期权定价理论

中不含任何风险源，因
此组合 必须获得无风险收益，即
r t
代入上式可得
f 1 2 f 2 2 f ( S )t r ( f S )t t 2 S 2 S
化简为
f f 1 2 2 2 f rS S rf t 2 S S 2
**这就是著名的布莱克——舒尔斯微分分程，它适 用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的 定价。
BSM模型的基本思路
股票价格服从的随机过程
dS dt dz S
机因素。
dS Sdt Sdz
公式等式第二项dz完全捕捉了影响股票价格变化的随
BSM模型的基本思路
根据数学家伊藤(K.Ito)提出的伊藤引理(Itô引理),人们推
出，当股票价格服从上述随机过程时可得期权价格相应服从 的随机过程，作为股票衍生产品的期权价格f 将服从
酬。
股票与证券价格的变化
证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券 价格能完全反应全部信息；市场竞争使证券价格从一个均衡 水平过渡到另一个均衡水平，而与新信息相应的价格变动是 相互独立的。

效率市场假说可分为三类：弱式、半强式和强式； 弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程（Markov Stochastic Process）来表述。
f f S S
在 时间后，该投资组合的价值变化 为： t 代入 f 和 S 可得：
f 1 2 f 2 2 ( S )t 2 t 2 S
x
S
BSM期权定价模型
f 1 2 f ( 2 S 2 )t t 2 S 2
dS 由于证券价格S遵循几何布朗运动，因此有： Sdt Sdz
其在一个小的时间间隔t 中，S的变化值S为：
S St Sz
设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f一定是S和t的函 数，根据伊藤引理可得：
f f 1 2 f 2 2 f df ( S S )dt Sdz S t 2 S 2 S
BSM期权定价模型
案例 风险中性定价原理的应用
假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知 道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。现 在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧 式看涨期权的价值。 由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于3个月后 股票的市价。若3个月后该股票价格等于11元，则该期权 价值为0.5元；若3个月后该股票价格等于9元，则该期权 价值为0。
期权定价理论
第六章
期权定价理论
第一节 BSM期权定价模型的思路
第二节 股票与证券价格的变化
第三节 BSM期权定价公式的推导
第四节 BSM模型的评价与应用
引言
1973年，美国芝加哥大学教授 Fischer Black(费雪.布莱 克)和 Myron Scholes(梅隆.舒尔斯)发表了《期权与公司负债 定价》疑问，提出了著名的B-S定价模型，用于确定欧式股 票期权价格，在学术界和实务界引起了强烈反响；同年， Robert C. Merton(罗伯特.莫顿)独立地提出了一个更为一般 化的模型。舒尔斯和默顿由此获得了1997年的诺贝尔经济 学奖。 本章将循序渐进，尽量深入浅出地介绍布莱克-舒尔斯-默 顿期权定价模型（下文简称B-S-M模型），并由此导出衍生 证券定价的一般方法。
股票与证券价格的变化

股价行为模型通常用著名的维纳(Wiener Processes)过 维纳过程是马尔科夫随机过程的一种特殊形式； 物理学中用于观察某个粒子受到大量小分子碰撞的运 布朗运动（Brownian Motion）起源 于英国植物学
程；

动，有时称为布朗运动(Brownian Motion)；
f f 1 2 f 2 2 f df S S t 2 S 2 S dt S Sdz
观察得到，影响期权价格的随机因素也完全体现在等式
右边的第二项中的dz上，即股票价格及其衍生产品——期权 价格都只受到一种不确定性的影响，其区别只是在于随机因
BSM模型的基本思路
为了给股票期权定价，必须先了解股票本身的走势。 因为股票期权是其标的资产（即股票）的衍生工具，在 已知执行价格、期权有效期、无风险利率和标的资产收益的 情况下，期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变化，股 票价格是影响期权价格的最根本因素。 因此，要研究期权的价格，首先必须研究股票价格的变 化规律。在了解了股票价格的规律后，我们试图通过股票来 复制期权，并以此为依据给期权定价。 在下面几节中我们会用数学的语言来描述这种定价的思 想。
素dz前面的系数不同，即对随机因素变化的反应程度不同。
BSM模型的基本思路
BSM 微分方程
f f 1 2 2 2 f rS S rf 2 t S 2 S

BSM 期权定价公式：
c SN(d1 ) Xer (T t ) N (d2 )
股票与证券价格的变化

家布朗对水杯中的花粉粒子的运动轨迹的描述。
股票与证券价格的变化


布朗运动
标准布朗运动 设 t 代表一个小的时间间隔长度， z代表变量z在时间t 特征1： z 和 t 的关系满足（6.1）：
内的变化，遵循标准布朗运动的 z 具有两种特征：

其中， 代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0的正
BSM期权定价模型
观察布莱克－舒尔斯微分方程，我们可以发现，受制于主 观的风险收益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证 券的价值决定公式中。这意味着，无论风险收益偏好状态如 何，都不会对f的值产生影响。 假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。
尽管这只是一个人为的假定，但通过这种假定所获得的结论 不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险 的所有情况。 在风险中性的条件下，所有证券的预期收益率都可以等于 无风险利率r，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现 求得现值。这就是风险中性定价原理。

两边同除以S得：
dS dt dz S
股票与证券价格的变化

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从上式可知，在短时间后，证券价格比率的变化值为：
S t t S

t t
可见，
S 也具有正态分布特征 S
S ~ ( t , S
t )
股票与证券价格的变化
例：设一种不付红利股票遵循几何布朗运动，其波动率为每 年18%，预期收益率以连续复利计为每年20%，其目前的市
BSM期权定价模型
假设：
证券价格遵循几何布朗运动，即 和 为常数； 允许卖空标的证券；
没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的；
衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付； 存在无风险套利机会；
证券交易是连续的，价格变动也是连续的；
衍生证券有效期内，无风险利率r为常数。
BSM期权定价模型
i 1
z (T ) z (0) i t
N
dz dt
股票与证券价格的变化

由特征1知道， z 本身也具有正态分布。均值为零，
标准差为 t ，方差为 t ； 由特征2知道，遵循标准布朗运动的变量具有独立增 量的性质；

普通布朗运动 我们先引入两个概念：漂移率和方差率； 标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1.0.
显然，遵循普通布朗运动的变量x是关于时间和dz的动态过程;
adt 为确定项，漂移率a 意味着每单位时间内x 漂移a
股票与证券价格的变化


伊藤过程
普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x的
漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，我们可以普通的 布朗运动方程得到伊藤过程(Ito Process)：
股票与证券价格的变化
人们通常用形如公式
dS dt dz S
的几何布朗运动来描绘股票价格的随机变化过程； 这是期权定价模型的基础性假设。也好似金融中最主要的 假设； 最重要的是dz项，它代表影响股票价格变化的随机因素。 通常被成为标准布朗运动(Standard Brownian Motion)或维 纳过程（Wiener Process)。
z t
态分布）中取的一个随机值。
股票与证券价格的变化

特征2：对于任何两个不同时间间隔， t 和z 的值相互
独立。

考察变量z在一段较长时间T中的变化情形，我们可得：
其中满足均值为0，方差为 T （ i是相互独立的 ） 当 t 0 时，我们就可以得到极限的标准布朗运动：
在一个小的时间间隔中，f 的变化值 f 为：
f f 1 2 f 2 2 f f ( S S )t Sz S t 2 S 2 S
BSM期权定价模型
为了消除风险源 ，可以构建一个包括一单位衍生证 z f 券空头和 单位标的证券多头的组合。
S
令 代表该投资组合的价值，则： f f
dx a( x, t )dt b( x, t )dz
其中，dz是一个标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数，变 量x的漂移率为a，方差率为b2。
股票与证券价格的变化


证券价格的变化过程
证券（股票）价格的变化过程可以用漂移率为μS、方差
率为 2 S 2 的伊藤过程来表示：
dS Sdt Sdz
2
2
)(T t ), T t ]
股票与证券价格的变化

例 设A股票价格的当前值为50元,预期收益率为每年18%,
波动率为每年20%,该股票价格遵循几何布朗运动,且该股票
在6个月内不付红利，请问该股票6个月后的价格ST的概率 分布。

例 请问在上例中，A股票在6个月后股票价格的期望值和
标准差等多少？

伊藤引理
若变量S遵循伊藤过程，则变量s和t 的函数 f 将遵循如下
过程：
f f 1 2 f 2 f df ( a b )dt bdz 2 S t 2 S S
由于
dS Sdt Sdz
根据伊藤引理，衍生证券的价格 f 应遵循如下过程：
f f 1 2 f 2 2 f df ( S S )dt Sdz 2 S t 2 S S
股票与证券价格的变化

我们令漂移率的期望值为a,方差率的期望值为b2，就可得
到变量x 的普通布朗运动：
dx adt bdz
其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。

标准布朗运动是普通布朗运动的一个特例，即漂移率为0,
漂移率——单位时间内变量z均值的变化值；
方差为1的普通布朗运动；
• • •
价为100元，求一周(0.0192年)后该股票价格变化值的概率分
布。
S 100 0.00384 0.0249 0.384 2.49
∆S服从均值为0.384元，标准差为2.49元的正态分布的 随机抽样。
S 0.20t 0.18 t S
股票与证券价格的变化
股票与证券价格的变化
证券价格自然对数变化过程 f 1 2 f 1 f 令 f ，由于 ln S , 2, 0 2

S S S 代入衍生证券的价格方程:
S
t
df (


2
2
)dt dz
证券价格对数G遵循普通布朗运动,且：
ln ST ln S ~ [(
基础知识

随机过程——如果某变量的价值以某种不确定的方式随 分为离散时间和连续时间随机过程； 连续变量和离散变量随机过程。 Markov Process-特殊类型的随机过程
时间变化，则称该变量遵循某种随机过程。

——只有变量的当前值与未来的预测有关，变量过去的历
史和变量从过去到现在的演变方式则与未来的预测不相关.
股票与证券价格的变化
人们通常假设股票价格遵循马尔科夫过程。 例如：股票现价为100，如果其遵循马尔科夫过程，则一个
星期之前、一个月之前的股价不影响对将来的预测。惟一
相关的就是股票的现价100.

弱式效率市场假说与马尔可夫过程 1965年，法玛（Fama）提出了著名的效率市场假说。该
假说认为，投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报