A. 10.在ABC ∆中,求证:2222112cos 2cos ba b B a A -=-. 【知识点:二倍角的余弦,正弦定理;数学思想:转化与化归】解:sin sin a b A B =⇒sin sin A B a b =⇒22sin sin ()()A B a b= ⇒2222sin sin A B a b =⇒221cos 21cos 2A B a b --=⇒2222cos 2cos 211A B a b a b-=-. 探究型 多维突破11.已知ABC ∆,B ∠的平分线交AC 于点D ,求证:DC AD BC AB ::=.【知识点:正弦定理的应用;数学思想:数形结合】证明:在ABD ∆内,利用正弦定理得:sin sin sin sin AB AD AB ADB ADB ABD AD ABD∠==∠∠∠即 在BCD ∆内,利用正弦定理得:sin ,.sin sin sin BC DC BC BDC BDC DBC DC DBC∠==∠∠∠即 ∵BD 是B 的平分线,∴sin sin ABD DBC ∠=∠.∵sin sin ADB BDC ∠=∠, ∴sin sin sin sin AB ADB BDC BC AD ABD DBC CD ∠∠===∠∠,∴AB AD BC DC =. 12.在ABC ∆中,已知)sin()sin(sin sin C B B A C A --=,求证:222,,c b a 成等差数列. 【知识点:两角和与差的正弦函数,二倍角的余弦,正弦定理,等差数列;数学思想:转化与化归】证明:由已知得sin()sin()B C B C +-sin()sin()A B A B =+-,cos 2cos 2cos 2cos 2B C A B -=-,1cos 21cos 21cos 22222B A B ---⋅=+, ∴2222sin sin sin B AC =+,由正弦定理可得2b 2=a 2+c 2,故a 2,b 2,c 2成等差数列.自助餐1.在ABC ∆中,45a b B ===︒,则A 为( )A.233ππ或 B.3πC.566ππ或 D.6π 【知识点:正弦定理,解三角形;数学思想:数形结合、分类讨论】 解:A 由sin a A =sin b B,得sin A,则A =60°或120°,故选A. 2.在ABC ∆中,2sin b A =,则B =( )A.3πB.6πC.233ππ或 D.566ππ或【知识点:正弦定理】解:C 由sin aA =sin bB ,得sin B ,故选C.3.在ABC ∆中,已知2,60a b A ==︒,则符合条件的三角形的个数有() A.2个B .1个C . 0个D.无数个【知识点:正弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】解:B 由a >b ,故A >B ,则三角形只有一解,故选B.4.在△ABC 中,cos A =-13,a =3,b ,则符合条件的三角形的个数有()A.2个B .1个C . 0个D.无数个【知识点:正弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】解:C 由cos A <0,得A 为钝角,又a <b ,故此三角形无解,故选C.5.在ABC ∆中,45B =︒,60C =︒,1c =,则最短边的边长等于( )C.12【知识点:正弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】解:A 由三角形内角和为180°知A =75°,故B 角最小,从而b 为最小边,由正弦定理,b故选A. 6.在△ABC 中,a cos A =b cos B ,则△ABC 的形状为( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【知识点:正弦定理】解:D 由a cos A =b cos B 及正弦定理,得sin A cos A =sin B cos B ,即sin2A =sin2B , 则2A =2B 或2A +2B =180°,则A =B 或A +B =90°,△ABC 为等腰或直角三角形,故选D.7.在△ABC 中,若b =10,B =π4,tan A =2,则a =________.【知识点:正弦定理,同角三角函数间的基本关系】解:410 由tan A =sin A cos A =2,得sin A =255,又∵b =10,B =π4,根据正弦定理,得a =b sin A sin B =10×25522=410. 8.已知函数()sin()6f x x π=+,ABC △三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若()1f B C +=,a =3,b =1,则ABC △的面积S =__________.【知识点:正弦定理】解:34 由()1f B C +=,得()sin 1B C π++=,又()7,666B C πππ++∈,所以62B C ππ++=, 得23A π=,由正弦定理sin sin B A b a =,得1sin 2B =,则6B π=,6C π=,则面积1s i n 2S ab C =9.如图所示,扇形AOB 中,∠AOB =60°,OB =1,在弧AB 上有一动点P ,过P 作平行于OB 的直线和OA 交于点C ,则△POC 面积的最大值为______________.【知识点:正弦定理,解三角形,三角恒等变换;数学思想:数形结合】解:312 设∠AOP =θ,∵CP ∥OB ,∴∠CPO =∠POB =60°-θ,∴∠OCP =120°.在△POC 中,由正弦定理,得1sin120°=CP sin θ,有CP =23sin θ. 又OC sin(60°-θ)=1sin120°,有OC =23sin(60°-θ). 因此△POC 的面积为S =12CP ·OC sin120°=12·23sin θ·23sin(60°-θ)×32=13sin θsin(60°-θ)=13sin θ(32cos θ-12sin θ)=123[cos(2θ-60°)-12],θ∈(0°,60°). 故当θ=30°时,S 取得最大值为312.10.已知在ABC ∆中,452A a c ∠=︒==,,,解此三角形.【知识点:正弦定理,解三角形;数学思想:分类讨论】解:由sin a A =sin c C,得sin C C =60°或120°,sin6075,1sin c B C B b C =︒=︒===+当时,,sin12015,1sin c B C B b C =︒=︒===当时,,所以16075b C B =+=︒=︒,,或112015b C B =︒=︒,,. 11.在ABC ∆中,如果lg lg lgsin a c B -==-且B 为锐角,试判定三角形的形状.【知识点:对数的运算性质,正弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】解:由条件有sin B 及c ,因为B 为锐角,则B =45°,A =135°-C ,由c ,得sin C A -C )=cos C +sin C ,则cos C =0,C =90°,A =45°,故△ABC 为等腰直角三角形.12.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,且2cos A cos C (tan A tan C -1)=1.(1)求B 的大小;(2)若b =3,求△ABC 的周长l 的最大值.【知识点:正弦定理,三角恒等变换,正弦函数的值域;数学思想:转化与化归】解:(1)由2cos A cos C (tan A tan C -1)=1,得2cos A cos C (sin A sin C cos A cos C -1)=1.∴2(sin A sin C -cos A cos C )=1,∴cos(A +C )=-12,∴cos B =12.又0<B <π,∴B =π3.(2)由正弦定理,得2R =b sin B =2,则a =2R sin A =2sin A ,c =2R sin C =2sin(2π3-A ),∴l =a +b +c =2sin A +2sin(2π3-A )+3=2sin A +3cos A +sin A + 3=3sin A +3cos A +3=23sin(A +π6)+ 3.∵A ∈[0,2π3],且A ≠π6,A ≠π2,∴当A =π3时,l max =3 3.故△ABC 的周长的最大值为3 3.。

新人教A版必修5高中数学1.1正弦定理和余弦定理学案

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高中数学 1.1 正弦定理和余弦定理学案新人教A 版必修5学习目标1. 进一步熟悉正、余弦定理内容;2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形. 学习重难点1. 重点:正、余弦定理内容2. 难点:已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时的讨论一、知识链接问题1:在解三角形时,已知三边求角,用 定理;已知两边和夹角,求第三边,用 定理;已知两角和一边,用 定理.问题2:在△ABC 中,已知 A =6π,a =252,b =502,解此三角形.二、试一试探究1:在△ABC 中,已知下列条件,解三角形.① A =6π,a =25,b =502;② A =6π,a =5063,b =502;③ A =6π,a =50,b=502.思考:解的个数情况为何会发生变化?探究2:用如下图示分析解的情况(A 为锐角时).babab a baa 已知边a,b 和∠A仅有一个解有两个解仅有一个解无解a ≥b CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinAAC B ACB1ABACB2CHHH试试:1. 用图示分析(A 为直角时)解的情况? 2.用图示分析(A 为钝角时)解的情况?※ 模仿练习例1. 在∆ABC 中,已知80a =,100b =,45A ∠=︒,试判断此三角形的解的情况.变式:在∆ABC 中,若1a =,12c =,40C ∠=︒,则符合题意的b 的值有_____个.例2. 在∆ABC 中,60A =︒,1b =,2c =,求sin sin sin a b cA B C++++的值.变式:在∆ABC 中,若55a =,16b =,且1sin 22032ab C =,求角C .三、总结提升 ※ 学习小结1. 已知三角形两边及其夹角(用余弦定理解决);2. 已知三角形三边问题(用余弦定理解决);3. 已知三角形两角和一边问题(用正弦定理解决);4. 已知三角形两边和其中一边的对角问题(既可用正弦定理,也可用余弦定理,可能有一解、两解和无解三种情况).※ 知识拓展在∆ABC 中,已知,,a b A ,讨论三角形解的情况 :①当A 为钝角或直角时,必须a b >才能有且只有一解;否则无解; ②当A 为锐角时,如果a ≥b ,那么只有一解; 如果a b <,那么可以分下面三种情况来讨论: (1)若sin a b A >,则有两解;(2)若sin a b A =,则只有一解;(3)若sin a b A <,则无解.当堂检测1. 已知a 、b 为△ABC 的边,A 、B 分别是a 、b 的对角,且sin 2sin 3A B =,则a bb +的值=( ). A. 13 B. 23 C. 43 D. 532. 已知在△ABC 中,sin A ∶sin B ∶sin C =3∶5∶7,那么这个三角形的最大角是( ). A .135° B .90° C .120° D .150°3. 如果将直角三角形三边增加同样的长度,则新三角形形状为( ). A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .由增加长度决定4. 在△ABC 中,sin A :sin B :sin C =4:5:6,则cos B = .5. 已知△ABC 中,cos cos b C c B =,试判断△ABC 的形状 .课后作业1. 在∆ABC中,a xcm=,2b cm=,45B∠=︒,如果利用正弦定理解三角形有两解,求x 的取值范围.2. 在∆ABC中,其三边分别为a、b、c,且满足2221sin24a b cab C+-=,求角C.课后反思。

新人教A版高中数学(必修5)1.1《正弦定理和余弦定理》

新人教A版高中数学(必修5)1.1《正弦定理和余弦定理》

数学5 第一章解三角形章节总体设计(一)课标要求本章的中心内容是如何解三角形,正弦定理和余弦定理是解三角形的工具,最后落实在解三角形的应用上。

通过本章学习,学生应当达到以下学习目标:(1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题。

(2)能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。

(二)编写意图与特色1.数学思想方法的重要性数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分,有利于学生加深数学知识的理解和掌握。

本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学,并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。

本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理,它们都是关于三角形的边角关系的结论。

在初中,学生已经学习了相关边角关系的定性的知识,就是“在任意三角形中有大边对大角,小边对小角”,“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。

教科书在引入正弦定理内容时,让学生从已有的几何知识出发,提出探究性问题:“在任意三角形中有大边对大角,小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”,在引入余弦定理内容时,提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法,这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题,也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。

”设置这些问题,都是为了加强数学思想方法的教学。

2.注意加强前后知识的联系加强与前后各章教学内容的联系,注意复习和应用已学内容,并为后续章节教学内容做好准备,能使整套教科书成为一个有机整体,提高教学效益,并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。

本章内容处理三角形中的边角关系,与初中学习的三角形的边与角的基本关系,已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。

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正弦定理與餘弦定理
重要例題:
1. 設ABC ∆中,6,4,30==︒=∠c b A ,求其面積。

2. 在ABC ∆中,︒=∠120ABC ,BD 為ABC ∠的分角線且交AC 於D 點,試
證:BD
BC BA 1
11=+。

若3=AB ,5=AC ,則=AD 。

類1. ABC ∆中,若︒=∠==120,8,6A AC AB ,則其面積為 。

類2. △ABC 中,5,2==BC AB ,面積為4,則=∠ABC cos 。

類3. 單位圓之內接正三角形面積為 。

類4. 若θ為四邊形ABCD 之對角線AC 與BD 的一個交角,試證:四邊形ABCD
面積=
θsin 2
1
⋅⋅⋅BD AC 。

類5. 凸四邊形ABCD 中,2=AB ,6=BC ,4=CD ,6=BD ,︒=∠60ABD ,
則四邊形的面積= 。

Ans: 1. 312,2. 5
3
±
,3. 433,4. 略,5. 2833+。

=2b ;=2c 。

5. 鈍角三角形的判別:三角形ABC 中,A ∠為鈍角若且唯若2
2
2
a c
b <+。

6. 海龍公式:設ABC ∆的三邊長為c b a ,,,2
c
b a s ++=
,則其面積為))()((c s b s a s s ---。

7. 投影定理:△ABC 中,b CA a BC c AB ===,,,則B c C b a cos cos +=,
=b ,=c 。

重要例題:
1. ABC ∆中,4,30,120=︒=∠︒=∠AC B C ,試解ABC ∆。

2. 設三角形兩邊長為10,6,夾角為
60,則第三邊長為 ,三角形面積
為 。

3. 在ABC ∆中,已知2,2==
b a ,13-=
c ,解此三角形。

4. 已知二邊與一角
120,10,310===B c b ,則ABC ∆之面積= 。

類1. 已知32=a ,6=
b , 105=
c ,試解ABC ∆。

類2. ABC ∆中,已知
45,60==B A ,其最短邊為2公尺,試求(1)其他二邊
的長為 ,(2)面積為 。

類3. 已知ABC ∆三邊長為2
1
3,1,22
-===
c b a ,求三內角。

Ans: 1. ︒=∠︒=∠+=30,45,33B A c ,2. (1)13,6+,(2)
2
3
3+,3. ︒=∠︒=∠︒=∠15,135,30C B A 。

5. △ABC 三邊長為c b a ,,,且02=+-c b a ,023=-+c b a ,則
(1)C B A sin :sin :sin = ; (2)
=+C
B
A sin sin sin ;(3) 最大
角為 ;(4) =C cos ;(5)若△ABC 周長為15,則其面積為 ;(6)△ABC 之外接圓面積為 ;(7)△ABC 內切圓面積為 。

類1. △ABC 中,︒=∠45A ,︒=∠30B ,3=c ,則△ABC 之外接圓半徑
為 。

類2. ABC ∆中,5:4:3::=C B A 且AB =1,則 (A)
45=A (B)
60=B
(C)
75=C (D)13-=
BC (E)12+=BC
類3. △ABC 中,︒=∠45A ,︒=∠30B ,三邊之和為323++
,則最長邊
為 。

類4. 在△ABC 中,已知1=BC ,B A sin sin <,且A sin 與B sin 為
013482=+-x x 的兩根,則△ABC 的外接圓半徑等於 (A)13-
(B)132- (C)13+ (D)23+ (E)132+。

(84.社)
類5. 半徑10的圓周上有三點C B A ,,,若5:4:3::=CA BC AB ,則△ABC
面積= 。

類6. △ABC 中,已知13:6:2::+=c b a ,則△ABC 為 △。

(銳
角、直角或鈍角)
類7. 設△ABC 的三邊分別為a BC =,b CA =,c AB =,若
5:6:7)(:)(:)(=+++b a a c c b ,則=A cos 。

類8. △ABC 中,若
C B A c b a sin sin sin )(3
2
-+=-+,則其外接圓之直徑為 。

類9. 設△ABC 中,2=AB ,31+=AC ,︒=∠30A ,則=BC 。

(84.自)
類10. △ABC 中,若︒=∠︒=∠60,45C B ,26+=
a ,則=
b ,
=c ,外接圓半徑= 。

類11. 設圓內接四邊形ABCD 中,2,45,30=︒=∠︒=∠CD ACB CAD ,求
=AB ?
類12. 若ab c b a c b a 3))((=-+++,則=∠C 。

Ans: 1.
2)26(3-,2. ABCD ,3. 13+,4. C ,5. 24,6. 銳角,7. 87

8. 2
3
,9. 2,10. 2,32,22===R c b ,11. 22, 12. ︒60 。

6. 圓內接四邊形ABCD ,a AD AB ==,︒=∠90C ,︒=∠105D ,則對角
線=AC ,BD = 。

類1. 圓的內接四邊形ABCD 中,已知5=AB ,3=BC ,2=CD ,︒=∠60B ,
則=AD ,ABCD 面積= 。

類2. 如右圖,30P P 為半圓的直徑,1P 、2P 為半圓
周上兩點。

令10P P a =,21P P b =,32P P c =,
30P P d =。

試證:d 為方程式02)(2223=-++-abc x c b a x 的一根。

(81.
自) Ans: 1. 3,4
3
21,2. 略。

7. 設ABC ∆中,5,4,6===BC AC AB ,若D 為BC 上異於C 之一點,
4=AD ,求=BD ?
8. 敘述並證明平行四邊形定理,並利用此定理敘述並證明三角形的中線定理。

類1. 在△ABC 中,6=AB ,5=BC ,4=CA ,若AD 為BC 邊之中線,AE
為A ∠之角平分線,則AD = ,AE = 。

類2. △ABC 中︒=∠60ABC ,ABC ∠的角平分線交AC 於D 。

已知6=AB ,
32=BD ,則(1)△ABD 的面積為 。

(2)線段AC 的長度為 。

(3)△ABC 的面積為 。

(85.社)
類3. 已知△ABC 三邊長分別為7=AB ,5=BC ,
3=AC ,延長BC 至D ,如右圖所示,使得2=CD ,則=AD 。

(86.社)
類4. ABC ∆中,7,6,5===CA BC AB ,D 內分BC
為2:1:=DC BD ,求=AD ? Ans: 1. 23,279,2. (1)33,(2)33,(3)2
39,3. 7,4. 5。

9. 若△ABC 之三邊c b a ,,所對應之高分別為,20=a h ,15=b h ,12=c h ,
則其最小內角的餘弦為 。

三邊長為 。

類1. 若△ABC 之三邊c b a ,,所對應之高分別為,6=a h ,4=b h ,3=c h ,
則其最小內角的餘弦為 。

Ans: 1. 8
7。

10. 設△ABC 滿足下列條件,試分別判別其形狀: (1) C B A 2
2
2
sin sin sin <+。

(2) 0cos cos cos =+-C c B b A a 。

(3) C B C B cos sin sin cos =。

A
B
D
C
類1. 在已知三角形ABC 中,三內角的正弦比=C B A sin :sin :sin 17:15:8,
則此三角形為銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形?
類2. 已知△ABC ,C B A 2
2
2
sin sin sin =+,則△ABC 為 △? 類3. 已知△ABC ,B b A a cos cos =,則△ABC 為 △? Ans: 1. 直角,2. 直角,3. 等腰。

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