第2章-算法的分析基础

2.1 算法复杂度


好算法的4个重要特征： Correctness——正确性 Simplicity, clarity——简明性 Amount of time/space used——效率
执行算法所需的时间和存储空间
算法设计者常常需要在算法的简明性和 效率之间作出谨慎的选择
2.1 算法复杂度

通过程序步来分析算法的时间复杂度
求数组元素累加之和的迭代程序： (P20 程序2-1) float Sum(float list[],const int n) { float tempsum=0.0; //1 for (int i=0;i<n;i++) //n+1 { tempsum+=list[i]; //n } return tempsum; //1 } 程序总步数为：2n+3 求数组元素累加之和的递归程序： (P21 程序2-2) float RSum(float list[],const int n) { if (n) //1 { return RSum(list,n-1)+list[n-1]; //1 } return 0; //1 }
正确性和健壮性互相补充。 程序可靠性——在正常情况下能正确地工作，在异常情况下也能做出适当处理。
2.1 算法复杂度

好算法的4个重要特征： Correctness——正确性 Simplicity, clarity——简明性

思路清晰、层次分明、 容易理解、利于编码和 调试。
遗憾的是，简单的算法不一定高效
南京邮电大学 计算机学院计科系
第2章 算法分析基础
柯昌博 日期：2015-2-6
2018/12/1
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2.1 算法复杂度

好算法的4个重要特征： Correctness——正确性
注意区分“正确性”和“健壮性”的概念： 算法正确性——在合法的输入下，算法应实现预先规定的功能和计算精度要求。
程序健壮性——当输入不合法的数据时，程序应能做适当处理而不至于引起严重后果。
2 n0 T ( n) T (n 1) 2 n 0
程序总步数为：2n+2
但递归调用引起的循环计算和使用for语句的循环计算所需的开销是不同的。递归需要耗 费更多的时间和空间资源。
可见：程序步数并不能确切反映程序运行的实际时间。

程序步的精确计算是困难的，且程序步并不能确切反映程序运行的实际
——运行一个算法所需的时间和空间资源的量。
How to Measure? •Machine independent •Language independent •Programming style independent •Implementation independent
算法的时间复杂性（Time Complexity）——T(n) 算法的空间复杂性（Space Complexity）——S(n)
2.2 渐近表示法
时间。

因此引入渐近时间复杂度,使用程序步在数量级上估计一个算法的执行时 间，从而实现算法的事前分析。

在数学上，算法的渐近复杂度t(n)是T(n) 的渐近表达式，是T(n)略去低阶
项留下的主项，它比T(n) 简单。 例如: T(n)=3n2+4nlogn+7 与t(n)= 3n2
那么在算法 分析中呢？
当n→∞时，有(T(n)-t(n))/T(n) →0。
渐近上界（低界函数集合）
证明 见P22 （定理2-1） 如果f(n)=amnm+am-1nm-1+…+a1n+a0是m 次多项式，且am>0，则f(n)=O(nm)。
可以通过考察一个程序中关键操作（key operation） 的执行次数，来估算算法的渐近时间复杂度。
其中n是问题的规模（输入大小）
算法复杂度
算法的时间复杂度

算法的时间复杂度——算法运行所需的时间 最好、最坏和平均时间复杂度
(不考虑计算机因素对算法分析的影响） 最好情况（出现概率较大时分析） 最差情况（实时系统） 平均情况（已知输入数据是如何分布的，通常 假设等概率分布）
算法的时间复杂度
（1）最好情况下的时间复杂性： B(n) = Tmin(n) = min{ T(n,I) | I∈Dn } （2）最坏情况下的时间复杂性： W(n) = Tmax(n) = max{ T(n,I) | I∈Dn }
（3）平均情况下的时间复杂性：
A(n) = Tavg(n) =
IDn
p(I)T(n,I)
例如：程序2-1 float Sum(float list[],const int n) { float tempsum=0.0; //1 for (int i=0;i<n;i++) //n+1 { tempsum+=list[i]; //n } return tempsum; //1 }



好算法的4个重要特征： Correctness——正确性 Simplicity, clarity——简明性 Amount of time/space used——效率 Optimality——最优性
算法执行时间达到求解该类问题所 需时间的下界。
与所求解问题自身的复杂程度有关。
例如:FindMax(int L[]) //求n个元素中的最大元素 { int max=L[0]; int i=1; 最优算法 while(i<n) { if (max<L[i]) max=L[i]; i=i+1; } }
又如： 可证排序问题的时间复杂度下界为(nlogn)。 则最坏时间复杂性为O(nlogn)的排序算法是最优算法。 因此：堆排序算法和两路合并排序算法都是最优算法。
影响程序运行时间的因素

程序所依赖的算法
问题规模和输入数据
根本的、起决定作用的

输入、输出
数值大小和状态

计算机系统性能
硬件系统性能（CPU速度）和软件系统性能（操作系统、编译器）
I:问题规模为n的实例。Dn :规模为n的所有合法输入的集合。 p(I):实例I出现的概率。
算法的空间复杂度

算法的空间复杂度 ——算法运行所需的存储空间
固定空间需求 与所处理数据的大小和个数无关，即与问题实例的 特征无关。 （包括：程序代码、常量、简单变量、定长成分的结 构变量所占的空间） 可变空间需求 与算法执行过程中处理的特定数据的规模有关。 （如：数据元素所占的空间，算法执行所需的额外空 间—如递归算法所需系统栈空间）