高等数学第一章函数与极限试题 (2)
高等数学习题-第1章-函数与极限(精品文档)
高等数学第一章函数与极限一、选择题（共 191 小题）1、A下列函数中为奇函数的是； ；； 答（ ）()tan(sin )()cos()()cos(arctan )()A y x x B y x x C y x D y x x==+==--22422π2、A[][]下列函数中（其中表示不超过的最大整数），非周期函数的是； ；； 答（ ）x x A y x x B y x C y a bx D y x x ()sin cos ()sin ()cos ()=+==+=-π223、D关于函数的单调性的正确判断是当时，单调增；当时，单调减；当时，单调减；当时，单调增；当时，单调增；当时，单调增。
答（ ）y xA x y xB x y xC x y x x y xD x y x x y x=-≠=-≠=-<=->=-<=->=-1010101010101()()()()4、C答（ ） ；；； 的是下列函数中为非奇函数 7373)( 1arccos )()1lg()( 1212)(2222+--++=+=++=+-=x x x x y D xxx y C x x y B y A x x5、A函数 是奇函数； 偶函数；非奇非偶函数；奇偶性决定于的值 答（ ）f x a xa xa A B C D a ()ln()()()()()=-+>06、Bf x x e e A B C D x x ()()()()()()()=+-∞+∞-在其定义域，上是有界函数； 奇函数；偶函数； 周期函数。
答（ ） 7、D设，，，则此函数是周期函数； Ｂ单调减函数；奇函数 偶函数。
答（ ） f x x x x x A C D ()sin sin ()()();()=-≤≤-<≤⎧⎨⎪⎩⎪330ππ8、C设，，，则此函数是奇函数； 偶函数；有界函数； 周期函数。
答（ ）f x x x x x A B C D ()()()()()=--≤≤<≤⎧⎨⎪⎩⎪3330029、Bf x x A B C D ()(cos )()()()()()=-∞+∞333232在其定义域，上是最小正周期为的周期函数； 最小正周期为的周期函数；最小正周期为的周期函数； 非周期函数。
高等数学 第1章 函数与极限 练习册 解答(10月19修改)
时,就有
2. 极 限 l i m f (x ) A的 定 义 是 : 对 于 0 , 存 在 X 0 , 当 x
f x A .
时,就有
3. 对 于 任 意 的 正 数 , 存 在 正 数 =
，当
时 5x 2 12 , 因 此
lim (5x 2) 12.
x2
解答：
1、当 0 x x0 时； 2、 x X 时；
1.设
xn
n n
1 ,则当 1
n
大于 正整 数
N
时, | xn 1| 104 , 对于任意正数 ,
当 n 大于正整数 N
时,
|
xn
1|
,所以
lim
n
xn
1.
2. 对于任意正数 , 存在正整数 N
cos n
, 当 n N 时,
2 0 , 所以
n
cos n lim 2 0 . n n
3. 设 xn 为任一数列, 又设对于任意正数 , 存在正整数 N1, N2 , 当 n N1 时,
第 1 章 函数与极限
V.同步练习
第 1 章 函数、极限与连续
1.1 函数及其性质
一、填空题
1.已知 f x ax2 bx 5 且 f x 1 f x 8x 3 , 则 a
；b
；
2. y cos 2x 1 的周期为
；
3.
函数
f
(x)
sin
1 x
,
x
0;
的定义域为
； 值域为
.
解. 设圆锥的半径与高分别为r, h , 则 2 r R 2 , 即 r R 2 , 从而
2
h
R2 r2
高等数学第一章课后习题答案(带解析)
第一章函数与极限第一节映射与函数一、填空题1.函数ln(2)y x =+的定义域为[1,)(2,1]+∞-- .2.设函数2(1)f x x x +=+，则=)(x f x x -2.3.设函数()f x 的定义域为[0,1]，则(e )xf 的定义域为(,0]-∞.4.已知()sin f x x =,[]2()1f x x ϕ=-,则()x ϕ=2arcsin(1)x -,其定义域为5.设2,0,()e ,0,x x x f x x ⎧-≥=⎨<⎩()ln x x ϕ=，则复合函数[]()f x ϕ=2ln ,1,01x x x x ⎧-≥⎨<<⎩.6.设函数1,1,()0,1,x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则[]()f f x =1.7.函数(10)y x =-≤<二、单项选择题1.函数lnarcsin 23x xy x =+-的定义域为C .A．(,3)(3,2)-∞-- B.(0,3)C.[3,0)(2,3]- D.(,)-∞+∞2.设(1)f x -的定义域为[0,](0)a a >，则()f x 的定义域为B.A.[1,1]a +B.[1,1]a -- C.[1,1]a a -+ D.[1,1]a a -+3.函数11x y x -=+的反函数是D .A.11x y x -=+ B.11xy x-=+ C.11x y x +=- D.11x y x+=-4.设()f x 为奇函数，()x ϕ为偶函数，且[()]f x ϕ有意义，则[()]f x ϕ为B.A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.以上均不正确三、解答题1.判断函数(ln y x =+的奇偶性，并求其反函数.解：因为()ln(ln(()f x x x f x -=-==-=-，所以()f x 是奇函数.由e yx =，e yx --=，得e e 2y y x --=，所以反函数为e e 2x xy --=2.设)(x f 满足c b a xcx bf x af ,,()1()(=-+均为常数，且)b a ≠,求)(x f .解：x cx bf x af =-+)1()()1(令t x =-1,则t x -=1,故t c t bf t af -=+-1)()1(.xcx bf x af -=+-∴1)()1(.(2)联立(1),(2)得到1(1)(22xbcx ac b a x f ---=.四、证明2()1xf x x =+在其定义域内有界.证明：,x R ∀∈取12M =,使得21()122x x f x M x x =≤==+，所以()f x 在其定义域R 内有界.第二节数列的极限一、单项选择题1.数列极限lim n n y A →∞=的几何意义是D .A．在点A 的某一邻域内部含有{}n y 中的无穷多个点B.在点A 的某一邻域外部含有{}n y 中的无穷多个点C.在点A 的任何一个邻域外部含有{}n y 中的无穷多个点D.在点A 的任何一个邻域外部至多含有{}n y 中的有限多个点nn n 632-∞→A.65-B.31 C.35 D.13.数列有界是数列收敛的C条件.A.充分B.充要C.必要D.两者没有关系二、利用数列极限的定义证明:1cos lim0n nn→∞+=.证明：对0ε∀>，要使1cos 1cos 20n n n n nε++-=≤<，只需2n ε>.0ε∀>,取2N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则当n N >时，就有1cos 0n n ε+-<成立，所以1cos lim0n nn→∞+=.第三节函数的极限一、单项选择题1.=+→x x x 1lim2A.A.32 B.1C.21 D.2.若函数()f x 在某点0x 极限存在，则C.A.()f x 在点0x 的函数值必存在且等于该点极限值B.()f x 在点0x 的函数值必存在,但不一定等于该点极限值C.()f x 在点0x 的函数值可以不存在D.若()f x 在点0x 的函数值存在，必等于该点极限值∞→32x x A.1B.21 C.0D.不存在4.极限0limx x x→=D .A.1B.1- C.0D.不存在二、利用函数极限的定义证明:236lim 53x x x x →--=-.证明：0ε∀>，要使26533x x x x ε---=-<-，只需取δε=，则当03x δ<-<时，就有26533x x x x ε---=-<-成立,所以236lim 53x x x x →--=-.第四节无穷小与无穷大一、单项选择题1.下列命题正确的是C.A.无穷小量的倒数是无穷大量B.无穷小量是绝对值很小很小的数C.无穷小量是以零为极限的变量D.无界变量一定是无穷大量2.下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是C.A.1sin(0)x x→ B.1e (0)xx →C.2ln(1)(0)x x +→ D.21(1)1x x x -→-3.下列命题正确的是D.A.两个无穷小的商仍然是无穷小B.两个无穷大的商仍然是无穷大C.112--x x 是1→x 时的无穷小D.1-x 是1→x 时的无穷小4.(附加题)设数列{}n x 与{}n y 满足lim 0n n n x y →∞=，则下列命题正确的是B.A.若{}n x 发散，则{}n y 发散B.若1n x ⎧⎫⎨⎩⎭为无穷小，则{}n y 必为无穷小C.若{}n x 无界，则{}n y 必有界 D.若{}n x 有界，则{}n y 必为无穷小提示：已知n n x y 为无穷小，当1n x 为无穷小时，必有1()n n n ny x y x =⋅为无穷小；否A，例n x n =发散，21n y n=收敛；否C，例1(1),1(1)n n n n x n y n ⎡⎤⎡⎤=+-⋅=--⋅⎣⎦⎣⎦均无界；否D，例21n x n=有界，n y n =非无穷小.第五节极限运算法则一、填空题1.21lim2x x x x →+=++12. 2.121lim1x x x →+=-∞.3.22121lim1x x x x →-+=-0.4.212lim3n n n →∞+++=+ 12.5.若232lim43x x x kx →-+=-，则常数k =3-.提示：由已知，得23lim(2)0x x x k →-+=，3k ∴=-.6.设213lim 112x a x x x →⎛⎫-=⎪--⎝⎭，则常数a =2.提示：由已知，222113lim ,lim()012x x a x x a x x x →→--=∴--=-，从而2a =.7.e 1lim e 1n nn →∞-=+1.提示：11e 1e lim lim 11e 11en n n n n n→∞→∞--==++8.=-+++∞→)2324(lim 2x x x x 21.9.11021lim 21xx x-→-=+-1，1121lim 21xx x+→-=+1，所以11021lim21xx x →-+不存在.提示：11lim 20,lim 2x xx x -+→→==+∞10.已知21sin ,0()1,0x x x f x x x ⎧<⎪⎪=>⎪⎩,则0lim ()x f x →=0.二、计算题1.220()lim h x h x h→+-解：1.2222220000()22limlim lim lim(2)2h h h h x h x x xh h x xh h x h x h h h →→→→+-++-+===+=.2.231lim (2sin )x x x x x→∞-++解：因为2332111lim lim 011x x x x x x x x→∞→∞--==++，而2sin x +为有界函数，所以根据无穷小量与有界函数的乘积仍为无穷小量，知231lim (2sin )0x x x x x→∞-+=+.3.322232lim 6x x x x x x →-++--解：32222232(1)(2)(1)2lim lim lim 6(3)(2)35x x x x x x x x x x x x x x x x →-→-→-+++++===----+-.4.21lim1x x →-解：211lim1x x x →→=-1x →=14x →=.5.lim x →+∞解：lim x →+∞=limxlimlimx x ==1=-.6.求)1111(lim 31xx x ---→.解：原式32112lim x x x x --+=→)1)(1()2)(1(lim21x x x x x x ++-+-=→112lim21-=+++-=→x x x x .第六节极限存在准则两个重要极限一、填空题1.0sin lim x x x →=1；sin lim x xx→∞=0.提示：0sin lim1x x x →=；sin 1lim lim sin 0x x x x x x →∞→∞=⋅=.2.0sin limsin x x x x x →-=+0；sin lim sin x x xx x→∞-=+1.提示：00sin 1sin lim lim 0sin sin 1x x x x x x x x x x →→--==++；11sin sin lim lim 11sin 1sin x x xx x x x x xx→∞→∞-⋅-==++⋅.3.1lim 1kxx x →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭e k-（k 为正整数）.提示：.()11lim 1lim 1e kxx k k x x x x ---→∞→∞⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.4.10lim 12xx x →⎛⎫-= ⎪⎝⎭12e-.提示：11221200lim 1lim 1e22xxx x x x ---→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.二、计算题1.30tan sin limx x xx →-解：3200tan sin sin 1cos lim lim cos x x x x x x x x x x →→--=⋅2220002sin sinsin 1122lim lim lim 222x x x x x x x x x →→→⎛⎫ ⎪=⋅== ⎪ ⎪⎝⎭. 2.011limsin x x→解：000011limlim lim lim sin sin sin 2x x x x x x x x x →→→→-=⋅.3.0x →解：原式2220002sin 1sin cos 1cos 2lim 6lim 6lim 311cos sin 32x x x x x x x x x x x x x →→→---====-⋅.4.lim n →∞⎛⎫+解：<++<，又1,1n n n n ====，所以根据夹逼准则知，lim 1n →∞⎛⎫+++=⎪⎭.第七节无穷小的比较一、填空题1.当0x →时，sin 3x 是2x 的低阶无穷小；2sin x x +是x 的等价（或同阶）无穷小；1cos sin x x -+是2x 的低阶无穷小；cos 1x -是2arcsin x 的同阶无穷小；1(1)1nx +-是x n的等价（或同阶）无穷小；32x x -是22x x -的高阶无穷小.提示：222000sin 32sin 1cos sin lim,lim 2,lim,x x x xx x x xx xx →→→+-+=∞==∞13222000cos 11(1)1lim ,lim 1,lim 0arcsin 22nx x x x x x x x x x x n→→→-+--=-==-.2.已知0x →时，()12311ax+-与cos 1x -为等价无穷小，则常数a =32-.提示：12230021(1)1233lim lim 1,1cos 1322x x axax a a x x →→+-==-==---.二、计算题1．21tan 1limx x x →-解：2000tan 1tan 1122lim lim lim 2x x x x xx x x x →→→--===--.2.2220(sec 1)lim3sin x x x x →-解：22222222240002(sec 1)(1cos )1lim lim lim3sin 3cos 312x x x x x x x x x x x x →→→⎛⎫ ⎪--⎝⎭===⋅⋅.3.0tan 2tan lim3sin sin 2x x x x x→--解：000sin 2sin sin tan 2tan cos 2cos cos 2cos lim lim lim 13sin sin 23sin sin 2sin (32cos )x x x x x xx xx x x x x x x x x x →→→--⋅===---.4.20sin cos 1limsin 3x x x x x →+--解：200sin cos 11limlim sin 333x x x x x x x x →→+-==-.第八节函数的连续性与间断点一、填空题1.设2,0()sin ,0a bx x f x bx x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在0x =处连续，则常数,a b 应满足的关系为a b =.提示：()2(0)lim (0)x f a bxa f --→=+==，0sin (0)lim x bxf b x-+→==.2.设0()1,0ln(1),0x f x x bx x x <=-=⎨⎪+⎪->⎪⎩在0x =处连续，则常数a =22，b =1.提示：0(0)lim lim lim x x x axf x ----→→→===，(0)1f =-，00ln(1)(0)lim lim x x bx bxf b x x--+→→+=-=-=-.3.()sin xf x x=的可去间断点为0x =；221()32x f x x x -=-+的无穷间断点为2x =.4.若函数e ()(1)x af x x x -=-有无穷间断点0x =及可去间断点1x =，则常数a =e .提示：由已知，1e lim (1)x x a x x →--存在，所以1lim(e )0xx a →-=，从而e a =.二、单项选择题1.0x =是1()sin f x x x=的A .A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.振荡间断点提示：01lim ()lim sin0x x f x x x→→==2.函数21,0(),012,12x x f x x x x x ⎧-<⎪=≤≤⎨⎪-<≤⎩D.A.在0,1x x ==处都间断B.在0,1x x ==处都连续C.在0x =处连续，1x =处间断D.在0x =处间断，1x =处连续提示：(0)1,(0)0(0)f f f -+=-==；(1)(1)1,(1)1f f f -+===.3.设函数42,0(),0x f x xk x ≠=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则k =B .A.4B.14C.2D.12提示：021lim ()limlim ,(0)4x x x f x f k x →→→===.4.函数111122,0()221,0x x x x x f x x --⎧-⎪≠⎪=⎨+⎪=⎪⎩在0x =处B .A.左连续B.右连续C.左右均不连续D.连续提示：110lim 20,lim 2xxx x -+→→==+∞，从而(0)1(0),(0)1(0)f f f f -+=-≠==.三、讨论函数11e ,0()ln(1),10x x f x x x -⎧⎪>=⎨⎪+-<≤⎩在0x =处的连续性.解：111(0)lim ln(1)0(0),(0)lim ee x x xf x f f -+-+--→→=+====，所以()f x 在0x =处不连续，且0x =是第一类跳跃型间断点.四、若2,0()0e (sin cos ),x x a xf x x x x +≤⎧=⎨>+⎩在-∞(，)∞+内连续，求a .解：由于)(x f 在0=x 处连续,所以)0()0()0(f f f ==-+.(0)lim ()lim e (sin cos )1x x x f f x x x +++→→==+=,a a x x f f x x =+==--→→-)2(lim )(lim )0(0,a f =)0(.故1=a .五、设()f x 在(,)-∞+∞内有定义，且lim ()x f x a →∞=，1,0()0,0f x g x x x ⎧⎛⎫≠⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪=⎩.试讨论()g x 在0x =处的连续性.解：()0011lim ()lim lim 令x x t t x g x f f t a x →→→∞=⎛⎫== ⎪⎝⎭，(0)0g =，所以当0a =时，()g x 在0x =处连续，当0a ≠时，()g x 在0x =处间断.第九节连续函数的运算与初等函数的连续性一、填空题1.设,0()1,0a x x f x x x +≤⎧=>⎩在(,)-∞+∞内连续，则常数a =12.2.设22,1()1,1x bx x f x x a x ⎧++≠⎪=-⎨⎪=⎩在(,)-∞+∞处连续，则常数a =1，b =-3.提示：由题意知，1lim ()(1)x f x f a →==，则212lim1x x bx a x→++=-21lim(2)0x x bx →∴++=，则3b =-，进而1a =.3.211lim cos1x x x →-=-cos 2. 4.()2cot 2lim 1tan xx x→+=e .5.21lim 1xx x x →∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭4e-.提示：41122412lim lim 1e 11xx x xx x x x x -++--→∞→∞⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-= ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦.6.已知lim 82xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则常数a =ln 2.提示：332233lim lim 1e 822x a x x axx a x aax a a x a x a →∞→∞--⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+== ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以3ln 8,ln 2a a ==.7.203sin (1)cos lim (1cos )x x x x x →++=+12.8.0x →=12.提示：原式limx→=0x →=22012limsin 222x x x x x →⋅==⋅.9．函数21()23f x x x =--的连续区间是(,1),(1,3),(3,)-∞--+∞．二、单项选择题1.当1→x 时,函数1211e 1x x x ---的极限等于D .A.2B.0C.∞D.不存在但不为∞2.设()f x 在2x =连续，(2)3f =，则2214lim ()24x f x x x →⎛⎫-=⎪--⎝⎭D .A.0B.2C.3D.34提示：22222142113lim ()lim ()lim ()(2)244244x x x x f x f x f x f x x x x →→→-⎛⎫-====⎪---+⎝⎭.三、讨论11()1exxf x -=-的连续性，若有间断点，指出其类型.解：()f x 为初等函数，故在其定义区间(,0),(0,1),(1,)-∞+∞内均连续，在其无定义点0,1x x ==间断.据011lim ()lim1ex x x xf x →→-==∞-，知0x =为第二类无穷间断点；据11111111lim ()lim 0,lim ()lim 11e1exx x x x x xxf x f x --++→→→→--====--，知1x =为第一类跳跃间断点.第十节闭区间上连续函数的性质一、单项选择题1.方程sin 2x x +=有实根的区间为A.A.π,32⎛⎫⎪⎝⎭B.π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭C.ππ,64⎛⎫⎪⎝⎭D.ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭提示：令()sin 2f x x x =+-，分别在各个对应的闭区间上验证零点定理是否成立即可.2.方程(1)(2)(3)(1)(2)(4)(1)(3)(4)x x x x x x x x x ---+---+---(2)(3)(4)0x x x +---=有D 个实根.A.0B.1C.2D.3提示：令()(1)(2)(3)(1)(2)(4)(1)(3)(4)f x x x x x x x x x x =---+---+---(2)(3)(4)x x x +---，又(1)0,(2)0,(3)0,(4)0f f f f <><>，则由零点定理知，方程在(1,2),(2,3),(3,4)分别至少存在一个根；又()f x 是三次多项式，则方程至多有三个根，综上可知方程恰好有三个根.二、证明题1.证明方程e 2xx -=在区间(0,2)内至少有一实根.证明：令()e 2xf x x =--，则()f x 在[0,2]上连续，且2(0)10,(2)e 40f f =-<=->，根据零点定理，至少存在一点(0,2)ξ∈，使()0f ξ=，所以方程()0f x =，即e 2xx -=在区间(0,2)内至少有一实根.2.设()f x 在[,]a b 上连续，且(),()f a a f b b <>.证明至少存在一点(,)a b ξ∈，使()f ξξ=.证明：令()()F x f x x =-，则()F x 在[,]a b 上连续，且()()0F a f a a =-<，()()0F b f b b =->，根据零点定理，至少存在一点(,)a b ξ∈，使()0F ξ=，即()f ξξ=.3.附加题设()f x 在[,)a +∞上连续，lim ()0x f x →+∞=.证明()f x 在[,)a +∞上有界.证明：由lim ()0x f x →+∞=，对10,X a ε=>∃>，当x X >时，有()()01f x f x ε=-<=，即()f x 在(,)X +∞上有界；又()f x 在[,]a X 上连续，故()f x 在[,]a X 上有界，所以存在10,M >使[]1(),,f x M x a X ≤∀∈，取{}1max 1,M M =，则对[],x a ∀∈+∞()f x M <，即()f x 在[,)a +∞上有界.第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.()03limsin tan ln 12x x x x →=-+14-.提示：()20003331lim lim lim 4sin tan tan (cos 1)222ln 12x x x xx x x x x x x x →→→-⋅===---+.2.2131lim2x x x →-=+-26-.提示：21lim26x x x x →→==-+-.3.已知212lim31x x ax bx →-++=+，其中b a ,为常数，则a =7，b =5.4.若()2sin 2e 1,0,0ax x x f x xa x ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在()+∞∞-,上连续，则a =-2.提示：由题意知，20sin 2e 1lim ax x x x →+-20sin 2e 1lim 22ax x x a a x x →⎛⎫-=+=+= ⎪⎝⎭，从而2a =-.5.曲线21()43x f x x x -=-+的水平渐近线是0y =，铅直渐近线是3x =.二、单项选择题（每小题3分，共18分）1.“对任意给定的()1,0∈ε，总存在整数N ，当N n ≥时，恒有ε2≤-a x n ”是数列{}n x 收敛于a 的C.A.充分条件但非必要条件B.必要条件但非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件2.设()2,02,0x x g x x x -≤⎧=⎨+>⎩，()2,0,0x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩则()g f x =⎡⎤⎣⎦D .A.22,02,0x x x x ⎧+<⎨-≥⎩ B.22,02,0x x x x ⎧-<⎨+≥⎩ C.22,02,0x x x x ⎧-<⎨-≥⎩ D.22,02,0x x x x ⎧+<⎨+≥⎩3.下列各式中正确的是D.A．01lim 1exx x +→⎛⎫-= ⎪⎝⎭B.01lim 1e xx x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭C.1lim 1e xx x →∞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭D.11lim 1e xx x --→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭4.设0→x 时，tan e 1x-与n x 是等价无穷小，则正整数n =A.A.1B.2C.3D.4提示：由题意知，当0→x 时，tan e 1tan xx x - 从而n 取1.5.曲线221e 1ex x y --+=-D .A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线又有铅直渐近线6．下列函数在给定区间上无界的是C.A.1sin ,(0,1]x x x ∈ B.1sin ,(0,)x x x∈+∞C.11sin ,(0,1]x x x∈ D.1sin ,(0,)x x x∈+∞三、计算题（每小题7分，共49分）1.2x →解：2222(1)(2)(413)(1)(413)9limlim 4(2)42x x x x x x x →→→+-+===-.2.()21ln(1)lim cos x x x +→解：()()2211ln(1)ln(1)0limcos lim 1cos 1x x x x x x ++→→=+-222001cos 112limlim ln(1)2eeex x x x x x →→---+===.3.()1lim123nnnn →∞++解：()1312333,31233n n n nnnn<++<⋅∴<++<⋅Q1n =，()1lim 1233nnnn →∞∴++=.4．21sinlimx x x解：2111sinsin sinlim lim limlim 112x x x x x x x x x x→+∞→+∞→+∞→+∞=⋅⋅.5.设函数()()1,0≠>=a a a x f x ，求()()()21lim ln 12n f f f n n →∞⎡⎤⎣⎦ .解：()()()()()()22ln 1ln 2ln 1limln 12lim n n f f f n f f f n n n →∞→∞+++=⎡⎤⎣⎦L L ()()222ln 12ln ln limlim22n n n n a n aan n →∞→∞++++===L .6.1402e sin lim 1e xx x x x →⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭解：1144002e sin 2e sin 2lim lim 1111e 1e x x x x x x x x x x --→→⎛⎫⎛⎫++ ⎪ +=-=-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，11114444000e 2e 12e sin 2e sin sin lim lim lim 1e 1e e e 1x x x xx x x x x x x x x x x x x +++-→→→-⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪++⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪++ ⎪+⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭301lim 1e xx +-→=+=，所以，原式1=.7.已知(lim 1x x →-∞=，求,.a b解：左边22(1)lim limlim x x x x a x b x →-∞→-∞⎡⎤--+⎢==，右边1=，故[]lim (1)1x a x b →-∞--=+，则1,2a b ==-．四、讨论函数,0()(0,0,1,1)0,0x xa b x f x a b a b x x ⎧-≠⎪=>>≠≠⎨⎪=⎩在0x =处的连续性，若不连续，指出该间断点的类型.（本题8分）解：当a b =时，()0f x ≡，此时()f x 在0x =处连续；当a b ≠时，000011lim ()lim lim lim ln (0)0x x x x x x x x a b a b af x f x x x b→→→→---==-=≠=，故()f x 在0x =处不连续，所以0x =为()f x 得第一类（可去）间断点．五、附加题设()f x 在[0,1]上连续，且(0)(1)f f =.证明：一定存在一点10,2ξ⎡⎤∈⎢⎣⎦，使得1()2f f ξξ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（本题7分）证明：设1()()2F x f x f x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，显然()F x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续，而1(0)(0)2F f f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()()11110222F f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，211(0)(0)022F F f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--≤ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，若1(0)02F F ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即(0)0F =或102F ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，此时取0ξ=或12ξ=即可；若1(0)02F F ⎛⎫< ⎪⎝⎭时，由零点定理知：一定存在一点10,2ξ⎡⎤∈⎢⎣⎦，使()0Fξ=，即1()2f fξξ⎛⎫=+⎪⎝⎭．。
高等数学题库第01章(函数,极限,连续).
第一章函数、极限、连续习题一一．选择题1．下列各组中的函数f(x)与g(x)表示同一个函数的是（） A.f(x)=x,g(x)=x2B.f(x)=2lgx,g(x)=lgx2 x,g(x)=x2C.f(x)=xD.f(x)=x,g(x)=-x2.函数y=4-x+sinx的定义域是( )A.[0,1]B.[0,1)(1,4]C.[0,+∞)D.[0,4]3.下列函数中,定义域为(-∞,+∞)的有( ) A.y=x-1323 B.y=x2 C. y=x3 D.y=x-24.函数y=x2-1单调增且有界的区间是( )A. [-1,1]B. [0,+∞)C. [1,+∞)D. [1,2]5.设y=f(x)=1+logx+32,则y=f-(x)=( )A.2x+3B. 2x-1-3C. 2x+1-3D. 2x-1+36.设f(x)=ax7+bx3+cx-1,其中a,b,c是常数,若f(-2)=2，则f(2)=(A.-4B.-2C.-3D.6二．填空题1．f(x)=3-xx+2的定义域是2．设f(x)的定义域是[0,3]，则f(lnx)的定义域是。
3．设f(2x)=x+1，且f(a)=4，则a= 。
4．设f(x+11x)=x2+x2，则f(x)5．y=arcsin1-x2的反函数是。
6．函数y=cos2πx-sin2πx的周期T。
)⎧π⎪sinx,x<17．设f(x)=⎨则f(-)=。
4⎪⎩0,x≥12⎧⎧1,x≤12-x,x≤1⎪⎪8．设f(x)=⎨，g(x)=⎨，当x>1时，g[f(x)]= 。
x>1x>1⎪⎪⎩0⎩29．设f(x)=ax3-bsinx，若f(-3)=3，则f(3)=。
10．设f(x)=2x，g(x)=x2，则f[g(x)]=。
三.求下列极限 x3-1x2-91.lim2 2.lim x→1x-1x→3x-33.limx→52x-1-3+2x2-14. lim x→0xx-5x2-3x+2x+2-35.lim 6. lim3x→1x→1x-xx+1-27.limx→1x+4-2-x-+x 8. lim2x→0sin3xx-1sinx2-49. lim2 x→2x+x-6()习题二1.下列数列中,发散的是( ) 1π2n-11+(-1)n(-1)nA.xn=sinB.xn=5+C.xn=D.xn= nn3n+22n22设limf(x)=A(A为常数),则在点x0处f(x)( ) x→x0A. 一定有定义且f(x0)=AB.有定义但f(x0)可为不等于A的值B. 不能有定义 D.可以有定义,也可以没有定义f(x)=limf(x)是limf(x)存在的( ) 3.lim+-x→x0x→0x→x0A.充分必要条件B. 充分而非必要条件C. 必要而非充分条件D. 既非充分也非必要条件4．limh→0x+h-x=（） hA．0 B.12x C.2x D.不存在x3(1+a)+1+bx2=-1则a,b的值为( ) 5.若limx→∞x2+1A.a=-1,b=-1B. a=1,b=-1C. a=-1,b=1D. a=1,b=16.设limf(x)=A，limg(x)=B，且A>B，则当x充分接近xo时,必有( ) x→x0x→x0A.f(x)≥g(x)B. f(x)>g(x)C. f(x)≤g(x)D. f(x)<g(x)7.数列{xn}有界是收敛的( )A.充分必要条件B. 必要而非充分条件C.充分而非必要条件D.既非充分也非必要条件8.设f(x)=1-x,g(x)=1-x,当x→1时,( )A.f(x)是比g(x)较高阶的无穷小量B. f(x)是比g(x)较低阶的无穷小量C.f(x)与g(x)同阶无穷小量D. f(x)与g(x)等价无穷小量9.当x→0时，为无穷小量的是（）-1A．lnsinx B.sin C.cotx D.ex x1⎧n,n为奇数⎪10.设数列xn=⎨1,则{xn}是( ) ,n为偶数⎪⎩nA.无穷大量B. 无穷小量C.有界变量D. 无界变量二．填空题lnx= 。
第一章函数与极限 (2)
高等数学教学备课系统与《高等数学多媒体教学系统（经济类）》配套使用教师姓名：________________________教学班级：________________________2005年9月1至2006年1月10微积分是近代数学中最伟大的成就,对它的重要性无论做怎样的估计都不会过分.冯. 诺伊曼注：冯. 诺依曼（John von Neumann，1903-1957，匈牙利人），20世纪最杰出的数学家之一，在纯粹数学、应用数学、计算数学等许多分支，从集合论、数学基础到量子理论与算子理论等作多方面，他都作出了重要贡献. 他与经济学家合著的《博弈论与经济行为》奠定了对策论的基础，他发明的“流程图”沟通了数学语言与计算机语言，制造了第一台计算机，被人称为“计算机之父”.第一章函数、极限与连续函数是现代数学的基本概念之一，是高等数学的主要研究对象. 极限概念是微积分的理论基础，极限方法是微积分的基本分析方法，因此，掌握、运用好极限方法是学好微积分的关键. 连续是函数的一个重要性态. 本章将介绍函数、极限与连续的基本知识和有关的基本方法，为今后的学习打下必要的基础.第一节函数概念在现实世界中，一切事物都在一定的空间中运动着. 17世纪初，数学首先从对运动（如天文、航海问题等）的研究中引出了函数这个基本概念. 在那以后的二百多年里，这个概念在几乎所有的科学研究工作中占据了中心位置.本节将介绍函数的概念、函数关系的构建与函数的特性.内容分布图示★集合的概念★集合的运算★区间★例1 ★邻域★函数概念★例2 ★例3 ★例4★例5 ★例6★函数的表示法★分段函数举例★例7★函数关系的建立★例8 ★例9函数的特性★有界性★例10 ★单调性★例11★奇偶性★例12 ★例13★周期性★例14 ★例15★内容小结★课堂练习★ 习题 1- 1★ 返回内容要点：一、 集合：集合的概念；集合的表示；集合之间的关系；集合的基本运算；区间；邻域；二、 函数的概念：函数是描述变量间相互依赖关系的一种数学模型. 函数的定义、函数的图形、函数的表示法三、 函数关系的建立：为解决实际应用问题, 首先要将该问题量化, 从而建立起该问题的数学模型, 即建立函数关系；四、 函数特性：函数的有界性；函数的单调性；函数的奇偶性；函数的周期性.例题选讲：函数举例例1 解下列不等式, 并将其解用区间表示.(1) ;312<-x (2) ;323≥+x (3) ().9102<-<x例2 函数2=y . 定义域),(+∞-∞=D , 值域{}.2=f R例3（讲义例1） 绝对值函数 ⎩⎨⎧<-≥==0,0,||x x x x x y 例4判断下面函数是否相同, 并说明理由.(1) 1=y 与;cos sin 22x x y +=(2) 12+=x y 与12+=y x . 例5求函数 2112++-=x xy 的定义域. 例6 求函数()()245sin 3lg x x x x x f -++-=的定义域. 例7 设(),21,210,1⎩⎨⎧≤<-≤≤=x x x f 求函数()3+x f 的定义域. 例8（讲义例4）某工厂生产某型号车床, 年产量为a 台, 分若干批进行生产, 每批生产准备费为b 元, 设产品均匀投入市场, 且上一批用完后立即生产下一批, 即平均库存量为批量的一半. 设每年每台库存费为c 元. 显然, 生产批量大则库存费高; 生产批量少则批数增多, 因而生产准备费高. 为了选择最优批量, 试求出一年中库存费与生产准备费的和与批量的函数关系.例9（讲义例5）某运输公司规定货物的吨公里运价为: 在a 公里以内,每公里k 元, 超过部分公里为k 54元. 求运价m 和里程s 之间的函数关系. 例10 证明(1)（讲义例6）函数 12+=x x y 在),(+∞-∞上是有界的; (2) 函数21xy =在()1,0上是无界的.例11（讲义例7）证明函数xx y +=1在),1(∞+-内是单调增加的函数. 例12（讲义例8）判断函数)1ln(2x x y ++=的奇偶性.例13 判断函数()()1111ln 11<<-+-+-=x xx e e x f x x 的奇偶性. 例14（讲义例9）设函数)(x f 是周期T 的周期函数，试求函数)(b ax f +的周期，其中b a ,为常数，且0>a .例15 若)(x f 对其定义域上的一切, 恒有),2()(x a f x f -=则称)(x f 对称于.a x =证明: 若)(x f 对称于a x =及),(b a b x <= 则)(x f 是以)(2a b T -=为周期的周期函数.例6（讲义例2）符号函数 ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0,1,0,0,0,1sgn x x x x y 例3（讲义例3）取整函数 ],[x y = 其中，][x 表示不超过x 的最大整数.函数的有界性：函数的增减性：函数的奇偶性：函数的周期性：课堂练习1. 用分段函数表示函数 .|1|3--=x y2. 判别函数⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥+=0,0,)(22x x x x x x x f 的奇偶性.3.设b a ,为两个函数, 且b a <. 对于任意实数x , 函数()x f 满足条件:()(),x a f x a f +=- 及()()x b f x b f +=-证明: ()x f 以()a b T -=2周期.第二节 初等函数内容分布图示★ 反函数 ★ 例1 ★ 例2★ 复合函数 ★ 例3-4 ★ 例5★ 例6 ★ 例7 ★ 例8★ 幂函数、指数函数与对数函数★ 三角函数 ★ 反三角函数★ 初等函数 ★ 函数图形的迭加与变换★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题1-2 ★ 返回内容要点：一、 反函数：反函数的概念；函数存在反函数的条件；在同一个坐标平面内, 直接函数)(x f y =和反函数)(x y ϕ=的图形关于直线x y =是对称的.二、 基本初等函数：幂函数；指数函数；对数函数；三角函数；反三角函数.三、 复合函数的概念四、初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数. 初等函数的基本特征: 在函数有定义的区间内初等函数的图形是不间断的.例题选讲：求反函数例1（讲义例1）求函数x x y 411411+++-=的反函数.例2 已知 x x x x x sgn ,0,10,00,1sgn ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=为符号函数,求()x x y sgn 12+=的反函数.函数的复合例3（讲义例2）设 u u f y sin )(==，1)(2+==x x u ϕ，求)]([x f ϕ.例4 （讲义例3） 设 u u f y arctan )(==，t t u 1)(==ϕ，)(x t φ=12-=x ，求 )]}([{x f φϕ. 例5 设(),1+=x x f (),2x x =ϕ 求()[]x f ϕ及()[],x f ϕ 并求它们的定义域.例6（讲义例4）将下列函数分解成基本初等函数的复合. (1) ;sin ln 2x y =(2) ;2arctan x e y = (3) ).12ln(cos 22x y ++=例7（讲义例5）设,0,10,2)(,1,1,)(2⎩⎨⎧≥-<+=⎩⎨⎧≥<=x x x x x x x x e x f x ϕ 求)].([x f ϕ例8 设 ,1122x x x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+求().x f课堂练习1．下列函数能否复合为函数)]([x g f y =若能, 写出其解析式、定义域、值域..1sin )(,ln )()2(;)(,)()1(2-====-====x x g u u u f y x x x g u u u f y2．分析函数 32cos arctan x e y =的复合结构.第三节 常用经济函数用数学方法解决实际问题，首先要构建该问题的数学模型，即找出该问题的函数关系. 本节将介绍几种常用的经济函数.内容分布图示★ 单利与复利 ★ 例1★ 多次付息 ★ 贴现 ★ 例2★ 需求函数 ★ 供给函数★ 市场均衡 ★ 例3 ★ 例4★ 成本函数 ★ 例5★ 收入函数与利润函数 ★ 例6★ 例7 ★ 例8 ★ 例9★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题1-3 ★ 返回内容要点：一、单利与复利利息是指借款者向贷款者支付的报酬, 它是根据本金的数额按一定比例计算出来的. 利息又有存款利息、贷款利息、债券利息、贴现利息等几种主要形式.单利计算公式设初始本金为p (元), 银行年利率为r . 则第一年末本利和为 )1(1r p rp p s +=+=第二年末本利和为 )21()1(2r p rp r p s +=++=……第n 年末的本利和为 )1(nr p s n +=.复利计算公式设初始本金为p (元), 银行年利率为r . 则第一年末本利和为 )1(1r p rp p s +=+=第二年末本利和为 22)1()1()1(r p r rp r p s +=+++=……第n 年末的本利和为 .)1(n n r p s +=二、多次付息单利付息情形因每次的利息都不计入本金, 故若一年分n 次付息, 则年末的本利和为)1(1r p n r n p s +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 即年末的本利和与支付利息的次数无关.复利付息情形因每次支付的利息都记入本金, 故年末的本利和与支付利息的次数是有关系的.设初始本金为p (元),年利率为r , 若一年分m 次付息, 则一年末的本利和为mm r p s ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1 易见本利和是随付息次数m 的增大而增加的.而第n 年末的本利和为 mnn m r p s ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1. 三、 贴现票据的持有人, 为在票据到期以前获得资金, 从票面金额中扣除未到期期间的利息后, 得到所余金额的现金称为贴现.钱存在银行里可以获得利息, 如果不考虑贬值因素, 那么若干年后的本利和就高于本金. 如果考虑贬值的因素, 则在若干年后使用的未来值(相当于本利和)就有一个较低的现值.考虑更一般的问题: 确定第n 年后价值为R 元钱的现值.假设在这n 年之间复利年利率r 不变.利用复利计算公式有 n r p R )1(+=,得到第n 年后价值为R 元钱的现值为nr R p )1(+=,式中R 表示第n 年后到期的票据金额, r 表示贴现率, 而p 表示现在进行票据转让时银行付给的贴现金额.若票据持有者手中持有若干张不同期限及不同面额的票据, 且每张票据的贴现率都是相同的, 则一次性向银行转让票据而得到的现金nn r R r R r R R p )1()1()1(2210+++++++= 式中0R 为已到期的票据金额, n R 为n 年后到期的票据金额.n r )1(1+称为贴现因子, 它表示在贴现率r 下n 年后到期的1元钱的贴现值. 由它可给出不同年限及不同贴现率下的贴现因子表.四、需求函数需求函数是指在某一特定时期内, 市场上某种商品的各种可能的购买量和决定这些购买量的诸因素之间的数量关系.假定其它因素(如消费者的货币收入、偏好和相关商品的价格等)不变, 则决定某种商品需求量的因素就是这种商品的价格. 此时, 需求函数表示的就是商品需求量和价格这两个经济量之间的数量关系)(p f q =其中, q 表示需求量, p 表示价格.需求函数的反函数)(1q f p -=称为价格函数, 习惯上将价格函数也统称为需求函数.五、 供给函数供给函数是指在某一特定时期内, 市场上某种商品的各种可能的供给量和决定这些供给量的诸因素之间的数量关系.六、市场均衡对一种商品而言, 如果需求量等于供给量, 则这种商品就达到了市场均衡. 以线性需求函数和线性供给函数为例, 令s d q q =d cp b ap +=+0p ca b d p ≡--= 这个价格0p 称为该商品的市场均衡价格（图1-3-3）.市场均衡价格就是需求函数和供给函数两条直线的交点的横坐标. 当市场价格高于均衡价格时, 将出现供过于求的现象, 而当市场价格低于均衡价格时,将出现供不应求的现象.. 当市场均衡时有,0q q q s d ==称0q 为市场均衡数量.根据市场的不同情况，需求函数与供给函数还有二次函数、多项式函数与指数函数等. 但其基本规律是相同的, 都可找到相应的市场均衡点(0p ,0q ).七、成本函数产品成本是以货币形式表现的企业生产和销售产品的全部费用支出, 成本函数表示费用总额与产量(或销售量)之间的依赖关系, 产品成本可分为固定成本和变动成本两部分. 所谓固定成本, 是指在一定时期内不随产量变化的那部分成本; 所谓变动成本, 是指随产量变化而变化的那部分成本. 一般地, 以货币计值的(总)成本C 是产量x 的函数, 即)0()(≥=x x C C称其为成本函数. 当产量0=x 时, 对应的成本函数值)0(C 就是产品的固定成本值.设)(x C 为成本函数, 称)0()(>=x xx C C 为单位成本函数或平均成本函数. 成本函数是单调增加函数, 其图象称为成本曲线.八、 收入函数与利润函数销售某种产品的收入R , 等于产品的单位价格P 乘以销售量x , 即,x P R ⋅= 称其为收入函数. 而销售利润L 等于收入R 减去成本C , 即,C R L -= 称其为利润函数.当0>-=C R L 时, 生产者盈利;当0<-=C R L 时, 生产者亏损；当0=-=C R L 时, 生产者盈亏平衡, 使0)(=x L 的点0x 称为盈亏平衡点(又称为保本点).例题选讲：单利与复利例1（讲义例1）现有初始本金100元, 若银行年储蓄利率为7%, 问:(1) 按单利计算, 3年末的本利加为多少?(2) 按复利计算, 3年末的本利和为多少?(3) 按复利计算, 需多少年能使本利和超过初始本金的一倍?贴现例2（讲义例2）某人手中有三张票据, 其中一年后到期的票据金额是500元, 二年后到期的是800元, 五年后到期的是2000元, 已知银行的贴现率6%, 现在将三张票据向银行做一次性转让, 银行的贴现金额是多少?市场均衡例3（讲义例3）某种商品的供给函数和需求函数分别为P Q P Q s d 5200,1025-=-=求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量.例4（讲义例4）某批发商每次以160元/台的价格将500台电扇批发给零售商, 在这个基础上零售商每次多进100台电扇, 则批发价相应降低2元, 批发商最大批发量为每次1000台, 试将电扇批发价格表示为批发量的函数, 并求零售商每次进800台电扇时的批发价格.成本函数例5（讲义例5） 某工厂生产某产品, 每日最多生产200单位. 它的日固定成本为150元, 生产一个单位产品的可变成本为16元. 求该厂日总成本函数及平均成本函数.收入函数与利润函数例6（讲义例6）某工厂生产某产品年产量为x 台, 每台售价500元, 当年产量超过800台时, 超过部分只能按9折出售. 这样可多售出200台, 如果再多生产，本年就销售不出去了. 试写出本年的收益(入)函数.例7 已知某厂单位产品时，可变成本为15元，每天的固定成本为2000元，如这种产品出厂价为20元，求（1）利润函数；（2）若不亏本，该厂每天至少生产多少单位这种产品.例8（讲义例7）某电器厂生产一种新产品, 在定价时不单是根据生产成本而定, 还要请各销售单位来出价, 即他们愿意以什么价格来购买. 根据调查得出需求函数为.45000900+-=P x 该厂生产该产品的固定成本是270000元, 而单位产品的变动成本为10元. 为获得最大利润, 出厂价格应为多少?例9 已知该商品的成本函数与收入函数分别是x R x x C 113122=++=试求该商品的盈亏平衡点, 并说明盈亏情况.课堂练习1．（1）设手表的价格为70元, 销售量为10000只, 若手表每只提高3元, 需求量就减少3000只, 求需求函数d Q .（2）设手表价格为70元, 手表厂可提供10000只手表, 当价格每只增加3元时, 手表厂可多提供300只, 求供应函数s Q .（3）求市场均衡价格和市场均衡数量.第四节 数列的极限极限思想是由于求某些实际问题的精确解答而产生的. 例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法----割圆术（参看光盘演示）, 就是极限思想在几何学上的应用. 又如，春秋战国时期的哲学家庄子（公元4世纪）在《庄子.天下篇》一书中对“截丈问题”（参看光盘演示）有一段名言：“一尺之棰, 日截其半, 万世不竭”，其中也隐含了深刻的极限思想.极限是研究变量的变化趋势的基本工具，高等数学中许多基本概念，例如连续、导数、定积分、无穷级数等都是建立在极限的基础上. 极限方法又是研究函数的一种最基本的方法. 本节将首先给出数列极限的定义.内容分布图示★ 极限概念的引入 ★ 数列的定义 ★ 数列的极限 ★ 例1★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 收敛数列的有界性★ 极限的唯一性 ★ 例7★ 收敛数列的保号性 ★ 子数列的收敛性★ 内容小结★ 习题1-4 ★ 返回内容要点：一、 数列的定义 二、 数列的极限：N -ε论证法，其论证步骤为：（1） 任意给定的正数ε, 令 ε<-||a x n ；（2） 上式开始分析倒推, 推出 )(εϕ>n ； （3） 取 )]([εϕ=N ，再用N -ε语言顺述结论. 三、 收敛数列的有界性 四、极限的唯一性五、收敛数列的保号性 六、子数列的收敛性例题选讲：数列的极限例1（讲义例1） 证明 .1)1(lim1=-+-∞→nn n n 例2 设C C x n (≡为常数）， 证明C x n n =∞→lim .例3 证明 ,0lim 0=→nn q 其中.1<q例4 设,0>n x 且,0lim >=∞→a x n n 求证 .lima x n n =∞→例5 用数列极限定义证明 323125lim-=-+∞→n n n .例6（讲义例2）用数列极限定义证明 .112lim 22=++-∞→n n n n 例7（讲义例3）证明数列1)1(+-=n n x 是发散的.课堂练习 1．设,0>p 证明数列pn n x 1=的极限是0.第五节 函数的极限数列可看作自变量为正整数n 的函数: )(n f x n =, 数列{}n x 的极限为a ，即：当自变量n 取正整数且无限增大（∞→n ）时，对应的函数值)(n f 无限接近数a . 若将数列极限概念中自变量n 和函数值)(n f 的特殊性撇开，可以由此引出函数极限的一般概念：在自变量x 的某个变化过程中，如果对应的函数值)(x f 无限接近于某个确定的数A ，则A 就称为x 在该变化过程中函数)(x f 的极限. 显然，极限A 是与自变量x 的变化过程紧密相关，自变量的变化过程不同，函数的极限就有不同的表现形式. 本节分下列两种情况来讨论： 1、自变量趋于无穷大时函数的极限； 2、自变量趋于有限值时函数的极限.内容分布图示★ 自变量趋向无穷大时函数的极限★ 例1 ★ 例2 ★ 例3★ 自变量趋向有限值时函数的极限★ 例4 ★ 例5 ★ 例6★ 左右极限 ★ 例7★ 例8 ★ 例9 ★ 例10★ 函数极限的性质 ★ 子序列收敛性 ★ 函数极限与数列极限的关系 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题1-5 ★ 返回内容要点：一、自变量趋于无穷大时函数的极限 二、 自变量趋于有限值时函数的极限 三、 左右极限的概念四、函数极限的性质：唯一性 有界性 保号性 五、子序列的收敛性例题选讲：自变量趋于无穷大时函数的极限例1（讲义例1）用极限定义证明 .0sin lim=∞→xxx例2（讲义例2）用极限定义证明 .021lim =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→xx例3 证明 .111lim-=+-∞→x xx自变量趋于有限值时函数的极限例4(1)（讲义例3）利用定义证明 C C x x =→0lim （C 为常数）.(2) 证明 .lim 00x x x x =→例5（讲义例4）利用定义证明 211lim 21=--→x x x .例6 证明: 当00>x 时, 00lim x x x x =→.例7 验证xx x 0lim→不存在.左右极限的概念例8（讲义例5）设,0,10,)(⎩⎨⎧<+≥=x x x x x f 求 )(lim 0x f x →. 例9 设(),0,10,12⎩⎨⎧≥+<-=x x x x x f 求 ().lim 0x f x → 例10（讲义例6）设 ,2121)(11xx x f +-=求 ).(lim 0x f x →子序列的收敛性例7（讲义例7）证明 xx 1sinlim 0→ 不存在.课堂练习 1. 设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+=>=0,80,20,1sin )(2x x x x x x x f ,试问函数在0=x 处的左、右极限是否存在? 当0→x 时, )(x f 的极限是否存在?2. 若,0)(>x f 且.)(lim A x f =问: 能否保证有0>A 的结论? 试举例说明.第六节 无穷小与无穷大没有任何问题可以像无穷那样深深地触动人的感情，很少有别的观念能像无穷那样激励理智 产生富有成果的思想，然而也没有任何其它的概 念能像无穷那样需要加于阐明.-------大卫. 希尔伯特对无穷小的认识问题，可以远溯到古希腊，那时，阿基米德就曾用无限小量方法得到许多重要的数学结果，但他认为无限小量方法存在着不合理的地方. 直到1821年，柯西在他的《分析教程》中才对无限小（即这里所说的无穷小）这一概念给出了明确的回答. 而有关无穷小的理论就是在柯西的理论基础上发展起来的.内容分布图示★ 无穷小★ 无穷小与函数极限的关系 ★ 例1 ★ 无穷小的运算性质 ★ 例2 ★ 无穷大★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 无穷大与无界变量★ 无穷小与无穷大的关系 ★ 例6★ 内容小结★ 习题1-6 ★ 返回内容要点：一、 无穷小的概念二、无穷小的运算性质有限个无穷小的代数和仍是无穷小 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 三、无穷大的概念四、 无穷小与无穷大的关系例题选讲：无穷小的概念与无穷小的运算性质例1 根据定义证明: xx y 1sin 2=当0→x 时为无穷小. 例2（讲义例1）求 x xx sin lim ∞→.无穷大的概念例3（讲义例2）证明 ∞=-→11lim1x x .例4 证明 ()().11lim >+∞=-+∞→a a xx例5（讲义例3）当0→x 时, xx y 1sin 1=是一个无界变量, 但不是无穷大. 无穷小与无穷大的关系 例6（讲义例4）求 5lim 34+∞→x x x .课堂练习1. 求 .)1(22lim22--∞→x xx x第七节 极限运算法则本节要建立极限的四则运算法则和复合函数的极限运算法则. 在下面的讨论中，记号“lim ”下面没有表明自变量的变化过程，是指对0x x →和∞→x 以及单则极限均成立. 但在论证时，只证明了0x x →的情形.内容分布图示★ 极限运算法则 ★ 例1 ★ 例2★ 例3-4 ★ 例5 ★ 例6★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例 10 ★ 例 11 ★ 复合函数的极限运算法则 ★ 例 12 ★ 例 13★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题1-7 ★ 返回内容要点：一、 极限的四则运算：定理1 推论1 推论2 二、复合函数的极限运算法则：定理2定理2 （复合函数的极限运算法则）设函数)]([x g f y =是由函数)(u f y =与函数)(x g u =复合而成, )]([x g f 在点0x 的某去心邻域内有定义, 若,)(lim ,)(lim 00A u f u x g u u x x ==→→且存在,00>δ 当),(00δx U x∈时, 有0)(u x g ≠, 则.)(lim )]([lim 0A u f x g f u u x x ==→→例题选讲：极限的四则运算例1（讲义例1）求 )53(lim 22+-→x x x .例2（讲义例2）求 27592lim 223---→x x x x .例3（讲义例3）求 3214lim21-+-→x x x x .例4（讲义例4）求 321lim 221-+-→x x x x .例5（讲义例5）求 147532lim 2323-+++∞→x x x x x .例6（讲义例6）计算.231568lim323-+++∞→x x x x x例7（讲义例7）求 .21lim 222⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→n n n n n例8 计算 ()()()();1111lim3431x x x x x ----→例9（讲义例8）求 ).sin 1(sin lim x x x -++∞→例10 计算下列极限：（1）;1!sin lim32+∞→n n n n （2）.2tan lim /10x x ex+→ 例11（讲义例9）已知 ⎪⎩⎪⎨⎧≥+-+<-=0,1130,1)(32x x x x x x x f , 求 ).(lim ),(lim ),(lim 0x f x f x f x x x -∞→+∞→→复合函数的极限运算法则例12（讲义例10）求极限 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→)1(21ln lim 21x x x . 例13（讲义例11）已知2)5(lim 2=+--+∞→c bx ax x x , 求b a ,之值.课堂练习1. 求极限: .231lim)2(;lim )1(31sinxx ex xx x +-++∞→→2.在某个过程中, 若)(x f 有极限, )(x g 无极限, 那么)()(x g x f +是否有极限? 为什么?第八节 极限存在准则 两个重要极限内容分布图示★ 夹逼准则★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8★ 例9★ 单调有界准则 ★ 例10 ★ 例11 ★1sin lim0=→xxx★ 例12★ 例13 ★ 例14★ 例15 ★ 例16★ 例17★ 例18★ e n xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim ★ 例19 ★ 例21 ★ 例22★ 例23★ 例24 ★ 25★ 柯西极限存在准则 ★ 连续复利（例26） ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 1-8★ 返回内容要点：一、准则I （夹逼准则）：如果数列n n y x ,及n z 满足下列条件:a) ),3,2,1( =≤≤n z x y n n n ; b) ,lim ,lim a z a y n n n n ==∞→∞→那末数列n x 的极限存在, 且.lim a x n n =∞→注：利用夹逼准则求极限，关键是构造出n y 与n z , 并且n y 与n z 的极限相同且容易求. 二、 准则II （单调有界准则）：单调有界数列必有极限. 三、 两个重要极限：1. 1sin lim 0=→x x x ； 2．e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim四、连续复利设初始本金为p (元), 年利率为r , 按复利付息, 若一年分m 次付息, 则第n 年末的本利和为mnn m r p s ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1如果利息按连续复利计算, 即计算复利的次数m 趋于无穷大时, t 年末的本利和可按如下公式计算rt mtm pe m r p s =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→1lim若要t 年末的本利和为s , 则初始本金rt se p -=.例题选讲：夹逼准则的应用例1（讲义例1）求 .12111lim 222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n 例2 求.)321(lim 1n n n n ++∞→例3 求 ()().1111lim 222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++∞→n n n n n 例4 求 ().1lim >∞→a a nn n例5 求 ().0!lim >∞→a n a nn 例6（讲义例2）求 .!limnn n n ∞→ 例7（讲义例3）求 .lim n n n ∞→例8（讲义例4）求证).0(1lim >=∞→a a n n例9（讲义例5）求极限.1lim 0⎥⎦⎤⎢⎣⎡→x x x单调有界准则的应用例10（讲义例6）设有数列31=x ，,,312 x x +=13-+=n n x x ,求 .lim n n x ∞→例11 设 0>a 为常数, 数列 n x 由下列定义: ),2,1(2111 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--n x a x x n n n 其中0x 为大于零的常数，求.lim n n x ∞→ 两个重要极限的应用例12（讲义例7）求 xxx tan lim0→.例13 求 .5sin 3tan lim0xxx →例14（讲义例8）求 .cos 1lim 20xxx -→ 例15 下列运算过程是否正确： 1sin lim tan lim sin .tan lim sin tan lim===→→→→xxx x x x x x x x x x x x x x x x例16 计算 .3cos cos lim 20x xx x -→例17 计算 ;cos sin 1lim2xx x x x -+→例18（讲义例9）求 3sin 2tan 2limxxx x +-+→. 例19（讲义例10）求 311lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛+n n n .例20（讲义例11）求 ().21lim /10xx x -→例21（讲义例12）求 xx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→11lim例22（讲义例13）求 .23lim 2xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛++∞→例23 求 .1lim 22xx x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞→ 例24 计算 ().lim /10xxx xe +→例25 求极限 ().tan lim 2tan 4/xx x π→连续复利例26（讲义例14） 一投资者欲用1000元投资5年, 设年利率为6%,试分别按单利、复利、每年按4次复利和连续复利付息方式计算, 到第5年末, 该投资者应得的本利和A .注: 连续复利的计算公式在其它许多问题中也常有应用如细胞分裂、树木增长等问题.课堂练习1. 求极限 .sin sin tan lim20xx xx x -→ 2. 求极限.)93(lim 1x x xx ++∞→第九节 无穷小的比较内容分布图示★ 无穷小的比较 ★ 例1-2 ★ 例3 ★ 常用等价无穷小 ★ 例4 ★ 等价无穷小替换定理 ★ 例5★ 例6★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例 10 ★ 例 11★ 例1 2 ★ 等价无穷小的充要条件★ 例13★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题1-9 ★ 返回内容要点：一、 无穷小比较的概念：无穷小比的极限不同, 反映了无穷小趋向于零的快慢程度不同.二、 常用等价无穷小关系：)0(~1)1()0(ln ~1~1~)1ln(21~cos 1~arctan ~arcsin ~tan ~sin 2是常数≠-+>--+-αααx x a a x a xe xx x x x x x x x x x x x x三、 关于等价无穷小的两个重要结论：定理1 β与α是等价无穷小的充分必要条件是).(ααβo +=定理2 设，是同一过程中的无穷小ββαα'',,,且ββαα''~,~，αβ''lim存在, 则 .lim limαβαβ''=例题选讲：无穷小比较概念的应用：例1（讲义例1）证明: 当0→x 时, x x 3tan 4为x 的四阶无穷小. 例2（讲义例2）当0→x 时, 求x x sin tan -关于x 的阶数.例3 当1→x 时，将下列各量与无穷小量1-x 进行比较. （1）;233+-x x （2）;lg x （3）().11sin1--x x 例4 证明.~1x e x -例5（讲义例4） 求极限.1211lim nn n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→例6（讲义例6）求 xxx 5sin 2tan lim0→.例7（讲义例7）求 .2sin sin tan lim30xxx x -→ 例8求 ().1cos 11lim3/120--+→x x x例9（讲义例8）求 121tan 1tan 1lim-+--+→x xx x例10计算 ().1ln lim 2cos 0x x e e xx x x +-→例11 计算 .sin cos 12lim2xxx +-→ 例12 求 ()().cos sec 1ln 1ln lim220xx x x x x x -+-+++→ 例13（讲义例9）求 xx x x 3sin 1cos 5tan lim 0+-→等价无穷小的应用：例3（讲义例3） 证明: 11lim0=-→xe x x . 例5（讲义例5）设,0≠α证明: .11)1(lim 0=-+→xx x αα无穷小等价替换定理的应用：课堂练习1. 求极限 βαβαβα--→e e lim .2. 任何两个无穷小量都可以比较吗?第十节 函数的连续性与间断点客观世界的许多现象和事物不仅是运动变化的，而且其运动变化的过程往往是连绵不断的，比如日月行空、岁月流逝、植物生长、物种变化等，这些连绵不断发展变化的事物在量的方面的反映就是函数的连续性. 本节将要引入的连续函数就是刻画变量连续变化的数学模型.16、17世纪微积分的酝酿和产生，直接肇始于对物体的连续运动的研究. 例如伽利略所研究的自由落体运动等都是连续变化的量. 但直到19世纪以前，数学家们对连续变量的研究仍停留在几何直观的层面上，即把能一笔画成的曲线所对应的函数称为连续函数. 19世纪中叶，在柯西等数学家建立起严格的极限理论之后，才对连续函数作出了严格的数学表述.连续函数不仅是微积分的研究对象，而且微积分中的主要概念、定理、公式法则等，往往都要求函数具有连续性.本节和下一节将以极限为基础，介绍连续函数的概念、连续函数的运算及连续函数的一些性质.内容分布图示★ 函数的连续性 ★ 例1 ★ 例2 ★ 左右连续 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 连续函数与连续区间 ★ 例7★ 函数的间断点 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例 10 ★ 例 11 ★ 例12 ★ 例 13 ★ 例14★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题1-10 ★ 返回内容要点：一、函数的连续性：函数的增量 连续性的三种定义形式二、左右连续的概念定理1 函数)(x f 在0x 处连续的充要条件是函数)(x f 在0x 处既左连续又右连续. 三、 连续函数与连续区间四、函数的间断点及其分类：第一类间断点 跳跃间断点 可去间断点；第二类间断点 无穷间断点 振荡间断点；例题选讲：函数的连续性例1（讲义例1）试证函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,0,0,1sin )(x x xx x f 在0=x 处连续. 例2设)(x f 是定义于[a , b ]上的单调增加函数, ),,(0b a x ∈如果)(lim 0x f x x →存在, 试证明函数)(x f 在点0x 处连续.例3（讲义例4）讨论⎩⎨⎧<-≥+=,0,2,0,2)(x x x x x f 在0=x 处的连续性.。
淮海工学院高等数学目标与测试第一章 函数与极限答案
第一章 函数与极限一 函数（见§1.1） Ⅰ 内容要求（ⅰ）在中学已有函数知识的基础上，加深对函数概念的理解和函数性质（奇偶性、单调性、周期性和有界性）的了解。
（ⅱ）理解复合函数的概念，了解反函数的概念，了解分段函数的概念。
（ⅲ）记忆基本初等函数的图象，了解初等函数的概念，自学双曲函数及反双曲函数。
（ⅳ）学会建立简单实际问题中的函数关系式。
Ⅱ 基本题型（ⅰ）有关确定函数定义域的题型1．（4分）1)2ln()(+-=x x x f 的定义域为 21<<-x2．（4分）)2ln(1)(x x x f -+=的定义域为 [))2,1(1,1 -3．（4分）)32arcsin(-=x y 的定义域为--------------- （ D ） A )2,1( B )2,1[ C ]2,1( D ]2,1[ 4．设)(x f 的定义域D = ]1,0[，求下列各函数的定义域：（1）（6分）)(2x f []1,1-∈x ，（2）（6分）)2(xf (]0,∞-∈x（3）（7分）)31()31(-++x f x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈32,31x （ⅱ）有关确定函数（反函数）表达式的题型 5．（4分）已知： x xf cos 1)2(sin+=，则)(x f =)1(22x - 6．（4分）设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=0,10,00,1)(x x x x f ，则=)]([x f f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=0,10,00,1)(x x x x f7．求下列函数的反函数（1）（4分）31+=x y 1,133-=-=x y y x （2）（4分）x x y +-=11 xxy y y x +-=+-=11,11 )1(-≠x（3）（6分）)2ln(1++=x y 2211-=⇒-=--x y e y e x8．（7分）已知：,2sin )(,)(3x x x x x f =-=ϕ 求)].([)],([x f x f ϕϕ解：x x x x x f 2cos 2sin 2sin 2sin )]([233-=-=-=ϕϕϕ)(2s i n )(2s i n )]([3x x x f x f -==ϕ9．（10分）设x e x g x x x x f =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<=)(,1||,11||,01||,1)(，求)]([x g f 和)]([x f g ，并作出这两个函数的图形。
(完整word版)高等数学第一章函数与极限试题(2)
高等数学第一章函数与极限试题一 .选择题1.设 F(x)是连续函数 f(x) 的一个原函数，" M N" 表示“M的充足必要条件是 N”，则必有（A） F(x) 是偶函数f(x) 是奇函数 .（B） F(x)是奇函数 f(x) 是偶函数 .（C） F(x)是周期函数 f(x) 是周期函数 .（D） F(x) 是单一函数f(x) 是单一函数12．设函数f ( x), 则xe x 11（A） x=0,x=1 都是 f(x) 的第一类中断点 .（B） x=0,x=1 都是 f(x) 的第二类中断点（C） x=0 是 f(x) 的第一类中断点， x=1 是 f(x) 的第二类中断点 .（D） x=0 是 f(x) 的第二类中断点， x=1 是 f(x) 的第一类中断点 .x11．设f(x)=x，x≠0,1,则f[f ( x)]= ()311B）1 xA） 1－x C）X D） x 4．以下各式正确的选项是( )A）lim (1+1 )x 0xx1x=1B）lim(=e1+)x 0x1x1xC）lim(=-e D ）()=e 1－)lim 1+x x x x5．已知 lim (xa ) x 9 ，则 a ( ) 。
xxaA.1 ；B. ；C. ln 3 ；D. 2 ln 3 。
6．极限： lim (x1) x ()xx 1A.1 ；B. ；C. e 2 ；D. e 27．极限： lim x 3 2 =（）xx 3A.1 ；B. ；C.0 ；D.2 ．8．极限： limx1 1=（）x 0xA.0 ；B. ；C1 ； D.2 ．29. 极限： lim( x2x x) =（）xA.0 ；B. ；C.2 ；D. 1．210．极限 :lim tan x sin x =（）x 0sin 3 2xA.0 ；B. ；C.1 ；D.16 ．16二. 填空题11．极限 lim xsin 22x=.xx 112.limarctanx=_______________.x 0 x13.14.15.若 yf ( x) 在点 x 0 连续，则 lim [ f ( x)f (x )] =_______________；x xlim sin 5x___________ ；x x 0xlim (1 2 )n_________________；nn16. 若函数 yx 21，则它的中断点是 ___________________x 2 3x 2 17.f (x)xx, x0; x绝对值函数0 , x0 ;x, x0 .其定义域是,值域是1, x 0; 18.符号函数f ( x) sgnx 0,x 0;1, x0.其定义域是，值域是三个点的会合19. 无量小量 是20. 函数yf(x) 在点 x0 连续，要求函数y f (x) 知足的三个条件是三 . 计算题21. 求 lim ( 1 x1).x 01 e xx22. 设 f(ex 1)=3x-2, 求 f(x)( 此中 x>0);x 5 23.求 lim (3 －x) x 2 ;x2求x 1 x24.lim x( x 1) ;25.求limsin x 2tan 2x( x23x)x 026. 已知 lim (xa ) x 9 ，求 a 的值；xx a27.1计算极限 lim (1 2n3n ) nn28.f xx 2 lg 52x 求它的定义域。
厦门理工学院高数练习题答案第一章 函数与极限
高等数学练习题 第一章 函数与极限________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______第一节 映射与极限一．选择题 1.函数216ln 1x xx y -+-=的定义域为 [ D ] （A ）（0，1） （B ）(0,1)⋃(1,4) （C ）(0,4) （D ）4,1()1,0(⋃] 2.3arcsin 2lgxx x y +-=的定义域为 [ C ] （A ）)2,3(]3,(-⋃-∞ （B ）(0,3) （C ）]3,2()0,3[⋃- （D ）),3(+∞- 3．函数)1ln(2++=x x y 是 [ A ]（A ）奇函数 （B ）非奇非偶函数 （C ）偶函数 （D ）既是奇函数又是偶函数 4．下列函数中为偶函数且在)0,(-∞上是减函数的是 [ D ] （A ）222-+=x x y （B ）)1(2x y -= （C ）||)21(x y = （D ）.||log 2x y = 二．填空题1. 已知),569(log )3(22+-=x x x f 则=)1(f 2 2. 已知,1)1(2++=+x x x f 则)(x f 12+-x x3. 已知xx f 1)(=,x x g -=1)(, 则()=][x g f x -114. 求函数)2lg(1-+=x y 的反函数 1102-+=x y5. 下列函数可以看成由哪些基本初等函数复合而成 (1) x y ln tan 2=： x s s v v u u y ====,ln ,tan ,2(2) 32arcsin lg x y =：__ 32x t t s s v v u u y =====,arcsin ,lg ,, _三.计算题1．设)(x f 的定义域为]1,0[, 求)(sin ),(2x f x f 的定义域解：)(2x f 的定义域为[11,-] )(s i n xf 的定义域为)()(,[Z k k k ∈+ππ1222.设⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤-=2||111||1)(2x x x x x ϕ , 求)23(),21(),1(ϕϕϕ-, 并作出函数)(x y ϕ=的图形.解：01=)(ϕ 2321=-)(ϕ 2123=)(ϕ （ 图略 ）4.已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角 40=ϕ（图1-22）。
高等数学第一章函数与极限映射与函数(Ⅱ)
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10
例1
设
f (x)
e x ,
x,
求 f [( x)].
x x
1 , 1
(
x)
x 2, x 2 1,
x0 ,
x0
解
e( x) , ( x) 1 f [( x)]
( x), ( x) 1
讨论：当( x) 1时,
1 x 0; x 2;
ex2,
f
[
(
x)]
x 2, e x2 1 ,
x2 1,
x 1 1 x 0
. 0 x 2
x 2
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三 双曲函数与反双曲函数
1 双曲函数
双曲正弦 shx ex ex 2
D : (,), 奇函数.
(a 1)
y ax
(0,1•)
思
考:
指
y ax
数 函
数 (a 1) 的
性
质
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3
3 对数函数
y loga x (a 0,a 1)
y log a x
(a 1)
(1,0)
•
y loga x (a 1)
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4 三角函数
正弦函数 y sin x
y arshx ln(x x2 1).
反双曲余弦 y archx
y archx ln(x x2 1).
y arshx;
y archx
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反双曲正切 y arthx
高等数学第一章测试题(第7版)
高等数学（上）第一章函数与极限测试题一、填空（20分）1.设)(x f y =的定义域是]1,0(，x x ln 1)(-=ϕ，则复合函数)]([x f y ϕ=的定义域为 ；2.函数)21ln(12arcsin 2x x x xy --++=的定义域 ;3.下列哪些函数相同 ;(1) x ln 2与2ln x ； (2) 2x 与x ； (3) x 与x x sgn .4.函数)1ln(2x x y ++=的奇偶性为 ；函数x e x y 2=的奇偶性为 ；5. (1) 设2)1(2+=+x x f ，则=)(cos x f ；(2) 设x e f x =+)1(，则=)(x f .6.如果,21)74)(1(132lim 23=+-+-∞→n x x x x x 则=n ； 7. =+∞→）（x xx x x 2sin 2sin lim ；8.当=α 时，αx x 21~1s i n 1-+；9. 1x =-为2()1f x x =+的第____类间断点；10.若⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0,0,1sin )(2x a x x e x x f ax 在0=x 处连续，则=a 。
二、计算数列极限（50分）：1. )2141211(lim n n +++∞→ ; 2. )1(lim n n n -++∞→; 3. n n nn n 3232lim +-+∞→ 4.15865lim 223+-+-→x x x x x ；5.)1113(lim 31x x x ---→ 6. 121l i m 22---∞→x x x x ； 7. 30sin tan lim x x x x -→; 8. xx x sin 20)31(lim +→; 9. x e e xx x cos 1lim 0---→； 10. 11sin 1lim 20--+→x x e x x ;五（6分）、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=-001)(2x k x x x f x ）（，试确定k 的值，使)(x f 在0=x 处连续。
高等数学试题库
第一章 函数、极限与连续一、 判断题:1．极限)(lim 0x f x x →存在的充要条件是)0(0-x f 与)0(0+x f 都存在。
（ ）2．如果)0(0-x f 与)0(0+x f 都存在且相等，则)(lim 0x f x x →存在。
（ ）3．如果函数)(x f 在0x 处既左连续且右连续，则)(x f 在0x 连续。
（ ） 4．如果)(lim 0x f x x →存在，则)(x f 在0x 连续。
（ ）5．如果函数)(x f 在0x 连续，则)(lim 0x f x x →存在。
（ ）6．极限 2200limy x xyy x +→→存在 。
（ ）7．如果)(x f 在()b a ,内连续，则)(x f 在()b a ,内必有最大值和最小值。
（ ） 8．如果)(x f 在[]b a ,内连续，则)(x f 在[]b a ,内必有最大值和最小值。
（ ） 9．极限 ()e x xx -=-→1lim 0。
（ ）10．极限21946853lim 2323=-++-∞→x x x x x 。
（ ） 二、 填空题:1．函数1)3ln(2222-++--=y x y x y 的定义域是 。
2. 函数4192222-++--=y x y x y 的定义域是 。
3.若⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=0,00,,1)(x x x x x f π，则=-)]}1([{f f f 。
4. 函数 x y 2sin ln =的复合过程是 。
5. 一切初等函数在其 内都是连续的。
6. 设arctgx x y 2-=，则)(lim x y x --∞→= 。
7. 如果322sin 3lim0=→x mx x ，则m = 。
8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<≤-+=2,2221,1,32)(2x x x x x x x x f ，则)(lim 1x f x →= 。
9. 函数11)(2+-=x x x f 的间断点是 。
高等数学第一章习题集(函数与极限)
6
高等数学习题集
(5) lim 1 x 1 x ；
x0
x
(6)
lim
x1
x
1 1
3 x3 1
．
3.
设
lim
x
x2 1 x 1
ax
b
0,
求 a 和 b 的值．
7
高等数学习题集
§1.6 极限存在准则 两个重要极限
1. 选择题.
(1)
lim
x x0
f
(x )存在是
f (x) 在 x0 的某一去心领域内有界的______ 条件.
(2)
设函数
ax2 f (x)
2x 1
x 1, 且 lim f (x) 存在，则 a _____. x 1 x1
3* 根据函数极限的定义证明：
(1)
lim
x
1 x3 2x3
x x0
x x0
A) lim f x lim f x
x x0
x x0
C) lim f x 不一定存在 x x0
(2) lim x2 9 (
).
x3 x 3
).
B) lim f x lim f x
x x0
x x0
1 x sin x 1
(题集
§1.8 函数的连续性与间断点
1. 选择题.
(1) 设 f x 在 x x0 处 连 续 , 且 存 在 0 , 使 当 0 x x0 时 有 f x 0, 则
(
)．
A) f x0 0
高等数学(函数与极限)习题及解答
练习1-1(2)∕(∕n5S)W)∙4.设映射f ιX→Y y若存在一个映射g.Y→X.使S-f=I x 5 f-g=ιγ,其中《、“分别是x、y上的恒等映射，即对于每一个xwX,有ZYXnc;对于每一个ywlζ有b>⅛=y.证明:/是双射, 且g是/的逆映射:g=f~x.5.设映射f .X→Y,A^X.证明: (Ir I m)=>4；(2)当/是单射时，有Γ1(∕(^)M・6.求下列函数的自然定义域: (l)y=V3x+2 ;⑶丿=丄-JI-X2 ；X(5) j∕=sin √x;(7)戶arcsing - 3);(8)>,=√3-x+arctan—;⑼TI如);解±x+l>O得函数的定义域P=（-19+∞X1(IO)尸尹.解±x≠0得函数的定义域6（-00, 0）u（0,+00）.7.下列各题中，函数、冷）和蛉）是否相同？为什么? (l)∕(x)≡lgx2,4g(x)≡21gx;解不同.因为定义域不同.⑵/（兀）=七g（x）=V?；解不同.因为对应法则不同,无<0时,g（x）=-兀.⑶f(x)=l∕^(X)=X^[x^i ;解和同.因为定义域、对应法则均相相同.(4MX)=I, g(x)=sec2x-tai^x .解不同.因为定义域不同.&设卩（兀）=<兀一3疗一求久石），仅牙）5 0（-牙｝9吠-2）9并作出函数片於）的图形.9・试证下列函数在指定区间内的单调性:⑴p=⅛gi);(2)y=x+lnx, (0, +□o).io.设yu)为定义在(-M内的奇函数，若沧)在(0』内单调埠加，证明金)在(-/,0)内也单调增加・11.设下面所考虑的函数都是定义在对称区间上的，证I(1)两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明设F(x)=f(xyg(x∖如果Λr)和能)都是偶函数，则F(-x M-兀)∙g(-x )∕X)∙g(x)=F(Q 所以Fa)为偶函数，即两个偶函数的积是偶函数.如果压)和ME都是奇函数7则F(→)=∕(-x) g(-Λ)=[√{x)] [-g(x)]√(x)∙g(x)=F(x)9 所以Fa)为偶函数，即两个奇函数的积是偶函数・如果用)是偶函数，而g(x)是奇函数，则F(-x>√(-兀)g(-xM>)[-曲)]=√(H)於)=-F(Q 所以F(Q为奇函数，即偶函数与奇函数的积是奇函数.12.下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非奇目数又菲偶函数？{l)y=x2(l-x2);解因为Λ→X→)2[l-(→)2]^x2( 1 →2M X),所以√(x)是偶函I-X2.l+x2 9解因为/(一X)=走⅛g,所畑)是偶函{2)y=3x2-x3;⑶尸(4]yw(x-I)(X+1);(5)y=sinx-cos x+1;解由∕{-x)=SirI(-工)-cos(-x)+1 =-sinx-cos x+1 可见√(v)既? 数又非偶函数，(6)尸¥13.下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：(l)y=cos(x-2);(2)y=cos 4x;(3)y=l+sinπv;(4]y=xcosx;(5)y-siι∕x.14.求下列函数的反函数: (l)y=Vjc+l ；解由尸炖得⑵尸l—x. 1+x ,解由y=2sin Sx 得1 - yX=—arcsm⅛-.3 2所以y=2sinlr 的反函数为解由尸昙得一 1一丿X ~u7,所以v=⅛的反函数为(^y=^±^(ad-bc≠O); cx+a解由P=空毘得CX+d所以空卑的反函数为V =Ir一 dx+b(5)尸 l+ln*+2); 解 由*l+ln*+2)得所以y=l 十ln&十2）的反函数为 y=e x ^l -2.解由少=莞?得 X=Iog2 F L , ι-y所以尸丄的反函数为 2x +lP=Iog215. 设函数金）在数集X 上有定义 试证：函数庄）在X 上有 界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界・⑹尸 2x 27+l证明先证必要性.设函数TIH)在X 上有界，则存在正数M 使 ∖f(x)∖≤M 9 即-Mg)≤M这就证明了心)在X 上有下界-M 和上界M. 再证充分性设函数刃>)在X 上有下界Kl 和上界心，即 KIg)≤ K 2. 取M=UmX{Kι∣,KT},则-M<K A ^∖X )<K 1<M,即Iz(X)KM. 这就证明了 Λχy^x±有界. 16. 在下列各题中，求由所给函数复合而成的函数，并求这 函数分别对应于给定自变量值Xi 和Xi 的函数值：解 y=sin2v, I =Sin(2∙-^)=Sm^=^(3) y=y∕^i 9 U ==I+x 9 Xl=IS 兀2= 2; 解 y=y∕l+x 2 9 jμ1=71+l 2 =V2 , y 2 =∖∕l + 22 =√5 a_兀71 ，X l=P,j 2=siπ(2∙^)=sι∩y=L(I)^=W 29 M=Sinx 5 x 16(4)Jfee M9u=x29 Xi =0, x2=l;解y = eχ25y↑ =e°2 =15j∕2=^I2 =e-n II(5)y=u , , xι=l9 %2=-l.解2j5yι=e2,1=e2, j2=^2^"1^=e^2β17.设沧)的定义域D=G U求下列各函数的定义域: (Iw)；解由O≤r2≤l得IXld⑵.AsiiK);解由OSSinXSl得2nπ≤x<(2n+1 )π(∕ι=0, ±1, ±2・・・), 所以函数爪血)的定义域为⑵忆(2H+1)∕Γ](H=O? +1, 土2…)・⑶Λ*)(QO);所以函数/(/)的定义域为解由O≤τ+QSl得-a≤x< 1 -Zi, 所以函数βx+a)的定义域为[-a, ∖-a∖.⑷刃χ+d)t∕H)(U〉o)・解由O≤τ+6r≤ l 且O≤x-α≤l 得: '"ι0<π<y 时，a≤x<∖-a∖ 当α>*时，无解.因此当0<a≤^时函数的定义域为阪1-H当时函数无意义f 1 ∣χ∣<l1& 设f(x)=∖ 0 ∖x∖=l9g(x)=e s9求√[g(x)]^tl g[∕(x)]5并作[-1 ∖x∖>∖出这两个函数的图形.1 解/WA O-1■I 护∣<1 f 1I5即/Ig(χ)]T OW(x)]=RE={ e0x∣<l e心，即M∕Cv)]=j1 x∣>l0 IL IL < => I-IiiIIH^ XXXx>0x=Q.19.已知水渠的横断面为等腰梯形，斜 角歼40。
北大版高等数学第一章函数及极限答案习题1.2（范文）
北大版高等数学第一章函数及极限答案习题1.2（范文）第一篇：北大版高等数学第一章函数及极限答案习题1.2（范文）习题 1.2 1.求下列函数的定义域:(1)y=ln(x2-4);(2)y=ln1+x5x-x211-x;(3)y=ln4;(4)y=2x2+5x-3.解(1)x2-4>0,|x|2>4,|x|>2,D=(-∞,-2)⋃(2,+∞).(2)1+x1-x>0.⎧⎨1-x>0或⎧1-x<0⎩1+x>0⎨⎩1+x<0.-1<x<1,D=(-1,1).(3)5x-x24>1,x2-5x-4<0.x2 -5x+4=0,(x-1)(x-4)=0,x1=1,x2=4.D=(1,4).(4)2x2+5x-3>0.(2x-1)(x+3 )=0,x1=-3,x2=1/2.D=(-∞,-3)⋃(1/2,+∞).2.求下列函数的值域f(X),其中X为题中指定的定义域.(1)f(x)=x2+1,X=(0,3).f(X)=(1,10).(2)f(x)=ln(1+sinx),X=(-π/2,π],f(X) =(-∞,ln2].(3)f(x)=3+2x-x2,X=[-1,3],3+2x-x2=0,x2-2x-3=0,(x+1)(x-3 )=0,x1=-1,x2=3,f(X)=[0,f(1)]=[0,4].(4)f(x)=sinx+cosx,X=(-∞,+∞).f(x)= 2(sinxcos(π/4)+cosxsin(π/3))=2sin(x+π/4),f(X)=[-2,2].3.求函数值：设f(x)=lnx2(1)ln10,求f(-1),f(-0.001),f(100);(2)设f(x)=arcsinx1+x2,求f(0),f(1),f(-1);(3)设f(x)=⎧⎨ln(1-x),-∞<x≤0,⎩-x, 0<x<+∞,求f(-3),f(0),f(5).⎧cosx,0≤x<1,(4)设f(x)=⎪⎨1/2, x=1,求f(0),f(1),f(3/2),f(2).⎪⎩2x, 1<x≤3解(1)f(x)=logx2,f(-1)=log1=0,f(-0.001)=log(10-6)=-6,f(100)=log104 =4.(2)f(0)=0,f(1)=arcsin(1/2)=π/6,f(-1)=arcsin(-1/2)=-π/6.(3)f(-3)=l n4,f(0)=0,f(5)=-5.(4)f(0)=cos0=1,f(1)=1/2,f(3/2)=22,f(2)=4.4.设函数f(x)=2+x2-x,x≠±2,求f(-x),f(x+1),f(x)+1,f⎛1⎫1⎝x⎪⎭,f(x).解f(-x)=2-x2+x+13+x2+x,x≠±2;f(x+1)=2-x-1=1-x,x≠1,x≠-3,2+x4⎛1⎫2-1/x2x-1+1=,x≠±2;f ⎪==,x≠0,x≠±1/2,2-x2-x⎝x⎭2+1/x2x+11 2+x=,x≠±2.f(x)2-xf(x+∆x)-f(x)5.设f(x)=x3,求，其中∆x为一个不等于零的量.∆xf(x+∆x)-f(x)(x+∆x)3-x3x3+3x2∆x+3x∆x2+∆x3-x3解===3x2+3∆x+∆x2.∆x∆x∆x6.设f(x)=lnx,x>0,g(x)=x2,-∞<x<+∞,试求f(f(x)),g(g(x)),f(g(x)),g(f(x)).f(x)+1=解f(f(x))=f(lnx)=lnlnx,x>1;g(g(x))=g(x2)=x4,-∞<x<+∞;f(g(x))=f(x2)=lnx 2,x≠0;g(f(x))=g(lnx)=ln2x,x>0.⎧0, x≥0,⎧x, x≥0;7.设f(x)=⎨g(x)=⎨求f(g(x)),g(f(x)).-x,x<0;1-x,x<0,⎩⎩解∀x,g(x)≥0,f(g(x))=0.⎧g(0), x≥0,⎧0, x≥0,g(f(x))=⎨=⎨g(-x),x<0.⎩⎩-x,x<0.8.作下列函数的略图:(1)y=[x],其中[x]为不超过x的最大整数;(2)y=[x]+x;1(3)y=sinhx=(ex-e-x)(-∞<x<+∞);21(4)y=coshx=(ex+e -x)(-∞<x<+∞);2⎧x2, 0≤x<0,(5)y=⎨⎩x-1,-1≤x<0.（1）（2）（3）（4）（5）⎧x29.设f(x)=⎨,x≥0,求下列函数并且作它们的图形⎩x, x<0,:(1)y=f(x2);(2)y=|f(x)|;(3)y=f(-x);(4)y=f(|x|).解(1)y=x4,-∞<x<+∞.(2)y=|f(x)|=⎧⎨x2,x≥0，⎩-x, x<0.(3)y=f(-x)=⎧⎨x2,-x≥0,⎧x2,x≤0,⎩-x, -x<0=⎨⎩-x, x>0.(4)y=f(|x|)=x2,-∞<x<+∞.3求下列函数的反函数:(1)y=x2-2x(0<x<+∞);(2)y=sinhx(-∞<x<+∞);(3)y=coshx(0<x<+∞).解(1)x2-2x=y,x2-2yx-4=0,x=y+y2+4,y=x+x2+4(-∞<x<+∞).ex-e-x(2)=y ,z=ex,z2-2yz-1=0,ex=z=y+y22+1,x=ln(y+y2+1),y=ln(x+x2+1),(-∞<x< +∞).(3)ex+e-x2=y,z=ex,z2-2yz+1=0,ex=z=y+y2-1,x=ln(y+y2-1),y=ln (x+x2-1),(x≥1).证明cosh2x-sinh2x=1.⎛ex+e-x⎫2⎛ex-e-x⎫2(e2x证coshx-sinhx=+e-2x+2)-(e2x+e-2x22-2)⎝2⎪⎭-⎝2⎪⎭=4=1.下列函数在指定区间内是否是有界函数?(1)y=ex2,x∈(-∞,+∞);否(2)y=ex2x∈(0,1010);是(3)y=lnx,x∈(0,1);否(4)y=lnx,x∈(r,1),其中r>0.是2(5)y=e-x2+sinx+cos(2x),x∈(-∞,+∞);是|y|≤12-1+1=2.4 10.11.12.(6)y=x2sinx,x∈(-∞,+∞);否.(7)y=x2cosx,x∈(-1010,1010).是13.证明函数y=1+x-x在(1,+∞)内是有界函数.证y=1+x-x=(1+x-x)(1+x+x)1+x+x=11+x+x<12+1(x>1).13.研究函数y=x6+x4+x21+x6在(-∞,+∞)内是否有界.|x|≤1时,x6+x4+x2x6+x4+x23x6解1+x6≤3,|x|>1时,1+x6≤x6=3,|y|=y≤3,x∈(-∞,+∞).5第二篇：北大版高等数学第一章函数及极限答案习题1.4 习题1.41.直接用ε-δ说法证明下列各极限等式:(1)limx→ax=a(a>0);(2)limx=a;(3)lime=e;(4)limcosx=cosa.x→ax→ax→a22xa证(1)∀ε>0,要使||x-a|x-a|=|x-a|x-a<ε,由于|x-a|x+a<|x-a|ax-,a|<ε,故lim只需<ε,|x-a|<aε.取δ=aε,则当|x-a|<δ时,|x=a.ax→a(2)∀ε>0,不妨设|x-a|<1.要使|x2-a2|=|x+a||x-a|<ε,由于|x+a|≤|x-a|+|2a|<1+|2a|,只需(1+|2a|)|x-a|<ε,|x-a|<ε当1+|2a|.取δ=min{ε1+|2a|,1},则|x-a|<δ时,|x2-a2|<ε,故limx2=a2.x→a(3)∀ε>0,设x>a.要使|ex-ea|=ea(ex-a-1)<ε,即0<(ex-a-1)<εea,1<ex-a<1+εea,0<x-a<ln⎛ε⎫=min{ε1+,1},则当0<x-a<δ时,|ex-eaa⎪,取δ|<⎝e+|2a|ε,⎭1故limex=ea.类似证limex=ea.故limex=ea.x→a+x→a-x→a(4)∀ε>0,要使|cosx-cosa|=2sinx+aa2sinx-a2=2sinx+a2sinx-2≤|x-a|,取δ=ε,则当|x-a|<δ时,|cosx-cosa|<ε,故limcosx=cosa.x→a2.设limf(x)=l,证明存在a的一个空心邻域(a-δ,a)⋃(a,a+δ),使得函数u=f(x)在x→a该邻域内使有界函数.证对于ε=1,存在δ>0,使得当0<|x-a|<δ时,|f(x)-l|<1,从而|f(x)|=|f(x)-l+l|≤|f(x)-l|+|l|<1+|l|=M.3.求下列极限:2(1)lim(1+x)2-1=lim2x+x=lim(1+x1.x→02xx→02xx→02)=22sin2⎛x⎛⎫(2)lim1-cosx⎝2⎪⎭=1 sin⎛x ⎫⎫⎪⎪1x→0x2=limx→0x22lim ⎝2⎭⎪=γ12 =1.x→0 x ⎪22⎝2⎪⎭(3)limx+a-axx=lim=1(a>0).x→0x→0x(x+a+a)2a(4) limx2-x-2x→12x2-2x-3=-2-3.x2(5)lim-x-2-2x→02x2-2x-3=-3.1 201030(6)lim(2x-3)(2x+2)x→∞(2x+1)30=2230=1.(7)lim1+x-1-x=lim2x=1.x→0xx→0x(1+x+1-x)(8)lim⎛13⎫x2-x+1-3x2-x-2x→-1 -⎝x+1x3+1⎪=lim⎭x→-1(x+1)(x2-x+1)=limx→-1(x+1)(x2-x+1)=lim(x+ 1)(x-2)(x-2)=-3x→-1(x+1)(x2-x+1)=limx→-1(x2-x+1)3=-1.(9)lim1 +2x-3=lim(1+2x-3)(x+2)(1+2x+3)x→4x-2x→4(x-2)(x+2)(1+2x+3)=li m(2x-8)(x+2)=2γ4x→4(x-4)(1+2x+3)6=43.n(n-1)2nlimxn-1n(10)-1ny+2y+Λ+yx-1=lim(1+y)x→1y→0y=lim=n.y→0y(11)limx2+1-x2-1)=lim2=0.x→∞(x→∞x2+1+x2-1mm-1(12)lima0x+a1x+Λ+amamx →0bnn-10x+b+Λ+b(bn≠0)=1xnb.n-1⎧a0/b0,m=n(13)lima0xm+a1 xm+Λ+amx→∞bnbn-1+Λ+b(aγb⎪00≠0)=⎨0, n>m0x+1xn⎪⎩∞, m>n.x4+81+8/x4(14)limx+11+1/x2=1.x→∞2=limx→∞31+3x-3(15)li m1-2xx→0x+x2(3221+3x-333=lim1-2x)(1+3x+1+3xγ31-2x+31-2x )x→0x+x2)(321+3x+31+3xγ31-2x+32(1-2x)=lim5xx→0x(1+x)(321+ 3x+321+3xγ31-2x+31-2x)=lim522=5x→0(1+x)(31+3x+31+3xγ31-2x+31-2x)3.(16)a>0,li mx-a+x-a=lim⎛x-a1⎫x→a+0x2-a2x→a+0 ⎝x2-a2+x+a⎪⎪⎭=lim⎛(x-a) (x+a)+1⎫x→a+0 ⎝x+ax-a(x+a)x+a⎪⎪⎭2=lim⎛(x-a)+1⎫x→a+0 ⎝x+ax-a(x+a)x+a⎪⎭=lim⎛x-a+1⎫1.x→a+0 ⎝x+a(x+a)x+a⎪⎪=⎭2ax4.利用limsinx=1及lim⎛1x→xx→∞1+⎫⎝x⎪=e求下列极限:⎭(1)limsinαxsinαxαx→0tanβx=limx→0sinβxlimcosβx=x→0β.sin( 2x2)sin(2x2(2)lim)2x2x→3x=lim1γ0=0x→02x2γlimx→03x=(3)limta n3x-sin2x=limtan3xsin2x21x→0sin5xx→0sin5x-limx→0sin5x=35 -5=5.(4)limx=limxx→0+1-cosxx→0+2sinx=2.2cosx+aa(5)limsinx-s ina2sinx-2=cosa.x→ax-a=limx→ax-a2-k⎛k⎫-xx(-k)⎡x(6)limlimk=⎢⎛k⎫k⎤=e-k.∞1+x→⎝x⎪⎭x→∞1+⎫k=⎛⎝x⎪⎭⎢limx→∞1+⎪⎥⎣⎝x⎭⎥⎦-5(7)lim(1 -5y)1/y=⎡1/(5y)⎤-5y→0⎢⎣lim(1-5y)⎥=e.y→0⎦x+100x10(8)lim⎛1+10= lim⎛1+1=e.x→∞⎫⎝x⎪⎭x→∞⎫⎡⎛1⎫⎤⎝x⎪⎭⎢lim⎣x→∞1+⎝x⎪⎭⎥⎦5.给出limf(x)=+∞及limf(x)=-∞的严格定义.x→ax→-∞limf(x)=+∞:对于任意给定的A>0,存在δ>0,使得当0<|x-a|<δ时f(x)>A.x→alimf(x)=-∞:对于任意给定的A>0,存在∆>0,使得当x<-∆时f(x)<-A.x→-∞3第三篇：北大版高等数学第一章函数及极限答案习题1.6 习题1.61.证明:任一奇数次实系数多项式至少有一实根.证设P(x)是一奇数次实系数多项式,不妨设首项系数是正数,则limP(x)=+∞,x→+∞limP(x)=-∞,存在A,B,A<B,P(A)<0,P(B)>0,P在[A,B]连续,根据连续函数x→-∞的中间值定理,存在x0∈(A,B),使得P(x0)=0.2.设0<ε<1,证明对于任意一个y0∈R,方程y0=x-εsinx有解,且解是唯一的.证令f(x)=x-εsinx,f(-|y0|-1)=-|y0|-1+ε<-|y0|≤y0,f(|y0|+1)≥|y0|+1-ε>|y0|≥y0,f在[-|y0|-1,|y0|+1]连续,由中间值定理,存在x0∈[-|y0|-1,|y0|+1],f(x0)=y0.设x2>x1,f(x2)-f(x1)=x2-x1-ε(sinx2-sinx1)≥x2-x1-ε|x2-x1|>0,故解唯一.3.设f(x)在(a,b)连续,又设x1,x2∈(a,b),m1>0,m2>0,证明存在ξ∈(a,b)使得f(ξ)=m1f(x1)+m2f(x2)m1+m2.证如果f(x1)=f(x2),取ξ=x1即可.设f(x1)<f(x2),则f(x1)=m1f(x1)+m2f(x1)m1+m2≤m1f(x1)+m2f(x2)m1+m2≤m1f(x2)+m2f(x2)m1+m2=f(x2),在[x1,x2]上利用连续函数的中间值定理即可.4.设y=f(x)在[0,1]上连续且0≤f(x)≤1,∀x∈[0,1].证明在存在一点t∈[0,1]使得f(t)=t.证g(t)=f(t)-t,g(0)=f(0)≥0,g(1)=f(1)-1≤0.如果有一个等号成立,取t为0或1.如果等号都不成立,则由连续函数的中间值定理,存在t∈(0,1),使得g(t)=0,即f(t)=t.5.设y=f(x)在[0,2]上连续,且f(0)=f(2).证明在[0,2]存在两点x1与x2,使得|x1-x2|=1,且f(x1)=f(x2).证令g(x)=f(x+1)-f(x),x∈[0,1].g(0)=f(1)-f(0),g(1)=f(2)-f(1)=f(0)-f(1)=-g(0 ).如果g(0)=0,则f(1)=f(0),取x1=0,x2=1.如果g(0)≠0,则g(0),g(1)异号,由连续函数的中间值定理,存在ξ∈(0,1)使得g(ξ)=f(ξ+1)-f(ξ)=0,取x1=ξ,x2=ξ+1.第四篇：北大版高等数学第一章函数及极限答案习题1.3习题1.31.设xn=nn+2(n=1,2,Λ),证明limxn=1,即对于任意ε>0,求出正整数N,使得n→∞当n>N时有 |xn-1|<ε,并填下表:n-1|=2n+2<ε,只需n>2-2,取证∀ε>0,不妨设ε<1,要使|xn-1|=|N=n+2ε⎡2⎤-2,则当n>N时,就有|xn-1|<ε.⎢ε⎥⎣⎦n→∞n→∞2.设liman=l,证明lim|an|=|l|.证∀ε>0,∃N,使得当n>N时,|an-l|<ε,此时||an|-|l||≤|an-l|<ε,故lim|an|=|l|.n→∞3.设{an}有极限l,证明(1)存在一个自然数N,n<N|an|<|l|+1;(2){an}是一个有界数列,即存在一个常数M,使得|an|≤M(n=12,Λ).证(1)对于ε=1,∃N,使得当n>N时,|an-l|<1,此时|an|=|an-l+l|≤|an-l|+|l|<|l|+1.(2)令M=max{|l|+1,|a1|,Λ,|aN|},则|an|≤M(n=12,Λ).4.用ε-N说法证明下列各极限式:(1)limn→∞3n+12n-3=;(2)limn→∞n+1=0;(3)limnq=0(|q|<1);(4)limn→∞n→∞2nn!nn=0;⎛1⎫11(5)lim ++Λ+⎪=1;n→∞1γ22γ3(n-1)γn⎝⎭⎛⎫11(6)lim +Λ+=0.3/ 23/2⎪n→∞(n+1)(2n)⎝⎭证(1)∀ε>0,不妨设ε<1,要使3n+12n-3-32=112(2n-3)<ε,只需n>112ε+3,取N=3n+133n+13⎡11⎤+3,当n>N时,-<ε,故lim=.⎢2ε⎥n→∞2n-32n-322⎣⎦(2)∀ε>0,要使<ε,由于≤只需<ε,n>ε3,⎡1取N=⎢ε3⎣(3)|q|=|nq|=n⎤,当n>N时⎥⎦1<ε.1+αn(α>0).n>4=1+nα+<124nαnn(n-1)(1+α)6nnα+n(n-1)(n-2)α+Λ+α⎤}.⎥⎦3n<(n-1)(n-2)αn!nn<ε,n>⎡1⎢ε⎣⎤.⎥⎦εα,N=max{4,⎡24⎢εα3⎣(4)≤1n<ε,n>ε,N=⎛1⎫11(5) ++Λ+⎪-1(n-1)γn⎭⎝1γ22γ3⎛⎛11⎫⎛11⎫⎛11⎫⎫11⎡1=-⎪+-⎪+Λ+-⎪⎪-1=<ε,n>,N=⎢nε⎣ε⎝(n-1)n⎭⎭⎝⎝12⎭⎝23⎭⎤.⎥⎦1(n+1)n→∞3/2+Λ+1(2n)3/2≤n(n+1)3/2<<ε,n>ε,N=⎡1⎢ε2⎣⎤.⎥⎦5.设liman=0,{bn}是有界数列,即存在常数M,使得|bn|<M(n=1,2,Λ),证明limanbn=0.n→∞证∀ε>0,∃正整数 N,使得|an|<故limanbn=0.n→∞εM,|anbn|=|an||bn|≤εMγM=ε,6.证明limn→∞=1.证∀ε>0,要使1|n(1+ε)n1<ε,只需n(1+ε)n<1.4nε1+nε+nn(n-1)<ε(n-1)ε<4nε,只需<1,n>ε,N=⎡4⎢ε2⎣⎤.⎥⎦7.求下列各极限的值:(1)limn→∞=limn→∞=0.22(2)limn→∞n+3n-1004n-n+2(2n+10)n+n =limn→∞1+3/n-100/n4-1/n+2/n=.(3)limn→∞=limn→∞(2+10/n)1+1/nn=16.-21⎫⎛(4)lim 1+⎪n→∞n⎭⎝-2n⎡1⎫⎤⎛=⎢lim 1+⎪⎥n→∞n⎭⎥⎝⎢⎣⎦=e.-21⎫1⎛(5)lim 1-⎪=limn-1n→∞n→∞n⎭⎝1⎫⎛1⎫⎛1+1+⎪⎪n-1⎭⎝n-1⎭⎝=1⎫⎛lim 1+⎪n→∞n-1⎭⎝1⎫⎛(6)lim 1-⎪n→∞n⎭⎝nnnn-1=1⎫⎛lim 1+⎪n→∞n-1⎭⎝nn1e.⎡⎛1⎫⎤11⎫⎛=lim⎢1-⎪⎥,取q∈(,1),∃N,当n>N时, 1-⎪<qn→∞n⎭⎥en⎭⎝⎢⎣⎝⎦⎡⎛1⎫⎤1⎫⎛1-=0,即lim1-⎢⎥⎪⎪n→∞nn⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦nnnnn⎡⎛1⎫⎤nn0<⎢1-⎪⎥<q,limq=0,limn→∞n→∞n⎭⎥⎢⎣⎝⎦nnn=0.1⎫1⎫1⎫1⎛⎛⎛(7)lim 1-2⎪=lim 1+⎪lim 1-⎪=e=1.n→∞n→∞n⎭n⎭n→∞⎝n⎭e⎝⎝8.利用单调有界序列有极限证明下列序列极限的存在性:(1)xn=xn<1+(2)xn=11+11γ212+1+Λ+1n,xn+1=xn+=2-12+1n1(n+1)>xn,+Λ+1(n-1)n11n<2.xn单调增加有上界，故有极限.,xn+1=xn+n+1+2+1+Λ++1>xn,1-n1111⎛111⎫1<1.xn=+2+Λ+n=1++2+Λ+n-1⎪=2222⎝222⎭21-12xn单调增加有上界，故有极限.(3)xn=1n+1+1n+2+Λ+1n+n.xn+1-xn=12n+2-1n+1=-12n+2<0,xn+1<xn,xn>0,xn单调减少有下界，故有极限.(4)xn=1+1+12!+Λ+1n!.xn+1-xn=1(n+1)!>0,1⎫⎛11⎫1⎫1⎛⎛1xn≤2+1-⎪+-⎪+Λ+-⎪=3-<3.2⎭⎝23⎭n⎝⎝n-1n⎭xn单调增加有上界，故有极限.11⎫⎛9.证明e=lim 1+1++Λ+⎪.n→∞2!n!⎭⎝1⎫1n(n-1)1n(n-1)Λ(n-k+1)1⎛证 1+⎪=1+n+2+Λ++knn2!nk!n⎝⎭Λ+n(n-1)Λ(n-n+1)1n!nnn=2+1⎛1⎫1⎛1⎫⎛k-1⎫1⎛1⎫⎛n-1⎫1-+1-Λ1-+1-Λ1-⎪⎪⎪⎪⎪2!⎝n⎭k!⎝n⎭⎝n⎭n!⎝n⎭⎝n⎭1n1⎫11⎫⎛⎛<1+1++Λ+.e=lim 1+⎪≤lim 1+1++Λ+⎪.n→∞n→∞2!n!n⎭2!n !⎭⎝⎝对于固定的正整数k,由上式,当n>k 时,1⎫1⎛1⎫1⎛1⎫⎛k-1⎫⎛1+>2+1-+1-Λ1-⎪⎪⎪⎪,n⎭2!⎝n⎭k!⎝n⎭⎝n⎭⎝11⎫⎛令n→∞得e≥1+1++Λ+⎪,2!k!⎝⎭11⎫11⎫⎛⎛e≥lim 1+1++Λ+=lim1+1++Λ+⎪n→∞⎪.k→∞2!k!2!n!⎝⎭⎝⎭10.设满足下列条件:|xn+1|≤k|xn|,n=1,2,Λ,其中是小于1的正数.证明limxn=0.n→∞nn-1证由|xn+1|≤k|xn|≤k|xn-1|≤Λk|x1|→0(n→∞),得limxn=0.n→∞第五篇：北大版高等数学第一章函数及极限答案习题1.5 习题1.5 1.试用ε-δ说法证明(1)1+x在x=0连续(2)sin5x在任意一点x=a连续.证(1)∀ε>0,要使|x<ε,|x|<221+x-21+0|=2x22<ε.由于22x22≤x,只需221+x+11+x+11+0|<ε,故1+x在x=0连续.5(x-a)2|<ε.ε,取δ=ε,则当|x|<δ时有|1+x-5x+5a2||sin(2)(1)∀ε>0,要使|sin5x-sin5a|=2|cos由于2|cos取δ=5x+5a2||sin5(x-a)2|≤5|x-a|,只需5|x-a|<ε,|x-a|<ε5,ε5,则当|x-a|<δ时有|sin5x-sin5a|<ε,故sin5x在任意一点x=a连续.2.设y=f(x)在x0处连续且f(x0)>0,证明存在δ>0使得当|x-x0|<δ时f(x)>0.证由于f(x)在x0处连续,对于ε=f(x0)/2,存在存在δ>0使得当|x-x0|<δ时f(x)-f(x0)|<f(x0)/2, 于是f(x)>f(x0)-f(x0)/2=f(x0)/2>0.3.设f(x)在(a,b)上连续,证明|f(x)|在(a,b)上也连续,并且问其逆命题是否成立?证任取x0∈(a,b),f在x0连续.任给ε>0,存在δ>0使得当|x-x0|<δ时|f(x)-f(x0)|<ε,此时||f(x)|-|f(x0)||≤|f(x)-f(x0)|<ε,故|f|在x0连续.其逆命题⎧1,x是有理数不真,例如f(x)=⎨处处不连续,但是|f(x)|≡1处处连续.⎩-1,x是无理数4.适当地选取a,使下列函数处处连续: 2⎧⎧ln(1+x), x≥1,⎪1+x,x<0,(1)f(x)=⎨(2)f(x)=⎨⎩aarccosπx,x<1.⎪⎩a+x x≥0;解(1)limf(x)=limx→0-x→0-x→1+x→1+1+x2=1=f(0),limf(x)=f(0)=a=1.x →0+x→1-x→1-(2)limf(x)=limln(1+x)=ln2=f(1),limf(x)=limaarccosπx=-a=f(1)=ln2,a=-ln2.5.利用初等函数的连续性及定理3求下列极限:(1)limcosx→+∞1+x-x=22x=coslimx→+∞1+x-xx=cos0=1.(2)limxx →2x.sin2xsin3x2sin2x(3)limex→0sin3x=elimx→0=e3.=arctanlimx →∞(4)limarctanx→∞x+8x+124x+8x+124=arctan1=π4.1(5)limx→∞( x+1-3|x|x+1+22x-2)|x|=⎤⎥=2x-2⎦x→x02lim⎡(x→∞⎣x+1-22x-2)|x|⎤⎦=⎡lim⎢x→∞⎣x→x0⎡⎤3lim⎢⎥=22x→∞⎣1+1/x+1-2/x⎦g(x)32.6.设limf(x)=a>0,limg(x)=b,证明lim)f(x)x→x0lim[(lnf(x))g(x)]=a.=a.bb证lim)f(x)x→x0g(x)=lim)ex→x0(lnf(x))g(x)=ex→x0=eblna7.指出下列函数的间断点及其类型,若是可去间断点,请修改函数在该点的函数值,使之称为连续函数:(1)f(x)=cosπ(x-[x]),间断点n∈Z,第一类间断点.(2)f(x)=sgn(sinx),间断点nπ,n∈Z,第一类间断点.⎧x,x≠1,(3)f(x)=⎨间断点x=1,第一类间断点.⎩1/2,x=1.⎧x+1,0≤x≤1⎪(4)f(x)=⎨间断点x=1,第二类间断点.π,1<x≤2,⎪sinx-1⎩⎧1,0≤x≤1,⎪2-x⎪(5)f(x)=⎨x,1<x≤2,间断点x=2,第一类间断点.⎪1⎪,2<x≤3.⎩1-x228.设y=f(x)在R上是连续函数,而y=g(x)在R上有定义,但在一点x0处间断.问函数h(x)=f(x)+g(x)及ϕ(x)=f(x)g(x)在x0点是否一定间断?解h(x)=f(x)+g(x)在x0点一定间断.因为如果它在x0点连续,g(x)=(f(x)+g(x))-f(x)将在x0点连续,矛盾.而ϕ(x)=f(x)g(x)在x0点未必间断.例如f(x)≡0,g(x)=D(x).。
高等数学第一章函数极限练习题
- 17 -
习题课（一）
例7
第 一 章 函 数 极 限 连 续
解
x2 1 ax b] 0. 求常数 a, b, 使得 lim[ x x 1 x2 1 0 lim[ ax b] x x 1 (1 a ) x 2 (b a ) x 1 b lim x x 1 1 a 0, a b 0
第 一 章 函 数 极 限 连 续
x
3 2 1 ) e 3 原式 lim [(1 x 1 x x 1 lim [sin x 1 sin x 1]
x 1 3 x 3 ) ] (
sin x 1 sin x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 cos sin 2 2 x 1 x 1 | cos | 1 2 1 x 1 x 1 lim sin 0 lim sin x x x 1 x 1 2 所以 原式 0
f A f f f
-6-
2
函数的趋向过程
习题课（一）
定义的四个主要部分
(1) 对任意给定的 , (2) 总存在 ,
第 一 章 函 数 极 限 连 续
(3) 使当 时,
(4) 恒有不等式 成立,
(1),(4)用来刻划函数的趋向过程 (2),(3)用来刻划自变量的趋向过程 (3)起着控制(4)的作用 例5 叙述下列极限的定义 (1) lim xn
1 lim f ( x ) x 0 2
- 20 -
(3)
设 f ( x)
x 1
x 1 e x
习题课（一）
, 考察 lim f ( x ), lim f ( x )
高等数学习题集-第二版-第一章.doc
第一章 函数与极限学习测试题1. 填空题（1）当0<x 时，)0,(2-∞∈=x y ，则2yx =，)0,(-∞∈y ， 当20<≤x 时，)4,0[2∈=x y ，则y x =，)4,0[∈y ，当2≥x 时，),4[32+∞∈+=-x e y ，则2)3ln(+-=y x ，),4[+∞∈y ，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-<≤<=-4,2)3ln(40,0,2)(1x x x x x xx f（2）.0),1)(()(>-+-=-x x x x f 由于)(x f 为偶函数，所以)1()()(x x x f x f +-==-.0,<x（3）22)2)1(2)1((lim)12121(lim =-++=-+++-+++∞→∞→n n n n nn n n n （4）ax a x a x x x x x x x x x x x )cos 1(sin 2limcos sin 2sin 2lim 2sin sin 2lim000-=-=-→→→ ,1lim 22lim 3020===-→→a x a x x xx x所以3=a 。
（5）要求函数在零点连续，即a xe x ax x =-+→1sin lim20，所以a a xe x x ax x =+=-+→21)1sin (lim 20，即.1-=a （6）.2)1(lim )(lim )1(lim 11-=-==--→-→→x x f x f x x x（7）极限为有限值，即要求分子有关于1-x 的因子，即,0111123=--⋅+k 所以.1=k 此时.4)1(lim 1)1)(1(lim 11lim 2121231=+=-+-=---+→→→x x x x x x x x x x x（8）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<<--≤=1,21,2arctan 11,41,)(x x x x x f ππ不存在由此定义域为),1(+∞-，且在1=x 处左右极限不相等，因此)(x f 在1=x 处不连续。
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高等数学第一章函数与极限试题一. 选择题1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有（A ） F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数 2．设函数,11)(1-=-x xe xf 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点（C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点.3．设f (x)=xx 1-，x ≠0,1,则f [)(1x f ]= ( )A ） 1－xB ） x-11C ） X1 D ） x4．下列各式正确的是 ( )A ） lim 0+→x )x1 +1(x=1B ） lim 0+→x )x1 +1(x=eC ） lim ∞→x )x1 1－(x=-e D ） lim ∞→x )x1 +1(x-=e5．已知9)(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ( )。
A.1；B.∞；C.3ln ；D.3ln 2。
6．极限：=+-∞→xx x x )11(lim ( )A.1；B.∞；C.2-e ；D.2e7．极限：∞→x lim 332xx +=（ ）A.1；B.∞；C.0；D.2．8．极限：xx x 11lim 0-+→=（ ） A.0； B.∞； C21； D.2．9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞+→=（ ） A.0； B.∞； C.2； D.21．10．极限: xx x x 2sin sin tan lim 30-→=（ ） A.0； B.∞； C.161； D.16．二. 填空题11．极限12sinlim 2+∞→x xx x = . 12. lim 0→x xarctanx =_______________.13. 若)(x f y =在点0x 连续，则)]()([lim 0→-0x f x f x x =_______________；14. =→xxxx 5sin lim 0___________； 15. =-∞→n n n)21(lim _________________； 16. 若函数23122+--=x x x y ，则它的间断点是___________________17. 绝对值函数 ==x x f )(⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.0,;0,0;0,x x x x x()()x x x x f 25lg 12-+-+=其定义域是 ,值域是18. 符号函数 ==x x f sgn )(⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.0,1;0,0;0,1x x x其定义域是 ，值域是三个点的集合19. 无穷小量是 20. 函数)(x f y =在点x0 连续，要求函数yf (x) 满足的三个条件是三. 计算题21.求).111(lim 0x ex xx --+-→ 22.设f(e 1-x )=3x-2,求f(x)(其中x>0); 23.求lim 2 x →(3－x)25--x x ;24.求lim ∞→ x (11-+x x )x; 25.求lim x →)3(2tan sin 22x x x x +26. 已知9)(lim =-+∞→xx ax a x ，求a 的值； 27. 计算极限nnnn 1)321(lim ++∞→ 28.求它的定义域。
29. 判断下列函数是否为同一函数：⑴ f(x)＝sin 2x ＋cos 2x g(x)＝1⑵ 11)(2--=x x x f 1)(+=x x g⑶ ()21)(+=x x f 1)(+=x x g⑷ ()()21+=x x f 1)(+=x x g ⑸ y ＝ax 2 s ＝at 230. 已知函数 f(x)＝x 2-1，求f(x+1)、f(f(x))、f(f(3)+2)31. 求 746153lim 22--+-+∞→n n n n n 32. 求 221lim n nn ++++∞→33. 求 )1(lim n n n -++∞→ 34. 求 nn nn n 3232lim +-+∞→ 35. 判断下列函数在指定点的是否存在极限⑴ ⎩⎨⎧<>+=2,2,1x x x x y 2→x ⑵ ⎪⎩⎪⎨⎧><=0,310,sin x x x x y 0→x36. 31lim3+→x x 37. 93lim 23--→x x x 38. xx x 11lim--→ 39. 求当x →∞时，下列函数的极限112323+-+-=x x x x y40. 求当x →∞时，下列函数的极限11232+-+-=x x x x y 41.41. x xx 3sin lim→ 42. 20cos 1lim xxx -→ 43. 311lim -∞→⎪⎭⎫⎝⎛+n n n44. nn n 211lim ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→45. x x kx)11(lim +∞→ 46. xx x ⎪⎭⎫⎝⎛-∞→11lim 47. ()xx kx 101lim +→48. 研究函数在指定点的连续性⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,10,sin )(x x x xx f x 0＝049. 指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。
11)(-=x x f ,x ＝1 50. 指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。
⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1)(x x xx f ，x ＝０ 51. 指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。
⎩⎨⎧=≠=0,10,)(2x x x x f ，x ＝０ 52. 证明f(x)＝x 2是连续函数 53. xx x )1ln(lim0+→54. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅--→x x x x ln 11lim 21 55. 试证方程2x 3－3x 2＋2x －3＝0在区间[1,2]至少有一根56. xx x x 2sin sin tan lim 30-→ 57. 试证正弦函数 y = sin x 在(-∞, +∞)内连续。
58. 函数f (x ) = x =⎩⎨⎧<-≥00x x x x ，；，在点x = 0处是否连续？ 59. 函数)(x f =⎩⎨⎧≠≠0001sin x x x x ，；， 是否在点0=x 连续？60. 求极限 xa x x 1lim 0-→. 答案： 一.选择题1.A 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】 方法一：任一原函数可表示为⎰+=xC dt t f x F 0)()(，且).()(x f x F ='当F(x)为偶函数时，有)()(x F x F =-，于是)()1()(x F x F '=-⋅-'，即 )()(x f x f =--，也即)()(x f x f -=-，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则⎰xdt t f 0)(为偶函数，从而⎰+=xC dt t f x F 0)()(为偶函数，可见(A)为正确选项.方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=221x , 排除(D); 故应选(A).【评注】 函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请读者思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系? 2. D 【分析】 显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限.【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点. 且 ∞=→)(lim 0x f x ，所以x=0为第二类间断点；0)(lim 1=+→x f x ，1)(lim 1-=-→x f x ，所以x=1为第一类间断点，故应选(D).【评注】 应特别注意：+∞=-+→1lim 1x x x ，.1lim 1-∞=--→x xx 从而+∞=-→+11lim x xx e ，.0lim 11=-→-x xx e3 C4 A5 C6 C7 A8 C∵x →∞时，分母极限为令，不能直接用商的极限法则。
先恒等变形，将函数“有理化”： 原式 = 21111lim )11()11)(11(lim 00=++=++++-+→→x x x x x x x . （有理化法） 9 D 10 C解 原式161821lim )2()cos 1(tan lim 32030=⋅=-=→→x x x x x x x x . ▌ 注 等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极限，不能在代数和的情形中使用。
如上例原式0)2(lim 3=-=→x x x x .二.填空题 11. 2 12. 1 13. 0 14 . 515 . 2-e 16. 2,1=x17 .),(+∞-∞ ),0[+∞ 18. ),(+∞-∞ }1,0,1{-19 . 在某一极限过程中，以0为极限的变量，称为该极限过程中的无穷小量 20 . ① 函数yf (x) 在点x0有定义；② x →x0 时极限)(lim 0x f x x →存在；③ 极限值与函数值相等，即)()(lim 00x f x f x x =→三. 计算题21 . 【分析】 ""∞-∞型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则.【详解】 )1(1lim )111(lim 200x xx x x e x e x x x e x --→-→-+-+=--+=2201lim x e x x x x -→+-+ =x e x x x 221lim 0-→-+=.2322lim0=+-→x x e 22. f (x)=3lnx+1 x ＞0 23.e 324.e 225.6126. 3ln ; 27. 328. 解：由x ＋2≥０解得x ≥-2由x －１≠０解得x ≠１ 由5－２x ＞０解得x ＜2.5 函数的定义域为｛x ｜2.5＞x ≥-2且x ≠1｝或表示为（2.5,1）∪（1,-2）29. ⑴、⑸是同一函数，因为定义域和对应法则都相同，表示变量的字母可以不同。
⑵⑶不是同一函数，因为它们的定义域不相同。
⑷不是同一函数，因为它们对应的函数值不相同，即对应法则不同。
30. 解：f(x+1)＝(x+1)2-1＝x 2+2x ，f(f(x))＝f(x 2-1)＝(x 2-1)2-1＝x 4-2x 2 f(f(3)+2)＝f(32-1+2)＝f(10)＝9931 . 解：222222n 22746153lim 746153lim 746153lim n n n n nn n n n n n n n n n n --+-=--+-=--+-+∞→+∞→+∞→ 210060031lim 71lim 46lim 1lim 1lim53lim 22=--+-=--+-=+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→n n nn n n n n n n32. 解：212lim 2)1(lim 21lim 2222=+=+=++++∞→+∞→+∞→n n n n n n n n n n n 33 . 解： nn n n n n n n n n ++++-+=-++∞→+∞→1)1)(1(lim )1(lim01lim 1lim 1lim111lim11lim =++=++=++=+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→n n n n n n n nnn n n n34 . 解：110101lim )32(lim 1lim )32(lim 1)32(1)32(lim 3232lim -=+-=+-=+-=+-+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→n n n n n n n n n n n nnn 35 . 解：⑴因为 3lim ,2lim 22==+-→→y y x x，y y x x +-→→≠22lim lim 所以 函数在指定点的极限不存在。