第七章_网络优化模型

走迷宫与深度优先搜索 (Depth-First Search)
一直往前走 碰壁就回头換条路找 沿途要记录下走过的路线
老鼠走迷宮深度优先搜索
第1节 图论的基本概念和术语
什么是图？
例一
例二
一堆顶点和边的组合！ Set of vertices connected pairwise by edges.
01100 0
00100 0
A=
01001 0 01000 1
01010 1
00001 0
再來一些术语
连通图 (connected graph) 子图(subgraph) 树(tree)沒有回路的连通图 森林 (forest) 一堆树的集合
树 Trees
• 树(tree):连通无简单回路无向图
– 若有n个顶点，則有n-1条边 – 任两点之间仅有一条路径
The graph is bipartite
Complete bipartite graph K2,3
平面图 Planar graphs
• A planar graph is a graph that can be embedded in a plane so that no edges intersect
Planar:
=
NOT Planar:
更多平面图实例
第2节 最短路径问題 (Shortest Path Problem)
最快的routing
最快航線
B 2
1
E
3
A
C 1
3 2F
1
3
D
3 3
G
最短路问题算法—标号法
• 最短路问题：对一个赋权的有向图D中的指定的两个点Vs和Vt找到一条 从 Vs 到 Vt 的路，使得这条路上所有弧的权数的总和最小，这条路被称 之为从Vs到Vt的最短路。这条路上所有弧的权数的总和被称为从Vs到Vt 的距离。
第七章 网络优化模型
•
绪： 图论的起源：
•
从哥尼斯堡七桥问题
•
及
•
哈密顿周游世界游戏
•
谈起
•
哥尼斯堡七桥问題 (Bridges of Koenigsberg)
能不能走过每一个桥刚好一次并且回到原來的地方？
解决七桥问题的欧拉
• 欧拉（Leonard Euler; 1707 1783）， 瑞士人，出身于牧师家庭，13 岁考入 大学，16 岁已经获得硕士学位。1727 年到俄国圣彼得科学院工作。1741 年 转到德国，任柏林科学院物理数学所所 长。1766 年回到俄国，直至去世。他 在 1735 年，由于过度工作的关系，引 至右眼失明。1771 年又因眼疾引致左 眼失明。1783年逝世于俄国的圣彼得堡。
正十二面体有二十个顶点 表示世界上20个城市 各经每个城市一次 最后返回原地
投影至平面
实际生活中的图论 Graph Model
电路模拟
例：Pspice、Cadence、ADS…..
Pspice
Cadence
航空网络!
交通网络
捷運路線图！
有向道路图
有单行道的街道！
行程表！
计算机网络
某学校网络架构图
wij (vj , vj) ∈E aij =
0 其它
权矩阵
A=
0 9 247 9 0 340 2 3 085 4 4 8 06 7 0 5 60
邻接矩阵
令所有权为1 A=
0 1 1 11 1 0 1 10 1 1 0 11 1 1 1 01 1 0 1 10
图的表示
v2
v4
v1
v6
v3
v5
其邻接矩阵为：
解决七桥问wenku.baidu.com的方法
• 欧拉解决问题问题的第一步把问题「抽象化」。他想 到：岛的形状、大小及桥的长短并不影响结果，位置 才是重点。他把四大块陆地缩成四个点，而把七座桥 变成七条线，于是，就画出了如此之图形。
欧拉路径 解決哥尼斯堡七桥问題
原來是一笔画问题啊！
数学家欧拉(Euler, 1707-1783) 于1736年严格的证明了上述哥尼斯堡 七桥问题无解，并且由此开创了图论的典型思维方式及论证方式
图论的术语
顶点 (Vertex) 边 (Edge) 一个图G = (V,E) V: 顶点的集合 E: 边的集合
例：如右图 V= {a,b,c,d,e} E= {(a,b),(a,c),(a,d), (b,e),(c,d),(c,e), (d,e)}
v5
7
5
v1
4
92
4
v2
3
图的表示法
6
v4 8 v3
• A graph that can be decomposed into two partite sets but not fewer is bipartite
• It is a complete bipartite if its vertices can be divided into two non-empty groups, A and B. Each vertex in A is connected to B, and viceversa
• 生成树 (spanning tree):包括图中所有的顶点， 并且是一棵树
tree A connected graph G
Spanning trees of G
树─ 实例：行政组织图
生成树(Spanning Tree)
包括图中所有的顶点，并且是一棵树 生成树
有向图(Digraph)
有向图 (Digraph)
一笔画定理
终于，1736年，欧拉证实了自己的猜想—七桥问题的走法根本不存 在。并发表了他的「一笔画定理」： 一个图形要能一笔画完成必须符合两个状况：
1. 图形是封闭连通的。 2. 图形中的奇点个数为0或2。
七桥问题中的四个点全部都是奇点，所以无法一次走完七座桥。
哈密頓（Hamilton） 周遊世界问題
• 著作有无穷微量分析入门，无穷小分析 引论（1748），微分学原理（1755）， 关于曲面上曲线的研究（1766），积分 学原理（1768-1770），方程的积分法 研究…等。
• 欧拉是数学史上最多产的数学家，我们 现在习以为常的数学符号很多都是欧拉 所发明介绍的，例如：函数符号 f(x)、 圆周率π、自然对数的底 e、求和符号 Σ、log x、sinx、cosx以及虚数单位 i 等， 论著涉及的范围非常之广泛，他的成就 对后世数学发展有深远的影响。
有向且无简单回路的图 (directed acyclic graph)
加权图(Weighted Graph)
图片來源：雷欽隆老師“資料結構”課投影片
一些特殊的图
完全图 Complete graphs
• 任意两点之间都有一条边与其相连的图称为完 全图，以Kn 來表示，n为顶点数
二分图（偶图） Bipartite graphs